Số học, hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

Mục lục Mục lục Bảng số ký hiệu Bảng số thuật ngữ Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm đại số tuyến tính 1.2 Lược đồ nhóm affine 1.3 Đối đồng điều Galois 1.4 Đối đồng điều phẳng 1.5 Tơpơ tập, nhóm đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng 1.5.1 Trường hợp giao hoán 1.5.2 Trường hợp khơng giao hốn Tơpơ đặc biệt 1.5.3 Trường hợp khơng giao hốn Tơpơ tắc 14 14 20 23 26 29 29 30 30 Một số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm Grosshans 2.1 Các tính chất hữu tỷ nhóm quan sát 2.2 Các tính chất hữu tỷ nhóm toàn cấu 2.3 Các tính chất hữu tỷ nhóm Grosshans 2.4 Kết luận Chương 32 33 41 43 46 Về dạng tương đối cho Định lý Bogomolov trường hồn thiện ứng dụng 47 3.1 Một số khái niệm kết 48 3.2 Một số kết lý thuyết biểu diễn 52 3.2.1 3.3 3.4 3.5 Định lý biểu diễn nhóm reductive trường đóng đại số 3.2.2 Một số ký hiệu ∆-tác động 3.2.3 Lý thuyết Tits biểu diễn nhóm reductive trường 3.2.4 Trạng thái biểu diễn 3.2.5 Các nhóm parabolic P(λ) P(χ) 3.2.6 Đặc trưng nhóm tựa parabolic 3.2.7 Định lý Kempf 3.2.8 Định lý Ramanan Ramanathan 3.2.9 Liên hệ biểu diễn nhóm reductive biểu diễn nhóm nửa đơn Dạng tương đối cho định lý Bogomolov 3.3.1 Chứng minh thứ Định lý 3.1.5 3.3.2 Chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 Một số tính chất hữu tỷ nhóm tựa parabolic nhóm parabolic Kết luận Chương 53 53 54 56 57 58 59 60 61 62 63 65 68 77 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động nhóm đại số trường địa phương 79 4.1 Một số kết sơ 80 4.2 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ hồn thiện 86 4.3 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ 97 4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động tách 97 4.3.2 Chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 98 4.3.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 99 4.3.4 Trường hợp nhóm dừng lũy đơn 100 4.3.5 Trường hợp nhóm giao hốn xuyến 102 4.3.6 Trường hợp nhóm dừng k-nhóm giải được, liên thơng 111 4.3.7 Trường hợp G k-nhóm tuyến tính lũy linh 114 4.3.8 Trường hợp nhóm dừng reductive 116 4.3.9 Trường hợp tác động tách 118 4.4 Một số tính tốn trường hợp trường có đặc số p 118 4.5 Kết luận Chương 126 Kết luận 128 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 130 Tài liệu tham khảo 132 Bảng số ký hiệu N Z Q R C Fq Qp Zp Fq ((T )) ¯ k ks kv Gal(K/k) H1 (k, G) H1 l (k, G) f Ga Gm GLn PGLn SLn SOn k[X] X G X/G G/H char k G0 tập số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ trường số thực trường số phức trường hữu hạn gồm q phần tử trường số p-adic vành số nguyên p-adic trường chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số Fq bao đóng đại số trường k bao tách trường k đầy đủ hóa trường k định giá v nhóm Galois mở rộng Galois K/k đối đồng điều Galois bậc G k đối đồng điều phẳng bậc G k nhóm cộng tính nhóm nhân tính nhóm tuyến tính tổng qt nhóm tuyến tính xạ ảnh nhóm tuyến tính đặc biệt nhóm trực giao đặc biệt đại số hàm quy đa tạp X với hệ số k thương phạm trù đa tạp X theo tác động nhóm G thương hình học đa tạp X theo tác động nhóm G khơng gian G thương cho nhóm đóng H đặc số trường k thành phần liên thơng chứa đơn vị nhóm G Bảng số thuật ngữ ánh xạ đối biên đối compắc siêu cứng đa thức cộng tính đối đồng điều phẳng hàm tử (hạn chế) Weil k-đẳng hướng k-xoắn k-phân rã k-không đẳng hướng túy không tách lược đồ nhóm lược đồ nhóm vơ bé nhóm reductive nhóm lũy đơn nhóm parabolic chuẩn nhóm parabolic nhóm tựa parabolic nhóm parabolic ổn định nửa ổn định không nửa ổn định thiếu ổn định thực ổn định phần tử đơn trị hóa phép ngập tập với phần tử đánh dấu thương hình học thương phạm trù trọng trọng trội coboundary map cocompact super-rigidity additive polynomial flat cohomology Weil restriction k-isotropic k-wound k-split k-anisotropic purely inseparable group scheme infinitesimal group scheme reductive group unipotent group standard parabolic subgroup parabolic subgroup quasi-parabolic subgroup sub-parabolic subgroup stable semi-stable unstable instable properly stable uniformizing element submersion set with a distinguished element geometric quotient categorical quotient fundamental weight dominant weight trường hàm toàn cục tách mạnh tách xoắn global function field strongly separable fairly separable twisting Mở đầu Giả sử G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k Ta hiểu đơn giản G nhóm ma trận vng cấp n với hệ số nằm bao đóng đại số trường k G đồng thời tập không điểm họ đa thức n2 biến với hệ số k Một hướng nghiên cứu quan trọng nằm Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính Hình học Đại số Lý thuyết bất biến hình học Một phần chủ yếu lý thuyết nghiên cứu tác động (cấu xạ) nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số cho trước, đặc biệt nghiên cứu tính chất quỹ đạo Lý thuyết bất biến hình học xuất từ lâu với việc nghiên cứu Bài toán số 14 Hilbert tính chất hữu hạn sinh đại số hàm bất biến Với đóng góp D Mumford, W Haboush, M Nagata, , lý thuyết phong phú trường hợp trường k đóng đại số Tuy nhiên, từ thời điểm ban đầu Lý thuyết bất biến hình học đại, mà D Mumford người đặt móng, ơng đặt vấn đề nghiên cứu tình tương đối, tức k trường nói chung khơng đóng đại số Chẳng hạn, với động nghiên cứu toán số học (cụ thể xây dựng không gian moduli đa tạp abel, đề cập Chương [30], [31]), D Mumford xét nhiều vấn đề lý thuyết lược đồ đủ tổng quát Ngoài ra, A Borel [58], J Tits [30], đặt số câu hỏi (hay giả thuyết) mở rộng kết biết lý thuyết bất biến hình học trường đóng đại số cho trường khơng đóng đại số (chẳng hạn mở rộng định lý tiếng D Hilbert D Mumford) Những kết điển hình theo hướng thuộc D Birkes [6], G Kempf [25], M S Raghunathan [35], cho câu trả lời (hoặc lời giải) số câu hỏi (hoặc giả thuyết) đề cập Những nghiên cứu theo cách nói chung gọi nghiên cứu tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số, đa tạp đại số, v.v ) Khó khăn gặp phải tốn nói tương tự tốn số học, ví dụ việc tìm nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học”) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học”) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc nghiên cứu Lý thuyết bất biến hình học, lớp nhóm quan sát được, lớp nhóm tồn cấu, lớp nhóm Grosshans Từ số nghiên cứu Lý thuyết biểu diễn nhóm đại số, A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G Mostow [3, p 134] đưa khái niệm nhóm quan sát Ta hiểu nhóm đóng H G quan sát H nhóm dừng vectơ v G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều V Trong [3], tác giả đưa số điều kiện cần đủ để nhóm quan sát Sau đó, F Grosshans tìm thêm số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] tài liệu dẫn đó) Tuy nhiên, hầu hết kết chứng minh cho trường hợp k trường đóng đại số Một lớp nhóm khác quan trọng lớp nhóm tồn cấu A Borel F Bien đưa (trước S Bergman làm cơng việc tương tự Đại số Lie) Ta định nghĩa nhóm đóng H G tồn cấu đại số hàm quy k[G/H] khơng gian G/H k Những điều kiện cần đủ để nhóm đóng tồn cấu ban đầu đưa F Bien A Borel (xem [56], [57], [21] kết gần đây) Bên cạnh đó, F Bien, A Borel, J Kollar [5] nghiên cứu mối liên hệ tính chất H nhóm tồn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ không gian G/H Một số điều kiện tương đương để nhóm toàn cấu cho Định lý 2.2.1 Nhờ vào nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 Hilbert, F Grosshans đưa lớp nhóm quan sát mang tên ơng Đó nhóm quan sát H G có tính chất đại số hàm bất biến k[G]H hữu hạn sinh, H tác động tịnh tiến phải lên đại số hàm quy k[G] Chính F Grosshans tìm số điều kiện cần đủ thú vị cho khái niệm nói Tuy nhiên, kết nói chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Gần đây, cần thiết phải có ứng dụng Số học Lý thuyết ergodic (xem chẳng hạn [53]), B Weiss có số kết tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm tồn cấu Như ta biết, nhóm đóng H G quan sát H = Gv , với v ∈ V, V G-môđun hữu hạn chiều Tuy nhiên, H nhóm dừng vectơ (đối với biểu diễn cho), ta khó nói thêm cấu trúc H Ở đây, A Sukhanov có kết sâu khẳng định nói Ơng chứng minh [45] định lý nói rằng, nhóm quan sát parabolic Để làm điều này, A Sukhanov phải dùng kết quan trọng F Bogomolov cấu trúc nhóm dừng vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa ∈ G · v) Tuy nhiên, kết F Bogomolov A Sukhanov chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Nội dung hai chương nói kết luận án (Chương 2, Chương 3) trình bày việc mở rộng khẳng định cho trường khơng đóng đại số Vì số lý kỹ thuật, kết F Bogomolov A Sukhanov Chương mở rộng lên cho truờng hợp k trường hồn thiện Như nói trên, có nhiều kết Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập đến việc nghiên cứu tính chất đóng quỹ đạo tác động nhóm G thu trường hợp hình học, tức là, trường hợp trường k đóng đại số Bên cạnh đó, số địi hỏi nội Lý thuyết số mà trường địa phương, toàn cục quan tâm đặc biệt Chẳng hạn ta cho G nhóm đại số tuyến tính tác động lên k-đa tạp V x ∈ V(k) Khi đó, bước việc chứng minh kết tương tự Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trường hợp trường hàm toàn cục, xem [51], chứng minh tính chất đóng (địa phương) số quỹ đạo tương đối G(k) · x Vì thế, chúng tơi quan tâm đến mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo tác động nhóm đại số tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo tương đối Cụ thể hơn, giả sử k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường v có hạng thực 1, ví dụ trường địa phương trường p-adic trường số thực R Ta trang bị cho X(k) tôpô v-adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v-adic k Cho x ∈ X(k), muốn nghiên cứu mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo hình học G · x X tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo (tương đối) G(k) · x X(k) Kết theo hướng thuộc A Borel Harish-Chandra [10], tiếp đến D Birkes [6] (xem thêm [55]) trường hợp trường số thực, sau R Bremigan [11] Thực tế, báo G R-nhóm reductive, G · x đóng Zariski G(R) · x đóng theo tôpô thực ([6], [55]) Điều mở rộng cho trường p-adic R Bremigan [11] Mục đích chương kết thứ ba (Chương 4) mở rộng nghiên cứu sâu toán đề cập Bản luận án gồm chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức bản, cần thiết cho luận án Cụ thể là, Mục 1.1, 1.2, nhắc lại số khái niệm nhóm đại số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động nhóm đại số lên đa tạp) lược đồ nhóm affine Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng, Mục 1.5, chúng tơi trình bày số định nghĩa, kết biết tôpô tập đối đồng điều Các kết chúng tơi trình bày Chương 2, 3, Trong Chương 2, chúng tơi nghiên cứu số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Chương chúng tơi viết dựa báo [47] Kết đề cập đến nhóm quan sát được, cho định lý sau Định lý (xem Định lý 2.1.11) Cho G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k tùy ý H k-nhóm đóng G Khi khẳng định sau tương đương: (a) H quan sát được, tức là, H = H (a’) H k-quan sát được, tức là, H = (k[G]H ) (b’) Tồn biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) véctơ v ∈ V(k) cho H = Gv = {g ∈ G | g · v = v} (c’) Tồn số hữu hạn hàm f ∈ k[G/H] tách điểm G/H (d’) Không gian G/H đa tạp tựa affine xác định k (e’) Mọi biểu diễn k-hữu tỷ ρ : H → GL(V) mở rộng thành biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V ) (f’) Tồn biểu diễn k-hữu tỷ ρ : G → GL(V) véctơ v ∈ V(k) cho H = Gv G/H k G · v = {ρ(g)(v) | g ∈ G} (g’) Trường thương vành G0 ∩ H-bất biến k[G0 ] trường phân thức G0 ∩ H-bất biến k(G0 ) Hơn nữa, H(k) trù mật Zariski H khẳng định tương đương với tính chất quan sát tương đối (xem Định nghĩa 2.1.6) H k Kết thứ hai thu cho nhóm toàn cấu, phát biểu sau Định lý (xem Định lý 2.2.4) Cho k trường H k-nhóm đóng k-nhóm G Khi đó, khẳng định sau tương đương: (a’) H k-toàn cấu, tức (k[G]H ) = G 10 Ta ý số mũ T (an − am ) p chia hết cho p số mũ T (bn − bm ) p T có dạng pk + Vậy từ (1) (2), ta có v(an − am ) → ∞, v(bn − bm ) → ∞, hay {an }, {bn } dãy Cauchy k Thế thì, an → a, bn → b, với a, b ∈ k Tương tự, cn → c, dn → d, với c, d ∈ k Thế ad − bc = lim (an dn − bn cn ) = n→∞   a b    ∈ G(k)      c d Hơn nữa, u1 = a p + b p T , u2 = c p + d p T , (u1 , u2 )t ∈ G(k) · v Do đó, G(k) · v tập đóng V(k) 3) Giả sử   a b    ∈ B   g=   d Thế  p  a + b p T     ∈ {(x, y)t ∈ V | y   g·v=   p d T 0} Cho trước (u1 , u2 ) ∈ V, u2 Ta chọn d = ( u2 ) p Thế d p T = u2 Ta chọn T T T a = d , thu a p = ( d ) p = u2 , b p T = u1 − a p = u1 − u2 Do đó, ta chọn b = [ T (u1 − 4) Giả sử T p u2 )] Vì (u1 , u2 ) ∈ B · v 3) chứng minh   an bn     ∈ B(k)   gn =    dn  p    a + T b p       → u1  ∈ k2       gn · v =     p  Td u2 p Tương tự với 2), điều kiện dn T → u2 kéo theo dn dãy Cauchy k Thế p p dn → d ∈ k u2 = d p T Vì an + bn T → u1 nên an , bn dãy Cauchy an → a, bn → b Thế u1 = a p +b p T Từ điều kiện an dn = 1, ta suy ad = lim (an dn ) = n→∞ Khi   a b    · v ∈ B(k) · v   (u1 , u2 )t =    d Thế B(k) · v tập đóng V(k) 5) Ta có   1 + b p T     b∈k   U(k) · v =    T 124 Tương tự, U(k) · v đóng V(k)   1 b p    b =0   Uv =    αp lược đồ nhóm khơng trơn 6) Ta cần đến khẳng định quen thuộc sau Cho q lũy thừa số nguyên tố p, k = Fq ((T )) Khi k p khơng mở k Ta cần k \ k p không tập đóng k Ta chọn a = + T p + T 2p + · · · = (1 + T + T + · · · ) p ∈ k p Hơn nữa, ta chọn a0 = + T , a1 = + T p + T p+1 , · · · , an = + T p + T 2p + · · · + T np + T np+1 Khi an → a ∈ k p an k p Vì k \ k p khơng đóng k p không tập mở k Ta có U(k) · v = {(1 + T b p , T )t | b ∈ k} Vì k p không mở k nên U(k) · v không tập mở (U · v)(k) = {(x, T )t | x ∈ k} Với   a b    ∈ B(k),   g=   d ta có Thế  p  a + b p T       g·v=   p d T  p  a + b p T     a, b, d ∈ k, ad =   B(k) · v =    p d T Ta chọn a = d = 1, b = + T + T + · · · ,   a b    ∈ B(k),   g=   d   1 + (1 + T p + T 2p + · · · )T       g·v=   T Ta xét dãy sau     1 + T (1 + T ) 1 + T (1 + T p + T p+1 )      , x1 =  , ,     x0 =      T T 125   1 + T (1 + T p + · · · + T np + T np+1 )   ,   xn =    T Thế xn → g · v ∈ B(k) · v Mặt khác, ta xn B(k) · v Giả sử điều không đúng, tức là,   p p  an + bn T     ∈ B(k) · v   xn =    p dn T p Thế dn = 1, an = 1, bn = + T p + · · · + T np + T np+1 bn ∈ k = Fq ((T )) Điều mâu thuẫn Do đó, xn B(k) · v xn → g · v ∈ B(k) · v Vậy B(k) · v không tập mở V(k) Bây ta G(k) · v không mở V(k) Tương tự, ta chọn   1 + T (1 + T p + · · · + T np + T np+1 )   ,   xn =    T (3) xn G(k) · v, (4) xn → g · v ∈ G(k) · v,   1 b    , b = + T + T2 + · · ·   g=   Khẳng định (4) chứng minh Giả sử   p p  an + bn T     ∈ G(k) · v   xn =  p   p c n + dn T p p p Thế thì, cn + dn T = T , tức là, cn + (dn − 1) p T = Do đó, cn = 0, dn = 1, p an = 1, bn = + T p + · · · + T np + T np+1 , bn ∈ k Điều mâu thuẫn Vậy V(k) \ G(k) · v khơng đóng G(k) · v không tập mở 4.5 Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau: 126 Nếu G nhóm đại số tuyến tính giao hốn tơpơ đặc biệt tơpơ tắc tập đối đồng điều H1 (k, G) rời rạc Nếu k trường đặc số 0, đầy đủ định giá không tầm thường, hạng thực tơpơ đặc biệt H1 (k, G) rời rạc Quỹ đạo G(k) · v đóng Hausdorff quỹ đạo G · v đóng Zariski thêm số điều kiện sau: a) k trường hoàn thiện, đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực nhóm dừng Gv trơn b) k trường đầy đủ định giá không tầm thường có hạng thực điều kiện - Nhóm dừng Gv trơn, giao hốn; G giao hốn - Nhóm dừng Gv trơn mở rộng k-nhóm lũy đơn trơn k-nhóm chéo hóa c) k trường compắc địa phương nhóm dừng Gv k-nhóm reductive, trơn, liên thông d) Tác động G tách v Quỹ đạo G ·v đóng Zariski G(k)·v đóng Hausdorff thêm điều kiện sau: a) G = L × U, với L nhóm reductive, U nhóm lũy đơn, k trường hoàn thiện, đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực b) G lũy linh c) G reductive với tác động G tách mạnh v Chỉ ví dụ cho thấy, k trường địa phương đặc số 0, G không tích trực tiếp nhóm reductive nhóm lũy đơn, k trường địa phương đặc số p, G reductive (hoặc giải được) với tác động G không tách mạnh v điều kiện G(k) · v đóng Hausdorff khơng kéo theo G · v đóng Zariski 127 Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau Chứng minh khẳng định tính chất hữu tỷ cho nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Mở rộng kết F Bogomolov cho trường hoàn thiện Chứng minh khẳng định liên hệ khái niệm nhóm tựa parabolic, parabolic, trường hợp k hoàn thiện Kết chứa mở rộng Định lý Sukhanov cho trường hoàn thiện Nghiên cứu mối liên hệ tính đóng Zariski quỹ đạo hình học tính đóng Hausdorff quỹ đạo tương đối Liên hệ chúng với tốn trang bị tơpơ tập đối đồng điều Galois (hoặc phẳng) thu số kết tôpô tập đối đồng điều 128 Một vài hướng phát triển Ứng dụng tính chất k-tựa parabolic vào nghiên cứu nhóm số học (theo Raghunathan) Phải quỹ đạo U(k) · x ln đóng với U k-nhóm lũy đơn tùy ý tác động k-cấu xạ lên đa tạp affine X x ∈ X(k) Mơ tả “đa tạp” nhóm Grosshans “đa tạp” nhóm quan sát Câu hỏi F Bruhat J Tits: Phải T (k)T (Ov ) = T (kv ) với k trường toàn cục, T k-xuyến, v định giá rời rạc k, Ov vành số nguyên v-adic kv Với giả thiết 4), trả lời câu hỏi tổng quát hơn: Khi G(k)G(Ov ) = G(kv ) với G k-lược đồ nhóm 129 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án N Q Thắng, Đ P Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions” Illinois J Math 49(2), pp 431-444 Đ P Bắc, N Q Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”, Proc Japan Acad., 84, Ser A, No 7, pp 101-106 Đ P Bắc, N Q Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Conference on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp 524-531 Đ P Bắc, N Q Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bogomolov over perfect fields and its applications”, J Algebra 324 (2010) doi:10.1016/j.jalgebra 2010.04.020, 20 pp Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology of relative orbits for action of algebraic tori over local fields”, Preprint, pp Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology on group cohomology and the topology of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint, 49 pp Đ P Bắc, “On some topological properties of relative orbits of subsets”, Preprint, 25 pp Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị Quốc tế Osaka-Hanoi, Hà Nội (2005) Hội nghị Đại số-Hình học-Tơ pơ Tồn quốc, Thành phố Hồ Chí Minh (2005) Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập khoa Toán-Cơ-Tin học, Hà Nội (2006) Hội nghị Đại số-Hình học-Tơ pơ Tồn quốc, Vinh (2007) Hội nghị Tốn học Tồn quốc, Quy Nhơn (2008) Seminar Phòng Lý thuyết số, Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam 130 Seminar Phòng Đại số, Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Seminar Bộ mơn Đại số-Hình học-Tơ pơ, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 131 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] A Asok, B Doran, F Kirwan (2008), “Yang-Mills theory and Tamagawa numbers: The fascination of unexpected links in mathematics”, Bull London Math Soc 40(4), pp 533–567 [2] A Asok, B Doran, F Kirwan, “Equivariant motivic cohomology and quotients” (to appear) [3] A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G D Mostow (1963), “Extensions of representations of algebraic linear groups”, Amer J Math 85, pp 131-144 [4] A Bialynicki-Birula, G Hochschild, G D Mostow (1963), “On homogeneous affine spaces of linear algebraic groups”, Amer J Math 85, pp 577-582 [5] F Bien, A Borel, J Kollar (1996), “Rationally connected homogeneous spaces”, Invent Math 124, pp 103-127 [6] D Birkes (1971), “Orbits of algebraic groups”, Ann Math 93, pp 459-475 [7] F A Bogomolov (1979), “Holomorphic tensors and vector bundles on projective varieties”, Math U S S R Izvestiya 13, pp 499-555 [8] F A Bogomolov (1978), “Unstable vector bundles and curves on surfaces”, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki), Acad Sci Fennica, Helsinki, pp 517-524 [9] A Borel (1991), Linear Algebraic Groups, (second enlarged version), G T M 126, Springer-Verlag, xi+288 pp [10] A Borel, Harish-Chandra (1962), “Arithmetic subgroups and algebraic groups”, Ann Math 75, pp 485-535 132 [11] R J Bremigan (1994), “Quotient for algebraic group actions over nonalgebraically closed fields”, J reine und angew Math., Bd 453, pp 21-47 [12] Đ P Bắc, N Q Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”, Proc Japan Acad., 84, Ser A, No 7, pp 101-106 [13] Đ P Bắc, N Q Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bogomolov over perfect fields and its applications”, J Algebra 324 (2010)doi:10.1016/j.jalgebra 2010.04.020, 20 pp [14] Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology on group cohomology and the topology of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint [15] Đ P Bắc, N Q Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Conference on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp 524-531 [16] Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology of relative orbits for action of algebraic tori over local fields”, Preprint [17] F Coiai, Y Holla (2006), “Extension of structure group of principal bundle in positive characteristic”, J reine und angew Math., Bd 595, pp 1-24 [18] I Dolgachev (2003), Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Note Series 296, Cambridge University Press, Cambridge, xvi+220 pp [19] B Green, F Pop, P Roquette (1995), “On Rumely’s local-global Principle”, Jber d Dt Math, -Verein 97, pp 43-74 [20] F Grosshans (1973), “Observable groups and Hilbert’s fourteenth problem”, Amer J Math 95, pp 229-253 [21] F Grosshans (1997), Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, Lecture Notes in Math 1673, Springer-Verlag, vi+148 pp [22] W Hesselink (1978), “Uniform instability in reductive groups”, J reine und angew Math., Bd 303/304, pp 74-96 [23] E Hewitt, K Ross (1963), Abstract harmonic analysis, vol 1, Grundlehren der math Wiss., Bd 115, Berlin-Gottingen-Heidelberg 133 [24] J E Humphreys (1981), Linear Algebraic Groups, (second edition), G T M 9, Springer-Verlag, xvi+253 pp [25] G Kempf (1978), “Instability in invariant theory”, Ann Math 108(2), pp 299-316 [26] J Milne (1980), Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, 33, Princeton University Press, Princeton, N J, xiii+323 pp [27] J Milne (2006), Arithmetic duality theorems, Second edition BookSurge, LLC, Charleston, SC, viii+339 pp [28] G Mostow (1956), “Fully reducible subgroups of algebraic groups”, Amer J Math 78, pp 200-221 [29] S Mukai (2003), An introduction to Invariants and Moduli, Cambridge Studies in Advanced Math., Ser 81, Cambridge University Press, Cambridge, 2003, xx+503 pp [30] D Mumford (1965), Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34, Springer-Verlag, vi+145 pp [31] D Mumford, J Fogarty, F Kirwan (1994), Geometric Invariant Theory (expanded version), Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) 34, Springer-Verlag, xiv+292 pp [32] V P Platonov, A Rapinchuk (1994), Algebraic Groups and Number Theory (English translation), Pure and applied mathematics 139, Academic Press, xi+614 pp [33] B Poonen, Rational points on varieties, available at http://math berkerley.edu/∼poonen [34] V L Popov, E B Vinberg (1994), Invariant Theory, Algebraic Geometry IV, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 55, Springer-Verlag, Berlin, 315 pp [35] M Raghunathan (1976), “On congruence subgroups problem”, Publ Math I H E S 46, pp 107-161 [36] M Raghunathan (1974), “A note on orbits of reductive groups”, Proc Indian Math Soc 38, pp 65-70 134 [37] S Ramanan, A Ramanathan (1984), “Some remarks on instability flag”, Tohoku Math J 36(2), pp 269-291 [38] R W Richardson (1977), “Affine coset spaces of reductive algebraic groups”, Bull London Math Soc 9, pp 38-41 [39] W Ferrer Santos, A Rittatore (2005), Actions and invariants of algebraic groups, Pure and Applied Mathematics (Boca Raton) 269, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, xvi+454 pp [40] J -P Serre (1997), Galois cohomology, Translated from the French by Patrick Ion and revised by the author, Springer-Verlag, Berlin, x+210 pp [41] J -P Serre (1964), Lie groups and Lie algebras, Harvard Lecture Notes, W Benjamin, cf also Lecture Notes in Math., vol 1500, Springer-Verlag, corrected fifth printing 2006, viii+168 pp [42] S Shatz (1964), “Cohomology of Artinian group schemes over local fields”, Ann Math 79, pp 411-449 [43] S Shatz (1972), Profinite groups, Arithmetic and Geometry, Annals of Math Studies, Princeton Univ Press, vol 67, Princeton [44] C S Seshadri (1977), “Geometric reductivity over arbitrary base”, Adv in Math 26, pp 225-274 [45] A A Sukhanov (1990), “Description of the observable subgroups of linear algebraic groups”, Math U S S R Sbornik 65(1), pp 97-108 [46] B Sury (2000), “An elementary proof of the Hilbert-Mumford criterion”, Electronic Journal of Linear Algebra 7, pp 174-177 [47] N Q Thắng, Đ P Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions” Illinois J Math 49(2), pp 431-444 [48] N Q Thắng (2008), “On Galois cohomology of semisimple algebraic groups over local and global fields of positive characteristic”, Math Z., Bd 259, pp 457-470 [49] N Q Thắng, N D Tân (2008), “On the Galois and flat cohomology of unipotent groups over local and global function fields”, J Algebra 319, pp 42884324 135 [50] J Tits (1967), Lectures on Algebraic Groups, mimeographed lecture notes New Haven: Yale Univ Math Dept [51] T Venkataramana (1988), “On superrigidity and arithmeticity of lattices in semisimple groups over local fields of arbitrary characteristic”, Invent Math., Bd 92, pp 255-306 [52] W C Waterhouse (1979), Introduction to Affine Group Schemes, G.T.M 66, Springer-Verlag, xi+164 pp [53] B Weiss (1998), “Finite-dimensional representations and subgroup actions on homogeneous spaces”, Israel J Math 106, pp 189-207 Tiếng Đức [54] H P Kraft (1985), Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Aspect of Mathematics, D1 Friedr Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1984, x+308 pp [55] P Slodowy (1989), “Zur geometrie der Bahnen reeler reduktiver gruppen”, Algebraische Tranformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Sem 13, Birkhauser, Basel, pp 133-143 Tiếng Pháp [56] F Bien, A Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques I”, C R Acad Sci Paris Sér I Math 315, pp 649-653 [57] F Bien, A Borel (1992), “Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques II”, C R Acad Sci Paris Sér I Math 315, pp 1341-1346 [58] A Borel (1969), Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 125 pp [59] A Borel, J Tits (1965), “Groupes réductifs”, Publ Math I H E S 27, pp 55-150 [60] A Borel, J Tits (1971), “Complements l’article “Groupes réductifs””, Publ Math I H E S 41, pp 253-276 [61] F Châtelet (1944), “Variations sur un thème de H Poincaré”, Annales Sci E N S 61, pp 249-300 136 [62] C Chevalley (2005), Classification des groupes algébriques semi-simples, Collected works Vol 3, Edited and with a preface by P Cartier With the collaboration of P Cartier, A Grothendieck and M Lazard Springer-Verlag, Berlin, 2005 xiv+276 pp [63] M Demazure et P Gabriel (1970), Groupes algébriques, Tome I, Paris, Masson, xxvi+700 pp [64] M Demazure, A Grothendieck (1970), Schémas en groupes I-III, Séminaire de Géometrie Algébrique Du Bois Marie (SGA3) 1962-1964, Lecture Notes in Math 151-153, Springer-Verlag [65] J -C Douai (1976), “2-Cohomologie galoisienne des groupes semi-simples”, Thèse, Université des Sciences et Tech de Lille [66] P Gille, L Moret-Bailly, “Action algébriques des groupes arithmétiques” (to appear)= Appendix to paper by E Ullmo and A Yafaev, “Galois orbits and equidistribution of special varieties subvarieties: towards the André-Oort conjecture” (to appear) [67] J Giraud (1971), Cohomologies non abélienne, Grundlehren der math Wiss., Bd 179 Berlin-Gottingen-Heidelberg, ix+467 pp [68] J Oesterlé (1984), “Nombre de Tamagawa et groupes unipotents en caracteristique p”, Invent Math 78, pp 13-88 [69] M Raynaud (1981), “Fibrés vectoriels instables-applications aux surfaces (d’après Bogomolov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 293-314, Lecture Notes in Math 868, Springer, Berlin-New York [70] G Rousseau (1981), “Instabilité dans les espaces vectoriels (d’après Bogomolov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 263-276, Lecture Notes in Math 868, Springer, Berlin-New York [71] G Rousseau (1981), “Instabilité dans les fibrés vectoriels (d’après Bogomolov)”, in Surface algébriques (Orsay, 1976-78), pp 277-292, Lecture Notes in Math 868, Springer, Berlin-New York [72] G Rousseau (1978), “Immeubles sphériques et théorie des invariants”, C R Acad Sci Paris Sér A-B 286, n 5, pp A247-250 [73] J -P Serre (1962), Corps locaux, Hermann, Paris, 243 pp 137 [74] Séminaire C Chevalley, Anneaux de Chow et applications, Notes polycopieés, I H P., Paris, 1958 [75] J Tits (1971), “Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque”, J reine und angew Math., Bd 247, pp 196-220 Tiếng Việt [76] N D Tân (2008), Về số học đối đồng điều Galois nhóm lũy đơn trường hàm địa phương tồn cục, Luận án Tiến sĩ toán học 138 ... G0 tập số tự nhiên vành số nguyên trường số hữu tỷ trường số thực trường số phức trường hữu hạn gồm q phần tử trường số p-adic vành số nguyên p-adic trường chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số Fq... nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học? ??) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học? ??) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc... nên cách tiếp cận không bao hàm trường hợp Bây nhắc lại khái niệm nhóm quan sát Một nhóm đóng H nhóm đại số tuyến tính G gọi quan sát không gian G/H đa tạp tựa affine (xem Chương 2) Ta biết số