định lí brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Võ Thị Ngọc Bích ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUI CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Ngọc Bích ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUI CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 LỜI CÁM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tận tình dạy bảo cho trình học tập khoa Tôi xin cám ơn cán Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác học tập nghiên cứu hiệu Cuối cùng, xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 LỜI MỞ ĐẦU Cho nhóm hữu hạn 𝐺 trường 𝑘 Một biểu diễn nhóm 𝐺 trường 𝑘 đồng cấu nhóm ϕ : G → GL (V ) , với 𝐺𝐿(𝑉) lả nhóm tự đồng cấu khả nghịch module 𝑉 𝑘 thỏa ϕ (1) = IV (𝐼𝑉 phép biến đổi đồng nhất) Ta nhận thấy 𝑉 có cấu trúc 𝑘(𝐺) – module Trong trường hợp 𝑉 𝑘(𝐺) – module bất khả qui ta gọi 𝜑 biểu diễn bất khả qui nhóm 𝐺 trường 𝑘 Nhờ vào kết lí thuyết module vành, hay cụ thể module đại số nhóm, mà ta rằng: biểu diễn nhóm 𝐺 hữu hạn trường 𝑘 phân tích thành tích biểu diễn bất khả qui Từ đó, việc nghiên cứu biểu diễn nhóm tập trung vào việc nghiên cứu biểu diễn bất khả qui Và định lí Brauer công cụ quan trọng giúp cho việc phân tích biểu diễn bất khả qui nhóm Đó lí chọn đề tài để tìm hiểu Luận văn trình bày kiến thức module đại số hữu hạn chiều, lí thuyết biểu diễn nhóm Từ luận văn tập trung vào định lí Brauer cuối sử dụng định lí để mô tả biểu diễn bất khả qui số nhóm phép Luận văn gồm chương: CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương trình bày lí thuyết nhóm, vành, module, đặc biệt module đại số hữu hạn chiều CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÍ BRAUER Chương trình bày lí thuyết biểu diễn, đưa chứng minh định lí Brauer lí thuyết đặc trưng, lí thuyết quan trọng việc xây dựng biểu diễn nhóm CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM PHÉP THẾ Đây chương ứng dụng lí thuyết trình bày chương Chương giới thiệu biểu diễn bất khả qui nhóm phép thế: 𝑆3 ; 𝑆4 ; 𝑆5 ; 𝐴4 ; 𝐴5 BẢNG KÍ HIỆU ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ tập số thông thường biết trường có 𝑝 phần tử 𝔽𝑝 𝑘, 𝐾 trường 𝑅 𝐷 vành 𝑘 – đại số vành chia 𝑀𝑅 module phải vành 𝑅 𝑅𝑀 𝐺, 𝐻 module trái vành 𝑅 nhóm 𝐶𝑒𝑛𝑡 𝐺 tâm 𝐺 𝐺𝐿(𝑉) nhóm tự đồng cấu khả nghịch module 𝑉 M𝑛 (𝑅) vành ma trận vuông cấp 𝑛 𝑅 𝐶𝐺 (𝑔) 𝐺𝐿𝑛 (𝑅) 𝛿𝑖𝑗 tâm hóa tử phần tử 𝑔 nhóm 𝐺 nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 𝑅 Kroonecker delta MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU MỤC LỤC CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số tính chất vết ma trận vuông: 1.2 Nhóm phép S n : 1.3 Tác động liên hợp: 10 1.4 Vành Module: 17 1.5 Vành nửa đơn: 26 1.6 Đại số nhóm: 29 1.7 Module đại số hữu hạn chiều: 32 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÝ BRAUER 40 2.1 Khái niệm biểu diễn nhóm: 40 2.2 Quan hệ biểu diễn nhóm module đại số nhóm: 44 2.3 Biểu diễn bất khả qui: 45 2.4 Trường phân rã nhóm: 50 2.5 Số biểu diễn bất khả qui – Định lý Brauer: 51 2.6 Lý thuyết đặc trưng: 60 CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG 73 3.1 Biểu diễn nhóm S : 73 3.2 Biểu diễn nhóm S : 75 3.3 Biểu diễn nhóm A4 : 79 3.4 Biểu diễn nhóm A5 : 81 KẾT LUẬN 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số tính chất vết ma trận vuông: Vết ma trận vuông 𝐴 bậc 𝑛 × 𝑛 xác định tổng phần tử đường chéo 𝑛 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 = � 𝑎𝑖𝑖 Một số tính chất vết mà ta cần lưu ý: 𝑖=1 a) Tính tuyến tính: với 𝐴, 𝐵 ma trận vuông cấp số 𝑐 𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵) 𝑡𝑟(𝑐 𝐴) = 𝑐 𝑡𝑟(𝐴) b) Tính giao hoán: với 𝐴 𝐵 ma trận vuông cấp 𝑛 × 𝑛 𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴) c) Liên hệ với giá trị riêng: vết ma trận 𝐴 tổng giá trị riêng d) Vết ma trận liên hợp: cho 𝐴 ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 𝑃 ma trận vuông cấp 𝑛 khả nghịch Liên hợp 𝐴 theo 𝑃 𝑃𝐴𝑃−1 Khi ta có 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑡𝑟(𝑃𝐴𝑃−1 ) e) Vết ma trận chuyển vị: cho 𝐴 ma trận vuông cấp 𝑛, 𝐴𝑇 ma trận chuyển vị 𝐴 𝑡𝑟(𝐴𝑇 ) = 𝑡𝑟(𝐴) 1.2 Nhóm phép S n : 1.2.1 Định nghĩa: Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ gồm 𝑛 phần tử (có thể xem tập 𝑋 tập {1,2, … , 𝑛}) Khi tất song ánh từ 𝑋 vào 𝑋 với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, kí hiệu 𝑆𝑛 , gọi nhóm đối xứng bậc 𝑛 Nhóm có 𝑛! phần tử Mỗi phần tử 𝜎 𝑆𝑛 gọi phép hoán vị (hay phép thế) biểu diễn dạng: ⋯ 𝑛 𝜎=� � 𝜎(1) 𝜎(2) ⋯ 𝜎(𝑛) • 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 gọi chu trình độ dài 𝑟, hay 𝑟 - chu trình, ���������� 𝑟−1 𝜎�𝑖𝑗 � = 𝑖𝑗+1 ; 𝑗 = 1, ∃𝑖1 , … , 𝑖𝑟 ∈ 𝑋: �𝜎(𝑖𝑟 ) = 𝑖1 ����𝑟 𝜎�𝑖𝑗 � = 𝑖𝑗 ; 𝑗 ≠ 1, Khi ta viết 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑟 ) • Nếu hai chu trình 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑟 ) 𝜎′ = (𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑠 ) thỏa {𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑟 } ∩ {𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑠 } = ∅ chúng gọi hai chu trình rời nhau, hay hai chu trình độc lập • Một – chu trình gọi chuyển vị Mỗi chuyển vị có dạng 𝜎 = (𝑖𝑗), ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛 1.2.2 Một số tính chất phép thế: • Hai chu trình rời chúng giao hoán CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG Xét trường số phức ℂ trường đóng đại số, có 𝑐ℎ𝑎𝑟 ℂ = nên biểu diễn nhóm 𝑆𝑛 trường số với số lớp liên hợp rời 𝑆𝑛 Điều tương tự cho nhóm 𝐴𝑛 (𝑛 ≥ 3) Số lượng, đại diện lực lượng nhóm liên hợp tính dựa vào lý thuyết trình bày mục 1.3.3 1.3.4 3.1 Biểu diễn nhóm S3: Ta dễ dàng kiểm tra nhóm 𝑆3 có lớp liên hợp với đại diện (1); (12); (123) Lực lượng lớp liên hợp 1, Như ta có ba biểu diễn bất khả qui 𝑆3 3.1.1 Biểu diễn – chiều: Mỗi nhóm 𝑆𝑛 có hai biểu diễn - chiều bản, biểu diễn tầm thường 𝜑1 biểu diễn dấu 𝜑2 Hiển nhiên chúng bất khả qui Khi giá trị đặc trưng 𝜒1 𝜒2 tương ứng tính Xét 𝑆3 , ta có: 𝜒𝑖 (𝜎) = 𝜑(𝜎) ∈ ℂ; ∀𝜎 ∈ 𝑆𝑛 • 𝜒1 (𝜎) = 1, ∀𝜎 ∈ 𝑆3 • 𝜒2 �(1)� = 1; 𝜒2 �(12)� = −1; 𝜒2 �(123)� = 3.1.2 Biểu diễn – chiều: Xét biểu diễn qui 𝜑3 𝑆3 với module biểu diễn 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 �𝑘(𝑒 + 𝑒 + 𝑒 ) Module có sở {𝑒�2 ; 𝑒�3 } Với sở ta tính đặc trưng 𝜒3 biểu diễn qui sau: (1)(𝑒�2 ) = 𝑒�2 ; (1)(𝑒�3 ) = 𝑒�3 ⟹ (1) → � � ⟹ 𝜒3 �(1)� = (12)(𝑒�2 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 ; (12)(𝑒�3 ) = 𝑒�3 −1 ⟹ (12) → � −1 � ⟹ 𝜒3 �(12)� = (123)(𝑒�2 ) = 𝑒�3 ; (123)(𝑒�3 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 ⟹ (123) → � −1 � −1 ⟹ 𝜒3 �(123)� = −1 Kiểm tra điều kiện trực giao, ta có: 1.22 + 3.02 + (−1)2 = = |𝑆3 | Cho nên 𝜑3 biểu diễn bất khả qui 𝑆3 3.1.3 Bảng đặc trưng: Như ta tìm đủ biểu diễn bất khả qui nhóm 𝑆3 Dưới bảng đặc trưng 𝑆3 𝜒1 𝜒2 𝜒3 (1) (12) (123) −1 1 3.2 Biểu diễn nhóm S : −1 Nhóm 𝑆4 có lớp liên hợp đại diện phần tử sau: (1); (12); (123); (1234); (12)(34) Lực lượng lớp liên hợp 1,6,8,6 Như 𝑆4 có tất biểu diễn bất khả qui 3.2.1 Biểu diễn – chiều: Tương tự 𝑆3 , 𝑆4 có hai biểu diễn – chiều: 𝜑1 biểu diễn tầm thường, 𝜑2 biểu diễn dấu • 𝜒1 (𝜎) = 1, ∀𝜎 ∈ 𝑆4 • 𝜒2 �(1)� = 1; 𝜒2 �(12)� = −1; 𝜒2 �(123)� = 1; 𝜒2 �(12)(34)� = 3.2.2 Biểu diễn 3- chiều: 𝑆4 có biểu diễn qui 𝜑4 – chiều cho module 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 ⊕ 𝑘𝑒4 �𝑘(𝑒 + 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 ) Module có sở {𝑒�2 ; 𝑒�3 ; 𝑒�4 } Với sở ta tính đặc trưng 𝜒4 biểu diễn qui sau: (1)(𝑒�2 ) = 𝑒�2 ; (1)(𝑒�3 ) = 𝑒�3 ; (1)(𝑒�4 ) = 𝑒�4 0 ⟹ (1) → �0 0� ⟹ 𝜒4 �(1)� = 0 (12)(𝑒�2 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 − 𝑒�4 ; (12)(𝑒�3 ) = 𝑒�3 ; (12)(𝑒�4 ) = 𝑒�4 −1 0 ⟹ (12) → �−1 0� ⟹ 𝜒4 �(12)� = −1 (123)(𝑒�2 ) = 𝑒�3 ; (123)(𝑒�3 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 − 𝑒�4 ; (123)(𝑒�4 ) = 𝑒�4 −1 ⟹ (123) → �1 −1 0� ⟹ 𝜒4 �(123)� = 0 −1 (1234)(𝑒�2 ) = 𝑒�3 ; (1234)(𝑒�3 ) = 𝑒�4 ; (123)(𝑒�4 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 − 𝑒�4 0 −1 ⟹ (1234) → �1 −1� ⟹ 𝜒4 �(1234)� = −1 −1 (12)(34)(𝑒�2 ) = 𝑒�1 = −𝑒�2 − 𝑒�3 − 𝑒�4 ; (12)(34)(𝑒�3 ) = 𝑒�4 ; (12)(34)(𝑒�4 ) = 𝑒�3 −1 (12)(34) ⟹ → �−1 −1 0 1� ⟹ 𝜒4 �(12)(34)� = 1 Kiểm tra điều kiện trực giao, ta có: 1.32 + 6.12 + 02 + (−1)2 + 3.12 = 24 = |𝑆4 | Cho nên 𝜑4 biểu diễn bất khả qui 𝑆4 Ta có biểu diễn – chiều bất khả qui 𝑆4 hình thành từ tích tenxơ 𝜑2 𝜑4 với module 𝑀5 = 𝑀2 ⊗𝑘 𝑀4 , ta gọi 𝜑5 = 𝜑2 ⊗ 𝜑4 Thật vậy, dựa vào kết phân tích mục 2.6.2 ta có: 𝜒5 �(1)� = 𝜒2 �(1)� 𝜒4 �(1)� = 1.3 = 𝜒5 �(12)� = 𝜒2 �(12)� 𝜒4 �(12)� = −1.1 = −1 𝜒5 �(123)� = 𝜒2 �(123)� 𝜒4 �(123)� = 1.0 = 𝜒5 �(1234)� = 𝜒2 �(1234)� 𝜒4 �(1234)� = −1 (−1) = 𝜒5 �(12)(34)� = 𝜒2 �(12)(34)� 𝜒4 �(12)(34)� = (−1) = −1 Do 𝜑2 – chiều 𝜑4 – chiều nên 𝜑5 biểu diễn – chiều Đồng thời, kiểm tra điều kiện trực giao, ta có: 1.32 + (−1)2 + 02 + 6.12 + (−1)2 = 24 = |𝑆4 | Vậy 𝜑5 biểu diễn bất khả qui 𝑆4 Vì 12 + 12 + 32 + 32 = 20 = 4! − 22 nên ta thiếu biểu diễn – chiều bất khả qui 3.2.3 Biểu diễn – chiều: Ta gọi module tương ứng 𝑀3 Biểu diễn xây dựng sau Xét 𝐻 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} nhóm chuẩn tắc 𝑆4 mà 𝑆4� 𝐻 ≅ 𝑆3 Ta viết 𝑆4� ���� ������ ������ ������ �������� �������� 𝐻 = �(1); (12); (13); (23); (123); (132)� Trong 𝑆3 có biểu diễn – chiều bất khả qui biểu diễn hoán vị 𝜑3 với module 𝑀3 = 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 �𝑘(𝑒 + 𝑒 + 𝑒 ) Từ ta xác định biểu diễn – chiều bất khả qui 𝑆4 sau: 𝜑 ′ : 𝑆4 → 𝑔 𝑆4� 𝐻 → 𝐸𝑛𝑑ℂ (𝑀3 ) ↦ 𝑔̅ ↦ 𝜑3 (𝑔̅ ) Ta dễ dàng kiểm tra thực biểu diễn 𝑆4 Bây ta tính giá trị để điền vào bảng đặc trưng 𝜑 ′ �(1)� = 𝜑3 �(1)� ⇒ (1) → � 0 � ⟹ 𝜒3 �(1)� = 𝜑 ′ �(12)� = 𝜑3 �(12)� ⇒ (12) → � −1 � ⟹ 𝜒3 �(12)� = −1 𝜑 ′ �(123)� = 𝜑3 �(123)� ⇒ (123) → � −1 � ⟹ 𝜒3 �(123)� = −1 −1 ���������� = 𝜑3 �(13)� 𝜑 ′ �(1234)� = 𝜑3 �(1234) ⟹ 𝜒3 �(1234)� = 𝜒3 �(13)� = 𝜒3 (12) = (12)(34)� = 𝜑3 �(1)� 𝜑 ′ �(12)(34)� = 𝜑3 ������������� ⟹ 𝜒3 �(12)(34)� = 𝜒3 �(1)� = Kiểm tra điều kiện trực giao, ta có: 22 + 02 + (−1)2 + 02 + 22 = 24 = |𝑆4 | Cho nên 𝜑3′ biểu diễn bất khả qui 𝑆4 3.2.4 Bảng đặc trưng: 𝜒1 𝜒2 𝜒3 𝜒4 𝜒5 (1) (12) (123) (1234) (12)(34) −1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 3.3 Biểu diễn nhóm A4 : Trước hết, ta nói đến lớp liên hợp 𝐴4 Trong 𝑆4 có lớp liên hợp chẵn (các phần tử lớp phép chẵn) với đại diện (1); (123); (12)(34) Ta kiểm tra thấy có lớp liên hợp với đại diện (123) giao hoán với phép lẻ Do đó, 𝐴𝑛 lớp liên hợp tách thành hai lớp liên hợp với lực lượng Hai đại diện cho lớp liên hợp (123)và (12)(123)(12)−1 = (132) Như vậy, đại diện cho lớp liên hợp rời 𝐴4 (1); (12)(34); (123); (132) Và lực lượng chúng 1, 3, 4, 3.3.1 Biểu diễn – chiều: Nhóm 𝐴4 có 12 phần tử nhóm 𝐻 nhắc đến nhóm chuẩn tắc 𝐴4 Ta có 𝐴4� 𝐻 nhóm cylic cấp Ta xác định 𝐴4� ���� �������� �������� 𝐻 = {(1); (123); (132)} Theo phân tích ví dụ 2.1.3.3 biểu diễn – chiều nhóm cyclic ta tìm ba biểu diễn - chiều cho 𝐴4� 𝐻 dựa vào bậc ba đơn vị ℂ �������� phần tử sinh cho 𝐴4� Khi đó: Ta chọn (123) 𝐻 (123) ⟼ 𝜑1 : �������� (123) ⟼ 𝜔 𝜑2 : �������� �������� ⟼ 𝜔2 𝜑3 : (123) Ở đây, 𝜔 nguyên thủy bậc đơn vị Từ ba biểu diễn – chiều 𝐴4� ���� 𝐻, ta nâng lên cho 𝐴4 ∀𝑔 ∈ 𝐴4 , 𝑖 = 1,3: 𝜑𝑖′ : 𝑔 ⟼ 𝑔̅ ⟼ 𝜑𝑖 (𝑔̅ ) Tương tự làm cho biểu diễn – chiều 𝑆4 , ta dễ dàng tìm giá trị đặc trưng 3.3.2 Biểu diễn – chiều: Ta xem xét biểu diễn qui nhóm 𝑆4 phạm vi 𝐴4 Module biểu diễn 𝑀4 = 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 ⊕ 𝑘𝑒4 �𝑘(𝑒 + 𝑒 + 𝑒 + 𝑒 ) xem 𝑘𝐴4 - module sử dụng tích đặc trưng 𝜒4 thấy tính bất khả qui: 32 + (−1)2 + 4.02 + 4.02 = 12 = |𝐴4 | 3.3.3 Bảng đặc trưng: 𝜒1 𝜒2 𝜒3 𝜒4 (1) (12)(34) (123) (132) 1 𝜔 𝜔2 0 1 1 −1 𝜔2 𝜔 3.4 Biểu diễn nhóm A5 : Phân tích tương tự phân tích với 𝐴4 , ta tìm lớp liên hợp 𝐴5 với đại diện (1); (12)(34); (123); (12345); (13524) lực lượng tương ứng 1, 15, 20, 12, 12 Đối với nhóm phép biểu diễn tầm thường biểu diễn dấu Mặt khác, 𝐴5 nhóm đơn không cylic nhỏ nhất, có [𝐴5 , 𝐴5 ] = 𝐴5 nên 𝐴5 có biểu diễn – chiều 𝜑1 Kế đến ta xét biểu diễn qui – chiều ⨁5𝑖=1 𝑘 𝑒𝑖� 𝑀4 = 𝑘(𝑒1 + ⋯ + 𝑒5 ) Ta biểu diễn bất khả qui 𝜑4 𝐴5 cách kiểm tra đặc trưng 𝜒4 làm với nhóm trước, ta không lặp lại Ta có: 12 + 𝑛22 + 𝑛32 + 42 + 𝑛52 = 60 ⇒ 𝑛22 + 𝑛32 + 𝑛52 = 43 Khả (sai khác hoán vị) 𝑛2 = 𝑛3 = 3; 𝑛5 = 3.4.1 Biểu diễn – chiều: Để tìm biểu diễn ba chiều cho 𝐴5 ta tiếp cận theo hướng hình học Hình mô hình khối icosahedron Khối gồm 20 mặt tam giác đều, 30 cạnh 12 đỉnh Lấy trung điểm cạnh, ta chia chúng thành nhóm, nhóm gồm điểm với tính chất là: từ điểm ta vẽ đường thẳng đôi vuông góc với (xem hình minh họa nhóm điểm) Dựa vào nhóm điểm chọn, ta có tương ứng 1– phần tử nhóm 𝐴5 với phép quay khối icosahedron • Đương nhiên phép đồng phép quay góc 00 với trục tùy ý • Lấy đường thẳng qua hai đỉnh đối khối làm trục quay, ta có biểu diễn có dạng (12345) (13524) Các góc quay 720 , 1440 , 2160 , 2880 Với trục góc, ta có tổng cộng 24 phép quay loại Tuy nhiên, ta chia thành nhóm, nhóm 12 phép quay, tương ứng với 720 − 2880 1440 − 2160 Nhóm liên hợp (12345) ứng với nhóm góc 720 Nhóm liên hợp (13524) ứng với nhóm góc 1440 • Lấy đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện làm trục, ta có biểu diễn có dạng (12)(34) Góc quay 1800 Với 15 cặp cạnh đối góc quay, ta có tổng cộng 15 phép quay loại • Lấy đường thẳng nối tâm hai mặt đối diện làm trục quay, ta có biểu diễn có dạng (123) Góc quay 1200 2400 Với 10 cặp mặt đối góc quay, ta có tổng cộng 20 phép quay loại Đặc số chúng tính dựa ma trận biểu diễn phép quay góc 𝜃 không gian – chiều có vết + cos 𝜃 Ta có biểu diễn – chiều 𝜑2 với đặc trưng 𝜒2 Xét tự đồng cấu nhóm 𝐴5 sau: 𝜏: 𝑔 ⟼ (12)𝑔(12)−1 Đây thực tự đồng cấu 𝐴5 𝐴5 nhóm chuẩn tắc 𝑆5 Tự đồng cấu 𝜏 biến – chu trình thành – chu trình, biến phần tử liên hợp (12)(34) thành phần tử liên hợp (12)(34), biến phần tử lớp liên hợp (12345) thành phần tử lớp liên hợp (13524) ngược lại Hợp thành tự đồng cấu biểu diễn biểu diễn Cho nên ta định nghĩa 𝜑3 = 𝜑2 ∘ 𝜏 Vì lớp liên hợp (123) (12)(34) cố định với 𝜏 nên giá trị đặc trưng 𝜒3 lớp liên hợp giống với giá trị chúng trường hợp 𝜒2 Còn với (12345) (13524), 𝜏 hoán đổi hai lớp liên hợp nên giá trị đặc trưng chúng số đối giá trị trường hợp 𝜒2 Ta dễ dàng kiểm tra tính bất khả qui hai biểu diễn – chiều sau tìm đủ giá trị đặc trưng 3.4.2 Biểu diễn – chiều: Ở đây, ta không mô tả trực tiếp biểu diễn – chiều 𝐴5 mà tìm cách xác định giá trị đặc trưng cần thiết để điền vào bảng đặc trưng Với tìm được, ta tìm thời có bảng đặc trưng sau: (1) (12)(34) (123) −1 𝜒3 −1 𝜒4 𝜒1 𝜒2 𝜒5 1 𝑎 𝑏 (12345) (13524) �1 + √5�� �1 − √5�� 2 �1 − √5�� �1 + √5�� 2 −1 𝑐 −1 𝑑 Sử dụng định lý trực giao, ta có hệ phương trình để tìm giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑑 sau: (1) 15𝑎2 + 20𝑏2 + 12𝑐 + 12𝑑 = 35 ⎧ (2) 15𝑎 + 20𝑏 + 12𝑐 + 12𝑑 = −5 ⎪ ⎪ − √5 + √5 𝑐 + 12 𝑑 = −15 (3) −15𝑎 + 12 2 ⎨ ⎪−15𝑎 + 12 − √5 𝑐 + 12 + √5 𝑑 = −15 (4) ⎪ 2 (5) ⎩ 20𝑏 − 12𝑐 − 12𝑑 = −20 Để lập hệ ta lưu ý rằng, nghịch đảo phép phép liên hợp với 𝐴5 Xét định thức ma trận hệ số hệ gồm bốn phương trình bậc bốn ẩn (2), (3), (4), (5) ta có: 15 20 12 12 −15 + 6√5 − 6√5 � �≠0 −15 − 6√5 + 6√5 20 −12 −12 Cho nên hệ gồm (2), (3), (4), (5) có nghiệm Mặt khác, ta thử số 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = 0, 𝑑 = Thì ta thấy số thỏa phương trình hệ ban đầu Vậy giá trị cần tìm 3.4.3 Bảng đặc trưng: (1) (12)(34) (123) −1 𝜒3 −1 𝜒4 𝜒1 𝜒2 𝜒5 1 −1 (12345) (13524) �1 + √5�� �1 − √5�� 2 �1 − √5�� �1 + √5�� 2 −1 −1 KẾT LUẬN Các kết luận văn: Trình bày khái niệm tính chất module đại số hữu hạn chiều Trình bày lí thuyết biểu diễn nhóm Đưa chứng minh định lí Brauer Vận dụng kết định lí Brauer, lí thuyết đặc trưng, tính chất nhóm hữu hạn để mô tả biểu diễn bất khả qui số nhóm phép Mặc dù nội dung nghiên cứu đề tài nhiều mẻ, cảm thấy kiến thức củng cố mở rộng nhiều, cảm thấy tâm huyết bỏ thời gian qua thật xứng đáng Tuy khó tránh sai sót mà không nhận ra, mong quí thầy cô tận tình góp ý để chỉnh sửa cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cám ơn quí thầy cô nhiều TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nathan Jacobson (1989), Basic Algebra II, second edition, W.H Freeman and Company, New York [2] Gorden James & Martin Liebeck (2003), Representations and Characters of Groups, Cambridge University Press [3] I N Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association Of America [4] T Y Lam (1991), A First Course In Noncommutative Rings, Spinger – Verlag, New York [...]... rộng định nghĩa này ra thành định nghĩa của một vành nhóm bằng cách cho phép 𝑘 là một vành bất kì và 𝐺 là một nhóm bất kì Lúc này 𝑘𝐺 chỉ mới có cấu trúc của một vành Đối với một vành nhóm 𝑘𝐺 thì các phần tử của 𝑘 cũng sẽ giao hoán được với các phần tử của 𝐺 Từ đó phép nhân trên 𝑘𝐺 giao hoán khi và chỉ khi phép nhân của 𝑘 và 𝐺 cùng giao hoán 1.6.2 Định lý Maschke: Cho 𝑘 là một vành bất kì và 𝐺 là một nhóm. .. ràng 𝜎 và (12)𝜎(12)−1 không liên hợp với nhau trong 𝐴𝑛 nên ta có đpcm.■ 1.3.5 Nhóm hữu hạn và định lý Sylow: Định nghĩa 1.3.4.1: Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑝 là một số nguyên tố • 𝐺 được gọi là một 𝑝 – nhóm nếu 𝐺 có cấp là một lũy thừa của 𝑝 • 𝐻 được gọi là 𝑝 – nhóm con của 𝐺 nếu 𝐻 là một 𝑝 – nhóm và 𝐻 là nhóm con của 𝐺 • 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 chính là phần tử tối đại trong tập các 𝑝 – nhóm con của 𝐺 theo... là một tập hợp khác rỗng và 𝐺 là một nhóm Một tác động (trái) của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 là một đồng cấu nhóm 𝜑: 𝐺 → 𝑆𝑋 , với 𝑆𝑋 là nhóm các song ánh từ 𝑋 lên 𝑋 (với phép nhân ánh xạ) Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋 Khi đó tập 𝐺𝑋 = {𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑥} là một nhóm con của 𝐺, được gọi là nhóm con ổn định của 𝑥 trong 𝐺 Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋 Ta gọi quĩ đạo của. .. 1.5.1.4 Một số tính chất: a) Một vành nửa đơn trái thì Noether trái và Artin trái b) Một vành nửa đơn trái thì cũng nửa đơn phải, và ngược lại 1.5.2 Cấu trúc vành nửa đơn: 1.5.2.1 Bổ đề Schur: Cho 𝑅 là một vành bất kì và 𝑉 là một 𝑅 - module trái đơn Khi đó 𝐸𝑛𝑑(𝑉) là một vành chia Định lý 1.5.2.2: Cho 𝐷 là một vành chia và 𝑅 = M𝑛 (𝐷) Khi đó: (1) 𝑅 là vành đơn, vành nửa đơn, vành artin trái và là vành noether... một 𝑝 – nhóm con có cấp 𝑝𝑘 Nói riêng, tồn tại trong 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 (|𝐺| = 𝑝𝑛 𝑚 nên 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 có cấp là 𝑝𝑛 ) b) Mọi 𝑝 – nhóm con 𝐻 của 𝐺 đều nằm trong một 𝑝 – nhóm con Sylow nào đó của 𝐺 c) Tất cả các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 đều liên hợp với nhau d) Nếu 𝑟 là số các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 thì 𝑟|𝑚 và 𝑟 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) 1.4 Vành và Module: Trong phạm vi luận văn này, khái niệm vành... là vành có đơn vị (thường được kí hiệu là 1) Một vành 𝑅 khác (0) được gọi là vành đơn nếu nó chỉ có hai ideal là (0) và 𝑅 Một vành 𝑅 được gọi là vành chia nếu mọi phần tử khác 0 của 𝑅 đều khả nghịch Mọi vành chia đều là vành đơn Một trường là một vành chia có tính giao hoán 𝑀 được gọi là 𝑅 – module đơn (hay bất khả qui) nếu 𝑀 ≠ (0) và 𝑀 không có 𝑅 – module con nào khác (0) và 𝑀 Ta cũng nhắc lại một số. .. Cho 𝐺 là một nhóm hữu hạn có cấp 𝑜(𝐺) và 𝑘 là một trường có đặc số thỏa 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 ∤ 𝑜(𝐺) (xét cả 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0) Khi đó 𝑘𝐺 là đại số nửa đơn Định lý 1.6.4: Cho 𝑘 ≠ 0 là một vành bất kì, 𝐺 là một nhóm vô hạn Khi đó vành nhóm 𝑅 = 𝑘𝐺 không thể nửa đơn Chứng minh: Xét đồng cấu vành 𝜀: 𝑘𝐺 → 𝑘 thỏa 𝜀|𝑘 = 𝐼𝑘 và 𝜀(𝐺) = 1 Đặt 𝐼 = 𝐾𝑒𝑟(𝜀) Giả sử 𝑅 = 𝑘𝐺 là nửa đơn, ta có 𝑅 = 𝐼 ⊕ 𝐽, với 𝐽 là một ideal phù hợp của 𝑅 Ta... nhóm vành Như vậy 𝑘𝐺 không thể nửa đơn ■ 1.7 Module trên đại số hữu hạn chiều: Cho 𝑘 là một trường và 𝑅 là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều 1.7.1 Cấu trúc của R = R rad R : Do 𝑅 là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều nên 𝑅� cũng là 𝑘 - đại số hữu hạn chiều ⟹ 𝑅� là 𝑘 - đại số Artin trái và phải (1) mặt khác 𝑅� luôn là 𝐽 – nửa đơn (2) Từ (1) và (2) suy ra 𝑅� là vành nửa đơn Đặt 𝑅� ≅ 𝐵1 × … × 𝐵𝑟 là sự phân tích thành các. .. là nhóm hữu hạn thì theo công thức khai triển thành quĩ đạo của 𝐺, ta được công thức: 𝑚 |𝐺| = |𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺)| + ��𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )� 𝑖=1 trong đó {𝑥𝑖 }𝑖=1,𝑚 ����� là tập tất cả các phần tử của 𝐺 đôi một không liên hợp với nhau và không nằm trong tâm 1.3.3 Các lớp liên hợp của nhóm Sn: Trước khi tìm các lớp liên hợp của nhóm 𝑆𝑛 , ta sẽ đề cập đến một vài cách phân kiểu cho phép hoán vị Kiểu của một hoán vị 𝜎 là một. .. hệ bao hàm • Một phần tử 𝑔 ∈ 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu 𝑝 không phải là ước của |𝑔| Một lớp liên hợp của 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu bất kì một phần tử nào của lớp liên hợp là 𝑝 – chính qui (Định nghĩa 𝑝 – chính qui cũng có thể mở rộng cho 𝑝 = 0 Khi đó mọi phần tử và mọi lớp liên hợp đều là 0 – chính qui. ) Định lý 1.3.4.2 (Định lý Sylow): Cho 𝑝 là số nguyên tố, 𝐺 là nhóm hữu hạn, |𝐺| = 𝑝𝑛 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Thị Ngọc Bích ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUI CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT... 2.3.3: Một biểu diễn gọi biểu diễn bất khả qui (hay đơn) module biểu diễn phụ thuộc vào