Khoá luận tốt nghiệp biểu diễn của một số nhóm đối xứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ Đ À O TẠO T RƯỜNG Đ Ạ I HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ N g u y ễn Thị Xuân BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM Đ ố i XỨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đ Ạ I HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết N g ư ờ i hư ớn g dẫn khoa học: TS. N gu yễn H uy Thảo Hà N ội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đ ầ u tiên của khóa luận tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo h ư ớ n g d ẫ n TS.Nguyễn H u y Thảo. Thầy đã tận tình h ư ớ n g d ẫ n tôi trong quá trình ho àn th à n h khóa luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn của m ìn h tới các thầy cô giáo tron g khoa Vật Lý trư ờ n g Đại học Sư p h ạ m H à Nội 2 đ ã giảng dạy và giú p đ ỡ c h ú n g tôi trong suốt q u á trình học tập tại khoa. Đ ồn g thời, tôi cũng xin đư ợc gửi lời cảm ơn chân th à n h tới gia đ ìn h , b ạn bè đã luôn b ên tôi, cổ vũ, đ ộ n g viên, giú p đ ỡ tôi trong suốt q u á trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên N g u y ễ n T h ị Xuân. 2 LỜI CAM ĐOAN Được sự h ư ớ n g d ẫn tận tình của TS. N g u y ễ n H u y Thảo và sự nỗ lực của b ả n thân, tôi đã h o àn th àn h kh óa lu ận này. Tôi xin cam đ o an đây là công trình của riêng tôi, k h ô n g trù n g với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây. N ếu sai tôi xin ho àn toàn chịu trách nhiệm . Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên N g u y ễ n T h ị Xuân. 3 Mục lục • • Lởi cam đoanl................................................... 3 C h ư ơ ng l . l c ơ S Ở LÝ T HUY ẾT 5 nhỏm 1 .1 . Các khái niêm cơ sở về n h ó m và ví d u 5 1 .2 . Ví d u . n h ó m con 7 1.3. Bổ đề sắp xếp lai, đ ẳ n g cấu, n h ổ m á ố i x ứ n g (hoán vi) 9 1.4. Các lớp kề và các n h ổ m con b ất biến 12 1.5. Lớp kề và n h ổ m th ư ơ n g 12 1 .6 . Đ ồ n ^ cấu 13 1.7. Tích trưc tiếp 14 1 .8 . Khái niêm n h ó m đối x ứ n ẹ l.......................................................................................... 14 1.9. M ỏt số n h ó m đối xứ n g trong vầt líl........................................................................... 14 C h ư ơ ng 2.ỈBIỂU DIỄN CỦA M Ộ T s ố N H Ỏ M Đ ố ĩ XỨNG .............................. 2.1 Biểu diễn n h ó m 17 17 2.1.1. Biểu diễn đơn v i .............................................................................................................. 19 2.1.2 . Biể]q_diễĩi_chírih_auỵ..................................................................................................... 19 2.1.3. Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đươngl ........................................... 21 2.1.4. Biểu diễn U nita............................................................................................................... 23 2.1.5. Bổ đề S ch u r..................................................................................................................... 25 2.2 Biểu diễn của m ỏt số n h ổ m đối xứngl....................................................................... 27 2 .2 .1 . Các biểu diễn môt chiềul............................................................................................... 27 2.2.2 . Nhóm hoán vi của n vât thể .................................................................. 28 2.2.3. Các .................................................................. 29 2.2.4. Sơ đồ Youne .................................................................. 31 2.2.5. Sơ đồ Young và các biểu diễn của s„ .................................................................. 32 1Ớ P l i ê n Iơ p 1 C h ư ơng 3. M ỐT s ố BÀI TOÁN ỨNG D U N G 3.1. M ột số bài toán về biểu d iễn n h ó m 36 36 3.1.1. Tìm biểu diễn chính quv của n hóm S- 36 3.1.2. Tìm biểu diễn hai chiều của 39 3.1.3. Tìm đăc biểu của nhổm Sr 40 3.2 Sử dun% sơ đồ Youn% tìm các lớp liên h ợ p của S-Ì.S 42 3.2.1. Tìm các 1ÓP liên hơp của nhổm S'.t 42 sI 43 3.2.2. Tìm các lớp liên hợp của nhổm KẾT LUÂN 45 TÀI LIỄU THAM KHẢO 46 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khi ng h iên cứu các đối tư ợ ng vật lí ch ú n g ta th ư ờ n g gặp m ộ t tính chất rất đặc biệt đó là tính đối xứng, bao gồm: Tính chất đối xứ n g của k h ô n g gian và thời gian trong hệ q u y chiếu q u á n tính d ẫ n đ ế n các đ ịn h luật b ảo toàn n h ư đ ịn h lu ật bảo toàn n ă n g lượng, đ ịn h luật bảo toàn x ung lư ợng và đ ịn h luật b ảo toàn m ô m e n x un g lượng. Tính chất đối xứ n g của cấu trúc vật chất n h ư tinh thể, p h â n tử, các h ạ t cơ b ả n d ẫ n đ ế n n h ữ n g p h ư ơ n g p h á p p h â n loại các m ứ c n h ư m ứ c n ă n g lượng, m ứ c khối lượng hay m ộ t số đối tư ợ n g khác. Tính chất đối xứ n g của các đối tư ợ n g tự n hiên có th ể tính b ằ n g m ôn toán học trừ u tư ợ ng gọi là lý th u y ết n h óm . Lý th u y ế t n h ó m cung cấp ngôn n g ữ toán học tự n hiên đ ể m ô tả các tính chất của thế giới vật lí. Từ n ă m 1950 ứ n g d ụ n g của lý th u y ết n h ó m ngày càng trở n ên q u a n trọng trong lĩnh vực vật lí cũ n g n h ư các lĩnh vực khác của kho a học cuộc sống. N ó đ ó n g vai trò q u a n trọng trong việc k h ám p h á "các tính chất đối xứ n g bên trong của tự n h iên ". Các tính chất đối xứ n g và các n h ó m đối xứ ng là m ộ t p h ầ n q u a n trọng khi n g h iên cứ u về lý th u y ết n h ó m , là cơ sở của vật lí h ạt và có ứ n g d ụ n g rất n h iều trong vật lí lượng tử. P h ạm vi của kh óa lu ận tốt n g h iệp c ũ ng n h ư khả n ă n g chỉ cho p h é p tôi tìm hiểu m ột trong n h ữ n g vấn đề cơ b ản của lý th u y ế t n h ó m đó là m ộ t số n h ó m đối xứng. Xuất p h á t từ lý do trên tôi đ ã chọn đề tài: "BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ N H Ó M Đ ố i XỨNG". 3 2. Mục đích n gh iên cứu - Tìm hiểu các vấn đ ề cơ b ản về biểu diễn của m ộ t số n h ó m đối xứng. 3. N h iệm vụ nghiên cứu - Trình bày các khái niệm cơ sở của lý th u y ết nh ó m . - Trình bày các vấn đề cơ b ản về biểu diễn n h ó m và biểu d iễn m ộ t số n h ó m đối xứng. 4. Đ ố i tượng nghiên cứu - Cơ sở lý th uyết n h óm . 5. Phương pháp nghiên cứu - P h ư ơ n g p h á p vật lí lý thuy ết và vật lí toán. 4 Chương 1 C ơ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM 1.1. Các khái niệm cơ sở về nhóm và ví dụ Đ ị n h n g h ĩ a 1.1 M ột tập hợp {G : a, b, c...} đư ợc gọi là m ộ t n h ó m n ế u có m ộ t toán tử (.) gọi là p h é p n h â n n h ó m , thỏa m ã n 4 tính chất sau đây: i. Tính kín: Nếu a,b G G thì a.b € G. ii. Tính chất kết hợp a.(b.c) — (a.b).c với mọi a , b , c G G. iii. Giữa các phần tử của G, có một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất: a.e = a với mọi a € G. iv. Với mỗi phần tử a G G, có một phần tử a ~ l G G được gọi là nghịch đảo của a, nó có tính chất Й- 1 Й = e. Từ các tiên đề trong đ ịn h ngh ĩa n h ó m , ta có thể r ú t ra đư ợc các hệ quả: [...]... ồ n g nhất 16 Chương 2 BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM Đ ố i XỨNG 2.1 Biểu diễn nhóm Đ ịn h nghĩa 2.1 (biểu diễn của m ộ t n hóm ) N ếu m ộ t đ ồ n g cấu từ n h ó m G tới m ộ t n h ó m của các toán tử ư ( G ) trong k h ô n g gian vector tuyến tính V Ta nói rằng ỉi(G ) tạo th àn h m ộ t biểu diễn của n h ó m G s ố chiều của biểu diễn là số chiều của k h ô n g gian vector V M ột biểu diễn đ ược gọi là khớp... tiếp của các b iểu d iễn b ất khả quy" Đ ịn h lý 2.1: Tất cả các biểu diễn bất khả quỵ của nhóm chứa trong biểu diễn chính quy với một số lần bằng chiều biểu diễn của mình D (K) = Ỵ ^ n }lD fl ụ trong đó lĩụ là chiều của biểu diễn b ất khả q u y Dụ Đ in h lý Burnside: Chiều của các biểu diễn bất khả quy không tương đương thỏa mãn điều kiện sau: ụ tro ng đó: N là bậc của nhó m ìíụ là chiều của biểu diễn. .. ' là biểu diễn n ếu D là biểu diễn D và D ' được gọi là hai biểu d iễn tư ơ n g đ ư ơ n g bởi vì c h ú n g chỉ khác n h a u ở việc chọn cơ sở tầm thường Đ in h nghĩa 2.4 (Đặc biểu của m ột biểu diễn) Đặc biểu x ( g ) của ẹ £ G là m ột biểu diễn ư ( G ) đ ược đ ịn h nghĩa x ( g ) = T r U ( g ) (Tr= Trace: là tổng các p h ầ n tử trên đ ư ờ n g chéo chính) N ế u D (G ) là m ộ t m a trận biểu diễn của G... đ ược gọi là b iểu diễn chính q u y của G 2.1.3 Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương Đ ịn h nghĩa 2.3 (biểu diễn tư ơ ng đư ơng) Hai biểu d iễn của n h ó m G đư ợc th ự c hiện bởi p h é p biễn đổi tư ơ ng tự được gọi là hai p h é p biểu diễn tư ơ ng đ ư ơ n g Hai biểu diễn tư ơ ng đ ư ơ n g tạo th à n h m ộ t lớp tư ơng đư ơ ng Khi liệt kê các biểu d iễn có th ể của m ộ t n h ó m ta... G ) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G trong không gian vector V, và A là một toán tỉc bất kì trong V Nếu A giao hoán với tất cả các toán tử { u ( g ) ; g € G} v í dụ A U ( g ) = ư ( g ) A thì A phải là bội của toán tỉc đơn vị E A = ẢE (trong đó Ả là một số) Đ ịn h lí 2.4: Các biểu diễn bất khả quy của bất kì nhóm Abeỉ nào phải là một chiều C h ứ n g m in h : C ho ỉi(G ) là m ộ t biểu diễn b ất... là ê'j(g) là trong V 2 p h ầ n bù trực giao của Vị Vì với V vecto X G V 2 là m ột tổ hợp tuyến tính {é); ị = n-ị + 1 , }, ư (g ) IX ) cũng phải thu ộc v2 Vì vậy V 2 là k h ô n g gian con bất biến của V đối với U( G) Đ ịn h lí 2.3: M ọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn Unita C h ứ n g m in h : Giả sử D( g ) là m ộ t biểu diễn của n h ó m h ữ u h ạ n G Xây d ự n g m ộ t... 0 - 1, Các m a trận đó tạo th à n h m ộ t biểu diễn hai chiều của n h ó m Ũ 2 - 2.1.1 Biểu diễn đơn vị P hép biểu d iễn đơn vị là p h é p biểu diễn đặc biệt khi: D ( g ) = 1 với Vg G G 2.1.2 Biểu diễn chính quy Ví dụ: N h ó m Z 3 là m ộ t n h ó m h ữ u h ạ n gồm các p h ầ n tử Z 3 = {e, a, b} Bảng n h â n n h ó m của n h ó m z$: Đây làm ộ t cách biểu diễn của n h ó m z$ Ịl D( e) = \ 0 \o 0 0^\ ^0... (Biểu diễn b ất khả quy) C ho ư (g ) là m ộ t biểu diễn của G trong k h ôn g gian vector ư ( G ) là bất khả q u y n ếu V k h ông ch ứa m ột k h ô ng gian con bất biến k hô n g tầm th ư ờ n g nào đối với u (g ) N gượ c lại là biểu diễn k hả quy Trong trư ờ n g hợp th ứ hai n ế u p h ầ n bù trực giao của k h ô n g gian con bất biến đối với ư ( G ) thì nó cũn g là b ất biến đối với ư ( G ) thì biểu diễn. .. ch ứ n g m in h đư ợc đó là m ộ t biểu diễn Biểu diễn trên đư ợc gọi là biểu diễn chính qu y của n h ó m z $ Các m a trận của biểu diễn chính q u y được xây d ự n g n h ư sau: Đ ặt \\e) = \ e ì) ; Các p h ầ n tử của m a trận [D(g)]ịj = (ej I D ( g ) \cj) (|fl) gọi là vector ket, Ib) gọi là vector b ro w n ) từ đó r ú t ra đ ịn h nghĩa sau: Đ ịn h nghĩa 2.2 (Biểu diễn chính quy) Ta coi mỗi p h ầ n... (điều p h ả i ch ứ n g m inh) 2.2 Biểu diễn của một số nhóm đối xứng 2.2.1 Các biểu diễn m ột chiều Mọi n h ó m đối xứ n g S n có m ộ t n h ó m con b ất biến k h ô n g tầm th ư ờ n g A n bao gồm tất cả các ho án vị chẵn (m ột p h é p h o án vị chẵn là m ột h o án vị tư ơ ng đ ư ơ n g với số p h é p ho án vị là chẵn) N h ó m đó được gọi là n h ó m Alterative G ro u p (nhóm thay phiên) N h ó m th ư ơ n