Khoá luận tốt nghiệp toán học một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC sơ CAP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình hục TR Ầ N Đ ẶNG Q UỲNH A NH HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC sơ CAP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th s NG UYỄ N TH Ị TR À HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ƠĨ1 sâu sắc đến thạc sĩ NGUYÊN THỊ TRÀ, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành khóa luận Cô người giúp ngày tiếp cậĩi có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin bày tỏ lòng biết Ơ 11 tới thầy, cô công tác Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuycn rriôn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế ncn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận dược hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Iiội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt cô NGUYỄN THỊ TRÀ Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học nói chung hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt môn khoa học khác Đồng thời, hình học giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán thuộc chương trình phổ thông Những toán đường tròn dược sử dụng phương pháp chứng minh Pascal Brianchon hình học sơ cấp toán hay Vì đề tài Iiày cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp hai định lý Đồng thời ncu lẽn cách giải lớp toán đẹp ứng dụng chúng Mục đích - Yêu cầu • Đây dịp đổ có thổ tập dượt nghicn cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán dược đặt ra, số ứng dụng, • Biết cách thể hiểu biết Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, phân loại đưa tập chi tiết liên quan đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon Đối tư ợn g - Phạm vi nghiên cứu - Định lý Pascal - Định lý Brianchon ứng dụng có liên quan Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu MỤC LỤC Nội dung Tên đề tài Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Kết cấu nội dung Gồrn chương: • - Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị Định lý Pascal Định lý Brianchon • - Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Ưng dụng định lý Pascal - ứng dụng định lý Brianchon Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liộu • • Nghiên cứu hệ thống kiến thức hình học sơ cấp hình học xạ ảnh Tharri khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm cách giải số vấn đề Chương Lý thuyết chuẩn bị 1.1 Định lý Pascal Xét mặt phang, ta có định lý sau: 1.1.1 Định lý Pascal Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu Định lý 1.1.1 Trong lục giác nội tiếp, giao điểm cặp cạnh đối diện (nếu cỏ) nằm đường thẳng Chứng minh Giả sử A , B , c , D , E , F lục giác nội tiếp đường tròn Các cặp cạnh đối diện A B D E ; B C E F ; C D F A cắt theo thứ thự Oí, /3, Ap dụng định lý Menelaus vào tam giác P Q R tạo ba cạnh không kề lục giác với cát tuyến C Ị B , D E a , j F A (ba cạnh lại) ta có: CQjR~BP _ ~DQ 'ẼR ~ÕP _ Ĩ)R'W P ' Z ẼQ~ ’ và: _ Q FR AP = ~ĨR~FP'~ÃQ ~ Nhân vế ba đẳng thức sau với để ý rằng: A P B P = F P E P (phương tích điểm p vòng tròn ngoại tiếp), Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu MỤC LỤC A Q B Q = C Q D Q (phương tích điểrn Q vòng tròn ngoại tiếp), C R D R = ER F R (phương tích điềm R vòng tròn ngoại tiếp), ta được: _ Ị3R aR 7R pp aQ 7R Hộ thức chứng tỏ «,/3,7 ba điểm thẳng hàng nằm ba cạnh tarri giác R Q P (đpcm) Chú ý Định lý áp dụng cho rriọi lục giác nội tiếp không cần giả thiết lục giác lồi 1.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Pascal • Ngũ giác nội tiếp đường tròn: Giả sử A B C D E F lục giác Iiội tiếp Ta hình dung đỉnh đó, F chẳng hạn, chạy trcn vòng tròn đến trùng với đỉnh khác, thí dụ điểm A Lúc lục giác trở thành ngũ giác (nội tiếp) cạnh F A trở thành tiếp tuyến A với vòng tròn ngoại tiếp ta có định lý sau: Định lý 1.1.2 Trong ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không kề cắt (nếu có) hai điểm, thẳng hàng với giao điểm cạnh thứ năm với tiếp tuyến đỉnh đối diện Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu Tương tự trên, ta áp dụng định lý Pascal vào tứ giác, tarri giác nội tiếp cách xem những lục giác có hai hay ba cặp đỉnh trùng thay cạnh nối hai đỉnh trùng tiếp tuyến điổrri trùng với hai đỉnh Bằng cách đó, ta có thẻ phát biểu định lý sau: • Tứ giác nội tiếp đường tròn: Định lý 1.1.3 Trong tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện hai cẠp tiếp tuyến CÁC cặp đỉnh đối diện giao (nếu có) theo bốn điểm thẳng hàng • Tam giác nội tiếp đường tròn: Định lý 1.1.4 Ba cạnh 'một tam giác cắt ba tiếp tuyến với đườny tròn ngoại tiếp đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng hàng Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhâu CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẦN DỊ Định lý Brianchon 1.2 Định lý Brianchon 1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu đị nh l ý Pascal ) Định lý 1.2.1 Các đường thắng nối đỉnh đối diện lục giác ngoại tiếp với vòng tròn đồng quy điểm, Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán IAIV=ASV + Vì A I V = A S V (cùng chắn cung AV) => Tứ giác AISV tứ giác nội tiếp nên: VAI = ĩsv = 180° ĩsv = 180° - 90° = 90° Vậy I S B C (đpcm) Bài tập 2.1.8 Chứng minh ba đường chéo lục giác ngoại tiếp đồng quy Bài giải Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I> Suy IJLAK IJ1MH A K / / M H (đpcm) Trần Đặng Quj'nh Anh - Toán I[...]... C D Kết luận Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon trong Hình học sơ cấp , tôi đã nghicn cứu được các nội dung chủ yếu sau: • Luận văn trình bày một số bài tập hình học phang liên quan đến đường tròn được giải bằng cách ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon trong hình học sơ cấp • Ngoài sự nỗ lực học hỏi và tìm tòi của bản thân, đề tài của tôi đã... tròn: Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường nối rriỗi đỉnh với tiếp điểm trên rriỗi cạnh đối diện là ba đường đồng quy A Trần Đặng Qu5'nh Anh - Toán I ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN MỘT số ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC sơ CAP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th... Chứng rriinhh rằng: P Q / / C D Kết luận Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Hình học sơ cấp , nghicn cứu nội dung chủ yếu sau: • Luận văn trình bày số. .. bị Định lý Pascal Định lý Brianchon • - Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Ưng dụng định lý Pascal - ứng dụng định lý Brianchon Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu,