Hình học của nhóm các phép dời trong mặt phẳng, trong không gian và ứng dụng của nó vào dảng dạy phép dời hình ở phổ thông

LỜI CẢM ƠN Với việc hoàn thành Luận văn này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Huỳnh Phán – người nhiệt tình bước hướng dẫn thực việc nghiên cứu đề tài, từ việc gợi ý, cung cấp tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn phương pháp thực truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt trình thực luận văn đến việc chỉnh sửa hoàn chỉnh nội dung luận Tôi xin chân thành cảm ơn q Thầy tổ Bộ mơn Hình Học, khoa Tốn Trường Đại học Vinh giúp tơi hồn thành tất học phần Khóa học, nâng cao trình độ kiến thức chun mơn phương pháp học tập hữu ích; giúp tơi hồn thành học trình, đặc biệt luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn quan tâm lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Hà Tĩnh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lê Hữu Trác, huyện Huyện Hương Sơn, tỉnh Hà Tĩnh toàn thể quý đồng nghiệp, bạn khóa học, gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Tác giả Nguyễn Văn Hùng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU NỘI DUNG CHƯƠNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.2 ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP 11 1.3 NHÓM LIE 13 1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY 15 CHƯƠNG II NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG GIẢNG DẠY TỐN PHỔ THƠNG 26 2.1 PHẦN I: MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 27 2.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHƠNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THÔNG 34 KẾT LUẬN 41 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO .42 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Qua học tập nghiên cứu chun nghành hình học tơ pơ, chúng tơi hiểu sâu Hình học afin nghiên cứu tính chất bất biến khơng gian afin; Hình học Ơclit nghiên cứu tính chất bất biến phép dời khơng gian Ơclit; Hình học xạ ảnh nghiên cứu tính chất bất biến khơng gian xạ ảnh; Hình học đại số nghiên cứu tính chất bất biến tập đại số qua phép đồng phôi topo Zariski,… Như hình học nói chung nghiên cứu tính chất bất biến khơng gian Từ nhiều năm giảng dạy trường THPT, nhận thấy hình học hình học Ơ clit chiếm phần lớn nội dung chương trình hình học phổ thơng; Nó khơng gần gủi với thực tiễn mà cịn góp phần quan trọng hình thành tri thức tốn phổ thơng cho học sinh Bộ mơn hình học này, trình bày trên, chủ yếu nghiên cứu tính chất bất biến qua nhóm phép dời Do vậy, để hiểu sâu sắc tốn học phổ thơng nói chung, hình học phổ thơng nói riêng, tơi chọn đề tài luận văn tốt nghiệp HÌNH HỌC CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẴNG, TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THƠNG Mục đích nghiên cứu Qua đề tài, chúng tơi muốn nghiên cứu hình học nhóm phép biến đổi trực giao chiều thấp liên hệ với phép dời hình bậc THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Tập hợp lại số kiến thức đa tạp khả vi; nhóm Lie; tập đại số Zariski tô pô Zariski Nêu phép dời ứng dụng dảng dạy tốn phổ thơng Trình bày số kết riêng mà chúng tơi tích lũy q trình giảng dạy Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng phạm vi nghiên cứu bao gồm: - Các kiến thức Đa tạp khả vi - Nhóm Lie - Tập đại số tơ pơ Zariski - Nhóm Lie phép dời không gian Ơclit Phương pháp nghiên cứu - Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến khái niệm đa tạp khả vi; số ví dụ đa tạp khả vi, số tính chất đa tạp khả vi ánh xạ khả vi - Đọc hiểu số tài liệu khái niệm nhóm Lie, ví dụ nhóm Lie, điều kiện xác định nhóm Lie - Đọc hiểu số tài liệu tập đại số Zariski tô pô Zariski - Đọc hiểu nhóm Lie phép dời mặt phẵng không gian - Đọc hiểu phép biến đổi ma trận Đọc hiểu phép dời hình chương trình phổ thơng II/ Nội dung nghiên cứu - Tập hợp lại kiến thức có liên quan đa tạp khả vi; nhóm Lie, tập đại số; tôp Zariski - Sử dụng kết tổng quát ma trận vuông khái niệm - Tìm mối liên hệ phép dời hình, phép biến đổi trực giao qua nhóm Lie tập đại số Zariski - Tìm kiếm ứng dụng kiến thức vừa nêu vào toan phổ thông NỘI DUNG CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục trình bày lý thuyết đa tạp khả vi định nghĩa, ví dụ minh họa, số tính chất đa tạp khả vi có chứng minh chi tiết 1.1.1 Định nghĩa i/ Giả sử M T2 không gian Nếu U mở M U * tập mở R n  :U  U * đồng phơi (U , ) gọi đồ M ii/ Với p U  ( p)  R n , nên  ( p )   x1 , x2 , , xn  Khi  x1 , x2 , , xn  gọi tọa độ p (U ,  ) (U ,  ) gọi hệ tọa độ địa phương iii/ Giả sử (U1 , 1 ) (U , 2 ) đồ M cho W  U1  U   Khi (U1 , 1 ) (U ,  ) gọi phù hợp ánh xạ 2  11 : 1 (U1  U )   (U1  U ) vi phôi ( song ánh khả vi hai chiều) Chú ý: Ta thấy U1  U   2  11 : W1  1 (W)  W2  2 (W) ,  (  11 ) 1  1  2 2  11 gọi công thức đổi tọa độ từ (U1 , 1 ) sang (U ,  ) điểm p  W Ta quy ước U1  U   (U1 , 1 ) (U ,  ) phù hợp Ví dụ 1: Trong R ta lấy M  S   x; y  / x  y  1 Đặt U1   x; y   S1 / x  0    y ; y  y   1;1 , U   1;1 *  U* ; Và 1 :U1  1 y2 ; y   y Khi (U1 , 1 ) đồ S Chứng minh: * 1 song ánh     Giả sử A  a ; a B  b2 ; b U1 cho 1 ( A)  1 ( B) Khi a  b A  B Vậy 1 đơn ánh Với y   1;1 , lấy X    y ; y X U1 1  X   y Vậy 1 toàn ánh * 1 liên tục: điều hiển nhiên 1 phép chiếu * 11 liên tục Ta có 11 :U *  U x    x2 ; x  1 1 Vì hàm tọa độ 11 : x   x , 12 : x  x liên tục nên Do 1 đồng phơi Vậy (U1 , 1 ) đồ S Ví dụ 2: Trong ta lấy M  S   x; y  / x  y  1 11 liên tục Đặt U   x; y   S / y  0   x;   *  x / x   1;1 , U   1;1 *  :U  U  x;   x2  x Khi U ;2  đồ M  S U1 ; 1  với U ;2  phù hợp Chứng minh: + Chứng minh tương tự ví dụ ta có U ;2  đồ S + Ta chứng minh U1 ;1  U ;  phù hợp Thật W  U1  U   x; y   S / x  0, y  0 W1  1 (W)   0;1 , W2  2 (W)   0;1 Do f :   11 :  0;1   0;1 t 1 t2 Khi đó: f song ánh f hàm số khả vi f ' (t )  f 1 hàm số khả vi t 1 t2 , t   0;1 f 1 : (0;1)   0;1 x   x2 Vậy U1 ; 1  U ;  phù hợp 1.1.2 Định nghĩa i/ Giả sử Giả sử M T2 không gian A  { U i ;i iI họ đồ M } A thỏa mãn: a/ i U i  M I b/ U i ; i  U j ; j  phù hợp, với i  j ta nói A atlat M    ii/ Hai atlat A  U i ; i iI , B  V j ; j  j J  gọi phù hợp U i ; i  V j ;  j  phù hợp với i, j Nhận xét: Nếu A B hai atlat phù hợp A  B atlat 1.1.3 Định nghĩa i/ Nếu A atlat cực đại M ( tức A không nằm atlat nào) A gọi cấu trúc khả vi M ii/ Một T2 - không gian M có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi n- chiều Nhận xét: 1 a Atlat cực đại A gọi cấu trúc khả vi i   j vi phôi với i, j b Khi nói M đa tạp khả vi ta cần atlat với số đồ để tính tốn phép tính khả vi 2 Ví dụ 1: Lấy M  S   x; y  / x  y  1 Ta chứng minh U1 ; 1  U ;2  hai đồ M    * Đặt U   x; y   S / x  0    y ; y / y   1;1 ,U   1;1 * 3 :U  U   1 y2 ; y  y U   x; y   S / y  0   x;   x  / x   1;1 ,U *   1;1 *  :U  U  x;   x   x Tương tự, ta chứng minh U ; 3  U ;  hai đồ M Do U i ;  i i 1 Atlat M Vậy M  S đa tạp khả vi – chiều Nhận xét: Cho M đa tạp n – chiều Ta thấy N tập mở M N đa tạp n – chiều Chứng minh: Thật vậy, ta thường lấy atlat N thu hẹp Atlat M N Bây giả sử M đa tạp m – chiều với tập đồ bảo hòa A  U i ; i i I N đa tạp n – chiều với tập đồ bảo hòa B  V j ;  Ký hiệu j j J f ij : U i  V j   i U i    j V j   R n  m ( a ; b )   a1 ; ; a m ; b1 ; ; bn   Khi U i  V j , f i j  ij atlat tập tích Đềcác M  N Vậy M  N đa tạp (m + n ) – chiều Ví dụ : Ký hiệu GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính R n } Khi GL(n, R) đa tạp khả vi n2 - chiều Chứng minh: Ta đồng tập Mat(n  n, R) tất ma trận vuông cấp n với Rn ; Mat(n  n, R)  R n Xét ánh xạ det : Mat(n  n, R)  R   A  xij  det A   (1)  sign x1i1 x2i2 xnin S n Ở phần tử (hay biến) x tit , t = 1, 2, …, n phần tử nằm hàng t, cột it ma trận A Do đó, rõ ràng det A đa thức bậc n, n2 biến từ biến x11, x12,…., x1n, … biến xn1 , xn2,… , xnn Sn nhóm tất song ánh (còn gọi phép thế) tập n số 1, 2, …, n (có n! song ánh vậy), sgn  dấu phép  Cho nên đó: 10 Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp SL(2, R) Với SL(3, R) chứng minh tương tự Ta biết ma trận x A=  x3  x    SL(2,R)  x  4 x1x4 - x2x3 = Ký hiệu đa thức biến g(x1, x2 , x3 , x4 ) = x1x4 - x2x3 – A  SL(2,R) Thế  g(A) = Nói cách khác, SL(2, R) tập nghiệm đa thức g, tập đại số Zariski Hơn nữa, siêu mặt R4 Mệnh đề 3: O(n, 2) O(3, R) tập đại số Zariski Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp O(2, R) Với O(3, R) chứng minh tương tự Ta biết ma trận x A=  x3  x    O(2,R) x  4 x  AAT =  x3  x   x  4 x  x  x  1  =  x  0    4 28  x2 + x2 =  x x + x x =    2  x3 + x =  Ký hiệu ba đa thức biến g1, g2, g3     g x ,x ,x ,x  1  g x , x , x , x  2   g x ,x ,x ,x  3  x  xx x = + x2 = = - + + xx x2 -1 Thế O(2, R) nghiệm ba thức g1, g2, g3 này, nên tập đại số Zariski Mệnh đề 4: SO(n, 2) SO(3, R) tập đại số Zariski Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp SO(2, R) Với SO(3, R) chứng minh tương tự Thật vậy, SO(2, R) giao hai tập đại số Zariski SL(2, R) O(2, R) Mệnh đề 5: O(n, 2) O(3, R) tập compact Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp O(2, R) Với O(3, R) chứng minh tương tự Vì O(2, R) tập đại số nên tập đóng R4 Ngồi ra, từ chứng minh suy rằng, ma trận trực giao 29 x A=  x3  x   x  4 O(2,R)  2 x1 + x + x + x = Chon nên O(2, R) tập (nằm trên) mặt cầu R4 có tâm gốc tọa độ bán kính Cho nên O(2, R) tập bị chặn R4 Do O(2, R) tập compcat R4 Mệnh đề 6: SO(n, 2) SO(3, R) tập compact Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp SO(2, R) Với SO(3, R) chứng minh tương tự Thật vậy, SO(2, R) tập đóng tập compact O(2, R) nên tập compact Mệnh đề 7: Các nhóm Lie SL(2, R), SL(3, R), GL(2, R) GL(3, R) tập compact Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp SL(2, R), GL(2,R) Với SL(3, R) GL(3, R) chứng minh tương tự Thật vậy, SL(2, R) tập đóng, khơng bị chặn, chẳng hạn tập ma trận A dạng x A=  1  x-1    O(2,R), Nhưng tập không bị chặn R4, nên SL(2, R) không compact Tiếp theo, GL(2, R) chứa tập SL(2, R) tập không bị chặn nên GL(2, R) không bị chặn, nên GL(2, R) không compact Đinh nghĩa: Ta nói khơng gian topo X liên thông đường với hai điểm x, y X, tồn ánh xạ liên tục 30 f : 0, 1  X   Sao cho f(0) = x f(1) = y F gọi đường X nối x y Một tập liên thông đường lớn X gọi thành phần liên thông đường X Mệnh đề 8: GL(2, R) GL(3, R) có thành phần liên thông đường Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp GL(2,R) Với GL(3, R) chứng minh tương tự Đầu tiên ta thấy GL(2, R) không liên thông đường, trái lại, với 1 X=  0  0 , Y = 1  1  0  0  -1   GL(2,R) Sẽ tồn đường f GL(2, R) nối X Y (chú ý det X = det Y = 1) Khi ánh xạ định thức det: GL(2, R)  R; x x    det A  x x - x x A=  x x   4  ánh xạ liên tục (thực khả vi vô hạn lần), nên ảnh det(f([0, 1])) tập liên thông R Nhưng tập chứa tập số [-1, 1] \ {0} tập không liên thông (đoạn [0, 1] bỏ số 0) Điều vô lý Tiếp theo ta chứng tỏ, GL(2, R) có hai thành phần liên thơng, tập GL(2, R)+ tất ma trận định thức dương tập GL(2, R)- tất ma trận định thức âm Với tập thứ nhất, ta chứng minh ma trận có đường GL(2, R) nối với ma trân đơn vị X Còn với tập thứ hai, ta chứng minh ma trận có đường nối với ma trận Y 31 Giả sử A  GL(2,R) đưa dạng Jordan, nghĩa tồn ma trận T GL(2,R) cho TAT-1 ma trận Jordan, tức TAT-1 có dạng m TAT =  0  1 *  n  , * số thực mn > Nếu n, m đề dương, đường m(1  t )  t f (t ) :  0    ; t  0,1 n(1  t )  t    1 t đường GL(2, R)+ nối TAT-1 X; f(0) = TAT-1 f(1) = X Vì vậy, T-1f(t)T đường GL(2, R)+ nối A với ma trận đơn vị X Nếu n, m âm m(t  1)  t g (t ) :  0    ; t  0,1 n(t  1)  t    1 t đường GL(2, R)+ detg(t) = [m(t-1) + t] [n(t-1) + t] ln ln số dương Cho nên T-1g(t)T đường GL(2, R) nối A với X Nếu A, không đưa dạng Jordan, nghĩa A khơng có giá trị riêng thực, coi A ma trận phức, nên ta lại đưa A dạng Jordan chứng minh tương tự Mệnh đề 9: SL(2, R) tập liên thông đường R4 Chứng minh: Với x A=  x3  x   x  4 32 SL(2,R), x det   x3  x    x x -x x x  4 =1 nên đa thức đặc trưng  x  det   x3  x     - (x +x ) x    có nghiệm Do A đưa dạng Jordan nghĩa tồn ma trận T GL(2,R) cho TAT-1 ma trận Jordan, tức TAT-1 có dạng m TAT =  0  1 *  n  , * số thực mn = Áp dụng lập luận trên, ta tìm đường SL(2, R) nối A với ma trân đơn vị X Do SL(2, R) liên thơng đường PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THƠNG Tong chương trình tốn phổ thơng, phép dời hình trình bày chương sách giáo khoa hình học lớp 11, gồm phép: Tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục phép quay Ở sách giáo khoa trình bày định nghĩa số tính chất phép dời theo tính trực quan mà chưa trọng đến cơng cụ đại số để giải tốn Qua việc nghiên cứu số tính chất phép dời trình bày Phần chương này, thấy việc sử 33 dụng công cụ đại số để giải tốn phép dời hình đơn giản hiệu Do phần chúng tơi tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép phép dời trình bày sách giáo khoa hình học 11 Với việc làm vậy, xem ứng dụng tính chất hình học hình học đại số nhóm phép dời vào dạy hình học phổ thơng Nhận xét: Các phép dời hình chương trình tốn phổ thơng phép biến đổi tuyến tính Nên để tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép dời hình, ta tìm ảnh véc tơ đơn vị áp dụng tính chất tuyến tính Riêng phép tịnh tiến, ta tìm theo hướng khác I PHÉP TỊNH TIẾN I.1 Định nghĩa phép tịnh tiến: Trong mặt phẵng cho véc tơ v Phép biến hình biến điểm M thành M’ cho MM '  v gọi phép tịnh tiến theo véc tơ v Kí hiệu: T(v ) v : gọi véc tơ tịnh tiến I.2 Biểu tức tọa độ ma trận biến đổi phép tịnh tiến Với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy với véc tơ đơn vị i j Xét phép tịnh tiến T(v ) với v  (a, b) Ta có: Với vỗi điểm M(x,y) ta có MM '  v Nên Tv ( M )  ( x  a, y  b) M’(x’,y’) ảnh M M’(x’,y’)= Tv ( M )  ( x  a, y  b)  x'  x  a Hay  (I*)  y'  y  b Theo phép nhân ma trận (*) viết dạng 1   x   a   x'          (I**)  y'         1 y   b    34 Vậy công thức (I*) công thức tọa độ phép tịnh tiến theo véc tơ v 1  Ma trận A   0  II 0   ma trận biến đổi phép tịnh tiến theo véc tơ v 1  PHÉP QUAY II.1 Định nghĩa phép quay : Cho điểm O gốc lượng giác α , phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M thành M’ cho: OM’ = OM góc lượng giác (OM; OM’) = α gọi phép quay tâm O góc α Ký hiệu: Q(O; α).O: tâm α: góc quay II.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép quay Với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy với véc tơ đơn vị i j Xét phép quay tâm O (nếu tâm không trùng với góc tọa độ ta dùng phép tịnh tiến để biến đổi hệ trục tọa độ để đua hệ tọa độ Oxy hệ có góc tọa độ trùng với tâm)   Khi QO (i)  cos , sin  ; QO ( j )   sin  ; cos   Với điểm M(x,y) ta  QO ( M )  x(cos  , sin  )  y ( sin  , cos  )  ( x cos   y sin  , x sin   y cos ) Hay M’(x’,y’) ảnh M  M’ = QO ( M )  x(cos  , sin  )  y ( sin  , cos  )  ( x cos   y sin  , x sin   y cos )  x'  x cos   y sin  Nên  (II*)  y '  x sin   y cos Theo phép nhân ma trận (II*) viết dạng  cos   x'      y'     sin    sin   x     (II**)   cos  y   Vậy công thức (II*) công thức tọa độ phép quay tâm O góc quay α 35 có  cos   Ma trận A=   sin    sin     ma trận biến đổi phép quay tâm O cos    góc quay α III PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC III.1 Định nghĩa phép đối xứng trục : Cho đường thẳng d cố định Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho - Nếu M  d M’  M - Nếu M d d đường trung trực đoạn thẳng MM’ Kí hiệu Đd d: gọi trục đối xứng III.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép đối xứng trục Với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy với véc tơ đơn vị i j đó: Xét phép Đd với d đường thẳng qua góc tọa độ O ( d không qua O ta dùng phép tịnh tiến biến đổi hệ tọa độ Oxy hệ có tâm thuộc d) hợp với trục Ox góc α ta có Đd (i)  (cos 2 , sin 2 ); Đd (i )  (sin 2 , cos 2 ); Với điểm M(x,y) ta có Đd ( M )  x(cos 2 , sin 2 )  y (sin 2 , cos 2 )  ( x cos 2  y sin 2 , x sin 2  y cos 2 ) Hay M’(x’,y’) ảnh M M’ = Đd  ( x cos 2  y sin 2 , x sin   y cos 2 )  x'  x cos 2  y sin 2 Nên  (III*)  y '  x sin 2  y cos 2 Theo phép nhân ma trận (*) viết dạng  cos 2  x'      y'     sin 2  sin 2  x     (III**)    cos 2  y   36 Vậy công thức (*) công thức tọa độ phép đối xứng trục d  cos 2  Ma trận A=   sin 2  IV    ma trận biến đổi phép đối xứng trục d  cos 2   sin 2 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM IV.1 Định nghĩa phép đối xứng tâm: Cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm O thành biến điểm M thành điểm M’ cho O trug điểm MM’ Kí hiêu: Đo O: gọi tâm đối xứng IV.2 Biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép đối xứng tâm Với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy với véc tơ đơn vị i j đó: Xét phép Đo với O góc tọa độ ( O khơng trùng với góc tọa độ, ta dùng phép tịnh tiến biến đổi hệ tọa độ Oxy hệ có góc tọa độ trùng với tâm đối xứng) Đo(i )  (1,0); Đd (i )  (0,1); Với điểm M(x,y) ta có Đd ( M )  x( 1,0)  y (0,1)  ( x, y ) Hay M’(x’,y’) ảnh M M’ = Đo  (  x, y )  x'   x Nên  (IV*)  y'   y Theo phép nhân ma trận (*) viết dạng 1   x   x'       (IV**)  y'        1 y    Vậy công thức (*) công thức tọa độ phép đối xứng trục d 1    Ma trận A=   ma trận biến đổi phép đối xứng trục d   1   37 A Qua việc nhìn nhận phép dời hình ngơn ngữ đại số mà ta tìm biểu thức tọa độ ma trận biến đổi phép dời hình ta dễ dàng tìm ảnh điểm qua tích phép dời hình Thật Xét tích hai phép dời hình D1 D2 với ma trận biến đổi      a11 a12   b11 b12  ; B    Với M(x,y) qua phép dời hình D1 ta có: A  a 21 a 22   b21 b22               a11 a12  x  b11 b12  x'    a11 x  a12 y   x'           D1 ( M )    y   a x  a y    y '  D2 D1 ( M )         a 21 a 22    21 b21 b22  y'    22          Thế x’ y’ vào ta có:      b11 b12  a x  a y    11   a11b11  a 21b12 x  a12 b11  a 22 b12  y   c11 c12  x  12      D2 D1 ( M )    b21 b22  a 21 x  a 22 y   a11b21  a 21b22 x  a12 b21  a 22 b22  y   c 21 c 22  y                Nhận thấy thực tích phép dời hình thực chất ta thực phép nhân ma trận biến đổi VÍ DỤ Tích phép quay tâmO với góc 1  Ta biết tích phép quay phép quay tâmO, góc 1   Áp dụng cơng thức tích phép dời hình ta kiểm tra lại xem có khớp hay khơng: 38 Ma trận biến đổi  cos  B  sin   1 O Q  cos   =  sin   A  sin     cos     QO  sin     cos   Khi  cos  AB    sin    cos(   )  =  sin(   )   sin   cos   cos  sin    sin    cos  cos   sin  sin     cos   sin  cos   sin  cos   sin  cos   sin  cos cos cos   sin  sin  sin(   )    cos(   )   Kết cho thấy tích phép quay tâm O phép quay tâmO, góc 1   2 Tích phép đối xứng trục có trục đối xứng cắt nhau: Khơng tính tổng qt giả sử trục đối xứng cắt O Ta biết kết quả“tích phép đối xứng trục cắt phép quay với tâm quay giao điểm trục góc quay=2 lần góc tạo trục” Thật vậy: Xét hai phép đối xứng trục có ma trận biến đổi  cos 2  C   sin 2   cos 2 sin 2    D     cos 2   sin 2       ,   cos 2   sin 2 góc hợp trục đối xứng với Ox Xét 39  cos 2  C.D    sin 2   cos 2    cos 2  sin 2   cos 2 cos 2  sin 2 sin 2    cos 2 sin 2  sin 2 cos 2   cos 2(   )  =  sin 2(   )      cos 2   sin 2 sin 2 cos 2 sin 2  sin 2 cos 2    cos 2 cos 2  sin 2 sin 2    sin 2(   )    (2*) cos 2(   )   Kết (2*) chứng tỏ tích phép đối xứng trục cắt phép quay với tâm quay giao điểm trục góc quay=2 lần góc tạo trục Tích phép quay với phép tịnh tiến  cos    Có ma trận  sin   0   sin  cos a   b  1  Ta dùng ma trận biến đổi kiểm tra kết biết Hình học 11 như: tích sốchẵn (lẻ) phép đối xứng trục có trục đối xứng đồng quy phép quay ( đối xứng trục), tích phép quay (tâmquay khác nhau) phép quay,… 40 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: Trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng chi tiết mệnh đề, định lý đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi Trình bày định nghĩa nhóm Lie, ví dụ nhóm Lie, điều kiện xá định nhóm Lie Trình bày định nghĩa tập đại số Zarisky tô pô Zarisky số ví dụ Nêu chứng minh tính chất hình học đại số nhóm phép dời mặt phẳng không gian Nhìn nhận phép dời mắt đại số ứng dụng dảng dạy tốn phổ thơng 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương - Tạ Mân: Hình học afin hình học Ơclit,NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội,2002 [2] Nguyễn Mộng Hy: Hình học cao cấp NXB Giáo dục,2001 [3] Nguyễn Huỳnh Phán: Hình học nhóm phép biến đổi Bài giảng chuyên đề cho nghiên cứu sinh chuyên ngành hình học Topo Viện nghiên cứu phát triển công nghệ mới, 2012 [4] Nguyễn Huỳnh Phán - Trương Đức Hinh: Phân thớ Bài giảng chuyên đề cao học, ĐHSP Vinh, 1996 [5] Nguyễn Huỳnh Phán : Nhập mơn hình học đại số.Bài giảng chuyên đề cao học Viện nghiên cứu phát triển công nghệ mới,2012 [6] Nguyễn Hữu Quang: Bài giảng đại số Lie nhóm Lie Đại học Vinh, năm 2005 [7] Nguyễn Duy Bình: Bài giảng lý thuyết Moore Đại học Vinh, năm 2010 [8] Hệ thống sách giáo khoa phổ thông hành từ lớp đến lớp 12 1.4 1.5 ĐA TẠP KHẢ VI ( Trích dẫn từ tài liệu [6]) ÁNH XẠ KHẢ VI GIỮA HAI ĐA TẠP ( Trích dẫn từ tài liệu [6]) 1.6 NHĨM LIE ( Trích dẫn từ tài liệu [6]) 1.7 TÂP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TƠ PƠ ZARISKY(Trích dẫn từ tài liệu [5]) 42 ... CHẤT HÌNH HỌC VÀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NHÓM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 27 2.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG... nghiệp HÌNH HỌC CỦA NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẴNG, TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ VÀO GIẢNG DẠY PHÉP DỜI HÌNH Ở PHỔ THƠNG Mục đích nghiên cứu Qua đề tài, muốn nghiên cứu hình học nhóm phép. .. 11 1.3 NHÓM LIE 13 1.4 TẬP ĐẠI SỐ ZARISKY VÀ TÔ PÔ ZARISKY 15 CHƯƠNG II NHĨM CÁC PHÉP DỜI TRONG MẶT PHẲNG, TRONG KHƠNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG GIẢNG DẠY TỐN PHỔ THÔNG