Biểu diễn mở rộng Bruck-Reilly

1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.1 Biểu diễn nửa nhóm bicyclic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mở rộng Bruck-Reilly của các vị nhóm và các nhóm . . . . . . . . . . . . . . .11 Chương 2. Biểu diễn mở rộng Bruck-Reilly của vị nhóm và nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Biểu diễn mở rộng Bruck-Reilly của vị nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.2 Biểu diễn vị nhóm mở rộng Bruck-Reilly của các vị nhóm với tính chất ℘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Biểu diễn vị nhóm ngược mở rộng Bruck-Reilly của một nhóm . . . . 28 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . 34 2 MỞ ĐẦU Giả sử M là một vị nhóm và θ : M → M là một tự đồng cấu vị nhóm của M. Tập hợp N × M × N cùng với phép toán hai ngôi (m, a, n)(p, b, q) = (m − t + n, (aθ t−p )(bθ t−p ), q − p + t) với t=max(n,p) và θ 0 là tự đồng cấu đồng nhất của M, trở thành một vị nhóm với đơn vị là (0, 1, 0). Vị nhóm này được gọi là mở rộng Bruck- Reilly của M xác định bởi θ và được kí hiệu bởi BR(M, θ). Cấu trúc này là sự tổng quát các cấu trúc được đưa ra bởi Bruck(1958), Reilly(1966) và Munn(1970). Araujo và Ruskuc(2001) bắt đầu nghiên cứu tính chất tổ hợp mở rộng Bruck-Reilly. Họ đã chứng minh được rằng nếu mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ) của nhóm G biểu diễn hữu hạn được thì G là nhóm hữu hạn sinh. Thực ra, trước đó (1992), G.M.S Gomes và J.M.Howie đã thấy rằng các băng chữ nhật, nửa nhóm null hay vị nhóm tự do cũng có tính chất tương tự. Sau đó, năm 2006 C.A.Carvalho và Ruskuc chứng minh được rằng các nửa dàn cũng có tính chất tương tự như trên (nghĩa là nếu mở rộng Bruck-Reilly của nửa dàn D biểu diễn được thì D hữu hạn sinh). Tính chất này gọi là tính chất ℘. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên công trình Presentation of semi- group and inverse semigroup của tác giả Catanina Carvalho do Trường Đại học tổng hợp St.Andrew xuất bản năm 2003 để tìm hiểu về biểu diễn các mở rộng Bruck-Reilly của các vị nhóm và nhóm. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3 Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các kiến thức liên quan đến biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm, biểu diễn nhóm và mở rộng Bruck- Reilly của vị nhóm và của các nhóm để làm cơ sở trình bày chương sau. Chương 2. Biểu diễn mở rộng Bruck-Reilly của vị nhóm và nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết, chúng tôi trình bày những tính chất của biểu diễn Bruck- Reilly của các vị nhóm. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm với tính chất ℘ và hệ thống một số lớp nửa nhóm với tính chất ℘. Cuối luận văn chúng tôi xét biểu diễn vị nhóm ngược đối với mở rộng Bruck-Reilly của một nhóm. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đạt vấn đề trực tiếp và giúp chúng tôi hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng sau Đại học, Tổ Đại Số cùng Quý Thầy, Quý Cô trong chuyên ngành Đại số và lí thuyết số đã tận tình hương dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp của Quý Thầy, Quý Cô và các bạn cùng lớp để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn ! Nghệ An, tháng 08 năm 2013 Tác giả 4 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. BIỂU DIỄN NỬA NHÓM BICYCLIC Trước hết, ta nhắc lại một vài khái niệm liên quan đến biểu diễn nửa nhóm. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một bảng chữ cái. Một biểu diễn nửa nhóm là cặp A|R trong đó R ⊆ A + × A + với A + là nửa nhóm tự do trên A. Một cặp từ (u, v) ∈ R được gọi là một hệ thức và được viết dưới dạng u = v. Nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn A|R là nửa nhóm thương S := A + /ρ, trong đó ρ là tương đẳng nhỏ nhất trên A + chứa R. Khi đó ta sẽ viết P(S) = A|R để chỉ A|R là một biểu diễn của S. Mỗi nửa nhóm đều có một biểu diễn. Thật vậy, với nửa nhóm S tùy ý đều tồn tại một bảng chữ cái A và một toàn cấu nửa nhóm ϕ : A + → S. Khi đó S ∼ = A + /Ker(ϕ), trong đó Ker(ϕ) là tương đẳng hạt nhân của ϕ cho bởi (u, v) ∈ Ker(ϕ) nếu và chỉ nếu ϕ(u) = ϕ(v). Giả sử R là quan hệ hai ngôi trên A + sinh ra Ker(ϕ) thì A|R là một biểu diễn của S. Ta nói rằng S biểu diễn được hữu hạn nếu có một biểu diễn A|R của S sao cho A và R là các tập hữu hạn. 1.1.2. Chú ý. i, Định nghĩa một biểu diễn vị nhóm tương tự biểu diễn nửa nhóm bằng cách thay A + bởi A ∗ , trong đó A ∗ là một vị nhóm tự do sinh bởi A. Giả sử M là vị nhóm được xác định bởi biểu diễn vị nhóm A|R thì M (với tư cách là nửa nhóm) được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm A, e|R, ae = ea = a(a ∈ A). 5 Đảo lại, giả sử M là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm A|R thì tồn tại một từ w ∈ A + biểu diễn đơn vị của M và M được xác định bởi biểu diễn vị nhóm A|R, w = 1. ii, Giả sử B là một bảng chữ cái và B −1 := {b −1 |b ∈ B} là một bảng chữ cái không giao với B và tương ứng một-một với B. Giả sử Q là một tập con của (B ∪ B −1 ) × (B ∪ B −1 ). Khi đó B|Q được gọi là một biểu diễn nhóm đối với nhóm G nếu G ∼ = F (B)/ρ, trong đó F (B) là nhóm tự do sinh bởi B và ρ là tương đẳng nhỏ nhất trên F(B) chứa Q. Thế thì G (với tư cách là một vị nhóm) được xác định bởi biểu diễn vị nhóm B, B −1 |Q, bb −1 = b −1 b = 1(b ∈ B). iii, Hai kết quả sau đây đã được biết. 1. Giả sử M là một vị nhóm. Nếu M có một biểu diễn vị nhóm hữu hạn thì M cũng có một biểu diễn nửa nhóm hữu hạn. 2. Giả sử G là một nhóm. Nếu G có một biểu diễn nhóm hữu hạn thì G cũng có một biểu diễn vị nhóm hữu hạn. Giả sử X là một tập khác rỗng. Khi đó tập hợp T X = { f : X → X |f là ánh xạ } cùng với phép nhân (hợp thành) ánh xạ là một vị nhóm với đơn vị là ánh xạ đồng nhất id X . Vị nhóm T X được gọi là vị nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập X. 1.1.3. Định nghĩa. Vị nhóm con B sinh bởi hai phần tử α, β ∈ T N cho bởi α(n) =  0 nếu n = 0 n-1 nếu n ≥ 1 Và β(n) = n + 1(n ≥ 0) được gọi là vị nhóm bicyclic. 1.1.4. Mệnh đề. Vị nhóm bicyclic có một biểu diễn vị nhóm p, q|pq = 1 6 Chứng minh. Giả sử A = {p, q} là một bảng chữ cái. Xác định đồng cấu Ψ : A ∗ → B cho bởi Ψ(p) = α, Ψ(q) = β (Ψ là mở rộng của Ψ 0 : A → B, Ψ 0 (p) = α, Ψ 0 (q) = β). Vì A là tập sinh của A ∗ và {α, β} là một tập sinh của B nên Ψ là toàn cấu. Vì αβ = id N nên pq = 1 là một hệ thức trong B. Chú ý rằng βα(n) =  1 nếu n = 0 n nếu n ≥ 1 nên βα = id N . Giả sử γ ∈ B là một phần tử tùy ý thuộc B, γ = γ n γ n−1 γ 1 trong đó γ i = α hoặc γ i = β. Vì αβ = id N nên có thể giả thiết rằng γ j = β đối với một chỉ số j nào đó. Thế thì γ t = β đối với tất cả t thỏa mãn j ≤ t ≤ n. Điều đó chứng tỏ rằng B = {β k α m |k, m ≥ 0}. Theo định nghĩa của α và β ta có β k α m (n) =  k nếu n < k n-m nếu n ≥ k Ta hãy chứng minh các phần tử γ = β k α m và δ = β r α s khác nhau nếu k = r hoặc m = s. Thật vậy, γ(0) = β k α m (0) = β k (0) = k và δ(0) = β r α s (0) = β r (0) = r. Với n ≥ max{k, r} có γ(n) = β k α m (n) = β k (n−m) = n−m−k, và tương tự δ(n) = n − s − r. Do đó γ = δ chỉ trong trường hợp k = r và m = s. Như vậy p, q|pq = 1 là một biểu diễn của vị nhóm B = α, β. 1.1.5. Mệnh đề. Giả sử e, a, b là các phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho ea = ae = a, eb = be = b, ab = e, ba = e. Khi đó mỗi phần tử thuộc nhóm con a, b của S sinh bởi phần tử a, b được biểu diễn duy nhất dưới dạng b m a n , trong đó m và n là các số nguyên không âm (và a 0 = b 0 = e), và do đó a, b đẳng cấu với vị nhóm bicyclic B. 7 Chứng minh. Rõ ràng e ∈ a, b và e là một đơn vị của a, b. Do đẳng thức ab = e, mỗi phần tử thuộc B biểu diễn duy nhất dưới dạng b m a n . Chỉ còn phải chứng minh tính duy nhất của m và n. Trước hết ta chứng minh ba mệnh đề chuẩn bị. i) Các phần tử a và b có cấp vô hạn. Giả thiết trái lại rằng a h+k = a h đối với h và k nguyên dương nào đó. Nhân bên trái với b h ta được a k = e. Khi đó b = eb = a k b = a k−1 e = a k−1 và ba = a k = e, trái giả thiết rằng ba = e. Tương tự ta chứng minh được b có cấp vô hạn. ii) Nếu a h = b k đối với các số nguyên dương không âm h và k nào đó, thì h = k = 0. Thật vậy, khi đó a k+h = a k b k = e, từ đó h + k = 0 theo (i) nên k = h = 0. iii) Nếu b h a k = e đối với các số nguyên không âm h và k nào đó, thì h = k = 0. Nếu k = 0 thì h = 0 theo (i). Ta chứng tỏ rằng bất đẳng thức k > 0 không xẩy ra. Thật vậy, nếu k > 0 thì b = eb = b h a k b = b h a k−1 và ba = b h a k = e trái giả thiết. Bây giờ, giả thiết lại rằng b m a n = b i a j trong đó m, n, i, j là các số nguyên không âm và i = m hoặc j = n. Xét trường hợp i = m, trường hợp còn lại tương tự. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả thiết i < m, nhân bên trái với a i ta có b m−i a n = a j . Nếu j ≥ n thì nhân bên phải với b n ta được b m−i = a j−n , trong đó m − i > 0 mâu thuẫn với (ii). Nếu j ≤ n thì nhân bên phải với b j ta được b m−i a n−j = e, trong đó m − i > 0 mâu thuẫn với (iii). Theo giả thiết, ánh xạ p → a, q → a cảm sinh một đẳng cấu θ từ B lên S, và do đó lên a, b, cụ thể là θ(q m p n ) = b m a n . Từ tính duy nhất vừa chứng minh ta suy ra θ là một đẳng cấu. 1.1.6. Hệ quả. Nếu ϕ là một đồng cấu của vị nhóm bicyclic thì hoặc ϕ 8 đẳng cấu từ B vào S, hoặc ϕ(B) là một nhóm cyclic . Chứng minh. Giả sử B = p, q|pq = 1 là một biểu diễn của vị nhóm bicyclic và ϕ(p) = a, ϕ(q) = b, ϕ(1) = e. Khi đó a, b, e thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 1.1.5, có thể loại trừ điều kiện ba = e. Nếu ba = e thì ϕ là đẳng cấu. Thật vậy, nếu ϕ(q m p n ) = ϕ(q i p j ) thì b m a n = b i a j , từ đó i = m và j = n theo Mệnh đề 1.1.5. Nếu ba = e thì ϕ(B) là nhóm cyclic sinh bởi a. 1.1.7. Nhận xét. Giả sử N là tập các số tự nhiên. Trong tích Đềcác S = N×N xác định phép toán (k, l)(m, n) = (k+m−min(l, m), l+n−min(l, m)). Theo [1], S trở thành nửa nhóm. Chú ý rằng pq = 1 và qp = 1, thế thì theo Mệnh đề 1.1.5, suy ra ánh xạ ϕ : S → B cho bởi ϕ(m, n) = q m p n là một đẳng cấu. Do đó vị nhóm bicyclic có thể được xem như vị nhóm S = N ×N với phép toán (k, l)(m, n) = (k + m − min(l, m), l + n − min(l, m)). Nửa nhóm bicyclic cho dưới dạng này được gọi là dạng tọa độ của vị nhóm bicyclic. 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Trên S xác định được các quan hệ L và R như sau: aL b ⇔ S 1 a = S 1 b aRb ⇔ aS 1 = bS 1 aJ b ⇔ S 1 aS 1 = S 1 bS 1 . Khi đó L ,R,J là các quan hệ tương đương trên S, hơn nữa L ◦ R = R ◦ L . Thế thì H = L ∩ R và D = L ◦ R(= R ◦ L ) cũng là các quan hệ tương đương trên S. Các quan hệ L , R, J , H và D được gọi là các quan hệ Grin của nhóm S. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm song đơn nếu S chỉ gồm một D lớp tương đương. 9 1.1.9. Định nghĩa. Giả sử E là tập tất cả các lũy đẳng của S. Trên E xác định quan hệ ≤ cho bởi:e ≤ f(e, f ∈ E) ⇔ ef = fe = e. Thế thì ≤ là một thứ tự bộ phận trên E và được gọi thứ tự tự nhiên trên tập các lũy đẳng của S. Lũy đẳng f ∈ S được gọi là lũy đẳng nguyên thủy nếu ∀e ∈ E, e ≤ f kéo theo e = f. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn hoàn toàn nếu nó là nửa nhóm đơn và chứa lũy đẳng nguyên thủy. 1.1.10. Mệnh đề. Vị nhóm bicyclic B = p, q|pq = 1 là một nửa nhóm ngược song đơn chứa đơn vị. Các lũy đẳng của nó là các phần tử e n = q m p n (n = 0, 1, 2, ). Chúng thỏa mãn các bất đẳng thức 1 > e 0 > e 1 > e 2 > > e n > e n+1 > .Vì vậy B không chứa các lũy đẳng nguyên thủy. Chứng minh. Theo [1], hai phần tử q k p l và q m p n thuộc B nhân với nhau như sau (q k p l )(q m p n ) = q i p j trong đó i = k + m − min(l, m), j = l + n − min(l, m). Chú ý rằng i ≥ k thì q i p j ∈ R(q k p l ), chỉ cần lấy m = l + i − k, n = j. Nếu ta viết các phần tử của B theo bảng 1 p p 2 q qp qp 2 q 2 q 2 p q 2 p 2 thì có thể mô tả R(q k p l ) như hợp của tất cả các dòng của bảng bắt đầu dòng thứ k + 1 trở xuống. Từ đó suy ra rằng R- lớp chứa q k p l trùng với cột thứ l + 1. Vậy các R- lớp của B là các dòng, còn các L -lớp là các cột của bảng. Do đó các H -lớp của B là các tập chỉ gồm một phần tử (vì H = L ∩ R). Vì mỗi R- lớp đều giao với L -lớp nên D-lớp duy nhất của B chính là B, vì vậy B là nửa nhóm song đơn. 10 Bây giờ giả thiết rằng q m p n là một lũy đẳng. Khi đó q m p n = p i q j với i = 2m − min(m, n) và j = 2n − min(m, n). Thế thì theo Mệnh đề 1.1.5 suy ra m = i và n = j. Điều đó kéo theo m = min(m, n) và n = min(m.n) tức là m = n. Đảo lại, theo công thức nhân các phần tử của B ở trên thì phần tử e n = q n p n là lũy đẳng. Nếu m < n thì lại theo công thức nhân các phần tử thuộc B ta có e m e n = e n e m = e n nên e m ≥ e n . Theo Mệnh đề 1.1.5, e m = e n nếu m = n. Do đó m < n kéo theo e m > e n nên b không chứa lũy đẳng nguyên thủy. Vì B chứa lũy đẳng và chỉ gồm một D-lớp nên B chính quy. Vì e m e n = e n = e n e m với m < n, nên các lũy đẳng của B giao hoán với nhau do đó B là một nửa nhóm ngược. Chú ý rằng B là nửa nhóm chính quy và tập các lũy đẳng của B là E = {e n |n ∈ N}. Hơn nữa e m e n = e n e m = e n nếu m < n, nên E là một nửa nhóm con của B. Vì pq = 1 nên pqp = 1.p = p và qpq = q.1 = q. Do đó p và q là hai phần tử ngược nhau. Ta nhận được 1.1.11. Hệ quả. Nửa nhóm bicyclic là nửa nhóm orthodox sơ cấp. Định lý sau đây của O.Andersen(1952) chứng tỏ rằng một nửa nhóm không đơn chứa lũy đẳng có thể hình dung như một lưới các nửa nhóm bicyclic. 1.1.12. Mệnh đề. Nếu E là một lũy đẳng của S với S là nửa nhóm đơn nhưng S không phải đơn hoàn toàn thì S chứa một nửa nhóm con bicyclic trong đó e là đơn vị . Chứng minh. Lũy đẳng e không nguyên thủy vì nếu trái lại thì S là một nửa nhóm đơn hoàn toàn. Do đó tồn tại lũy đẳng f ∈ S sao cho e > f, nghĩa là ef = fe = f và e = f. Vì S đơn nên SfS = S, do đó tồn tại x, y ∈ S sao [...]... được dưới dạng (a−m gan )ψ = (m, g, n) là một đẳng cấu từ S lên mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ) 19 CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN MỞ RỘNG BRUCK-REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM 2.1 BIỂU DIỄN MỞ RỘNG BRUCK-REILLY CỦA VỊ NHÓM Giả sử S = BR(T, θ) là mở rộng Bruck-Reilly của vị nhóm T xác định bởi đồng cấu θ : T → T (xem 1.2.1) Trong tiết này ta sẽ tìm hiểu biểu diễn của vị nhóm S = BR(T, θ) ( nhớ rằng theo Mệnh đề 1.2.2, S... = R ∩ L nên kết luận được rằng (iii) đúng 23 2.2 BIỂU DIỄN VỊ NHÓM MỞ RỘNG BRUCK-REILLY CỦA CÁC VỊ NHÓM VỚI TÍNH CHẤT ℘ Trong biểu diễn nửa nhóm, vị nhóm hay nhóm, các biểu diễn hữu hạn có nhiều ứng dụng nhất Vì vậy khi nghiên cứu các biểu diễn đối với mở rộng Bruck-Reilly, một vấn đề đặt ra tự nhiên là trả lời câu hỏi sau:Nếu vị nhóm M có một biểu diễn hữu hạn B(M.θ) thì M có phải là vị nhóm hữu hạn... bởi biểu diễn A, b, c|R, bc = 1, ba = (aθ)b, ac = c(aθ), (a ∈ A) (∗) trong đó A|R là một biểu diễn đối với vị nhóm T 2 Nếu vị nhóm T được biểu diễn hữu hạn thì S = BR(T, θ) biểu diễn được hữu hạn Khẳng định ngược lại nói chung không đúng Tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu biểu diễn của vị nhóm S = BR(T, θ) đã nêu trên 2.1.1 Mệnh đề Giả sử T là một vị nhóm với biểu diễn A|R và S = BR(T, θ) là một mở rộng Bruck-Reilly. .. rằng S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm 33 KẾT LUẬN Luận văn đã hoàn thành được các việc sau: 1 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm và trình bày biểu diễn một vị nhóm đặc biệt: Vị nhóm bicyclic 2 Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến mở rộng Bruck-Reilly đối với vị nhóm và nhóm 3 Trình bày một số tính chất liên quan đến biểu diễn. .. 4 Giả sử M là vị nhóm hữu hạn xác định bởi biểu diễn A|R , trong đó A hữu hạn R = Rθk đối với tập hữu hạn nào đó của các quan k≥0 hệ R trên A Thế thì mở rộng Bruck-Reilly BR(M, θ) biểu diễn hữu hạn ∗ được 31 2.3.4 Định lý Giả sử S = BR(G, θ) là một mở rộng Bruck-Reilly của nhóm G Thế thì S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược nếu và chỉ nếu S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm Chứng minh... Chứng minh S = BR(G, θ) là một vị nhóm ngược thế thì một biểu diễn vị nhóm đối với S cũng xác định khi nó được xét như một biểu diễn vị nhóm ngược Từ đó, nếu S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm thì nó cũng biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược Đảo lại, giả thiết rằng S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược Giả sử A |R là một biểu diễn vị nhóm đối với G, thế thì S ∼ A , b, c|R, bc = 1,... được gọi là biểu diễn nửa nhóm ngược của I và I được gọi là được xác định bởi biểu diễn A|R 2.3.3 Chú ý.1, Giả sử A|R là biểu diễn nửa nhóm ngược của I và 30 A−1 = {a−1 |a ∈ A}là tập hợp tương ứng một-một với A−1 không giao A Khi đó I được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm A, A−1 |R, ww−1 w = w, ww−1 zz −1 = zz −1 ww−1 , (w, z ∈ (A ∪ A−1 )) 2, Nếu I là một vị nhóm ngược và A|R là một biểu diễn nửa nhóm... )) 2, Nếu I là một vị nhóm ngược và A|R là một biểu diễn nửa nhóm ngược của I thì biểu diễn vị nhóm ngược của I được xác định bởi A, e|R, ae = ea = a(a ∈ A) Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4] Kết quả 1 Mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ) của nhóm G biểu diễn hữu hạn được nếu và chỉ nếu G có thể xác định bởi biểu diễn A|R , trong đó A là một tập hữu hạn và R= Rθk = {uθk = vθk |k ≥ 0, (u, v) ∈... (BR(G, θ)) Các từ trong (A ∪ {b, c})∗ biểu diễn các phần tử của G được gọi là các từ nhóm(group words) 2.2.5 Định lý Giả sử G là một nhóm Thế thì mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ )biểu diễn hữu hạn được nếu và chỉ nếu tồn tại một tập con hữu A0 θ i hạn A0 của G sao cho G được sinh (như một vị nhóm) bởi tập hợp i≥0 Chứng minh Giả sử A0 là một tập con hữu hạn của G sao cho biểu diễn A0 θi |R xác định G như một... c(aθ), (a ∈ A ) = Do đó S cũng thừa nhận một biểu diễn vị nhóm ngược A, b, c|Q đối với tập hữu hạn A nào đó của A và tập hữu hạn nào đó các hệ thức xác định Q Vì biểu diễn đối với S là biểu diễn vị nhóm ngược, nên bằng cách áp dụng các phép biến đổi Tietze ( bỏ phần tử sinh c, thay thế tất cả các sự xuất hiện của c thuộc Q bởi c−1 ) chúng ta nhận được biểu diễn vị nhóm ngược A, b|Q đối với S, trong . từ S lên mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ). 19 CHƯƠNG 2. BIỂU DIỄN MỞ RỘNG BRUCK-REILLY CỦA VỊ NHÓM VÀ NHÓM 2.1. BIỂU DIỄN MỞ RỘNG BRUCK-REILLY CỦA VỊ NHÓM Giả sử S = BR(T, θ) là mở rộng Bruck-Reilly. liên quan đến biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm, biểu diễn nhóm và mở rộng Bruck- Reilly của vị nhóm và của các nhóm để làm cơ sở trình bày chương sau. Chương 2. Biểu diễn mở rộng Bruck-Reilly. một biểu diễn của S. Ta nói rằng S biểu diễn được hữu hạn nếu có một biểu diễn A|R của S sao cho A và R là các tập hữu hạn. 1.1.2. Chú ý. i, Định nghĩa một biểu diễn vị nhóm tương tự biểu diễn