Cho L/k là một mở rộng đại số. Ta nói một lược đồ k-nhóm affine G0 là một L/k-dạng củaG nếu G×k L G0 ×kL. Mộtk¯/k-dạng cũng được gọi là k-dạng. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.4.5([52, Chap. 17, Theorem 17.6, p. 136]). ChoGlà một lược đồk-nhóm affine, và L/k là một mở rộng đại số. Khi đó, có một song ánh giữa tập các lớp k- đẳng cấu cácL/k-dạng củaG và tập đối đồng điều phẳng bậc1,H1f l(L/k,Aut(G)).
1.5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điềuphẳng phẳng
Ta lần lượt xét trường hợp lược đồ nhóm là giao hoán hay không giao hoán.
1.5.1 Trường hợp giao hoán
ChoG là một lược đồ nhóm giao hoán, affine, phẳng, kiểu hữu hạn trênk, trong đó k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường v có hạng thực bằng1. Trong nhiều vấn đề liên quan đến đối đồng điều, ta cần xét những tôpô trên nhóm đối đồng điều, sao cho ánh xạ nối là liên tục. Tất nhiên, tôpô thô không đem lại thông tin gì và bị loại bỏ khỏi những nghiên cứu. Trong [27, Chap. III, Section 6], hoặc [42, Section 4], ta có thể xác định tôpô trên nhóm đối đồng điều phẳng của một lược đồ nhóm giao hoán phẳng, kiểu hữu hạn, theo một nghĩa nào đó được cảm sinh từ tôpô trênk. Cụ thể như sau.
ChoL/k là một mở rộng hữu hạn. Khi đó ta có tôpô tự nhiên trên ⊗r
kL, cảm sinh từ tôpô trên k. Do vậy, ta có tôpô trên G(⊗r
kL). Đối đồng điều ˘Cech ˘Hif l(L/k,G) được xác định thông qua phức
1 → G(k) →G(L) →G(L⊗k L) → · · · →G(⊗rkL)→ · · · ,
trong đó phức chạy ra vô cùng khi G giao hoán và dừng ở r = 3 khi G không giao hoán. Ta có các nhóm (tập) các đối xíchZr(L/k,G)là các nhóm (tập) con của G(⊗rkL), và được trang bị tôpô cảm sinh từG(⊗rkL). Sau đó, ta trang bị tôpô thương cho nhóm thương (tương ứng, tập thương) ˘Hrf l(L/k,G) := Zr(L/k,G)/Br(L/k,G) (tương ứng Zr(L/k,G)/ ∼). Tôpô trên Hrf l(k,G) := lim
−−→ H˘r
f l(L/k,G) được xác định bằng cách lấy giới hạn của tôpô trên ˘Hrf l(L/k,G). Điều này nghĩa là ánh xạ f :
Hrf l(k,G) → T là liên tục nếu và chỉ nếu ánh xạ hạn chế lên ˘Hrf l(L/k,G) cũng là liên tục.
Định nghĩa 1.5.1.1 ([27, Chap. III, Sec. 6, pp. 274-275], [42, Sec. 4]). Ta định nghĩa tôpô nói trên là tôpôchính tắc.
Ta biết rằng, khi làm việc với phạm trù các lược đồ nhóm giao hoán, phẳng, kiểu hữu hạn, thì mọi đồng cấu nối xuất hiện trong bất kỳ dãy khớp dài các đối đồng điều phẳng đều là liên tục [27, Chap. III, Section 6].
Thực tế, ánh xạ nối Hrf l(k,A) → Hrf l(k,B), ở mức độ đối xích được cho bởi các ánh xạ đa thức, cảm sinh từ cấu xạA → B. Do đó, các ánh xạ này là liên tục.