Mọi nhóm đối xứng Sn có một nhóm con bất biến không tầm thường An bao gồm tất cả các hoán vị chẵn (một phép hoán vị chẵn là một hoán vị tương đương với số phép hoán vị là chẵn). Nhóm đó được gọi là nhóm Alterative Group (nhóm thay phiên). Nhóm thươngSn/An là đẳng cấu vớiC2. Theo đó mọiSn có hai biểu diễn bất khả quy một chiều, chúng được cảm sinh bởi hai biểu diễn của C2 bảng 3.1. Đầu tiên là biểu diễn đơn vị, thứ hai là gán cho mỗi hoán vị p số(−1)p, nó là1nếuplà "chẵn" và(−1)
nếuplà "lẻ". Chúng ta sẽ coi(−1)plà tính chẵn lẻ của hoán vị.
Một cách khác để thay thế các biểu diễn một chiều củaSn bằng trung bình của các lũy đẳng (ví dụ: các toán tử hình chiếu của nhóm đại số).
Định lí 2.5:
Đối xứng s = ∑p và phản đối xứnga = ∑
p(−1)p.p của nhómSn là lũy đẳng và nguyên hàm cần thiết.
Chứng minh:Sử dụng bổ đề sắp xếp lại, nó là dễ dàng để thấy rằng qs = sq = s với
∀q ∈ Sn. Theo đó thìss =n!svàsqs =ss =n!s. s là lũy đẳng và nguyên hàm cần thiết. Tương tự cho phản đối xứng chúng ta có qa = aq = (−1)qa, có nghĩa là aa = n!a và
aqa = (−1)qn!a với∀q ∈ Sn.
svàalà các biểu diễn bất khả quy củaSntrong nhóm đại số vìsqa=sa=0với∀q ∈ Sn, hai biểu diễn là tương đương. Các vector cơ sở của biểu diễn bất khả quy là có dạng
|qsivà|qai tương ứng. Nhưng vìqs = svàqa = (−1)qq với ∀q ∈ Sn, cả hai biểu diễn đó đều là một chiều và các phần tử của ma trận tương ứng là1và(−1)q. Do đó chúng ta thu được kết quả trên.