2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2.3.2 Mặt tuyến tính
Mặt S được gọi là mặt tuyến tính sơ cấp nếu qua mỗi điểm p của mặt kẻ được một đường thẳng có chung một đoạn thẳng (chứa p) với mặt nhưng hai đầu mút của đoạn thẳng không thuộc mặt.
Ví dụ 2.3.2.1. Giả sử α(u), ω(u) là hai hàm vector xác định trong lân cận điểm u = u0, thỏa mãn ω(u0) 6= 0, ω(u0)∧α(u0) 6= −→
0. Khi đó, phương trình vector:
X(u, v) = α(u) +vω(u), |u−u0| < ε, |v| < ε với ε đủ nhỏ xác định một mặt tuyến tính sơ cấp.
Chứng minh:
Ta có Xu∧ Xv 6= −→
0 với ε đủ nhỏ vì khi (u, v) = (u0,0) thì Xu∧ Xv = α(u0)∧ω(u0)6=−→
0.
Mặt này là mặt tuyến tính sơ cấp vì qua điểm tùy ý (u0, v0) có đường thẳngM: α(u0) +vω(u0), có chung đoạn thẳng xác định bởi |v| ≤ ε với mặt nhưng hai đầu mút của đoạn thẳng này không thuộc mặt.
Mặt S được gọi là mặt tuyến tính tổng quát nếu tại mỗi điểm của nó có lân cận là mặt tuyến tính sơ cấp.
Các đoạn thẳng nằm trên mặt tuyến tính được gọi là các đường sinh thẳng. Vì mỗi điểm của mặt tuyến tính đều có đường sinh thẳng đi qua nên tại mỗi điểm của mặt tuyến tính đều có phương mà theo đó độ cong pháp dạng bằng 0.
Từ đó, mặt tuyến tính không có điểm eliptic, độ cong Gauss của nó luôn âm hoặc bằng 0, các đường sinh thẳng đều là các đường tiệm cận.
Một tính chất cơ bản của mặt tuyến tính là tại lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm trên mặt tuyến tính đều tồn tại tham số hóa dạngX(u, v) = α(u)+vω(u). Có một lớp quan trọng các mặt tuyến tính là mặt khả triển. Mặt S được gọi là mặt khả triển nếu nó đẳng cấu địa phương với mặt phẳng, tức là tại mỗi điểm của mặt có lân cận đẳng cấu với một miền trong mặt phẳng. Như thế, độ cong Gauss tại mỗi điểm bằng 0 là cần và đủ để một mặt thành mặt khả triển.
Giả sử S(Fα) là họ mặt trơn một tham số. Mặt trơn F được gọi là hình bao của họ S nếu tại mỗi điểm, F tiếp xúc với ít nhất một mặt của họ và tại mỗi miền của mặt có vô số mặt của họ tiếp xúc với nó.
Từ đó, ta có các kết quả sau:
Bổ đề ([2, Định lý 3.1.7]): Hình bao của họ các mặt phẳng một tham số trong các trường hợp cơ bản hoặc là mặt trụ hoặc là mặt nón hoặc là mặt tạo bởi các tiếp tuyến của một đường cong trong không gian.
Hệ quả 2.3.2.1. ([2, nhận xét 3.4.4]) Mặt là hình bao của họ mặt phẳng một tham số luôn luôn là mặt khả triển.
Hệ quả 2.3.2.2. ([2, nhận xét 3.4.4]) Mặt khả triển là mặt tuyến tính mà mặt phẳng tiếp xúc dọc theo các đường sinh thẳng không thay đổi.
Chứng minh:
Chọn một tham số hóa địa phương của mặt là X(u, v) = α(u) +vω(u). Mặt phẳng tiếp xúc dọc theo đường sinh thẳng không thay đổi nên n là hằng số. Do đó nv = 0.
Khi đó N = − < Dnp(Xv), Xv >=− < nv, Xv >= 0. M = − < Dnp(Xv), Xu >=− < nv, Xu >= 0.
Từ đây suy ra K = LN −M2
EG−F2 = 0.
Vậy mặt khả triển là mặt tuyến tính mà mặt phẳng tiếp xúc dọc theo các đường sinh thẳng không thay đổi.