Bổ đề Schur 1:
Cho U(G) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G trong không gian vectorV, và A là
một toán tử bất kì trong V. Nếu A giao hoán với tất cả các toán tử {U(g);g ∈ G} ví dụ
AU(g) = U(g)A thì Aphải là bội của toán tử đơn vịE. A =λE(trong đóλlà một số).
Định lí 2.4:
Các biểu diễn bất khả quy của bất kì nhóm Abel nào phải là một chiều.
Chứng minh: Cho U(G) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G. Kí hiệu p
là phần tử cố định của G. Do tính chất của nhóm Abel chúng ta có U(p).U(g) =
U(g).U(p) với∀g ∈ G.
Theo bổ đề SchurU(p) =λ.p.Ecó nghĩa là với∀p ∈ Gdo đó biểu diễnU(G) là tương đương với biểu diễn một chiều p−→ λ.p∈ Cvới∀p∈ G(điều phải chứng minh).
Chứng minh bổ đề Schur 1:
i. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể lấyU(G) là Unita và A là Hermite (nếu
U(G)không phải là Unita thì ta có thể tạo ra nó bằng một phép biến đổi đồng dạng). Nếu A không là Hermite chúng ta có thể phân tích nó thành hai toán tử Hermite:
A+ = A+A
+
2 ;A− = A−A+
2i
và xét chúng một cách riêng biệt trước khi kết hợp chúng lại thành:
A= (A++iA−) A+ vàA−là Hecmit bởi vì: (A+)+ = (A+A +)+ 2 = A ++A 2 = A+ Tương tự: (A−)+ =−(A−A +)+ 2i = (A−A+) 2i = A−
ii. Một cơ sở V:{ucα,i} có thể được chọn bao gồm các vector riêng của A.
trong đóλi là giá trị riêng của A vàα biểu thị các kí hiệu thêm vào cần thiết để chỉ rõ toàn bộ các vector cơ sở.
Tập hợp{ubα,i}có thể được chọn là trực giao.
iii. Với i cho bất kì, kí hiệu V là không gian con với {ubα,i;α = 1, 2, ...} chúng ta có thể chứng minh rằngVilà các không gian con bất biến đối vớiU(G). Lý do là|U(g)uα,ii ∈
Vi như là một hệ quả của thực tế rằng nó cũng là một vector riêng của A với cùng giá trị riêngλi.
AU(g)|uα,ii=U(g)A|uα,ii =U(g)|uα,iiλi
iv. NhưngU(G)là bất khả quy trong V, không gian vector V không chứa bất kì không gian con không bất biến không tầm thường nào. Hệ quả là không gian con bất biếnVi
phải trùng với chính V, tức làVi =V. Nghĩa là A chỉ có giá trị riêngA =λE(điều phải chứng minh).
Bổ đề Shur 2:ChoU(G) vàU′(G)là hai biểu diễn bất khả quy củaGtrong không gian vectorVvàV′tương ứng. Cho Alà một phép biến đổi tuyến tính từV′sangV, nó thỏa mãn AU′(g) =U(g)Avới∀g ∈ G.
Theo đó thì: i.A =0hoặc
ii. AvàV là đẳng cấu vàU(G)tương ứng vớiU′(g).
Chứng minh bổ đề Schur 2: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
i. Kí hiệu R là giới hạn của AU. Ví dụR ={x ∈ V;x= Ax′ với∀x′∈ V′}
R là một không gian con bất biến của V đối vớiU(G) vì∀ |xi ∈V.
U(g)|xi =U(g)A|x′i= AU′(g)|x′i =A|U′(g)x′i ∈ Rvới∀g∈ G
Nhưng nếuU(G)là một biểu diễn bất khả quy, chúng ta phải cóR=0(doA=0) hoặc
R =V (ví dụ ánh xạ A là "lên").
ii. Xét (trong V’) không gian rỗng N’ của A: N′ ={x′ ∈ V′;Ax′ = 0}N’ là không gian con bất biến của V’ đối với U′(G) vì nếu |x′i ∈ N′ thì AU′(g)|x′i = U(g)A|x′i =
U(g)|0i = 0, nghĩa làU′(g)|x′i ∈ N′ với ∀g ∈ G. VìU′(G) là bất khả quy, chúng ta phải có N′ =V′(doA=0) hoặcN′ =0.
Trong trường hợp thứ hai A|x′i= A|y′i, nghĩa là|x′i=|y′ido đó ánh xạ A là1−1. Kết hợp i. và ii. chúng ta thấy rằng hoặc A=0hoặc nó tạo thành một đẳng cấu giữa V
và V’.
Trường hợp cuối cùng chúng ta cũng cóU(G) = AU′(G)A−1(điều phải chứng minh).