Chúng ta đã thấy rằng mỗi sơ đồ Young vớinhộp tương ứng với một biểu diễn bất khả quy củaSn, vì số biểu diễn bất khả quy không tương đương bằng số lớp liên hợp. Để thấy được thế nào là biểu diễn bất khả quy, chúng ta bắt đầu đặt các số nguyên từ1
đếnnvào các hộp của sơ đồ Young theo tất cả các cách có thể. Chúng ta cón!cách để làm việc đó. Sau đó chúng ta định nghĩa mỗi sự phân bố của các số nguyên từ1đếnn
trong các hộp tương ứng với một trạng thái trong biểu diễn chính quy củaSn xác định một bậc tiêu chuẩn, đọc từ trái sang phải và từ trên xuống dưới (giống như đọc chữ trong trang sách). Để từ các số nguyên trong các hộp thành một trạng thái kết hợp với một phép hoán vị đặc biệt. Chẳng hạn với ví dụ:
trong đó|6532174ilà trạng thái tương ứng với phép hoán vị:
1234567−→6532174
Với mỗin!phân bố của các hộp của bảng mô tản!trạng thái của biểu diễn chính quy. Tiếp theo với mỗi sơ đồ riêng, trạng thái đối xứng tương ứng trong các số trong mỗi hàng và sự phản đối xứng của các trạng thái trong các số trong mỗi cột.
Ví dụ:
và
Tập hợp của các trạng thái được cấu trúc theo cách đó của một số không gian con của biểu diễn chính quy. Chúng ta có thể xây dựng các trạng thái cụ thể và chúng ta biết được hoán vị là như thế nào trong các trạng thái đó. Một không gian con được xây dựng theo cách này là một biểu diễn củaSn, vì một hoán vị tương ứng với một sự phân bố khác nhau của các số trong bảng, vì vậy phép hoán vị trong bất kì trạng thái nào trong không gian con được tạo bởi các trạng thái khác nhau trong không gian con đó. Trong thực tế biểu diễn đó là bất khả quy và chúng ta nói mỗi biểu diễn bất khả quy tương ứng với một sơ đồ Young.
Xem xét ví dụ của nhómS3. Bảng:
cho các trạng thái đối xứng hoàn chỉnh và vì vậy nó liên quan đến không gian con một chiều mà phép biến đổi dưới một biểu diễn tầm thường.
Bảng:
cho các trạng thái hoàn toàn phản đối xứng và vì vậy nó liên quan đến một không gian con một chiều, phép biến đổi đó được biểu thị bởi(−1).
Cuối cùng:
Chú ý rằng đổi chỗ hai số trong cùng một cột của bảng làm thay đổi kí hiệu của trạng thái, điều đó là đúng. Hơn nữa, bạn có thể nhìn rõ ràng tổng của 3 trạng thái liên quan
bởi phép hoán vị vòng quanh biến mất. Do đó không gian con là hai chiều và biến đổi dưới biểu diễn bất khả quy hai chiều củaS3.
Chương 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG