Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng: Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      NGUYỄN THỊ HOA PHƯƠNG TRÌNH GAUSS-CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Bộ môn : Hình học vi phân KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Cán bộ hướng dẫn PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, tháng 05 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường Đại học, được sự dìu dắt dạy dỗ của các Thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức cơ bản hữu ích và quan trọng. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả quan trọng của quá trình học tập và rèn luyện đó. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có những kiến thức khoa học cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình. Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc nhất. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian qua. Xin chân thành cảm ơn! Huế, tháng 05 năm 2011 NGUYỄN THỊ HOA ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 LỜI NÓI ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1 Mặt trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ánh xạ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . 4 1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.1 Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5.2 Mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Các mặt đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8 2.1 Phương trình Gauss- Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.1 Định lý Bonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Mặt tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Mặt tròn xoay có độ cong Gauss bằng 0, hằng dương, hằng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 1 LỜI NÓI ĐẦU Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai là hai dạng toàn phương đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mặt. Hầu hết các vấn đề của lý thuyết mặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss. Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai. Liệu có cách nào khác để tính độ cong Gauss và cách tính đó như thế nào. Để tìm hiểu vấn đề này và được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng tôi chọn đề tài "Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng". Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia làm hai chương: Trong chương I, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cho chương II như ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai Chương II chúng tôi tập trung khảo sát các phương trình Gauss-Codazzi của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định sự tồn tại của mặt dựa vào các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai, tính độ cong Gauss thông qua hệ số dạng cơ bản thứ nhất của mặt và các đạo hàm của chúng. Dù đã rất cố gắng song khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện cho sinh viên thực hiện khóa luận và đặc biệt cảm ơn PGS.TS Trần Đạo Dõng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận này. 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan đến việc nghiên cứu chương II như mặt chính qui, ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai, Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [3], [4]. 1.1 Mặt trong không gian R 3 Cho U là một tập mở trong R 2 và ánh xạ X : U → R 3 (u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) khả vi (lớp C k ). Khi đó S = X(U ) được gọi là một mặt tham số với tham số hóa X trong R 3 . Điểm (u 0 , v 0 ) được gọi là điểm chính qui nếu {X u (u 0 , v 0 ), X v (u 0 , v 0 )} độc lập tuyến tính. Ngược lại, (u 0 , v 0 ) được gọi là điểm kì dị. S được gọi là mặt chính qui nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là {X u (u, v), X v (u, v)} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) ∈ U. Giả sử mặt S chính qui tại (u 0 , v 0 ), khi đó mặt phẳng qua X(u 0 , v 0 ) nhận {X u (u 0 , v 0 ), X v (u 0 , v 0 )} làm không gian vector chỉ phương gọi là mặt phẳng tiếp xúc với S tại (u 0 , v 0 ). Kí hiệu T (u 0 ,v 0 ) S. Xét đường trên mặt tham số S với tham số hóa u → (x(u, v 0 ), y(u, v 0 ), z(u, v 0 )). Đường này được gọi là đường tọa độ v = v 0 đi qua p = X(u 0 , v 0 ) và có vector tiếp xúc tại p là ∂X ∂u = ( ∂x ∂u , ∂y ∂u , ∂z ∂u ). Tương tự, đường tọa độ u = u 0 là v → (x(u 0 , v), y(u 0 , v), z(u 0 , v)) đi qua p = X(u 0 , v 0 ) có vector tiếp xúc là ∂X ∂v = ( ∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v ). Tập con liên thông S trong R 3 được gọi là một mặt chính qui nếu tại mỗi 2 điểm của S tồn tại một lân cận mở là mặt tham số chính qui, tham số hóa tương ứng được gọi là tham số hóa địa phương của S. 1.2 Ánh xạ Gauss Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa phương của S. Nếu chúng ta chọn các pháp vector đơn vị tại mỗi điểm của X(U) như sau n(p) = X u ∧ X v |X u ∧ X v | (p), p ∈ X(U); chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi n : X(U) → R 3 , p → n(p). Khi đó ánh xạ n xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U). a) Mặt định hướng: Một mặt chính quy S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn vị liên tục n xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường vector n được gọi là một định hướng của S. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định n. Tại mỗi điểm của mặt chính qui, mỗi lân cận của mặt đều định hướng được bởi trường pháp vector đơn vị n = X u ∧ X v |X u ∧ X v | . b) ánh xạ Gauss: Cho (S, n) là mặt chính qui định hướng trong R 3 . Do |n(p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem n là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S 2 . ánh xạ n : S → S 2 được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S. c) Đạo hàm của ánh xạ Gauss: Đạo hàm của ánh xạ Gauss tại p là Dn p : T p S → T n(p) S 2 . Do T p S và T n(p) S 2 cùng vuông góc với n(p) nên ta có thể đồng nhất T p S và T n(p) S 2 . Như vậy Dn p là một tự đồng cấu tuyến tính của T p S. Hơn nữa, Dn p được xác định như sau: Lấy p ∈ S và ω ∈ T p S, ta có ω là vector tiếp xúc của một đường tham số khả vi α : (−ε, ε) → S, tức là ω = α  (0), p = α(0). Xét đường cong β = n ◦ α, ta có β  (0) ∈ T p S. Khi đó Dn p (ω) := β  (0). 3 1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình a) Định thức của tự đồng cấu Dn p được gọi là độ cong Gauss K tại p của S. b) − 1 2 tr(Dn p ) được gọi là độ cong trung bình H của S tại p. Ta có ma trận của Dn p là ma trận đối xứng. Nếu Dn p có hai giá trị riêng khác nhau thì T p S có cơ sở trực chuẩn gồm các vector riêng e 1 , e 2 ứng với các giá trị riêng −k 1 ,−k 2 . Các giá trị k 1 , k 2 được gọi là độ cong chính của S tại p. Hai không gian con một chiều lần lượt xác định bởi e 1 , e 2 được gọi là hai phương chính của S tại p. Từ định nghĩa suy ra H = 1 2 (k 1 + k 2 ), K = k 1 k 2 . Đường chính qui C trên S sao cho tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc tại của C là một phương chính của S tại p được gọi là một đường chính. Điểm p được gọi là điểm eliptic nếu K(p) > 0; Điểm p được gọi là điểm hypebolic nếu K(p) < 0; Điểm p được gọi là điểm parabolic nếu K(p) = 0; Điểm p được gọi là điểm phẳng nếu Dn p = 0; Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k 1 = k 2 . 1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai 1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất Với mỗi không gian tiếp xúc T p S, dạng toàn phương I p : T p S → R. I p (ω) =< ω, ω > p = |ω| 2 , ω ∈ T p S được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại p. Ta có biểu thức tọa độ I p (ω) = E(du) 2 + 2F dudv + G(dv) 2 , với E =< X u , X u >, F =< X u , X v > G =< X v , X v > là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất I p . 1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai Xét đạo hàm của ánh xạ Gauss Dn p : T p S → T p S. Khi đó, dạng toàn phương II p (α) = − < Dn p (α), α > được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại p. Ta có biểu thức tọa độ II p (α) = L(du) 2 + 2Mdudv + N(dv) 2 , 4 với L =< n, X uu >, M =< n, X uv >, N =< n, X vv > là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai II p . Hệ quả 1.4.2.1. Đối với cơ sở {X u , X v } của T p S, ta có ma trận chuyển vị của ma trận của Dn p là  a b c d  = −  L M M N  E F F G  −1 . Chứng minh: Ta có pháp vector đơn vị n = X u ∧ X v |X u ∧ X v | Từ < n, n >= 1, suy ra < n, n u >= 0 và < n, n v >= 0. Như vậy n u , n v ∈ T p S. Do đó: n u = aX u + bX v , n v = cX u + dX v . Ma trận của Dn p đối với cơ sở {X u , X v } là  a c b d  . Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản II p . Ta có ma trận của II p đối với cơ sở {X u , X v } là  L M M N  . Từ −L =< n u , X u >=< aX u + bX v , X u >= aE + bF , −M =< n u , X v >=< aX u + bX v , X v >= aF + bG, −M =< n v , X u >=< cX u + dX v , X u >= cE + dF , −N =< n v , X v >=< cX u + dX v , X v >= cF + dG. Suy ra −  L M M N  =  a b c d  E F F G  . Do đó  a b c d  = −  L M M N  E F F G  −1 .  Nhận xét: Chú ý rằng  E F F G  −1 = 1 EG − F 2  G −F −F E  . Từ đó, ta có công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình là: K = LN − M 2 EG − F 2 , H = 1 2 LG − 2MF + NE EG − F 2 . 5 Hệ quả 1.4.2.2. Nếu mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ là các đường chính thì F = M = 0 và ta có các độ cong chính k 1 = − L E và k 2 = − N G . Ngược lại, nếu F = M = 0 thì các đường tọa độ là các đường chính. Chứng minh: Giả sử mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ là các đường chính. Khi đó: F =< X u , X v >= 0, M = − < Dn p (X u ), X v >= − < k 1 X u , X v >= −k 1 < X u , X v >= 0, L = − < Dn p (X u ), X u >= −k 1 |X u | 2 = −k 1 E. Suy ra k 1 = − L E . Từ N = − < Dn p (X v ), X v >= −k 2 |X v | 2 = −k 2 G, ta có k 2 = − N G . Ngược lại, giả sử F = M = 0. Với F = 0, ta có < X u , X v >= 0, Ngoài ra Dn p (X u ) = aX u + bX v và M = 0 Nên 0 =< Dn p (X u ), X v >=< aX u + bX v , X v > = a < X u , X v > +b < X v , X v >= aF + bG = bG. Hay b = 0. Suy ra Dn p (X u ) = aX u . Do đó, đường tọa độ v = v 0 là đường chính. Tương tự ta cũng có đường tọa độ u = u 0 là đường chính.  1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt 1.5.1 Mặt kẻ Cho α, ω : I → R 3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và ω(u) = 0 với mọi u ∈ I. Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm, còn ω(u), u ∈ I là các vector trong R 3 . Mặt tham số X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và ω. Các đường thẳng đi qua α(u) với vector chỉ phương ω(u) là các đường sinh và đường cong α(u) là đường chuẩn. 1.5.2 Mặt dẹt Mặt tham số chính qui X : U → R 3 được gọi là mặt dẹt nếu độ cong Gauss tại mọi điểm bằng 0. 6 1.6 Các mặt đẳng cự Chúng ta nói mặt tham số chính qui S đẳng cự địa phương với mặt tham số chính qui S ∗ nếu với mỗi p ∈ S, tồn tại một tham số hóa chính qui X : U → S với X(u 0 , v 0 ) = p và một tham số hóa chính qui X ∗ : U → S ∗ (U là tập mở trong R 2 ) thỏa mãn I p = I ∗ p ∗ với p = X(u, v) và p ∗ = X ∗ (u, v), (u, v) ∈ U. 7 [...]... KẾT LUẬN Trong khóa luận này, chúng tôi đã thu được một số kết quả thể hiện trong chương 2, cụ thể như sau: 1 Khảo sát hệ phương trình Gauss-Codazzi của mặt chính qui trong R3 , một số hệ quả có được từ các phương trình này và ứng dụng để xác định độ cong Gauss theo các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất qua một số ví dụ 2 Trình bày định lý cơ bản của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định mặt dựa vào dạng...Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, trước hết chúng tôi tập trung tìm hiểu phương trình Gauss-Codazzi, các hệ quả có được từ các phương trình này và ứng dụng để tính độ cong Gauss của một số mặt chỉ với hệ số của dạng cơ bản thứ nhất Tiếp đó chúng tôi giới thiệu định lý cơ bản của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất,... dạng toàn phương tùy ý, (a) là dạng toàn phương xác định dương Nếu các hệ số của các dạng toàn phương này thỏa mãn phương trình Gauss-Codazzi thì tồn tại và duy nhất (sai khác một phép dời hình trong không gian) một mặt nhận các dạng (a), (b) làm dạng cơ bản I và II Chứng minh: áp dụng định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, người ta chứng minh được hệ phương trình vi... =− = EK 2 2 f (u) f (u) f (u) Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng 17 2.2 Các hệ quả Hệ quả 2.2.1 ([4 Theorem 3.1]) Độ cong Gauss của mặt được xác định chỉ với dạng cơ bản thứ nhất Nói cách khác K có thể biểu diễn qua E, F , G và các đạo hàm của chúng Chứng minh: Từ bất kỳ phương trình nào của các phương trình Gauss, ta thấy rằng K có thể biểu... hệ số đã cho không thỏa mãn phương trình Codazzi nên không tồn tại mặt tham số nhận chúng làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai Định lý trên đã nói đến sự tồn tại của mặt nhận các dạng toàn phương cho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm phương trình của các mặt đó trong một số trường hợp đơn giản qua ví dụ sau Ví dụ 2.3.1.2 Trong mỗi trường hợp, xác định mặt tham số nhận... như trên và sử dụng phương trình thứ hai của các phương trình Codazzi ta cũng có 1 (EG − F 2 )(ln |K|)v − F Eu + EGv = 0 2 Hệ quả 2.2.7 ([2, chương 3]) Cho mặt tham số có lưới tọa độ trên mặt là các đường chính Khi đó các phương trình Codazzi có dạng: Lv = HEv , Nu = HGu , trong đó H là độ cong trung bình của mặt Chứng minh: Lưới tọa độ trên mặt là các đường chính nên F = M = 0 Từ phương trình thứ... hàm Γ• được gọi là các kí hiệu Christoffel •• Dựa vào các phương trình (1), (2), (3) ta có kết quả quan trọng sau đây: Mệnh đề 2.1.1 ([4 Section 3, Chapter 2]): Cho S là một mặt chính 8 qui với X : U → S là một tham số hóa địa phương và Xu , Xv , n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v) Khi đó ta có: Các phương trình Gauss: EK = (Γv )v − (Γv )u + Γu Γv + Γv Γv... thứ nhất, thứ hai của một số mặt đơn giản Từ đó, ứng dụng để xác định mặt tròn xoay nhận giá trị độ cong Gauss bằng không, hằng âm, hằng dương Do điều kiện không cho phép, trong khóa luận này tôi chưa nêu được phương pháp ứng dụng định lý cơ bản của lý thuyết mặt để xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai cho trường hợp tổng quát Do khả năng và thời gian có hạn nên khóa luận này không thể tránh... α12 η ζv = α21 ξ + α22 η tồn tại và duy nhất nghiệm nếu như các hệ số của hai dạng toàn phương đã cho thỏa mãn điều kiện Gauss-Codazzi Chú ý rằng các Γ• biểu diễn qua hệ số của hai dạng toàn phương đã cho và •• α11 = −LG + M F LF + M E NF − MG −N E + M F ; α12 = ; α21 = ; α22 = 2 2 2 EG − F EG − F EG − F EG − F 2 Bây giờ, ta sẽ chứng minh mặt xác định bởi hệ phương trình vi phân trên nhận (a), (b)... âm Các khái niệm và kết quả được nói đến ở đây được tham khảo trong các tài liệu [2], [4] 2.1 Phương trình Gauss- Codazzi Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa phương của S Kí hiệu Xu , Xv , n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v) Tương tự như các công thức Frénet đối với đường cong, do các vector Xu , Xv , n lập thành một cơ sở trong không