Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
49
Dung lượng
319,16 KB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
Nguyễn Thị Xuân
BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Huy Thảo
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn
Huy Thảo. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Đồng thời, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Xuân.
2
LỜI CAM ĐOAN
Được sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân, tôi
đã hoàn thành khóa luận này. Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi, không
trùng với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây. Nếu sai tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Nguyễn Thị Xuân.
3
Mục lục
Lởi cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1. Các khái niệm cơ sở về nhóm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Ví dụ, nhóm con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Bổ đề sắp xếp lại, đẳng cấu, nhóm đối xứng (hoán vị) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4. Các lớp kề và các nhóm con bất biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5. Lớp kề và nhóm thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6. Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.7. Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8. Khái niệm nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.9. Một số nhóm đối xứng trong vật lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Chương 2. BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1. Biểu diễn đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.2. Biểu diễn chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.3. Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.4. Biểu diễn Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.5. Bổ đề Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2. Biểu diễn của một số nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.1. Các biểu diễn một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.2. Nhóm hoán vị của n vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.3. Các lớp liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2.4. Sơ đồ Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2.5. Sơ đồ Young và các biểu diễn của Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1
Chương 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1. Một số bài toán về biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.1. Tìm biểu diễn chính quy của nhóm S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.2. Tìm biểu diễn hai chiều của S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.1.3. Tìm đặc biểu của nhóm S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2. Sử dụng sơ đồ Young tìm các lớp liên hợp của S3 , S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.1. Tìm các lớp liên hợp của nhóm S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.2. Tìm các lớp liên hợp của nhóm S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các đối tượng vật lí chúng ta thường gặp một tính chất rất đặc
biệt đó là tính đối xứng, bao gồm:
Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong hệ quy chiếu quán tính
dẫn đến các định luật bảo toàn như định luật bảo toàn năng lượng, định luật bảo
toàn xung lượng và định luật bảo toàn mômen xung lượng.
Tính chất đối xứng của cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản
dẫn đến những phương pháp phân loại các mức như mức năng lượng, mức khối
lượng hay một số đối tượng khác.
Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể tính bằng môn toán học
trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ toán học
tự nhiên để mô tả các tính chất của thế giới vật lí. Từ năm 1950 ứng dụng của lý
thuyết nhóm ngày càng trở nên quan trọng trong lĩnh vực vật lí cũng như các lĩnh
vực khác của khoa học cuộc sống. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc khám
phá “các tính chất đối xứng bên trong của tự nhiên”. Các tính chất đối xứng và
các nhóm đối xứng là một phần quan trọng khi nghiên cứu về lý thuyết nhóm, là
cơ sở của vật lí hạt và có ứng dụng rất nhiều trong vật lí lượng tử.
Phạm vi của khóa luận tốt nghiệp cũng như khả năng chỉ cho phép tôi tìm hiểu
một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm đó là một số nhóm đối xứng.
Xuất phát từ lý do trên tôi đã chọn đề tài:
“BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG”.
3
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các vấn đề cơ bản về biểu diễn của một số nhóm đối xứng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày các khái niệm cơ sở của lý thuyết nhóm.
- Trình bày các vấn đề cơ bản về biểu diễn nhóm và biểu diễn một số nhóm đối
xứng.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Cơ sở lý thuyết nhóm.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán.
4
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM
1.1. Các khái niệm cơ sở về nhóm và ví dụ
Định nghĩa 1.1
Một tập hợp { G : a, b, c...} được gọi là một nhóm nếu có một toán tử (.) gọi là phép
nhân nhóm, thỏa mãn 4 tính chất sau đây:
i. Tính kín: Nếu a, b ∈ G thì a.b ∈ G.
ii. Tính chất kết hợp a.(b.c) = (a.b).c với mọi a, b, c ∈ G.
iii. Giữa các phần tử của G, có một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất:
a.e = a với mọi a ∈ G.
iv. Với mỗi phần tử a ∈ G, có một phần tử a−1 ∈ G được gọi là nghịch đảo của a, nó có tính
chất a−1 a = e.
Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quả:
e−1 = e; a−1 .a = e; e.a = a.
Ví dụ 1: Nhóm đơn giản nhất chỉ gồm 1 phần tử là phần tử đơn vị e. Phần tử nghịch
đảo của e là e và phép nhân nhóm theo quy tắc e.e = e. Dễ dàng thấy rằng nó thỏa mãn
cả 4 tính chất trên. Số 1 với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm, nó sẽ được
biểu thị bởi C1 .
Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo là nhóm có 2 phần tử, một trong số đó phải là phần
tử đơn vị chúng ta biểu thị chúng bởi e, a. Theo các tính chất của e chúng ta phải có
e.e = e; e.a = a.e = a do đó chỉ còn a.a là được quan tâm. Liệu a.a = e hay a.a = a?. Khả
năng thứ hai là không thể bởi vì khi nhân cả 2 vế với a−1 thì ta sẽ có a = e, điều này là
sai. Quy tắc nhân có thể được tổng quát một cách ngắn gọn trong bảng nhân nhóm sau
và nhóm này được kí hiệu là C2 . Nhóm C2 xuất hiện trong tất cả các ngành nghiên cứu
của vật lí học và toán học.
e
a
e
e
a
a
a
e
Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của nhóm C2 .
Hai ví dụ đơn giản đó là các ví dụ của nhóm Cycle Cn (nhóm tuần hoàn Cn ), nó có
cấu trúc chung {e, a, a2 , ...an−1 , an = e}, trong đó n là các số nguyên dương. Các hàng
và các cột của bảng nhân nhóm của một nhóm là hoán vị vòng quanh với nhau.
Ví dụ 3: Nhóm C3 : {e, a, a2 , a3 = e} hay C3 : {e, a, b}.
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm của nhóm C3 .
Định nghĩa 1.2 (nhóm Abel)
Nhóm Abel G là một nhóm mà phép nhân nhóm có tính chất giao hoán, có nghĩa là
a.b = b.a với mọi a, b ∈ G.
Định nghĩa 1.3 (bậc của nhóm)
Bậc của một nhóm bằng số phần tử của nhóm đó (nếu nhóm đó là hữu hạn).
Các nhóm tuần hoàn Cn đã mô tả ở trên có bậc n = (1, 2...) và chúng được gọi là nhóm
Abel.
Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là bậc 4. Nó thường được gọi là nhóm
bốn hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D2 .
6
Nếu chúng ta kí hiệu bốn phần tử bởi {e, a, b, c}. Ta có:
Ta xét hình vẽ đi kèm với đối xứng D2 sau và các phép đối xứng như sau:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
Bảng 1.3: Bảng nhân của nhóm D2 .
Hình 1.1:
i. Giữ nguyên hình không thay đổi.
ii. Phản xạ qua trục dọc (1,3).
iii. Phản xạ qua trục ngang (2,4).
iv. Quay hình xung quanh tâm một góc π trong không gian.
1.2. Ví dụ, nhóm con
Nhóm không Abel nhỏ nhất là bậc 6. Nó có thể được tạo ra từ các phép biến đổi đối
xứng của một hình biểu diễn ở hình bao gồm:
i. Biến đổi đồng nhất.
ii. Phản xạ qua trục (1, 1’); (2,2’); (3,3’).
iii. Quay xung quanh tâm các góc
2π
3
7
và
4π
3 .
Chú ý rằng tất cả 6 phép biến đổi trên giữ nguyên hình dạng của tam giác mà chỉ
thay đổi các kí hiệu điểm (1, 2, 3). Chúng tạo thành nhóm nhị diện D3 . Cụ thể, phản xạ
qua trục (3, 3’) dẫn tới sự thay đổi của 1 và 2 ... và cứ thế tiếp tục. Do đó chúng ta biểu
thị ba toán tử đó bởi (12), (23) và (31) tương ứng. Quay ngược chiều kim đồng hồ các
góc
2π
3
và
4π
3
sẽ dẫn tới sự hoán vị vòng quanh ba kí hiệu, chúng ta sẽ biểu thị chúng
bới (321) và (123) tương ứng.
G : {(12), (23), (31), (123), (321)} là một nhóm không Abel.
Hình 1.2:
Kết quả ta được bảng nhân nhóm của nhóm D3 (hoặc S3 ).
e
(12)
(23)
(31)
(123) (321)
e
e
(12)
(23)
(31)
(123) (321)
(12)
(12)
e
(23)
(23)
(321)
(31)
(31)
(123) (321)
(123) (321)
(23)
(31)
(123)
(31)
(12)
e
(12)
(23)
e
(123) (123)
(31)
(12)
(23)
(321)
e
(321) (321)
(23)
(31)
(12)
e
(123)
Bảng 1.4: Bảng nhân nhóm của nhóm D3 (hoặc S3 ).
8
Định nghĩa 1.4 (nhóm con)
Một tập con H của nhóm G nếu đồng thời cũng lại là một nhóm với quy tắc nhân
như của G được gọi là nhóm con của G.
Ví dụ 1: Nhóm D2 : {e, a, b, c}có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử {e, a};
{e, b}; {e, c} tương ứng. {e, a} trùng với nhóm C2 và hai tập con còn lại cũng vậy.
Ví dụ 2: Nhóm S3 Có bốn nhóm con riêng biệt bao gồm {e, (12)}; {e, (23)};{e, (31)};
{e, (123), (321)}. Ba nhóm đầu giống hệt nhóm C2 , nhóm còn lại giống với nhóm C3 .
Một số nhóm quan trọng.
n ).
i. Nhóm tuyến tính chung GL(n) bao gồm tất cả các ma trận khả nghịch Unita (n ×
ii. Nhóm Unita U (n) bao gồm tất cả các ma trận Unita. Các ma trận U (n × n) này
thỏa mãn U.U + = 1.
iii. Nhóm Unita đặc biệt SU (n) bao gồm các ma trận Unita với định thức bằng 1.
iv. Nhóm trực giao O(n) bao gồm các ma trận trực giao, các ma trận trực giao thỏa
mãn O.O T = 1, O T là ma trận trực giao của ma trận O.
Các nhóm đó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm và ứng dụng
trong rất nhiều lĩnh vực vật lí và toán học.
1.3. Bổ đề sắp xếp lại, đẳng cấu, nhóm đối xứng (hoán vị)
Bổ đề sắp xếp lại: Nếu p, b, c ∈ G và p.b = p.c thì b = c.
Chứng minh: Nhân cả hai vế của phương trình với p−1 ta được điều phải chứng minh.
Kết quả này có ý nghĩa là nếu b và c là các phần tử riêng biệt của G thì p.b và p.c cũng
riêng biệt. Vì vậy tất cả các phần tử của G được sắp xếp lại theo một trình tự, và nhân
vào bên trái phần tử đã cho p thì kết quả là trình tự được sắp xếp lại so với ban đầu.
Cũng theo cách này áp dụng cho phép nhân vào bên phải.
Chúng ta hãy xét trường hợp của một nhóm hữu hạn bậc n. Ta sẽ biểu thị các phần
tử của nhóm bởi { g1 , g2 , ..., gn }. Nhân mỗi phần tử này với một phần tử cố định h thì
kết quả là {hg1 , hg2 , ..., hgn } = {h g1 , h g2 , ..., h gn } trong đó {h1 , h2 , ..., hn } là hoán vị của
các số (1, 2, ..., n) xác định bởi h. Vì vậy chúng ta tìm mối quan hệ tự nhiên giữa một
9
phần tử h ∈ G và một phép hoán vị đặc trưng bởi (h1 , h2 , ..., hn ). Điều này là quan trọng
trong lý thuyết nhóm.
Một nhóm hoán vị bất kì của n vật sẽ được biểu thị bởi:
1
P=
2
3
n
...
p1 p2 p3 ... pn
Trong đó mỗi phần tử ở dòng đầu tiên được thay thế bởi phần tử tương ứng ở dòng
thứ hai. Tập hợp các phép hoán vị của n vật tạo thành một nhóm Sn được gọi là nhóm
hoán vị hoặc nhóm đối xứng.
Phần tử đơn vị tương ứng với không hoán vị.
1 2 ... n
e=
1 2 ... n
Nghịch đảo của P là:
p1 p2 ... pn
P −1 =
1
2
...
n
Xét hoán vị của 6 vật thể:
P=
1 2 3 4 5 6
3 5 4 1 2 6
1 được thay bởi 3, 3 được thay bởi 4, 4 được thay bởi 1, ba phép hoán vị đó biểu thị
bởi (134), tương tự 2 và 5 sẽ được biểu thị bởi (25) và phần tử 6 không đổi. Kí hiệu bởi
(134)(25)(6) là hoán vị đặc biệt duy nhất.
Ví dụ:
1 2 3 4 5
P=
1 3 2 5 4
Phép hoán vị đó biểu thị bởi (23)(45).
Định nghĩa 1.5 (đẳng cấu)
Hai nhóm G và G ′ được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại sự tương ứng là (1 − 1) giữa các
phần tử là luật nhân nhóm được bảo toàn. Nói cách khác. Nếu gi ∈ G ⇆ gi′ ∈ G ′ và
10
g1 .g2 = g3 ∈ G thì g1′ .g2′ = g3′ ∈ G ′ và ngược lại. Kí hiệu G ≃ G ′ .
Định lý 1.1 (Cayley)
Các nhóm G bậc n là đẳng cấu với nhóm con Sn .
Chứng minh: Bổ đề sắp xếp lại cung cấp cho ta một sự tương ứng từ G đến Sn .
1
a ∈ G −→ Pa =
2
...
n
a1 a2 ... an
(1.1)
∈ Sn
trong đó chỉ số { a j } được xác đinh dựa vào phần bổ để sắp xếp lại.
(1.2)
gai ≡ agi ; i = 1, 2, ..., n
Lấy a.b = c trong G, ta có
Pa Pb =
1
2
...
n
1
a1 a2 ... an
2
...
n
b1 b2 ... bn
=
1
2
...
n
ab1 ab2 ... abn
Theo (1.2)
gab = agbi = a(bgi ) = (ab) gi = cgi = gci
i
Chúng ta kết luận rằng vế phải của phương trình là:
Pc =
1
2
...
n
c1 c2 ... cn
Do đó a.b = c trong G nghĩa là Pa Pb = Pc trong Sn , nói cách khác a ∈ G −→ Pa ∈ Sn
phép nhân nhóm được bảo toàn.
1 2 ... n
Hoán vị Pa =
với ∀ a ∈ G tạo thành một nhóm con của Sn là đẳng cấu
a1 a2 ... an
với G.(điều phải chứng minh)
Ví dụ 1: Nhóm tuần hoàn bậc 3 {C3 : e, a, b = a2 } là đẳng cấu với nhóm con của S3 bao
gồm các phần tử {e, (123), (321)}.
Ví dụ 2: Nhóm nhị diện { D2 : e, a, b, c} là đẳng cấu với nhóm con của S4 bao gồm các
phần tử {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
Ví dụ 3: Nhóm {C4 : e = a4 , a, a2 , a3 } là đẳng cấu với nhóm con của S4 bao gồm các
phần tử {e, (1234), (13)(24), (4321)}.
Định lý 1.2
Nếu bậc của nhóm là một số nguyên tố thì nó phải đẳng cấu với Cn .
11
1.4. Các lớp kề và các nhóm con bất biến
Định nghĩa 1.6 (các phần tử liên hợp)
Một phần tử b ∈ G được gọi là liên lợp với phần tử a ∈ G nếu tồn tại một phần
tử nào đó p ∈ G mà b = pap−1 , chúng ta sẽ biểu thị mối quan hệ liên hợp bởi kí hiệu
” ∼ ”.
Tính chất:
i. Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính đối xứng).
ii. a liên hợp với chính nó a ∼ a (tính tự liên hợp).
iii. Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với c: a ∼ b; b ∼ c thì a ∼ c.
Định nghĩa 1.7 (lớp liên hợp)
Các phần tử của một nhóm mà chúng liên hợp với các phần tử khác trong nhóm tạo
thành một lớp (lớp liên hợp).
Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp.
Ví dụ 1: Phần tử đơn vị tạo thành một lớp bởi chính nó.
Ví dụ 2: Các phần tử thuộc nhóm hoán vị S3 có thể được phân chia thành ba lớp sau: Lớp
1 − cycleξ 1 = e; Lớp 2 − cycleξ 2 = {(12), (23), (31)}; Lớp 3 − cycleξ 3 = {(123), (321)}.
Ví dụ minh họa này là kết quả chung cho nhóm đối xứng: Các hoán vị với cùng một
cấu trúc tuần hoàn thuộc cùng một lớp.
Định nghĩa 1.8 (nhóm con bất biến)
Nhóm con bất biến H của G là một nhóm con mà tất cả các nhóm con liên hợp của
nó là trùng nhau.
Có thể dễ dàng thấy rằng một nhóm con H là bất biến nếu và chỉ nếu nó chứa các phần
tử của G trong các lớp hoàn chỉnh. Tất cả các nhóm con của một nhóm Abel là các nhóm
con bất biến.
Ví dụ: Nhóm con H = {e, a2 } của C4 {e = a4 , a, a2 , a3 } là một nhóm con bất biến.
Mọi nhóm G đều có ít nhất 2 nhóm con bất biến là e và chính G.
1.5. Lớp kề và nhóm thương
Định nghĩa 1.9 (Lớp kề)
12
Lấy H = {h1 , h2 , ...} là một nhóm con của G và lấy p là một phần tử của G (nhưng
không phụ thuộc H) thì tập hợp của các phần tử pH = { ph1 , ph2 , ...} được gọi là một
lớp kề trái của H. Tương tự H p = {h1 p, h2 p...} là một lớp kề phải của H.
Bổ đề:
Hai lớp kề trái (phải) của nhóm con H là hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần tử chung
nào.
Chứng minh: Lấy pH và qH là hai lớp kề. Giả thiết rằng phi = qh j với hi , h j ∈ H thì
q−1 p = h j hi−1 là một phần tử của H. Điều đó có nghĩa rằng q−1 pH phải trùng với H,
q−1 pH = H. Hơn nữa pH = qH dĩ nhiên nếu hi , h j không thỏa mãn ∃ phi = qh j thì pH
và qH phải được phân biệt bởi định nghĩa (điều phải chứng minh).
Định lý 1.3 (Lagrange):
Bậc của nhóm con G1 của nhóm con hữu hạn G phải là ước của bậc của nhóm G.
Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S3 :
Nhóm con { H1 : e, (123), (321)}có một lớp kề { M : (12), (23), (31)} thu được bởi phép
nhân các phần tử của H1 từ bên trái với (12), (23) hoặc (31).
Nhóm con { H2 : e, (12)} có hai lớp kề trái { M1 : (23), (321)} thu được từ H2 khi nhân
với (23)hoặc (321) và { M2 : (31), (123)} thu được từ H2 khi nhân với (31) hoặc (123).
Định lý 1.4 (Nhóm thương):
Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập hợp của các lớp kề tuân theo quy tắc nhân
pH.qH = ( pq) H tạo thành một nhóm được gọi là nhóm thương của G. Nhóm thương được
biểu thị bởi H/G nó có bậc nG /n H .
Ví dụ: Xét nhóm con bất biến H = {e, a2 } của nhóm tuần hoàn C4 thì H và lớp kề
M = { a, a3 } tạo thành nhóm thương C4 /H.
1.6. Đồng cấu
Định nghĩa 1.10 (đồng cấu)
Nhóm G đồng cấu với nhóm G ′ nếu tồn tại một ánh xạ (không cần 1 đối 1) giữa các
phần tử của nhóm G và G ′ và phép nhân nhóm được bảo toàn hay nói cách khác nếu
gi ∈ G ⇁ gi′ ∈ G ′ và g1 .g2 = g3 thì g1′ .g2′ = g3′
Rõ ràng đồng cấu là một trường hợp đặc biệt của đẳng cấu.
13
Định lý 1.5:
Cho f là đồng cấu từ G −→ G ′ . Biểu thị bởi K là tập hợp của tất cả các phần tử của G mà
f
chúng được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G ′ . K = { a ∈ G; a −
→ e′ ∈ G′ } thì K tạo thành một
nhóm con bất biến của G. Hơn nữa, nhóm thương G/K là đẳng cấu với G ′ .
1.7. Tích trực tiếp
Định nghĩa 1.11 (tích trực tiếp)
Cho H1 và H2 là các nhóm con của một nhóm G với các tính chất sau:
i. Mỗi phần tử của H1 kết hợp với phần tử bất kì của H2 : h1 h2 = h2 h1 với ∀h1 ∈ H1 và
h2 ∈ H2 .
ii. Mỗi phần tử g của G có thể được viết một cách duy nhất là g = h1 h2 trong đó h1 ∈ H1 và
h2 ∈ H2 Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của H1 và H2 , kí hiệu G = H1 ⊗ H2 .
Ví dụ: Xét nhóm C6 với các phần tử {e = a6 , a, a2 , a3 , a4 , a5 } và các nhóm con H1 =
{e, a3 } và H2 = {e, a2 , a4 }. Điều kiện i. ở trên được thỏa mãn vì nhóm là nhóm Abel
ab = ba và ii. có thể chứng minh là: e.e = e; a = a3 .a4 ; a2 = e.a2 ; a3 = a3 .e; a4 = e.a4 ; a5 =
a3 .a2 Vì H1 ≃ C2 ; và H2 ≃ C3 , chúng ta thu được C6 ≃ C2 ⊗ C3 (kí hiệu ≃ biểu thị đẳng
cấu).
1.8. Khái niệm nhóm đối xứng
Nhóm đối xứng là các nhóm trong đó khi thay đổi vị trí vật thể qua phép đối xứng
xung quanh các trục hay các phép quay xung quanh tâm thì cấu trúc hình học của
nhóm đó vẫn không thay đổi.
1.9. Một số nhóm đối xứng trong vật lí
i. Đối xứng không thời gian liên tục
a. Phép tịnh tiến trong không gian, x −→ x + a, trong đó a là một hằng số 3− vector.
Đối xứng này áp dụng cho tất cả các hệ cô lập, là cơ sở giả định của không gian đồng
nhất.
14
Ví dụ: Mỗi vùng của không gian là tương đương với những vùng khác hay nói cách
khác hiện tượng vật lí phải được tạo thành từ một vị trí này đến vị trí khác. Sự bảo toàn
động lượng được biết như là hệ quả của phép đối xứng này.
b. Phép tịnh tiến thời gian: t −→ t + a0 trong đó a0 là một hằng số. Đối xứng này
cũng được áp dụng cho các hệ cô lập, là sự đồng nhất của thời gian.
Ví dụ: Cho điều kiện như ban đầu, biểu hiện của hệ vật lí là độc lập với thời gian tuyệt
đối. Nói cách khác, hiện tượng vật lí được tạo thành ở các thời điểm khác nhau. Sự bảo
toàn năng lượng bắt nguồn từ đó.
c. Phép quay trong không gian ba chiều xi −→ x ′i = Rij x j trong đó i, j = 1, 2, 3, { xi }
là ba thành phần của một vector và ( R) là một ma trận quay (3 × 3) (trực giao). Phép
đối xứng này biểu thị đồng vị của không gian.
Ví dụ: Biểu thị của hệ cô lập phải là độc lập trong định hướng của hệ trong không gian.
Nó dẫn đến sự bảo toàn của xung lượng góc.
d. Phép biến đổi Lorentz.
t
x
Trong đó
−→
t’
x’
là một ma trận Lorentz (4 × 4) và x đứng ở ba cột vector thành phần. Đối
xứng này là hiện thân của sự tổng quát hóa của vật lí cổ điển, không gian riêng biệt và
thời gian đối xứng trong một không thời gian đối xứng, hiện tại nó được biết như là
thuyết tương đối của Einstein.
ii. Đối xứng không thời gian riêng biệt
a. Phép nghịch đảo không gian (hoặc là phép biến đổi chẵn- lẻ):x −→ − x . Đối xứng
này là tương đương với sự phản xạ trong một mặt phẳng (ví dụ: mặt gương), nó có thể
thu được từ một mặt phẳng khác bởi sự kết hợp của phép quay một góc π. Hầu hết các
tương tác trong tự nhiên tuân theo phép đối xứng này, nhưng "tương tác yếu" (đóng
vai trò cho việc phân rã, phóng xạ và các quá trình yếu khác) thì không.
b. Phép nghịch đảo thời gian: t −→ −t. Điều này tương tự với phép nghịch đảo
không gian. Phép đối xứng này được biết như là tất cả các lực đã biết trừ trường hợp
đặc biệt (ví dụ: phân rã hạt "K-meson").
c. Các phép tịnh tiến riêng biệt trong một mạng tinh thể (các nhóm điểm). Các tập
con của phép quay ba chiều và phép biến đổi phản xạ làm cho cấu trúc của mạng là bất
15
biến. Có 32 nhóm điểm tinh thể, kết hợp với phép tịnh tiến riêng chúng tạo thành các
nhóm không gian, các nhóm này là các nhóm đối xứng cơ bản của vật lí chất rắn.
iii. Hoán vị đối xứng
Các hệ có chứa nhiều hơn một hạt giống hệt nhau là bất biến dưới sự đổi chỗ của
các hạt. Các phép hoán vị tạo thành một phép đối xứng. Nếu các hạt đó có một vài hạt
tự do thì nhóm phân tích lý thuyết là rất cần thiết để tách các tính chất đối xứng của các
trạng thái hoán vị. (Thống kê Bose- Einstein và Fermi- Dirac, nguyên lí loại trừ Pauli...).
iv. Sự bất biến của phép đo và bảo toàn điện tích
Cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử của các tương tác của trường điện từ với sự
tích điện là bất biến dưới một "chuyển đổi phép đo". Đối xứng này liên quan mật thiết
với định luật bảo toàn điện tích.
v. Đối xứng bên trong của hạt nhân và vật lí hạt cơ bản
Hầu hết các loại đối xứng thường là "đồng vị spin" (spin đồng vị) là bất biến của vật
lí hạt nhân. Các loại đối xứng được tổng quát và tinh giản đi rất nhiều trong vật lí hạt
cơ bản ngày nay. Ta đã biết tất cả các lực cơ bản của tự nhiên là được xây dựng từ thuật
ngữ "lý thuyết đo" với các nhóm đối xứng bên trong thích hợp.
Ví dụ: SU (2) × U (1) của tương tác yếu và tương tác điện từ và SU (3) của tương tác
mạnh.
Ở đây chúng ta chủ yếu quan tâm đến nhóm hoán vị đối xứng Sn . Nhóm đối xứng Sn
có vai trò rất quan trọng trong bài toán hệ nhiều hạt đồng nhất.
16
Chương 2
BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI
XỨNG
2.1. Biểu diễn nhóm
Định nghĩa 2.1 (biểu diễn của một nhóm)
Nếu một đồng cấu từ nhóm G tới một nhóm của các toán tử U (G ) trong không gian
vector tuyến tính V. Ta nói rằng U (G ) tạo thành một biểu diễn của nhóm G. Số chiều
của biểu diễn là số chiều của không gian vector V. Một biểu diễn được gọi là khớp
(chính xác) nếu đồng cấu cũng là một đẳng cấu (là 1 − 1). Một biểu diễn suy biến là
một biểu diễn không khớp.
Cụ thể hơn: Biểu diễn là một ánh xạ
U
g∈G−
→ U ( g)
trong đó U ( g) là một toán tử trong V như là U (e) = 1 là toán tử đơn vị trong không
gian các toán tử tuyến tính hoạt động (V )
U ( g1 )U ( g2 ) = U ( g1 g2 )
(2.1)
tức là các toán tử thỏa mãn quy tắc nhân tương tự như phép nhân các phần tử của
nhóm.
Xét trường hợp của một nhóm hữu hạn chiều . Chọn một tập hợp các vector cơ sở
{eˆi , i = 1, 2, ..., n} trong V. Các toán tử U ( g) được hiều là các ma trận n × nD ( g) như
sau:
j
(2.2)
U ( g). | ei = e j D ( g)i , g ∈ G.
i. Chỉ số j từ 1 đến n.
ii. Với ma trận D ( g) chỉ số đầu ( j) là kí hiệu hàng và chỉ số thứ hai (i ) là kí hiệu
cột. Chúng ta hãy kiểm tra các tính chất cơ bản của các toán tử biểu diễn. Phương trình
(2.1) có thể được thực hiện trong các ma trận { D ( g); g ∈ G}. Cho các toán tử ở hai vế
của phương trình (2.1) tác dụng lên vector cơ sở ta thu được.
U ( g1 ).U ( g2 ) | ei
j
j
= U ( g1 ) e j D ( g2 )i = |ek D ( g1 )kj D ( g2 )i = U ( g1 g2) | ei
= |ek D ( g1 g2 )ik
Vì {ei } tạo thành một cơ sở, ta kết luận.
D ( g1 ) G ( g2 ) = D ( g1 g2 )
(2.3)
trong đó ma trận nhân là D ( g1 g2 ). Vì D (G ) = { D ( g); g ∈ G } thỏa mãn cùng một biểu
thức đại số như đối với U ( g). Nhóm của các ma trận tạo thành một ma trận biểu diễn
của G.
Ví dụ 1: Có một biểu diễn một chiều tầm thường với ∀ nhóm G. V = C (không gian của
các số phức) và U ( g) = 1 với ∀ g ∈ G. Rõ ràng U ( g1 ).U ( g2 ) = 1.1 = 1 = U ( g1 g2 ) do đó
g ∈ G −→ 1 tạo thành biểu diễn một chiều.
Ví dụ 2: Cho G là nhóm nhị diện D2 bao gồm e (đơn vị), h (phản xạ qua trục Y), v (phản
xạ qua trục X) và r (quay một góc π xung quanh tâm). Cho V2 là không gian Euclidean
hai chiều với các vecto cơ sở (e1 , e2 ). Hình 2.1 a và sử dụng định nghĩa ở phương trình
(2.2).
D (e ) =
D (h) =
D (v) =
18
1 0
0 1
−1 0
0
1
1
0
0 −1
Hình 2.1: a
D (r ) =
−1
0
0
−1
Các ma trận đó tạo thành một biểu diễn hai chiều của nhóm D2 .
2.1.1. Biểu diễn đơn vị
Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:
D ( g) = 1 với ∀ g ∈ G.
2.1.2. Biểu diễn chính quy
Ví dụ: Nhóm Z3 là một nhóm hữu hạn gồm các phần tử Z3 = {e, a, b}.
Bảng nhân nhóm của nhóm Z3 : Đây là một cách biểu diễn của nhóm Z3 .
0 1 0
0 0 1
1 0 0
D ( e ) = 0 1 0 ; D ( a ) = 1 0 0 ; D ( b ) = 0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
19
e
a
b
e
e
a
b
b
b
e
a
Bảng 2.1: Bảng nhân nhóm của nhóm Z3 .
Biểu diễn này được xây dựng trực tiếp từ bảng nhân nhóm với quy tắc sau:
Coi mỗi phần tử của nhóm tương ứng với một vector cơ sở trực chuẩn trong không
gian vector và tuân theo luật nhân:
D ( g1 ) | g2 = | g1 g2
Đây là một biểu diễn vì thỏa mãn hai điều kiện sau:
Điều kiện 1: D (e) = I (I là toán tử đơn vị, ma trận đơn vị).
Điều kiện 2: D ( g1 ).D ( g2 ) = D ( g1 g2 ). Thật vậy:
0 0 1
0 0 1
1 0 0
D (e).D (a) = 0 1 0 1 0 0 = 1 0 0
= D ( a)
0 1 0
0 1 0
0 0 1
=⇒ D (e).D (a) = D (e.a) = D (a)
Tương tự với g1 = e; g2 = b.
g1 = a; g2 = b.
Từ đó ta chứng minh được đó là một biểu diễn.
Biểu diễn trên được gọi là biểu diễn chính quy của nhóm Z3 . Các ma trận của biểu diễn
chính quy được xây dựng như sau:
Đặt :|e ≡ |ei ;
Các phần tử của ma trận [ D ( g)]ij = ei | D ( g) e j .
(| a gọi là vector ket, |b gọi là vector brown) từ đó rút ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2 (Biểu diễn chính quy)
Ta coi mỗi phần tử thuộc nhóm G tương ứng với một vector cơ sở trực chuẩn trong
không gian vector. Ví dụ | e , | a , | b ...
Đặt: |e ≡ |e1 ; | a ≡ |e2 ; |b ≡ |e3 ...
Và tuân theo luật nhân:
D ( g1 ) | g2 = | g1 g2
20
(2.4)
thì D được gọi là biểu diễn chính quy của G.
2.1.3. Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương
Định nghĩa 2.3 (biểu diễn tương đương)
Hai biểu diễn của nhóm G được thực hiện bởi phép biễn đổi tương tự được gọi là
hai phép biểu diễn tương đương. Hai biểu diễn tương đương tạo thành một lớp tương
đương.
Khi liệt kê các biểu diễn có thể của một nhóm ta chỉ cần đề cập đến những biểu diễn
không tương đương với chính biểu diễn đó.
Với một phép biến đổi đồng dạng theo trạng thái, biến đổi là khả nghịch (trạng thái
mới giống trạng thái cũ) ta luôn có thể tạo ra một biểu diễn mới có dạng.
D ( g) −→ D ′ ( g) = S−1 D ( g)S
(2.5)
S là ma trận khả nghịch.
Vì S là biến đổi đồng dạng, tập hợp các toán tử mới có quy tắc nhân giống như tập hợp
các toán tử cũ, vì vậy D ′ là biểu diễn nếu D là biểu diễn. D và D ′ được gọi là hai biểu
diễn tương đương bởi vì chúng chỉ khác nhau ở việc chọn cơ sở tầm thường.
Định nghĩa 2.4 (Đặc biểu của một biểu diễn)
Đặc biểu X ( g) của g ∈ G là một biểu diễn U (G ) được định nghĩa X ( g) = TrU ( g)
(Tr= Trace: là tổng các phần tử trên đường chéo chính). Nếu D (G ) là một ma trận biểu
diễn của G thì:
χ( g) =
∑ D(g)ii
Định nghĩa 2.5 (Biểu diễn bất khả quy)
Cho U ( g) là một biểu diễn của G trong không gian vector. U (G ) là bất khả quy nếu
V không chứa một không gian con bất biến không tầm thường nào đối với U ( g). Ngược
lại là biểu diễn khả quy.
Trong trường hợp thứ hai nếu phần bù trực giao của không gian con bất biến đối với
U (G ) thì nó cũng là bất biến đối với U (G ) thì biểu diễn đó được gọi là biểu diễn hoàn
toàn khả quy hay có thể phân tích được.
(Một biểu diễn bất khả quy nếu nó không là biểu diễn khả quy).
21
Nếu một biểu diễn là hoàn toàn khả quy nếu nó tương đương với một biểu diễn mà các
phần tử ma trận có dạng sau:
D1 ( g )
0
..
.
0
...
D2 ( g) ...
..
..
.
.
(2.6)
Trong đó D j ( g) là bất khả quy với ∀ j( j = 1, 2, ...). Đây được gọi là dạng chéo khối.
Một biểu diễn dưới dạng chéo khối được gọi là tổng trực tiếp của các biểu diễn con
D j ( g ).
D1 ⊕ D2 ⊕ ...
(2.7)
Trong việc biến đổi một biểu diễn thành dạng chéo khối, chúng ta sẽ phân tích biểu
diễn gốc thành tổng trực tiếp của các thành phần bất khả quy. Do đó có thể định nghĩa
theo cách khác về biểu diễn bất khả quy như sau: "Một biểu diễn là bất khả quy nếu có
thể phân tích được thành tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy".
Định lý 2.1:
Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm chứa trong biểu diễn chính quy với một số lần
bằng chiều biểu diễn của mình.
D (R) =
∑ nµ D µ
µ
trong đó nµ là chiều của biểu diễn bất khả quy Dµ .
Định lý Burnside:
Chiều của các biểu diễn bất khả quy không tương đương thỏa mãn điều kiện sau:
∑ n2µ = N
µ
trong đó: N là bậc của nhóm.
nµ là chiều của biểu diễn bất khả quy không tương đương.
(số lớp liên hợp bằng số biểu diễn bất khả quy không tương đương.)
22
2.1.4. Biểu diễn Unita
Định nghĩa 2.6 (biểu diễn Unita)
Nếu toán tử U ( g) là Unita với ∀ g ∈ G thì biểu diễn U (G ) được gọi là biểu diễn
Unita.
Toán tử U là Unita nếu U = U + = U −1 trong đó U + là ma trận đổi hàng thành cột và
đổi dấu phần tử ảo của ma trận U.
Biểu diễn Unita có vai trò quan trọng trong việc học các nhóm đối xứng.
Định lí 2.2:
Nếu một biểu diễn Unita là khả quy thì nó cũng có thể khai triển được (hoàn toàn khả quy).
Chứng minh: Cho U (G ) là một biểu diễn khả quy của G trong không gian V. Cho V1
là một không gian con bất biến (n1 chiều) đối với U (G ). Chúng ta có thể chọn một cơ sở
trực giao của V {ei , i = 1, 2, ...} như là ei ∈ V1 với i = 1, 2, ..., n1. Phần bù trực giao của
V1 được mở rộng bởi {ei , i = n1 + 1, n1 + 2, ...} và sẽ được biểu thị bởi V2 . Chúng ta cần
chứng minh rằng V2 cũng là bất biến đối với U (G ). Điều đó có thể được chỉ ra trong hai
bước.
i. Vì V1 là không gian con bất biến e j ( g) ≡ U ( g) | ei ∈ V với i = 1, 2, 3....n.
ii. Vì U (G ) là Unita với ∀ j = n1 + 1; n1 + 2... và i = 1, ..., n1 . Điều đó có nghĩa là e j ( g)
là trong V2 phần bù trực giao của V1 . Vì với ∀ vecto x ∈ V2 là một tổ hợp tuyến tính
{e j ; j = n1 + 1, ...}, U ( g) | x cũng phải thuộc V2 .
Vì vậy V2 là không gian con bất biến của V đối với U (G ).
Định lí 2.3:
Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn Unita.
Chứng minh: Giả sử D ( g) là một biểu diễn của nhóm hữu hạn G. Xây dựng một toán
tử dạng S = ∑ D + ( g) D ( g) S là Hamintian và dương trên một nửa nhóm. Do đó có thể
được chéo hóa và giá trị riêng của nó là không âm.
S = U −1 dU
23
(2.8)
trong đó d là ma trận chéo:
d1
d=
0
..
.
0
...
d2 . . .
.. . .
.
.
(2.9)
trong đó d j ≥ 0 với ∀ j Bởi vì tính chất của nhóm mà ∀d j đều dương. Chứng minh bằng
cách giả sử d j s = 0. Khi đó có một vector λ sao cho Sλ = 0. Nhưng khi đó:
λ+ Sλ = 0 =
∑ || D(g)λ||2
(2.10)
Do đó D ( g)λ phải bị triệt tiêu với ∀ g, điều đó là không thể . Vì D (e) = 1 vì vậy chúng
ta có thể lấy căn bậc hai của S, nó cũng là Hamintian và khả nghịch.
√
d1
0
...
√
1
d2 . . .
χ = S 2 = U −1
0
..
..
..
.
.
.
(2.11)
χ là khả nghịch vì không có d j s bằng 0. Chúng ta có thể viết:
D ′ ( g) = χ.D ( g).χ−1
(2.12)
Điều bất ngờ là biểu diễn đó là biểu diễn Unita.
D ′+ ( g).D ′ ( g) = χ−1 .D + ( g).χ.χ.D ( g).χ−1
= χ−1 .D + ( g).χ2 .D ( g).χ−1
= χ−1 .D + ( g).S.D ( g).χ−1
= χ−1 .D + ( g) ∑ D + ( g′ ).D ( g′ ).D ( g).χ−1
= χ−1 ∑ D + ( g).D + ( g′ ).D ( g′ ).D ( g).χ−1
= χ−1 ∑ D + ( gg′ ).D ( gg′ ).χ−1
= χ−1 .S.χ−1 = χ−1 .χ2 .χ−1 = 1
⇒ D ′+ ( g).D ′ ( g) = 1
Vậy D ′ ( g) là Unita.
24
(2.13)
2.1.5. Bổ đề Schur
Bổ đề Schur 1:
Cho U (G ) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G trong không gian vector V, và A là
một toán tử bất kì trong V. Nếu A giao hoán với tất cả các toán tử {U ( g); g ∈ G } ví dụ
AU ( g) = U ( g) A thì A phải là bội của toán tử đơn vị E. A = λE (trong đó λ là một số).
Định lí 2.4:
Các biểu diễn bất khả quy của bất kì nhóm Abel nào phải là một chiều.
Chứng minh: Cho U (G ) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G. Kí hiệu p
là phần tử cố định của G. Do tính chất của nhóm Abel chúng ta có U ( p).U ( g) =
U ( g).U ( p) với ∀ g ∈ G.
Theo bổ đề Schur U ( p) = λ.p.E có nghĩa là với ∀ p ∈ G do đó biểu diễn U (G ) là tương
đương với biểu diễn một chiều p −→ λ.p ∈ C với ∀ p ∈ G (điều phải chứng minh).
Chứng minh bổ đề Schur 1:
i. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể lấy U (G ) là Unita và A là Hermite (nếu
U (G ) không phải là Unita thì ta có thể tạo ra nó bằng một phép biến đổi đồng dạng).
Nếu A không là Hermite chúng ta có thể phân tích nó thành hai toán tử Hermite:
A + A+
A − A+
; A− =
2
2i
và xét chúng một cách riêng biệt trước khi kết hợp chúng lại thành:
A+ =
A = ( A+ + iA− )
A+ và A− là Hecmit bởi vì:
( A+ )+ =
( A + A+ )+
A+ + A
=
= A+
2
2
Tương tự:
( A − A+ )
( A − A+ )+
=
= A−
2i
2i
ii. Một cơ sở V: {uα,i } có thể được chọn bao gồm các vector riêng của A.
( A− )+ = −
A |uα,i = | uα,i λi
25
trong đó λi là giá trị riêng của A và α biểu thị các kí hiệu thêm vào cần thiết để chỉ rõ
toàn bộ các vector cơ sở.
Tập hợp {uα,i } có thể được chọn là trực giao.
iii. Với i cho bất kì, kí hiệu V là không gian con với {uα,i ; α = 1, 2, ...} chúng ta có thể
chứng minh rằng V i là các không gian con bất biến đối với U (G ). Lý do là |U ( g)uα,i ∈
V i như là một hệ quả của thực tế rằng nó cũng là một vector riêng của A với cùng giá
trị riêng λi .
AU ( g) | uα,i = U ( g) A | uα,i = U ( g) | uα,i λi
iv. Nhưng U (G ) là bất khả quy trong V, không gian vector V không chứa bất kì không
gian con không bất biến không tầm thường nào. Hệ quả là không gian con bất biến V i
phải trùng với chính V, tức là V i = V. Nghĩa là A chỉ có giá trị riêng A = λE(điều phải
chứng minh).
Bổ đề Shur 2: Cho U (G ) và U ′ (G ) là hai biểu diễn bất khả quy của G trong không gian
vector V và V ′ tương ứng. Cho A là một phép biến đổi tuyến tính từ V ′ sang V, nó thỏa
mãn AU ′ ( g) = U ( g) A với ∀ g ∈ G.
Theo đó thì:
i. A = 0 hoặc
ii. A và V là đẳng cấu và U (G ) tương ứng với U ′ ( g).
Chứng minh bổ đề Schur 2:
i. Kí hiệu R là giới hạn của AU. Ví dụ R = { x ∈ V; x = Ax ′ với ∀ x ′ ∈ V ′ }
R là một không gian con bất biến của V đối với U (G ) vì ∀ | x ∈ V.
U ( g) | x = U ( g) A | x ′ = AU ′ ( g) | x ′ = A |U ′ ( g) x ′ ∈ R với ∀ g ∈ G
Nhưng nếu U (G ) là một biểu diễn bất khả quy, chúng ta phải có R = 0 (do A = 0) hoặc
R = V (ví dụ ánh xạ A là "lên").
ii. Xét (trong V’) không gian rỗng N’ của A: N ′ = { x ′ ∈ V ′ ; Ax ′ = 0}N’ là không gian
con bất biến của V’ đối với U ′ (G ) vì nếu | x ′ ∈ N ′ thì AU ′ ( g) | x ′ = U ( g) A | x ′ =
U ( g) | 0 = 0, nghĩa là U ′ ( g) | x ′ ∈ N ′ với ∀ g ∈ G. Vì U ′ (G ) là bất khả quy, chúng ta
phải có N ′ = V ′ (do A = 0) hoặc N ′ = 0.
Trong trường hợp thứ hai A | x ′ = A |y′ , nghĩa là | x ′ = |y′ do đó ánh xạ A là 1 − 1.
Kết hợp i. và ii. chúng ta thấy rằng hoặc A = 0 hoặc nó tạo thành một đẳng cấu giữa V
26
và V’.
Trường hợp cuối cùng chúng ta cũng có U (G ) = AU ′ (G ) A−1 (điều phải chứng minh).
2.2. Biểu diễn của một số nhóm đối xứng
2.2.1. Các biểu diễn một chiều
Mọi nhóm đối xứng Sn có một nhóm con bất biến không tầm thường An bao gồm
tất cả các hoán vị chẵn (một phép hoán vị chẵn là một hoán vị tương đương với số phép
hoán vị là chẵn). Nhóm đó được gọi là nhóm Alterative Group (nhóm thay phiên).
Nhóm thương Sn /An là đẳng cấu với C2 . Theo đó mọi Sn có hai biểu diễn bất khả quy
một chiều, chúng được cảm sinh bởi hai biểu diễn của C2 bảng 3.1. Đầu tiên là biểu
diễn đơn vị, thứ hai là gán cho mỗi hoán vị p số (−1) p , nó là 1 nếu p là "chẵn" và (−1)
nếu p là "lẻ". Chúng ta sẽ coi (−1) p là tính chẵn lẻ của hoán vị.
Một cách khác để thay thế các biểu diễn một chiều của Sn bằng trung bình của các lũy
đẳng (ví dụ: các toán tử hình chiếu của nhóm đại số).
Định lí 2.5:
Đối xứng s = ∑ p và phản đối xứng a = ∑(−1) p .p của nhóm Sn là lũy đẳng và nguyên
p
hàm cần thiết.
Chứng minh: Sử dụng bổ đề sắp xếp lại, nó là dễ dàng để thấy rằng qs = sq = s với
∀q ∈ Sn . Theo đó thì ss = n!s và sqs = ss = n!s. s là lũy đẳng và nguyên hàm cần thiết.
Tương tự cho phản đối xứng chúng ta có qa = aq = (−1)q a, có nghĩa là aa = n!a và
aqa = (−1)q n!a với ∀q ∈ Sn .
s và a là các biểu diễn bất khả quy của Sn trong nhóm đại số vì sqa = sa = 0 với ∀q ∈ Sn ,
hai biểu diễn là tương đương. Các vector cơ sở của biểu diễn bất khả quy là có dạng
|qs và |qa tương ứng. Nhưng vì qs = s và qa = (−1)q q với ∀q ∈ Sn , cả hai biểu diễn
đó đều là một chiều và các phần tử của ma trận tương ứng là 1 và (−1)q . Do đó chúng
ta thu được kết quả trên.
27
2.2.2. Nhóm hoán vị của n vật thể
Mọi phần tử của nhóm hoán vị n vật thể được gọi là Sn , có thể được viết theo thuật
ngữ của các cycle. Trong đó 1 − cycle là một hoán vị vòng quanh của một tập con.
Chúng ta sẽ sử dụng một kí hiệu để biểu thị chúng. Trong đó mỗi cycle được viết như
một tập hợp của các số trong dấu ngoặc đơn, chỉ số của các vật thể đó là hoán vị tuần
hoàn.
Ví dụ:
(1) nghĩa là x1 −→ x1 ,
(1372) nghĩa là x1 −→ x3 −→ x7 −→ x2 ,
Mỗi phần tử của Sn liên quan đến một số nguyên từ 1 −→ n trong một cycle chính xác.
Ví dụ :
Phần tử đơn vị: e = (1)(2)...(n) gồm n.1 − cycle nó là một phần tử duy nhất.
Một sự đổi chỗ giữa hai phần tử, như là (12)(3)...(n) có 2 − cycle và (n − 2).1 − cycle.
Một phần tử bất kì có k j j − cycle, trong đó:
n
∑ j.k j = n
j =1
Ví dụ: Hoán vị (123)(456)(78)(9) có 2.3 − cycle, 1.2 − cycle và 1.1 − cycle vì vậy k1 =
k2 = 1 và k3 = 2.
Một biểu diễn n− chiều đơn giản của Sn được gọi là biểu diễn định nghĩa. Ở đó các vật
thể được hoán vị là các vector cơ sở của không gian vecto n− chiều.
|1 , |2 , ... |n
Nếu hoán vị x j cho xk , toán tử biểu diễn tương ứng D chuyển | j thành| k
D | j = |k
Do đó:
e| D | j = δkl
Mỗi ma trận biểu diễn chỉ có một số 1 trong mỗi hàng và cột.
28
2.2.3. Các lớp liên hợp
Các lớp liên hợp có cấu trúc cycle, chúng được kí hiệu bởi các số nguyên k j .
Ví dụ: Tất cả các đổi chỗ trong cùng một lớp liên hợp nó là đủ để kiểm tra rằng nó là
tự đẳng cấu bên trong gg1 g−1 không thay đổi cấu trúc cycle của g1 khi g đổi chỗ, bởi
vì chúng ta có thể xây dựng bất kì hoán vị nào từ những sự đổi chỗ. Chúng ta hãy xem
điều này làm như thế nào trong một vài ví dụ đơn giản. Trong trường hợp đặc biệt,
chúng ta sẽ thấy rằng liên hợp một phép hoán vị bất kì bởi sự thay đổi (12)(3)... là sự
đổi chỗ của 1 và 2 mà không làm thay đổi cấu trúc cycle.
Ví dụ: (12)(3)(4).(1)(23)(4).(12)(3)(4) (chú ý rằng mỗi sự thay đổi chỗ chỉ có một
nghịch đảo).
1234
↓ (12)(3)(4)
2134
↓ (1)(23)(4)
2314
↓ (12)(3)(4)
3214
↓ (2)(13)(4)
= 1234
Nếu 1 và 2 là trong các cycle khác nhau, chúng chỉ đổi chỗ bởi phép hoán vị (12) như
đã nói.
Điều tương tự xảy xa khi có 1 và 2 nằm tromg cùng cycle, ví dụ:
1234
↓ (12)(3)(4)
2134
29
↓ (123)(4)
1324
↓ (12)(3)(4)
3124
↓ (213)(4)
2314
↓ (213)(4)
= 1234
Lại một lần nữa trong cùng một cycle 1 và 2 đổi chỗ cho nhau. Cách khác để thấy được
điểu này là chú ý rằng liên hợp là tương tự với một phép biến đổi tương đương. Trong
thực tế trong định nghĩa phép biểu diễn n chiểu bởi sự đổi chỗ (12) là một sự thay đổi
của các vecto cơ sở |1 ←→ |2 . Thì dễ dàng thấy rằng liên hợp không làm thay đổi cấu
trúc cycle, nhưng sự đổi chỗ đơn giản thành một hoán vị bất kì. Các lớp liên hợp phải
bao gồm tất cả các hoán vị có thể với một cấu trúc cycle đặc biệt.
Bây giờ chúng ta hãy đếm số phần tử của nhóm trong mỗi lớp liên hợp.
Giả sử một lớp liên hợp bao gồm các hoán vị tạo bởi k1 1 − cycle, k2 2 − cycle... thỏa mãn:
n
∑ j.k j = n
j =1
. Số phép hoán vị khác nhau trong một lớp liên hợp là:
n!
k
∏ j j kj!
j
trong đó: n là số vật thể
j là số cycle
k j là số j − cycle.
bởi vì mỗi phép hoán vị của các số từ 1 −→ n cho ta một hoán vị trong lớp. Nhưng bậc
của cycle không đổi với một cycle.
(123) là giống như (231)
30
. Và bậc là không thay đổi giữa tất cả các cycle có cùng chiều dài (12)(34) là giống như
(34)(12).
2.2.4. Sơ đồ Young
Biểu diễn mỗi j − cycle bằng một cột của các hộp có chiều dài j và được xắp xếp các
cột theo thứ tự j giảm dần khi đi từ trái sang phải. Tổng số hộp là n.
Dưới đây là một ví dụ:
là bốn 1 − cycle trong S4 , nó là phần tử đơn vị luôn luôn có lớp liên hợp là chính nó.
Một ví dụ khác:
là một 4 − cycle, một 3 − cycle và một 1 − cycle trong S8 .
Tập hợp tất cả các hộp gọi là sơ đồ Young (bảng Young).
Mỗi một sơ đồ khác nhau biểu diễn một lớp liên hợp khác nhau và vì vậy sơ đồ Young
chỉ có một và chỉ một biểu diễn bất khả quy tương ứng.
Ví dụ 1: Với nhóm S3
Các lớp liên hợp là:
31
Số phần tử trong mỗi lớp được xác định bởi công thức:
n!
k
∏ j j kj!
j
Số phần tử tương ứng với mỗi lớp là:
3!
13 .3!
= 1;
3!
21 .1!.11 .1!
= 3;
3!
31 .1!
=2
Ví dụ 2: Với nhóm S4
Các lớp liên hợp của nhóm S4 :
Số phần tử tương ứng với mỗi lớp là:
4!
14 .4!
= 1;
4!
21 .1!.12 .2!
= 6;
4!
22 .2!
= 3;
4!
31 .1!.11 .1!
= 8;
4!
41 .1!
=6
2.2.5. Sơ đồ Young và các biểu diễn của Sn
Chúng ta đã thấy rằng mỗi sơ đồ Young với n hộp tương ứng với một biểu diễn bất
khả quy của Sn , vì số biểu diễn bất khả quy không tương đương bằng số lớp liên hợp.
Để thấy được thế nào là biểu diễn bất khả quy, chúng ta bắt đầu đặt các số nguyên từ 1
đến n vào các hộp của sơ đồ Young theo tất cả các cách có thể. Chúng ta có n! cách để
làm việc đó. Sau đó chúng ta định nghĩa mỗi sự phân bố của các số nguyên từ 1 đến n
trong các hộp tương ứng với một trạng thái trong biểu diễn chính quy của Sn xác định
một bậc tiêu chuẩn, đọc từ trái sang phải và từ trên xuống dưới (giống như đọc chữ
trong trang sách). Để từ các số nguyên trong các hộp thành một trạng thái kết hợp với
một phép hoán vị đặc biệt. Chẳng hạn với ví dụ:
32
trong đó |6532174 là trạng thái tương ứng với phép hoán vị:
1234567 −→ 6532174
Với mỗi n! phân bố của các hộp của bảng mô tả n! trạng thái của biểu diễn chính quy.
Tiếp theo với mỗi sơ đồ riêng, trạng thái đối xứng tương ứng trong các số trong mỗi
hàng và sự phản đối xứng của các trạng thái trong các số trong mỗi cột.
Ví dụ:
và
Tập hợp của các trạng thái được cấu trúc theo cách đó của một số không gian con của
biểu diễn chính quy. Chúng ta có thể xây dựng các trạng thái cụ thể và chúng ta biết
được hoán vị là như thế nào trong các trạng thái đó. Một không gian con được xây
dựng theo cách này là một biểu diễn của Sn , vì một hoán vị tương ứng với một sự phân
bố khác nhau của các số trong bảng, vì vậy phép hoán vị trong bất kì trạng thái nào
trong không gian con được tạo bởi các trạng thái khác nhau trong không gian con đó.
Trong thực tế biểu diễn đó là bất khả quy và chúng ta nói mỗi biểu diễn bất khả quy
tương ứng với một sơ đồ Young.
Xem xét ví dụ của nhóm S3 .
Bảng:
33
cho các trạng thái đối xứng hoàn chỉnh và vì vậy nó liên quan đến không gian con một
chiều mà phép biến đổi dưới một biểu diễn tầm thường.
Bảng:
cho các trạng thái hoàn toàn phản đối xứng và vì vậy nó liên quan đến một không gian
con một chiều, phép biến đổi đó được biểu thị bởi (−1).
Cuối cùng:
Chú ý rằng đổi chỗ hai số trong cùng một cột của bảng làm thay đổi kí hiệu của trạng
thái, điều đó là đúng. Hơn nữa, bạn có thể nhìn rõ ràng tổng của 3 trạng thái liên quan
34
bởi phép hoán vị vòng quanh biến mất. Do đó không gian con là hai chiều và biến đổi
dưới biểu diễn bất khả quy hai chiều của S3 .
35
Chương 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
3.1. Một số bài toán về biểu diễn nhóm
3.1.1. Tìm biểu diễn chính quy của nhóm S3
Các phần tử thuộc nhóm S3 = {e, (12), (23), (31), (123), (321)}
e
(12)
(23)
(31)
(123) (321)
e
e
(12)
(23)
(31)
(123) (321)
(12)
(12)
e
(23)
(23)
(321)
(31)
(31)
(123) (321)
(123) (321)
(23)
(31)
(123)
(31)
(12)
e
(12)
(23)
e
(123) (123)
(31)
(12)
(23)
(321)
e
(321) (321)
(23)
(31)
(12)
e
(123)
Bảng 3.1: Bảng nhân nhóm của nhóm S3 .
Trong biểu diễn chính quy ta coi mỗi phần tử của nhóm tương ứng với một vector
cơ sở trực chuẩn trong không gian vector.
|e ; |(12) ; |(23) ; |(31) ; |(123) ; |(321)
và tuân theo luật nhân:
D ( g1 ) | g2 = | g1 g2
Các phần tử của ma trận biểu diễn được xác định bởi công thức:
[ D ( g)]ij = ei | D ( g)|e j
[ D (e)]11 = e1 | D (e)|e1 = e| D (e)|e = e|e = 1
[ D (e)]12 = e1 | D (e)|e2 = e| D (e)|(12) = e|(12) = 0
[ D (e)]13 = e1 | D (e)|e3 = e| D (e)|(23) = e|(23) = 0
[ D (e)]14 = e1 | D (e)|e4 = e| D (e)|(31) = e|(31) = 0
[ D (e)]15 = e1 | D (e)|e5 = e| D (e)|(123) = e|(123) = 0
[ D (e)]16 = e1 | D (e)|e6 = e| D (e)|(321) = e|(321) = 0
[ D (e)]21 = e2 | D (e)|e1 = (12)| D (e)|e = (12)|e = 0
[ D (e)]22 = e2 | D (e)|e2 = (12)| D (e)|(12) = (12)|(12) = 1
[ D (e)]23 = e2 | D (e)|e3 = (12)| D (e)|(23) = (12)|(23) = 0
[ D (e)]24 = e2 | D (e)|e4 = (12)| D (e)|(31) = (12)|(31) = 0
[ D (e)]25 = e2 | D (e)|e5 = (12)| D (e)|(123) = (12)|(123) = 0
[ D (e)]26 = e2 | D (e)|e6 = (12)| D (e)|(321) = (12)|(321) = 0
[ D (e)]31 = e3 | D (e)|e1 = (23)| D (e)|e = (23)|e = 0
[ D (e)]32 = e3 | D (e)|e2 = (23)| D (e)|(12) = (23)|(12) = 0
[ D (e)]33 = e3 | D (e)|e3 = (23)| D (e)|(23) = (23)|(23) = 1
[ D (e)]34 = e3 | D (e)|e4 = (23)| D (e)|(31) = (23)|(31) = 0
[ D (e)]35 = e3 | D (e)|e5 = (23)| D (e)|(123) = (23)|(123) = 0
[ D (e)]36 = e3 | D (e)|e6 = (23)| D (e)|(321) = (23)|(321) = 0
[ D (e)]41 = e4 | D (e)|e1 = (31)| D (e)|e = (31)|e = 0
[ D (e)]42 = e4 | D (e)|e2 = (31)| D (e)|(12) = (31)|(12) = 0
[ D (e)]43 = e4 | D (e)|e3 = (31)| D (e)|(23) = (31)|(23) = 0
[ D (e)]44 = e4 | D (e)|e4 = (31)| D (e)|(31) = (31)|(31) = 1
[ D (e)]45 = e4 | D (e)|e5 = (31)| D (e)|(123) = (31)|(123) = 0
[ D (e)]46 = e4 | D (e)|e6 = (31)| D (e)|(321) = (31)|(321) = 0
[ D (e)]51 = e5 | D (e)|e1 = (123)| D (e)|(e) = (123)|(e) = 0
[ D (e)]52 = e5 | D (e)|e2 = (123)| D (e)|(12) = (123)|(12) = 0
37
[ D (e)]53 = e5 | D (e)|e3 = (123)| D (e)|(23) = (123)|(23) = 0
[ D (e)]54 = e5 | D (e)|e4 = (123)| D (e)|(31) = (123)|(31) = 0
[ D (e)]55 = e5 | D (e)|e5 = (123)| D (e)|(123) = (123)|(123) = 1
[ D (e)]56 = e5 | D (e)|e6 = (123)| D (e)|(321) = (123)|(321) = 0
[ D (e)]61 = e6 | D (e)|e1 = (321)| D (e)|(e) = (321)|(e) = 0
[ D (e)]62 = e6 | D (e)|e2 = (321)| D (e)|(12) = (321)|(12) = 0
[ D (e)]63 = e6 | D (e)|e3 = (321)| D (e)|(23) = (321)|(23) = 0
[ D (e)]64 = e6 | D (e)|e4 = (321)| D (e)|(31) = (321)|(31) = 0
[ D (e)]65 = e6 | D (e)|e5 = (321)| D (e)|(123) = (321)|(123) = 0
[ D (e)]66 = e6 | D (e)|e6 = (321)| D (e)|(321) = (321)|(321) = 1
1 0 0 0 0 0
0
0
=⇒ D (e) =
0
0
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
Tương tự ta tìm được các ma trận biểu diễn D (12), D (23), D (31), D (123), D (321). Vậy
biểu diễn chính quy của nhóm S3 là:
1
0
0
D (e ) =
0
0
0
0 0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0
0
; D (12) =
0
0
1
38
0
1
0
0
0
0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
;
;
0 0 1 0 0 0
0
1
D (23) =
0
0
0
0
0
0
D (123) =
0
1
0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
; D (31) =
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
39
0 0 0 1 0 0
0
0
1
0
0
0
0
; D (321) =
0
0
0
3.1.2. Tìm biểu diễn hai chiều của S3
Từ hình vẽ ta có:
0
0
0
0
0
1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1 0
D2 ( e ) =
0 1
√
− 3
2
−1
2
√
3
−1
2
2
√
− 3 −1
2
2
−1
√2
3
2
D2 (123) =
D2 (321) =
−1 0
D2 (23) =
0
1
2
√
D2 (12) =
− 3
2
1
√2
3
2
D2 (31) =
1
√
− 3
2
−1
2
√
3
2
−1
2
3.1.3. Tìm đặc biểu của nhóm S3
• Biểu diễn đơn vị của nhóm S3
D (e) = D (12) = D (23) = D (31) = D (123) = D (321) = 1
• Biểu diễn một chiều của nhóm S3
D (e) = 1; D (123) = 1; D (321) = 1
D (12) = −1; D (23) = −1; D (31) = −1
• Biểu diễn hai chiều của nhóm S3
D2 ( e ) =
D2 (321) =
D2 (12) =
1 0
0 1
−1
2
√
− 3
2
1
2
√
− 3
2
40
; D2 (123) =
−1
√2
3
2
√
3
2
−1
2
√
− 3
2
−1
2
; D2 (23) =
; D2 (31) =
√
− 3
2
−1
2
−1 0
0
1
√2
3
2
1
√
3
2
−1
2
• Các lớp liên hợp
K1 = { e }
K2 = {(123); (321)}
K3 = {(12); (23); (31)}
Ta có
(1)
• Biểu diễn đơn vị: X1
(1)
(1)
= X2 = X3 = 1
• Biểu diễn một chiều của S3
(2)
X1
(2)
X2
(2)
X3
= X (K1 ) = TrD (e) = 1
= X (K2 ) = TrD (123) = TrD (321) = 1
= X (K2 ) = TrD (12) = TrD (23) = TrD (31) = −1
• Biểu diễn hai chiều của S3
(3)
X1
(3)
X2
(3)
X3
= X (K1 ) = TrD (e)=2
= X (K2 ) = TrD (123) = TrD (321) = −1
= X (K3 ) = TrD (12) = TrD (23) = TrD (31) = 0
Vậy bảng đặc biểu của nhóm S3 là:
K1
K2
K3
D (1)
1
1
1
D (2)
1
1
-1
D (3)
2
-1
0
Bảng 3.2:
41
3.2. Sử dụng sơ đồ Young tìm các lớp liên hợp của S3, S4.
3.2.1. Tìm các lớp liên hợp của nhóm S3
Các lớp liên hợp của nhóm S3 là:
Số phần tử trong mỗi lớp được tính theo công thức:
n!
k
∏ j j kj!
j
• Lớp gồm 3.1 − cycle có số phần tử là:
3!
=1
13 .3!
Vậy lớp này gồm 1 phần tử, phần tử đó là e = (1)(2)(3)
• Lớp gồm 1.2 − cycle và 1.1 − cycle có số phần tử là:
3!
=3
21 .1!.11 .1!
Vậy lớp này gồm 3 phần tử, các phần tử đó là: (12), (23), (31)
• Lớp gồm 1.3 − cycle có số phần tử là:
3!
31 .1!
=2
Vậy lớp này gồm 2 phần tử, các phần tử đó là: (123), (321).
42
3.2.2. Tìm các lớp liên hợp của nhóm S4
Các lớp liên hợp của nhóm S4 là:
Số phần tử trong mỗi nhóm được tính theo công thức:
n!
k
∏ j j kj!
j
• Lớp gồm 4.1 − cycle có số phần tử là:
4!
14 .4!
=1
Vậy lớp này gồm 1 phần tử, phần tử đó là: e = (1)(2)(3)(4).
• Lớp gồm 1.2 − cycle và 2.1 − cycle có số phần tử là:
4!
21 .1!.12 .2!
=6
Vậy lớp này gồm 6 phần tử, các phần tử đó là: (12), (14), (14), (23), (24), (34).
• Lớp gồm 2.2 − cycle có số phần tử là:
4!
22 .2!
=3
Vậy lớp này gồm 3 phần tử, các phần tử đó là: (12)(34), (13)(24), (14)(23).
• Lớp gồm 1.3 − cycle và 1.1 − cycle có số phần tử là:
4!
31 .1!.11 .1!
=8
Vậy lớp này gồm 8 phần tử, các phần tử đó là:
(123), (132), (124)(142), (134), (143), (234), (243).
43
• Lớp gồm 1.4 − cycle có số phần tử là:
4!
=6
41 .1!
Vậy lớp này gồm 6 phần tử, các phần tử đó là:
(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).
44
KẾT LUẬN
Qua quá trình tìm hiểu, về cơ bản luận văn đã hoàn thành các nhiệm vụ nghiên cứu
đề ra.
Luận văn đã trình bày các khái niệm về cơ sở lý thuyết nhóm như: Định nghĩa nhóm,
nhóm con, đồng cấu, đẳng cấu, các khái niệm lớp kề, nhóm thương và tích trực tiếp.
Giới thiệu được một số nhóm đối xứng thường gặp trong vật lí.
Đối với lý thuyết biểu diễn đã trình bày được: Biểu diễn chính quy, biểu diễn bất khả
quy, biểu diễn Unita, các bổ đề Schur, đặc biểu của biểu diễn và sử dụng sơ đồ Young
để tìm các lớp liên hợp của các nhóm đối xứng.
Luận văn cũng đã giới thiệu được một số bài tập về nhóm đối xứng. Tuy nhiên
do điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất
mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
45
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hoàng Phương, Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lí học lượng tử, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
[2] Nguyễn Hoàng Phương, Nhập môn cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Khoa học và kĩ
thuật, 2006.
[3] Howard Georgi, Lie Algebras in Particle Physics, Addison Wesley, 2003.
[4] Wi-ki Tung, Group Theory in Physics .
46
[...]... 2.1 (biểu diễn của một nhóm) Nếu một đồng cấu từ nhóm G tới một nhóm của các toán tử U (G ) trong không gian vector tuyến tính V Ta nói rằng U (G ) tạo thành một biểu diễn của nhóm G Số chiều của biểu diễn là số chiều của không gian vector V Một biểu diễn được gọi là khớp (chính xác) nếu đồng cấu cũng là một đẳng cấu (là 1 − 1) Một biểu diễn suy biến là một biểu diễn không khớp Cụ thể hơn: Biểu diễn. .. biểu diễn chính quy của G 2.1.3 Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương Định nghĩa 2.3 (biểu diễn tương đương) Hai biểu diễn của nhóm G được thực hiện bởi phép biễn đổi tương tự được gọi là hai phép biểu diễn tương đương Hai biểu diễn tương đương tạo thành một lớp tương đương Khi liệt kê các biểu diễn có thể của một nhóm ta chỉ cần đề cập đến những biểu diễn không tương đương với chính biểu. .. bản của tự nhiên là được xây dựng từ thuật ngữ "lý thuyết đo" với các nhóm đối xứng bên trong thích hợp Ví dụ: SU (2) × U (1) của tương tác yếu và tương tác điện từ và SU (3) của tương tác mạnh Ở đây chúng ta chủ yếu quan tâm đến nhóm hoán vị đối xứng Sn Nhóm đối xứng Sn có vai trò rất quan trọng trong bài toán hệ nhiều hạt đồng nhất 16 Chương 2 BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG 2.1 Biểu diễn nhóm. .. tiếp của các thành phần bất khả quy Do đó có thể định nghĩa theo cách khác về biểu diễn bất khả quy như sau: "Một biểu diễn là bất khả quy nếu có thể phân tích được thành tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy" Định lý 2.1: Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm chứa trong biểu diễn chính quy với một số lần bằng chiều biểu diễn của mình D (R) = ∑ nµ D µ µ trong đó nµ là chiều của biểu diễn. .. cấu) 1.8 Khái niệm nhóm đối xứng Nhóm đối xứng là các nhóm trong đó khi thay đổi vị trí vật thể qua phép đối xứng xung quanh các trục hay các phép quay xung quanh tâm thì cấu trúc hình học của nhóm đó vẫn không thay đổi 1.9 Một số nhóm đối xứng trong vật lí i Đối xứng không thời gian liên tục a Phép tịnh tiến trong không gian, x −→ x + a, trong đó a là một hằng số 3− vector Đối xứng này áp dụng cho... Hình 2.1: a D (r ) = −1 0 0 −1 Các ma trận đó tạo thành một biểu diễn hai chiều của nhóm D2 2.1.1 Biểu diễn đơn vị Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi: D ( g) = 1 với ∀ g ∈ G 2.1.2 Biểu diễn chính quy Ví dụ: Nhóm Z3 là một nhóm hữu hạn gồm các phần tử Z3 = {e, a, b} Bảng nhân nhóm của nhóm Z3 : Đây là một cách biểu diễn của nhóm Z3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ... nó tạo thành một đẳng cấu giữa V 26 và V’ Trường hợp cuối cùng chúng ta cũng có U (G ) = AU ′ (G ) A−1 (điều phải chứng minh) 2.2 Biểu diễn của một số nhóm đối xứng 2.2.1 Các biểu diễn một chiều Mọi nhóm đối xứng Sn có một nhóm con bất biến không tầm thường An bao gồm tất cả các hoán vị chẵn (một phép hoán vị chẵn là một hoán vị tương đương với số phép hoán vị là chẵn) Nhóm đó được gọi là nhóm Alterative... hai biểu diễn tương đương bởi vì chúng chỉ khác nhau ở việc chọn cơ sở tầm thường Định nghĩa 2.4 (Đặc biểu của một biểu diễn) Đặc biểu X ( g) của g ∈ G là một biểu diễn U (G ) được định nghĩa X ( g) = TrU ( g) (Tr= Trace: là tổng các phần tử trên đường chéo chính) Nếu D (G ) là một ma trận biểu diễn của G thì: χ( g) = ∑ D(g)ii Định nghĩa 2.5 (Biểu diễn bất khả quy) Cho U ( g) là một biểu diễn của G trong... Burnside: Chiều của các biểu diễn bất khả quy không tương đương thỏa mãn điều kiện sau: ∑ n2µ = N µ trong đó: N là bậc của nhóm nµ là chiều của biểu diễn bất khả quy không tương đương (số lớp liên hợp bằng số biểu diễn bất khả quy không tương đương.) 22 2.1.4 Biểu diễn Unita Định nghĩa 2.6 (biểu diễn Unita) Nếu toán tử U ( g) là Unita với ∀ g ∈ G thì biểu diễn U (G ) được gọi là biểu diễn Unita Toán... vecto x ∈ V2 là một tổ hợp tuyến tính {e j ; j = n1 + 1, }, U ( g) | x cũng phải thuộc V2 Vì vậy V2 là không gian con bất biến của V đối với U (G ) Định lí 2.3: Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn Unita Chứng minh: Giả sử D ( g) là một biểu diễn của nhóm hữu hạn G Xây dựng một toán tử dạng S = ∑ D + ( g) D ( g) S là Hamintian và dương trên một nửa nhóm Do đó có thể ... tâm đến nhóm hoán vị đối xứng Sn Nhóm đối xứng Sn có vai trò quan trọng toán hệ nhiều hạt đồng 16 Chương BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG 2.1 Biểu diễn nhóm Định nghĩa 2.1 (biểu diễn nhóm) Nếu... hiểu vấn đề lý thuyết nhóm số nhóm đối xứng Xuất phát từ lý chọn đề tài: “BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu vấn đề biểu diễn số nhóm đối xứng Nhiệm vụ nghiên cứu... Khái niệm nhóm đối xứng 14 1.9 Một số nhóm đối xứng vật lí 14 Chương BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG