Các lớp liên hợp có cấu trúc cycle, chúng được kí hiệu bởi các số nguyênkj.
Ví dụ: Tất cả các đổi chỗ trong cùng một lớp liên hợp nó là đủ để kiểm tra rằng nó là tự đẳng cấu bên trong gg1g−1 không thay đổi cấu trúc cycle của g1 khi g đổi chỗ, bởi vì chúng ta có thể xây dựng bất kì hoán vị nào từ những sự đổi chỗ. Chúng ta hãy xem điều này làm như thế nào trong một vài ví dụ đơn giản. Trong trường hợp đặc biệt, chúng ta sẽ thấy rằng liên hợp một phép hoán vị bất kì bởi sự thay đổi (12)(3)... là sự đổi chỗ của1và2mà không làm thay đổi cấu trúc cycle.
Ví dụ: (12)(3)(4).(1)(23)(4).(12)(3)(4) (chú ý rằng mỗi sự thay đổi chỗ chỉ có một nghịch đảo). 1234 ↓(12)(3)(4) 2134 ↓(1)(23)(4) 2314 ↓(12)(3)(4) 3214 ↓(2)(13)(4) =1234
Nếu1và2là trong các cycle khác nhau, chúng chỉ đổi chỗ bởi phép hoán vị(12) như đã nói.
Điều tương tự xảy xa khi có1và2nằm tromg cùng cycle, ví dụ:
1234
↓(12)(3)(4) 2134
↓ (123)(4) 1324 ↓(12)(3)(4) 3124 ↓ (213)(4) 2314 ↓ (213)(4) =1234
Lại một lần nữa trong cùng một cycle1và2đổi chỗ cho nhau. Cách khác để thấy được điểu này là chú ý rằng liên hợp là tương tự với một phép biến đổi tương đương. Trong thực tế trong định nghĩa phép biểu diễn n chiểu bởi sự đổi chỗ(12)là một sự thay đổi của các vecto cơ sở|1i ←→ |2i. Thì dễ dàng thấy rằng liên hợp không làm thay đổi cấu trúc cycle, nhưng sự đổi chỗ đơn giản thành một hoán vị bất kì. Các lớp liên hợp phải bao gồm tất cả các hoán vị có thể với một cấu trúc cycle đặc biệt.
Bây giờ chúng ta hãy đếm số phần tử của nhóm trong mỗi lớp liên hợp.
Giả sử một lớp liên hợp bao gồm các hoán vị tạo bởik11−cycle,k22−cycle...thỏa mãn:
n
∑
j=1
j.kj =n
. Số phép hoán vị khác nhau trong một lớp liên hợp là:
n! ∏ j jkjkj! trong đó:nlà số vật thể jlà sốcycle kjlà sốj−cycle.
bởi vì mỗi phép hoán vị của các số từ1−→ncho ta một hoán vị trong lớp. Nhưng bậc của cycle không đổi với một cycle.
. Và bậc là không thay đổi giữa tất cả các cycle có cùng chiều dài(12)(34)là giống như
(34)(12).