BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LÀNH TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LÀNH TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý SƠN LA, NĂM 2013 Lời cảm ơn! Trong quá trình hoàn thành khóa luận này tôi luôn nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo tận tình của Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí - Tin, phòng đào tạo, phòng quản lý khoa học và quan hệ quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc. Cùng các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Tân Lạc, trường THPT Mường Bi, sự động viên và góp ý của các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận. Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Lành BẢNG KÍ HIỆU CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt và kí hiệu Nghĩa DH Dạy học ĐH Đại học GV Giáo viên HĐ Hoạt động HS Học sinh NXB ĐHSP Nhà xuất bản đại học sư phạm NXB GD Nhà xuất bản giáo dục PP Phương pháp SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................... 2 4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................... 2 5. Phạm vi nghiên cứu ...................................................................................... 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 3 7. Cấu trúc khóa luận ....................................................................................... 3 8. Đóng góp của khóa luận ............................................................................... 3 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 4 1.1. Cơ sở lí luận ............................................................................................... 4 1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập Toán học .................................................... 4 1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học .................................... 4 1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán ................................................ 5 1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán .............................................................. 6 1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn .................................................... 6 1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................... 8 1.2.1. Điều tra giáo viên .................................................................................... 9 1.2.2. Điều tra đối với học sinh. ...................................................................... 12 CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT ...................... 14 2.1. Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức ................................. 14 2.2. Bài toán 2: Tìm số hạng trong khai triển Niu-tơn ................................. 16 2.3. Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn ...................................... 19 2.3.1. Tìm hệ số của k x trong khai triển nhị thức ........................................... 19 2.3.2. Xác định hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Niu-tơn. .......... 23 2.4. Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức chứa tổ hợp ................................... 26 2.4.1. Trực tiếp khai triển nhị thức Niu-tơn.................................................... 26 2.4.2. Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 .................................................................. 28 2.4.3. Dùng tích phân ...................................................................................... 30 2.5. Bài toán 5: Tính tổng một biểu thức chứa tổ hợp .................................. 33 2.5.1. Sử dụng trực tiếp khai triển Niu-tơn ..................................................... 34 2.5.2. Dùng đạo hàm cấp 1, 2 .......................................................................... 36 2.5.3. Dùng tích phân ...................................................................................... 39 2.5.4. Dùng số phức......................................................................................... 42 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 47 3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 47 3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 47 3.3. Phương pháp thực nghiệm ...................................................................... 47 3.4. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 47 3.5. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................... 48 3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................ 48 3.6.1. Biện pháp .............................................................................................. 48 3.6.2. Kết quả .................................................................................................. 48 3.7. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ............................................................... 50 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thời đại chúng ta đang sống, nhân loại đang bước vào ngưỡng cửa của nền kinh tế tri thức mà cơ sở của nó là sự phát triển mạnh mẽ như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ. Những phát minh khoa học được áp dụng nhanh vào sản xuất vật chất và tinh thần. Các thành tựu khoa học - kĩ thuật - công nghệ trên không chỉ làm biến đổi quá trình sản xuất của xã hội mà còn kéo theo sự thay đổi cả nội dung, phương pháp và quá trình giảng dạy, học tập ở mọi cấp học trong nền giáo dục các nước, kéo nhà trường vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, biến nhà trường thành trung tâm nghiên cứu, phát minh, tạo ra và ứng dụng những thành tựu khoa học đó. Mô hình, nội dung và phương pháp giáo dục truyền thống “Học một lần để có kiến thức sử dụng suốt đời” không còn phù hợp. Do vậy, động lực của nghiên cứu khoa học và ứng dụng những kết quả của những phát minh mới của khoa học chính là những đòi hỏi bức bách của cuộc sống vật chất và tinh thần con người hiện nay. Giáo dục đào tạo ngày nay không chỉ phục vụ cuộc sống mà còn là cơ sở để con người phát hiện ra những năng lực tiềm ẩn trong bản thân mình, khẳng định những năng lực ấy bằng đổi mới bản thân, tạo ra con người mới, cuộc sống mới. Những năm gần đây, tình hình dạy học môn toán ở trường THPT đạt được những thành tựu đáng kể qua các kì thi học sinh giỏi và thi Đại học. Tuy nhiên, thực trạng dạy và học môn Toán còn không ít vấn đề cần khắc phục. Trong quá trình dạy học môn Toán để nâng cao chất lượng dạy học và khả năng nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau. Trong đó giải bài tập toán là một trong những nội dung có tác dụng tích cực đối với việc giáo dục và rèn luyện, phát triển trí tuệ cho học sinh. Mặt khác nội dung này cũng là thước đo để đánh giá thực chất khả năng nắm vững kiến thức và kĩ năng thực hành của học sinh. Trong chương trình toán THPT các bài toán về nhị thức Niu-tơn luôn được quan tâm và là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương “Tổ hợp và xác suất”. Các bài toán liên quan đến “Nhị thức Niu-tơn” rất đa dạng và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình Toán ở trường THPT. 2 Trong những năm gần đây trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào các trường đại học và cao đẳng, thường thấy xuất hiện các bài toán phải vận dụng đến công thức “Nhị thức Niu-tơn” để giải, do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tình huống cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này. Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một số dạng toán với số mũ nguyên. Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết. Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận: “Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình Toán THPT” nhằm giúp học sinh có được hướng tiếp cận dễ dàng hơn đối với những bài toán về “Nhị thức Niu-tơn”, để từ đó nâng cao khả năng giải toán và hứng thú học tập cho học sinh. Bên cạnh đó đề tài này cũng giúp tôi - giáo viên Toán tương lai, hiểu hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu việc vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” vào việc giải các bài toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan. - Tìm hiểu, phân dạng một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn. - Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nhị thức Niu-tơn” trong việc giải một số bài toán ở THPT. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả. 4. Đối tượng nghiên cứu Một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình toán THPT. 5. Phạm vi nghiên cứu Toán lớp 11.
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ LÀNH
TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA, NĂM 2013
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ LÀNH
TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Hải Lý
Trang 3Lời cảm ơn!
Trong quá trình hoàn thành khóa luận này tôi luôn nhận được sự giúp
đỡ và chỉ bảo tận tình của Cô giáo - ThS Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Lí - Tin, phòng đào tạo, phòng quản lý khoa học và quan
hệ quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc Cùng các thầy cô giáo và các
em học sinh trường THPT Tân Lạc, trường THPT Mường Bi, sự động viên và
góp ý của các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô giáo - ThS Nguyễn Hải Lý,
các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ tôi
trong quá trình hoàn thành khóa luận
Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhưng không thể tránh khỏi những thiếu
sót Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh
viên để khóa luận này hoàn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Lành
Trang 5
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích nghiên cứu 2
3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4 Đối tượng nghiên cứu 2
5 Phạm vi nghiên cứu 2
6 Phương pháp nghiên cứu 3
7 Cấu trúc khóa luận 3
8 Đóng góp của khóa luận 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1 Cơ sở lí luận 4
1.1.1 Vị trí chức năng của bài tập Toán học 4
1.1.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 4
1.1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán 5
1.1.4 Yêu cầu đối với lời giải bài toán 6
1.1.5 Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn 6
1.2 Cơ sở thực tiễn 8
1.2.1 Điều tra giáo viên 9
1.2.2 Điều tra đối với học sinh 12
CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT 14
2.1 Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức 14
2.2 Bài toán 2: Tìm số hạng trong khai triển Niu-tơn 16
2.3 Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn 19
2.3.1 Tìm hệ số của xktrong khai triển nhị thức 19
2.3.2 Xác định hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Niu-tơn 23
2.4 Bài toán 4: Chứng minh đẳng thức chứa tổ hợp 26
Trang 62.4.1 Trực tiếp khai triển nhị thức Niu-tơn 26
2.4.2 Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2 28
2.4.3 Dùng tích phân 30
2.5 Bài toán 5: Tính tổng một biểu thức chứa tổ hợp 33
2.5.1 Sử dụng trực tiếp khai triển Niu-tơn 34
2.5.2 Dùng đạo hàm cấp 1, 2 36
2.5.3 Dùng tích phân 39
2.5.4 Dùng số phức 42
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 47
3.1 Mục đích thực nghiệm 47
3.2 Nội dung thực nghiệm 47
3.3 Phương pháp thực nghiệm 47
3.4 Đối tượng thực nghiệm 47
3.5 Tổ chức thực nghiệm 48
3.6 Đánh giá kết quả thực nghiệm 48
3.6.1 Biện pháp 48
3.6.2 Kết quả 48
3.7 Kết luận rút ra từ thực nghiệm 50
KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Trong thời đại chúng ta đang sống, nhân loại đang bước vào ngưỡng cửa của nền kinh tế tri thức mà cơ sở của nó là sự phát triển mạnh mẽ như vũ bão
của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ Những phát minh khoa học được áp
dụng nhanh vào sản xuất vật chất và tinh thần
Các thành tựu khoa học - kĩ thuật - công nghệ trên không chỉ làm biến đổi
quá trình sản xuất của xã hội mà còn kéo theo sự thay đổi cả nội dung, phương pháp và quá trình giảng dạy, học tập ở mọi cấp học trong nền giáo dục các nước, kéo nhà trường vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, biến nhà trường thành trung tâm nghiên cứu, phát minh, tạo ra và ứng dụng những thành tựu khoa học đó
Mô hình, nội dung và phương pháp giáo dục truyền thống “Học một lần
để có kiến thức sử dụng suốt đời” không còn phù hợp
Do vậy, động lực của nghiên cứu khoa học và ứng dụng những kết quả của những phát minh mới của khoa học chính là những đòi hỏi bức bách của cuộc sống vật chất và tinh thần con người hiện nay
Giáo dục đào tạo ngày nay không chỉ phục vụ cuộc sống mà còn là cơ
sở để con người phát hiện ra những năng lực tiềm ẩn trong bản thân mình, khẳng định những năng lực ấy bằng đổi mới bản thân, tạo ra con người mới, cuộc sống mới
Những năm gần đây, tình hình dạy học môn toán ở trường THPT đạt được những thành tựu đáng kể qua các kì thi học sinh giỏi và thi Đại học Tuy nhiên, thực trạng dạy và học môn Toán còn không ít vấn đề cần khắc phục
Trong quá trình dạy học môn Toán để nâng cao chất lượng dạy học và khả năng nhận thức của học sinh bằng nhiều biện pháp và nhiều phương pháp khác nhau Trong đó giải bài tập toán là một trong những nội dung có tác dụng tích cực đối với việc giáo dục và rèn luyện, phát triển trí tuệ cho học sinh Mặt khác nội dung này cũng là thước đo để đánh giá thực chất khả năng nắm vững kiến thức và kĩ năng thực hành của học sinh
Trong chương trình toán THPT các bài toán về nhị thức Niu-tơn luôn được quan tâm và là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương “Tổ hợp và xác suất” Các bài toán liên quan đến “Nhị thức Niu-tơn” rất đa dạng và cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình Toán ở trường THPT
Trang 8Trong những năm gần đây trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào các trường đại học và cao đẳng, thường thấy xuất hiện các bài toán phải vận dụng
tượng học sinh không đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra một số tình huống
cơ bản của bài toán này, vì vậy học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giải các bài toán này
Mặt khác theo chương trình mới, thì kiến thức ở chương trình 11 chỉ giải được một số dạng toán với số mũ nguyên
Đối với đối tượng là học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” một cách hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết
Với lí do trên, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận: “Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình Toán THPT” nhằm giúp học sinh có được hướng tiếp cận dễ dàng hơn đối với những bài toán về “Nhị thức Niu-tơn”, để từ đó nâng cao khả năng giải toán và hứng thú học tập cho học sinh Bên cạnh đó đề tài này cũng giúp tôi - giáo viên Toán tương lai, hiểu hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình thực hành nghề nghiệp của mình
2 Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu việc vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” vào
việc giải các bài toán liên quan
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan
- Tìm hiểu, phân dạng một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nhị thức Niu-tơn” trong việc giải một số bài toán ở THPT
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả
4 Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình toán
THPT
5 Phạm vi nghiên cứu
Trang 96 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp Điều tra - Quan sát
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
7 Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục, tài liệu tham khảo khóa
luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong
chương trình toán THPT
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm
8 Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các giáo viên và học sinh ở trường phổ
thông, giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn
một cách linh hoạt sáng tạo
Trang 10CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận
1.1.1 Vị trí chức năng của bài tập Toán học
+ Vị trí: Ta biết rằng dạy học Toán học là dạy HĐ toán học Đối với HS có thể xem việc giải bài tập toán học là hình thức chủ yếu của HĐ toán học HĐ giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích DH toán Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quan trọng quyết định đối với chất lượng DH toán
+ Chức năng: Trong môn Toán, các bài tập mang các chức năng sau:
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH
duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới
HS, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành tư duy khoa học
học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS
Hiệu quả của việc DH toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập toán học Các chức năng của mỗi bài tập phụ thuộc vào nội dung cũng như PP khai thác lời giải của
nó Điều đó định hướng việc lựa chọn bài tập của GV, tránh tìm ra bài tập cho HS một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần túy
1.1.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Ở bất cứ nội dung toán học nào cũng đều có cơ sở lý thuyết và phần bài tập tương ứng Dựa vào lý thuyết để giải quyết các bài tập Ngược lại bài tập có tác dụng củng cố lý thuyết, giúp HS hiểu và nắm chắc hơn về lý thuyết Trong dạy học nhất thiết phải có bài tập
Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán Căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
Trang 11hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ
Vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện:
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng trong thực tiễn
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành phẩm chất trí tuệ
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm chất đạo đức của con người lao động mới
- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương diện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần
lý thuyết
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chức cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu
Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư duy khoa học mà còn kiểm tra mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh
1.1.3 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán
Không có một phương pháp giải chung nào cho mọi bài tập mà chỉ có những gợi ý về cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán Những gợi ý chi tiết về phương pháp chung giải bài tập toán (theo Pôlya) gồm bốn bước sau:
Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài
Bước 2 Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Trang 12Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lý nhất
Bước 3 Trình bày lời giải
Từ cách giải đó được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó
Bước 4 Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
1.1.4 Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu đối với lời giải Nói một cách vắn tắt lời giải cần đạt được một số yêu cầu sau:
+) Lời giải không có sai lầm
+) Lập luận phải lôgic, phải có căn cứ chính xác, cô đọng, xúc tích
+) Lời giải phải đầy đủ, phải gọn gàng, dễ hiểu
Ngoài ba yêu cầu trên trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải đơn giản nhất, ngắn gọn nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí
Trang 13- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
Trang 14d Tam giác Paxcan và hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn
Lạc - Hòa Bình) và THPT Mường Bi (Tân Lạc - Hòa Bình) đối với 2 đối tượng:
Giáo viên và học sinh
Quá trình điều tra thu được kết quả như sau:
Trang 151.2.1 Điều tra giáo viên
Bảng 1
Tên
Trường
Số lượng giáo viên
Nhận xét: Qua bảng điều tra trên ta thấy giáo viên của cả 2 trường đều
đạt trình độ ĐH theo đúng quy định của Luật giáo dục Đa số giáo viên có tuổi nghề từ 1 - 10 năm, cùng với lòng yêu nghề và nhiệt huyết của tuổi trẻ họ luôn tìm tòi, sáng tạo, vận dụng một cách hiệu quả các phương pháp dạy học tích cực vào quá trình giảng dạy Tuy nhiên do tuổi nghề còn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm, đây là một hạn chế Bên cạnh đó một số giáo viên có thâm niên công tác trên 20 năm nên có kinh nghiệm giảng dạy, trình độ chuyên môn khá vững
Trang 16Bảng 2
Tân Lạc
THPT Mường Bi
Nhận xét: Qua bảng thống kê trên ta thấy đa số giáo viên cho rằng phân
phối chương trình môn Toán và phân phối chương trình phần “Nhị thức Niu-tơn” môn Đại số và giải tích 11 ở bậc THPT là phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và thời gian của một tiết học
Trang 17Bảng 3
Tân Lạc
THPT Mường
Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy đa số giáo viên khi dạy học phần
“Nhị thức Niu-tơn” đều chưa chú trọng tới việc phân dạng bài tập cho học sinh
Vì thế khi gặp các bài toán về “Nhị thức Niu-tơn” học sinh ít xác định được hướng giải và khi gặp dạng bài tập này thì hầu như giáo viên đều giải toán theo kiểu: GV giải, học sinh chép
Trang 181.2.2 Điều tra đối với học sinh
Dân tộc thiểu
Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy cả hai lớp ở hai trường điều tra đều
có lực học tương đối tốt, tuy nhiên do đa số các em đều là học sinh thiểu số nên
số học sinh đạt loại khá giỏi còn chưa cao, kết quả học tập của trường THPT Mường Bi có phần trội hơn so với trường THPT Tân Lạc, có sự chênh lệch đó là
do hoàn cảnh và điều kiện của mỗi trường là khác nhau Trường THPT Tân Lạc
vì kinh nghiệm quản lí còn chưa thực sự vững mạnh, đội ngũ giáo viên còn non trẻ nên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy Hầu hết cơ sở vật chất của cả hai trường đều còn nhiều khó khăn, các em học sinh đều ở ngoại trú, hoàn cảnh và điều kiện sống chưa đảm bảo nên chưa có đầy đủ điều kiện để học tập
Trang 19Bảng 5
Tân Lạc
THPT Mường Bi
Làm bài tập khi chưa
Nắm vững dạng bài tập
Nhận xét: Hầu hết các học sinh chưa biết phân dạng bài tập nên gặp nhiều
khó khăn khi làm các bài toán về “Nhị thức Niu-tơn”, như vậy để làm tốt dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các bước giải và phân loại bài tập
Trang 20CHƯƠNG 2 TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NIU-TƠN
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT
2.1 Bài toán 1: Khai triển lũy thừa của các biểu thức
- Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn để khai triển biểu thức đã biến đổi
Chú ý:
Trang 21Nhận xét: Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), tuy nhiên
trong một số khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng
hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pax-can để khai triển:
Từ tam giác Pax-can ta thấy hệ số khai triển lũy thừa 5 là:
Trang 22Nhận xét: Khi giải bài toán trên ta có thể áp dụng cho 2
Trang 24Ví dụ 3 Trong khai triển
n 28
Trang 252 3
d) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển
16
2xx
2.3 Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn
- Viết khai triển Niu-tơn (1) với a, b được chọn từ đầu bài Trong một số trường hợp phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương trình
Trang 27Để có số hạng chứa x4 trong khai triển P(x) thì:
kiện nào đó của bài toán)
4
Ví dụ 3 Xác định hệ số của số hạng chứa x11trong khai triển
n
2 1xx
Trang 28Ví dụ 4 Tìm hệ số của số hạng chứa 26
n 7 4
1xx
Trang 29 Bài tập đề nghị
6
2xx
của 3 số hạng đầu tiên bằng 11
n 5 3
1
xx
(Đại học khối A năm 2004)
2.3.2 Xác định hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Niu-tơn
Trong một khai triển thành đa thức:
(Ở đây sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn)
