Biểu diễn của một số nhóm đối xứng

Tính chất đối xứng của cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bảndẫn đến những phương pháp phân loại các mức như mức năng lượng, mức khốilượng hay một số đối tượng khác.Tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

Nguyễn Thị Xuân

BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Huy Thảo

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của khóa luận tôi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn TS.NguyễnHuy Thảo Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận này.Tôi xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập tạikhoa

Đồng thời, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luônbên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóaluận tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Xuân.

LỜI CAM ĐOAN

Được sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Huy Thảo và sự nỗ lực của bản thân, tôi

đã hoàn thành khóa luận này Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi, khôngtrùng với bất kì kết quả của tác giả nào công bố trước đây Nếu sai tôi xin hoàn toànchịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Xuân.

Mục lục

Lởi cam đoan 3

Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM 5

1.1 Các khái niệm cơ sở về nhóm và ví dụ 5

1.2 Ví dụ, nhóm con 7

1.3 Bổ đề sắp xếp lại, đẳng cấu, nhóm đối xứng (hoán vị) 9

1.4 Các lớp kề và các nhóm con bất biến 12

1.5 Lớp kề và nhóm thương 12

1.6 Đồng cấu 13

1.7 Tích trực tiếp 14

1.8 Khái niệm nhóm đối xứng 14

1.9 Một số nhóm đối xứng trong vật lí 14

Chương 2 BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG 17

2.1 Biểu diễn nhóm 17

2.1.1 Biểu diễn đơn vị 19

2.1.2 Biểu diễn chính quy 19

2.1.3 Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương 21

2.1.4 Biểu diễn Unita 23

2.1.5 Bổ đề Schur 25

2.2 Biểu diễn của một số nhóm đối xứng 27

2.2.1 Các biểu diễn một chiều 27

2.2.2 Nhóm hoán vị của n vật thể 28

2.2.3 Các lớp liên hợp 29

2.2.4 Sơ đồ Young 31

2.2.5 Sơ đồ Young và các biểu diễn của S n 32

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 36

3.1 Một số bài toán về biểu diễn nhóm 36

3.1.1 Tìm biểu diễn chính quy của nhóm S3 36

3.1.2 Tìm biểu diễn hai chiều của S3 39

3.1.3 Tìm đặc biểu của nhóm S3 40

3.2 Sử dụng sơ đồ Young tìm các lớp liên hợp của S3,S4 42

3.2.1 Tìm các lớp liên hợp của nhóm S3 42

3.2.2 Tìm các lớp liên hợp của nhóm S4 43

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

Tính chất đối xứng của cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bảndẫn đến những phương pháp phân loại các mức như mức năng lượng, mức khốilượng hay một số đối tượng khác.

Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể tính bằng môn toán họctrừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Lý thuyết nhóm cung cấp ngôn ngữ toán học

tự nhiên để mô tả các tính chất của thế giới vật lí Từ năm 1950 ứng dụng của lýthuyết nhóm ngày càng trở nên quan trọng trong lĩnh vực vật lí cũng như các lĩnhvực khác của khoa học cuộc sống Nó đóng vai trò quan trọng trong việc khámphá “các tính chất đối xứng bên trong của tự nhiên” Các tính chất đối xứng vàcác nhóm đối xứng là một phần quan trọng khi nghiên cứu về lý thuyết nhóm, là

cơ sở của vật lí hạt và có ứng dụng rất nhiều trong vật lí lượng tử

Phạm vi của khóa luận tốt nghiệp cũng như khả năng chỉ cho phép tôi tìm hiểumột trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm đó là một số nhóm đối xứng.Xuất phát từ lý do trên tôi đã chọn đề tài:

“BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các vấn đề cơ bản về biểu diễn của một số nhóm đối xứng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày các khái niệm cơ sở của lý thuyết nhóm

- Trình bày các vấn đề cơ bản về biểu diễn nhóm và biểu diễn một số nhóm đốixứng

4 Đối tượng nghiên cứu

- Cơ sở lý thuyết nhóm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán

ii Tính chất kết hợp a.(b.c) = (a.b).c với mọi a, b, c ∈ G.

iii Giữa các phần tử của G, có một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất:

Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo là nhóm có 2 phần tử, một trong số đó phải là phần

tử đơn vị chúng ta biểu thị chúng bởi e, a Theo các tính chất của e chúng ta phải có

năng thứ hai là không thể bởi vì khi nhân cả 2 vế với a− 1thì ta sẽ có a =e, điều này làsai Quy tắc nhân có thể được tổng quát một cách ngắn gọn trong bảng nhân nhóm sau

và nhóm này được kí hiệu là C2 Nhóm C2xuất hiện trong tất cả các ngành nghiên cứucủa vật lí học và toán học

Bậc của một nhóm bằng số phần tử của nhóm đó (nếu nhóm đó là hữu hạn)

Các nhóm tuần hoàn C n đã mô tả ở trên có bậc n = (1, 2 )và chúng được gọi là nhómAbel

Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là bậc 4 Nó thường được gọi là nhóm

bốn hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D2

Nếu chúng ta kí hiệu bốn phần tử bởi{e, a, b, c} Ta có:

Ta xét hình vẽ đi kèm với đối xứng D2sau và các phép đối xứng như sau:

iii Phản xạ qua trục ngang (2,4)

iv Quay hình xung quanh tâm một góc π trong không gian.

Chú ý rằng tất cả 6 phép biến đổi trên giữ nguyên hình dạng của tam giác mà chỉ

thay đổi các kí hiệu điểm (1, 2, 3) Chúng tạo thành nhóm nhị diện D3 Cụ thể, phản xạqua trục (3, 3’) dẫn tới sự thay đổi của 1 và 2 và cứ thế tiếp tục Do đó chúng ta biểuthị ba toán tử đó bởi(12),(23)và(31)tương ứng Quay ngược chiều kim đồng hồ cácgóc 2π

Định nghĩa 1.4 (nhóm con)

Một tập con H của nhóm G nếu đồng thời cũng lại là một nhóm với quy tắc nhân như của G được gọi là nhóm con của G.

Ví dụ 1: Nhóm D2 : {e, a, b, c}có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử {e, a};

{e, b};{e, c}tương ứng.{e, a}trùng với nhóm C2và hai tập con còn lại cũng vậy

Ví dụ 2: Nhóm S3 Có bốn nhóm con riêng biệt bao gồm {e,(12)}; {e,(23)};{e,(31)};

{e,(123),(321)} Ba nhóm đầu giống hệt nhóm C2, nhóm còn lại giống với nhóm C3.Một số nhóm quan trọng

i Nhóm tuyến tính chung GL(n) bao gồm tất cả các ma trận khả nghịch Unita(n×

n)

ii Nhóm Unita U(n) bao gồm tất cả các ma trận Unita Các ma trận U(n×n) này

thỏa mãn U.U+ =1

iii Nhóm Unita đặc biệt SU(n)bao gồm các ma trận Unita với định thức bằng 1

iv Nhóm trực giao O(n) bao gồm các ma trận trực giao, các ma trận trực giao thỏa

mãn O.O T =1, O T là ma trận trực giao của ma trận O.

Các nhóm đó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm và ứng dụngtrong rất nhiều lĩnh vực vật lí và toán học

1.3 Bổ đề sắp xếp lại, đẳng cấu, nhóm đối xứng (hoán vị)

Bổ đề sắp xếp lại: Nếu p, b, c∈ G và p.b = p.c thì b=c.

Chứng minh: Nhân cả hai vế của phương trình với p− 1ta được điều phải chứng minh

Kết quả này có ý nghĩa là nếu b và c là các phần tử riêng biệt của G thì p.b và p.c cũng riêng biệt Vì vậy tất cả các phần tử của G được sắp xếp lại theo một trình tự, và nhân vào bên trái phần tử đã cho p thì kết quả là trình tự được sắp xếp lại so với ban đầu.

Cũng theo cách này áp dụng cho phép nhân vào bên phải

Chúng ta hãy xét trường hợp của một nhóm hữu hạn bậc n Ta sẽ biểu thị các phần

tử của nhóm bởi{g1,g2, ,g n} Nhân mỗi phần tử này với một phần tử cố định h thì

kết quả là {hg1,hg2, ,hg n} = {h g1,h g2, ,h gn} trong đó {h1,h2, ,h n} là hoán vị củacác số (1, 2, ,n) xác định bởi h Vì vậy chúng ta tìm mối quan hệ tự nhiên giữa một

phần tử h ∈ Gvà một phép hoán vị đặc trưng bởi(h1,h2, ,h n) Điều này là quan trọngtrong lý thuyết nhóm.

Một nhóm hoán vị bất kì của n vật sẽ được biểu thị bởi:

!

Trong đó mỗi phần tử ở dòng đầu tiên được thay thế bởi phần tử tương ứng ở dòng

thứ hai Tập hợp các phép hoán vị của n vật tạo thành một nhóm S n được gọi là nhómhoán vị hoặc nhóm đối xứng

Phần tử đơn vị tương ứng với không hoán vị

Hai nhóm G và G′được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại sự tương ứng là(1−1)giữa các

phần tử là luật nhân nhóm được bảo toàn Nói cách khác Nếu g i ∈ G ⇆ g′i ∈ G′ và

g1.g2 =g3 ∈ G thì g′

1.g′2 =g′3 ∈ G′ và ngược lại Kí hiệu G≃G′

Định lý 1.1 (Cayley)

Chứng minh: Bổ đề sắp xếp lại cung cấp cho ta một sự tương ứng từ G đến S n

Do đó a.b = c trong G nghĩa là P a P b = P c trong S n , nói cách khác a ∈ G −→ P a ∈ S n

phép nhân nhóm được bảo toàn

Hoán vị P a = 1 2 n

a1 a2 a n

!với∀a ∈ G tạo thành một nhóm con của S nlà đẳng cấu

với G.(điều phải chứng minh)

Ví dụ 1: Nhóm tuần hoàn bậc 3{C3 : e, a, b = a2}là đẳng cấu với nhóm con của S3baogồm các phần tử{e,(123),(321)}

Ví dụ 2: Nhóm nhị diện{D2 : e, a, b, c} là đẳng cấu với nhóm con của S4bao gồm cácphần tử{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

Ví dụ 3: Nhóm {C4 : e = a4,a, a2,a3} là đẳng cấu với nhóm con của S4 bao gồm cácphần tử{e,(1234),(13)(24),(4321)}

Định lý 1.2

1.4 Các lớp kề và các nhóm con bất biến

Định nghĩa 1.6 (các phần tử liên hợp)

Một phần tử b ∈ G được gọi là liên lợp với phần tử a ∈ G nếu tồn tại một phần

tử nào đó p ∈ G mà b = pap−1, chúng ta sẽ biểu thị mối quan hệ liên hợp bởi kí hiệu

”∼”

Tính chất:

i Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính đối xứng).

ii a liên hợp với chính nó a ∼a (tính tự liên hợp).

iii Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với c: a∼b; b ∼c thì a∼c.

Định nghĩa 1.7 (lớp liên hợp)

Các phần tử của một nhóm mà chúng liên hợp với các phần tử khác trong nhóm tạothành một lớp (lớp liên hợp)

Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp

Ví dụ 1: Phần tử đơn vị tạo thành một lớp bởi chính nó

Ví dụ 2: Các phần tử thuộc nhóm hoán vị S3có thể được phân chia thành ba lớp sau: Lớp

1−cycleξ1 =e; Lớp 2−cycleξ2 = {(12),(23),(31)}; Lớp 3−cycleξ3 = {(123),(321)}

Ví dụ minh họa này là kết quả chung cho nhóm đối xứng: Các hoán vị với cùng mộtcấu trúc tuần hoàn thuộc cùng một lớp

Định nghĩa 1.8 (nhóm con bất biến)

Nhóm con bất biến H của G là một nhóm con mà tất cả các nhóm con liên hợp của

nó là trùng nhau

Có thể dễ dàng thấy rằng một nhóm con H là bất biến nếu và chỉ nếu nó chứa các phần

tử của G trong các lớp hoàn chỉnh Tất cả các nhóm con của một nhóm Abel là các nhóm

con bất biến

Ví dụ: Nhóm con H = {e, a2}của C4{e= a4,a, a2,a3}là một nhóm con bất biến

Mọi nhóm G đều có ít nhất 2 nhóm con bất biến là e và chính G.

1.5 Lớp kề và nhóm thương

Định nghĩa 1.9 (Lớp kề)

Lấy H = {h1,h2, }là một nhóm con của G và lấy p là một phần tử của G (nhưng không phụ thuộc H) thì tập hợp của các phần tử pH = {ph1,ph2, } được gọi là một

lớp kề trái của H Tương tự Hp= {h1p, h2p } là một lớp kề phải của H.

Bổ đề:

Hai lớp kề trái (phải) của nhóm con H là hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần tử chung nào.

Chứng minh: Lấy pH và qH là hai lớp kề Giả thiết rằng ph i = qh j với h i,h j ∈ H thì

q−1p = h j h−i 1 là một phần tử của H Điều đó có nghĩa rằng q− 1pH phải trùng với H,

q−1pH = H Hơn nữa pH =qH dĩ nhiên nếu h i,h j không thỏa mãn∃ph i = qh j thì pH

và qH phải được phân biệt bởi định nghĩa (điều phải chứng minh).

Định lý 1.3 (Lagrange):

Ví dụ: Xét nhóm hoán vị S3:

Nhóm con{H1 : e,(123),(321)}có một lớp kề{M : (12),(23),(31)}thu được bởi phép

nhân các phần tử của H1từ bên trái với(12), (23)hoặc(31)

Nhóm con{H2 : e,(12)}có hai lớp kề trái{M1 : (23),(321)} thu được từ H2khi nhânvới(23)hoặc(321) và{M2 : (31),(123)}thu được từ H2khi nhân với(31)hoặc(123)

Định lý 1.4 (Nhóm thương):

Nếu H là một nhóm con bất biến của G, tập hợp của các lớp kề tuân theo quy tắc nhân

Nhóm G đồng cấu với nhóm G′ nếu tồn tại một ánh xạ (không cần 1 đối 1) giữa các

phần tử của nhóm G và G′ và phép nhân nhóm được bảo toàn hay nói cách khác nếu

g i ∈ G ⇁ g′i ∈ G′ và g1.g2 =g3thì g′

1.g2′ =g3′

Rõ ràng đồng cấu là một trường hợp đặc biệt của đẳng cấu

Định lý 1.5:

chúng được ánh xạ tới phần tử đơn vị của G′ K = {a ∈ G; a−→f e′ ∈ G′}thì K tạo thành một

1.7 Tích trực tiếp

Định nghĩa 1.11 (tích trực tiếp)

Cho H1và H2là các nhóm con của một nhóm G với các tính chất sau:

i Mỗi phần tử của H1 kết hợp với phần tử bất kì của H2: h1h2 = h2h1 với ∀h1 ∈ H1và

h2 ∈ H2.

ii Mỗi phần tử g của G có thể được viết một cách duy nhất là g =h1h2trong đó h1 ∈ H1và

h2 ∈ H2Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của H1và H2, kí hiệu G= H1⊗H2.

Ví dụ: Xét nhóm C6 với các phần tử {e = a6,a, a2,a3,a4,a5} và các nhóm con H1 ={e, a3} và H2 = {e, a2,a4} Điều kiện i ở trên được thỏa mãn vì nhóm là nhóm Abel

ab=ba và ii có thể chứng minh là: e.e=e; a =a3.a4;a2 =e.a2;a3 =a3.e; a4 =e.a4;a5 =

a3.a2Vì H1≃C2; và H2≃C3, chúng ta thu được C6 ≃C2⊗C3(kí hiệu≃biểu thị đẳngcấu)

1.8 Khái niệm nhóm đối xứng

Nhóm đối xứng là các nhóm trong đó khi thay đổi vị trí vật thể qua phép đối xứngxung quanh các trục hay các phép quay xung quanh tâm thì cấu trúc hình học củanhóm đó vẫn không thay đổi

1.9 Một số nhóm đối xứng trong vật lí

i Đối xứng không thời gian liên tục

a Phép tịnh tiến trong không gian, x −→ x+a, trong đó a là một hằng số 3−vector.Đối xứng này áp dụng cho tất cả các hệ cô lập, là cơ sở giả định của không gian đồngnhất

Ví dụ: Mỗi vùng của không gian là tương đương với những vùng khác hay nói cáchkhác hiện tượng vật lí phải được tạo thành từ một vị trí này đến vị trí khác Sự bảo toànđộng lượng được biết như là hệ quả của phép đối xứng này.

b Phép tịnh tiến thời gian: t −→ t+a0 trong đó a0 là một hằng số Đối xứng nàycũng được áp dụng cho các hệ cô lập, là sự đồng nhất của thời gian

Ví dụ: Cho điều kiện như ban đầu, biểu hiện của hệ vật lí là độc lập với thời gian tuyệtđối Nói cách khác, hiện tượng vật lí được tạo thành ở các thời điểm khác nhau Sự bảotoàn năng lượng bắt nguồn từ đó

c Phép quay trong không gian ba chiều x i −→ x′i = R i j x j trong đó i, j=1, 2, 3,{x i}

là ba thành phần của một vector và(R) là một ma trận quay (3×3) (trực giao) Phépđối xứng này biểu thị đồng vị của không gian

Ví dụ: Biểu thị của hệ cô lập phải là độc lập trong định hướng của hệ trong không gian

Nó dẫn đến sự bảo toàn của xung lượng góc

d Phép biến đổi Lorentz

tx

ii Đối xứng không thời gian riêng biệt

a Phép nghịch đảo không gian (hoặc là phép biến đổi chẵn- lẻ):x −→ −x Đối xứngnày là tương đương với sự phản xạ trong một mặt phẳng (ví dụ: mặt gương), nó có thể

thu được từ một mặt phẳng khác bởi sự kết hợp của phép quay một góc π Hầu hết các

tương tác trong tự nhiên tuân theo phép đối xứng này, nhưng "tương tác yếu" (đóngvai trò cho việc phân rã, phóng xạ và các quá trình yếu khác) thì không

b Phép nghịch đảo thời gian: t −→ −t Điều này tương tự với phép nghịch đảokhông gian Phép đối xứng này được biết như là tất cả các lực đã biết trừ trường hợpđặc biệt (ví dụ: phân rã hạt "K-meson")

c Các phép tịnh tiến riêng biệt trong một mạng tinh thể (các nhóm điểm) Các tậpcon của phép quay ba chiều và phép biến đổi phản xạ làm cho cấu trúc của mạng là bất

biến Có 32 nhóm điểm tinh thể, kết hợp với phép tịnh tiến riêng chúng tạo thành cácnhóm không gian, các nhóm này là các nhóm đối xứng cơ bản của vật lí chất rắn.

iii Hoán vị đối xứng

Các hệ có chứa nhiều hơn một hạt giống hệt nhau là bất biến dưới sự đổi chỗ củacác hạt Các phép hoán vị tạo thành một phép đối xứng Nếu các hạt đó có một vài hạt

tự do thì nhóm phân tích lý thuyết là rất cần thiết để tách các tính chất đối xứng của cáctrạng thái hoán vị (Thống kê Bose- Einstein và Fermi- Dirac, nguyên lí loại trừ Pauli )

iv Sự bất biến của phép đo và bảo toàn điện tích

Cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử của các tương tác của trường điện từ với sựtích điện là bất biến dưới một "chuyển đổi phép đo" Đối xứng này liên quan mật thiếtvới định luật bảo toàn điện tích

v Đối xứng bên trong của hạt nhân và vật lí hạt cơ bản

Hầu hết các loại đối xứng thường là "đồng vị spin" (spin đồng vị) là bất biến của vật

lí hạt nhân Các loại đối xứng được tổng quát và tinh giản đi rất nhiều trong vật lí hạt

cơ bản ngày nay Ta đã biết tất cả các lực cơ bản của tự nhiên là được xây dựng từ thuậtngữ "lý thuyết đo" với các nhóm đối xứng bên trong thích hợp

Ví dụ: SU(2) ×U(1) của tương tác yếu và tương tác điện từ và SU(3) của tương tácmạnh

Ở đây chúng ta chủ yếu quan tâm đến nhóm hoán vị đối xứng S n Nhóm đối xứng S n

có vai trò rất quan trọng trong bài toán hệ nhiều hạt đồng nhất

Chương 2

BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG

2.1 Biểu diễn nhóm

Định nghĩa 2.1 (biểu diễn của một nhóm)

Nếu một đồng cấu từ nhóm G tới một nhóm của các toán tử U(G)trong không gian

vector tuyến tính V Ta nói rằng U(G) tạo thành một biểu diễn của nhóm G Số chiều của biểu diễn là số chiều của không gian vector V Một biểu diễn được gọi là khớp

(chính xác) nếu đồng cấu cũng là một đẳng cấu (là 1−1) Một biểu diễn suy biến làmột biểu diễn không khớp

Cụ thể hơn: Biểu diễn là một ánh xạ

g∈ G −→U U(g)

trong đó U(g) là một toán tử trong V như là U(e) = 1là toán tử đơn vị trong khônggian các toán tử tuyến tính hoạt động(V)

U(g1)U(g2) =U(g1g2) (2.1)tức là các toán tử thỏa mãn quy tắc nhân tương tự như phép nhân các phần tử củanhóm

Xét trường hợp của một nhóm hữu hạn chiều Chọn một tập hợp các vector cơ sở

{eˆi,i = 1, 2, ,n} trong V Các toán tử U(g) được hiều là các ma trận n×nD(g) như

trong đó ma trận nhân là D(g1g2) Vì D(G) = {D(g);g ∈ G}thỏa mãn cùng một biểu

thức đại số như đối với U(g) Nhóm của các ma trận tạo thành một ma trận biểu diễn

của G.

Ví dụ 1: Có một biểu diễn một chiều tầm thường với∀nhóm G V =C(không gian của

các số phức) và U(g) = 1với∀g ∈ G Rõ ràng U(g1).U(g2) =1.1 =1=U(g1g2)do đó

g ∈ G−→ 1tạo thành biểu diễn một chiều

Ví dụ 2: Cho G là nhóm nhị diện D2bao gồm e (đơn vị), h (phản xạ qua trục Y), v (phản

xạ qua trục X) và r (quay một góc π xung quanh tâm) Cho V2là không gian Euclideanhai chiều với các vecto cơ sở(eb1,eb2) Hình 2.1 a và sử dụng định nghĩa ở phương trình(2.2)

Hình 2.1: a

0 −1

!

Các ma trận đó tạo thành một biểu diễn hai chiều của nhóm D2

2.1.1 Biểu diễn đơn vị

Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:

e a b

Bảng 2.1: Bảng nhân nhóm của nhóm Z3

Biểu diễn này được xây dựng trực tiếp từ bảng nhân nhóm với quy tắc sau:

Coi mỗi phần tử của nhóm tương ứng với một vector cơ sở trực chuẩn trong khônggian vector và tuân theo luật nhân:

D(g1) |g2i = |g1g2i

Đây là một biểu diễn vì thỏa mãn hai điều kiện sau:

Điều kiện 1: D(e) = I(I là toán tử đơn vị, ma trận đơn vị)

Điều kiện 2: D(g1).D(g2) = D(g1g2) Thật vậy:

Từ đó ta chứng minh được đó là một biểu diễn

Biểu diễn trên được gọi là biểu diễn chính quy của nhóm Z3 Các ma trận của biểu diễnchính quy được xây dựng như sau:

Đặt :|ei ≡ |e ii;

Các phần tử của ma trận[D(g)]ij = he i|D(g)

e j (|aigọi là vector ket,|bigọi là vector brown) từ đó rút ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.2 (Biểu diễn chính quy)

Ta coi mỗi phần tử thuộc nhóm G tương ứng với một vector cơ sở trực chuẩn trong

không gian vector Ví dụ|ei,|ai,|bi

Đặt:|ei ≡ |e1i;|ai ≡ |e2i; |bi ≡ |e3i

Và tuân theo luật nhân:

thì D được gọi là biểu diễn chính quy của G.

2.1.3 Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương

Định nghĩa 2.3 (biểu diễn tương đương)

Hai biểu diễn của nhóm G được thực hiện bởi phép biễn đổi tương tự được gọi là

hai phép biểu diễn tương đương Hai biểu diễn tương đương tạo thành một lớp tươngđương

Khi liệt kê các biểu diễn có thể của một nhóm ta chỉ cần đề cập đến những biểu diễnkhông tương đương với chính biểu diễn đó

Với một phép biến đổi đồng dạng theo trạng thái, biến đổi là khả nghịch (trạng tháimới giống trạng thái cũ) ta luôn có thể tạo ra một biểu diễn mới có dạng

D(g) −→ D′(g) = S−1D(g)S (2.5)

Slà ma trận khả nghịch

Vì S là biến đổi đồng dạng, tập hợp các toán tử mới có quy tắc nhân giống như tập hợp các toán tử cũ, vì vậy D′ là biểu diễn nếu D là biểu diễn D và D′ được gọi là hai biểudiễn tương đương bởi vì chúng chỉ khác nhau ở việc chọn cơ sở tầm thường

Định nghĩa 2.4 (Đặc biểu của một biểu diễn)

Đặc biểu X(g) của g ∈ G là một biểu diễn U(G) được định nghĩa X(g) = TrU(g)

(Tr= Trace: là tổng các phần tử trên đường chéo chính) Nếu D(G)là một ma trận biểu

diễn của G thì:

χ(g) = ∑D(g)i i

Định nghĩa 2.5 (Biểu diễn bất khả quy)

Cho U(g)là một biểu diễn của G trong không gian vector U(G)là bất khả quy nếu

V không chứa một không gian con bất biến không tầm thường nào đối với U(g) Ngượclại là biểu diễn khả quy

Trong trường hợp thứ hai nếu phần bù trực giao của không gian con bất biến đối với

U(G)thì nó cũng là bất biến đối với U(G) thì biểu diễn đó được gọi là biểu diễn hoàntoàn khả quy hay có thể phân tích được

(Một biểu diễn bất khả quy nếu nó không là biểu diễn khả quy)

... data-page="24">

thì D gọi biểu diễn quy G.

2.1.3 Biểu diễn bất khả quy, biểu diễn không tương đương

Định nghĩa 2.3 (biểu diễn tương đương)

Hai biểu diễn nhóm G...

hai phép biểu diễn tương đương Hai biểu diễn tương đương tạo thành lớp tươngđương

Khi liệt kê biểu diễn nhóm ta cần đề cập đến biểu diễnkhông tương đương với biểu diễn

Với... D′ là biểu diễn D biểu diễn D D′ gọi hai biểudiễn tương đương chúng khác việc chọn sở tầm thường

Định nghĩa 2.4 (Đặc biểu biểu diễn)

Đặc biểu X(g)