NHÓM
2.3.1. Định nghĩa và kí hiệu. Giả sử A là một bảng chữ cái và A−1 =
{a−1|a ∈ A} là một tập hợp tương ứng một-một với A. Đặt B = A∪A−1
và xét B+, nửa nhóm tự do trên B. Định nghĩa phần tử ngược của B+ bởi các quy tắc
(a−1)−1 = a,∀a ∈ A;
(b1b2...bn)−1 = b−n1b−n−11...b−21b−11,∀bi ∈ B.
Khi đó (b−1)−1 = b,∀b ∈ B.
Giả sử ρ1 và ρ2 là các quan hệ trên B+ cho bởi
ρ1 = {(bb−1b, b)|b ∈ B+}
ρ2 = {(bb−1b1b−11, b1b−11bb−1)|b, b1 ∈ B+}
và ρ là tương đẳng nhỏ nhất trên B+ chứa ρ1 ∪ρ2.
Khi đó nửa nhóm thươngB+/ρ là nửa nhóm ngược thỏa mãn điều kiện: Với mọi ánh xạ g : A → S từ A đến nửa nhóm ngược S tùy ý đều tồn tại một đồng cấu duy nhất h :B+/ρ → S sao cho f h= g, trong đó f : A→ B+/ρ
được xác định bởi a 7→ ap,∀a ∈ A. Nửa nhóm thương B+/ρ được gọi là nửa nhóm ngược tự do trên tập A và được kí hiệu bởi F IA.
2.3.2.Định nghĩa và kí hiệu. Giả sử I là một nửa nhóm ngược tùy ý. Khi đó tồn tại một bảng chữ cái A và một toàn cấu ϕ : F IA → I. Thế thì
I ∼= F I
A/Ker(ϕ), trong đó Ker(ϕ) là tương đẳng hạt nhân của ϕ cho bởi (u, v) ∈ Ker(ϕ) ⇔ ϕ(u) =ϕ(v).
Gọi R là một quan hệ hai ngôi trên F IA sao cho R sinh ra Ker(ϕ). Khi đó cặp hA|Ri được gọi là biểu diễn nửa nhóm ngược của I và I được gọi là được xác định bởi biểu diễn hA|Ri.
A−1 = {a−1|a ∈ A}là tập hợp tương ứng một-một với A−1 không giao A. Khi đó I được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm
hA, A−1|R, ww−1w = w, ww−1zz−1 = zz−1ww−1,(w, z ∈ (A∪A−1))i
2, Nếu I là một vị nhóm ngược và hA|Ri là một biểu diễn nửa nhóm ngược của I thì biểu diễn vị nhóm ngược của I được xác định bởi
hA, e|R, ae = ea = a(a ∈ A)i
Các kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4].
Kết quả 1. Mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ) của nhóm G biểu diễn hữu hạn được nếu và chỉ nếu G có thể xác định bởi biểu diễn hA|Ri, trong đó
A là một tập hữu hạn và
R = S
k≥0
Rθk = {uθk = vθk|k ≥0,(u, v) ∈ R}
là một tập hữu hạn với R là một quan hệ trên A∗.
Kết quả 2. Giả sử M là một vị nhóm và U là nhóm con các phần tử khả nghịch của M, θ : U → U là một đồng cấu vị nhóm. Thế thì mở rộng Bruck-Reilly BR(M, θ)hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại một tập con hữu hạn A0 của M, sao cho M được sinh ra bởi A = S
k≥0
A0θk.
Kết quả 3. Giả sử M là một vị nhóm và U là nhóm con các phần tử khả nghịch của nó, θ : M → U là một đồng cấu vị nhóm. Nếu mở rộng Bruck-Reilly BR(M, θ) là hữu hạn và M được sinh bởi tập A, thế thì M
được xác định bởi biểu diễn hA|Ri trong đó R = S
k≥0
Rθk đối với tập hữu hạn nào đó của các quan hệ R trên A∗.
Kết quả 4. Giả sử M là vị nhóm hữu hạn xác định bởi biểu diễn hA|Ri, trong đó A hữu hạn R = S
k≥0
Rθk đối với tập hữu hạn nào đó của các quan hệ R trên A∗. Thế thì mở rộng Bruck-Reilly BR(M, θ) biểu diễn hữu hạn được.
2.3.4. Định lý. Giả sử S = BR(G, θ) là một mở rộng Bruck-Reilly của nhóm G. Thế thì S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược nếu và chỉ nếu S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm.
Chứng minh. S = BR(G, θ) là một vị nhóm ngược thế thì một biểu diễn vị nhóm đối với S cũng xác định khi nó được xét như một biểu diễn vị nhóm ngược. Từ đó, nếu S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm thì nó cũng biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược.
Đảo lại, giả thiết rằng S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm ngược. Giả sử hA0|Ri là một biểu diễn vị nhóm đối với G, thế thì
S ∼= hA0
, b, c|R, bc = 1, ba = (aθ)b, ac = c(aθ),(a ∈ A0)i.
Do đó S cũng thừa nhận một biểu diễn vị nhóm ngược hA, b, c|Q0i đối với tập hữu hạn A nào đó của A0 và tập hữu hạn nào đó các hệ thức xác định
Q0. Vì biểu diễn đối với S là biểu diễn vị nhóm ngược, nên bằng cách áp dụng các phép biến đổi Tietze ( bỏ phần tử sinh c, thay thế tất cả các sự xuất hiện của c thuộc Q0 bởi c−1) chúng ta nhận được biểu diễn vị nhóm ngược hA, b|Qi đối với S, trong đó Q là tập hữu hạn. Chúng ta biết rằng các hệ thức sau đây đúng trong S:
bb−1 = 1, aa−1 = a−1a = 1, ba = (aθ)b, ab−1 = b−1(aθ),(a ∈ A)
do đó khi áp dụng các phép biến đổi Tietze, nhận được biểu diễn vị nhóm ngược đối với S:
hA, b|Q, aa−1 = a−1a = 1, bb−1b = b, ba = (aθ)b, aa−1 = b−1(aθ),(a ∈ A)i
và do đó S có một biểu diễn vị nhóm.
hA, A−1, b, b−1|Q, aa−1 = a−1a = 1, bb−1 = 1, ba = (aθ)b, aa−1 = b−1(aθ), ww−1w = w, ww−1zz−1 = zz−1ww−1(a ∈ A, w, z ∈ (A∪A−1∪ {b, b−1})i. Chú ý rằng từ hệ thức aa−1 = a−1a = 1 đối với tất cả a ∈ A, chúng ta có thể suy ra các hệ thứcαα−1 = α−1α = 1, đối với mọiα ∈ (A∪A−1)∗. Chúng
ta đã thấy rằng đối với mọi w ∈ (A∪A−1∪ {b, b−1})∗, có w = (b−1)iαbj đối với i, j ≥ 0 nào đó và α ∈ (A∪ A−1), như một hệ quả của các hệ thức
bb−1 = 1, ba = (aθ)b, ab−1 = b−1(aθ),(a ∈ A). Thế thì ww−1 = b−iαbj(b−iαbj)−1 = b−iαbjb−jα−1bi(do bb−1 = 1) = b−iαα−1bi = b−ibi(do aa−1 = a−1a = 1,∀a ∈ A). Suy ra ww−1w = b−ibib−iαbj = b−iαbj(do bb−1 = 1) = w
Tương tự, đối vớiz ∈ (A∪A−1)∪ {b, b−1}∗ ta cózz−1 = b−kbk đối với k ≤ 0 nào đó, nên ta nhận được
ww−1zz−1 = b−ibib−kbk = b−ibi−kbk = b−ibi−k+k = b−ibi nếu i ≥k b−ib−k+ibk = b−i−k+ibk = b−kbk nếu i < k zz−1ww−1 = b−kbkb−ibi = b−kb−i+kbi = b−i−k+kbi = b−ibi nếu i ≥ k b−kbk−ibi = b−kbk−i+i = b−kbk nếu i < k Từ đó ww−1zz−1 = zz−1ww−1 điều đó chứng tỏ rằng các hệ thức ww−1w = w, ww−1zz−1 = zz−1ww−1(w, z ∈ (A ∪ A−1) ∪ {b, b−1}∗) có thể suy ra từ các hệ thức aa−1 = a−1a = 1, bb−1 = 1, ba = (aθ)b, ab−1 = b−1(aθ),(a ∈ A) do đó nếu áp dụng phép biến đổi Tietze, chúng ta thấy
hA, A−1, b, b−1|Q, aa−1 = a−1a, bb−1 = 1, ba = (aθ)b, ab−1 = b−1a(aθ),(a ∈ A)i
xác định S như một nửa nhóm. Vì A và Q hữu hạn nên ta kết luận được rằng S biểu diễn hữu hạn được như một vị nhóm.
KẾT LUẬN Luận văn đã hoàn thành được các việc sau:
1. Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm và biểu diễn nhóm và trình bày biểu diễn một vị nhóm đặc biệt: Vị nhóm bicyclic.
2. Hệ thống hóa các kiến thức liên quan đến mở rộng Bruck-Reilly đối với vị nhóm và nhóm.
3. Trình bày một số tính chất liên quan đến biểu diễn đối với mở rộng Bruck-Reilly đối với vị nhóm (Mệnh đề 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.5).
4. Trình bày khái niệm vị nhóm với tính chất ℘ và hệ thống lớp nửa nhóm với tính chất ℘ đã biết (Định lý 2.2.9).
5. Trình bày một ttính chất của biểu diễn vị nhóm ngược đối với mở rộng Bruck-Reilly BR(G, θ) của nhóm G (Định lý 2.3.4).
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] A.H.Cliphớt và G.B.Pretơn(1970), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lí thuyết nửa nhóm và lí thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh.
[3] Hoàng Xuân Bính (2012),Mở rộng Bruck-Reily của vị nhóm và nhóm, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh.
Tiếng Anh
[4] I.A.Raujo, N.Ruskuc (2001), Finite Presentability of Bruck-Reily Ex- tensions of group, Journal of Algebra 242, 20-30.
[5] C.A.Carvalho (2003), Presentation of semigroup and inverse semi- group, University of St.Andrew, 26, 60-69.
[6] C.A.Carvalho, N.Rusluc (2006) Finite Presentability of Bruck-Reily Extensions, Comnunications in Algebra, 34, 3301-3313.
[7] C.A.Carvalho (2009), Bruck-Reily Extensions of direct products of monids and completely (0-)simple semigroup,Semigroups Fovrun, 79, 145- 158.
[8] J.M.Howie (1995), Fundamentals of semigroup theory, Claredon Pres, Oxford.