4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động khá tách
Kết quả chính đầu tiên của Phần 4.3 là Định lý 4.3.1.3. Định lý nói rằng, dưới một số giả thiết tự nhiên và yếu, chúng tôi giải quyết được trường hợp nhóm reductive và nhóm lũy linh. Kết quả triệt để nhất, không cần có thêm điều kiện gì đã thu được cho trường hợp nhóm giao hoán và nhóm lũy đơn. Trong Mục 4.3.2, 4.3.6 (tương ứng 4.3.7) chúng tôi chứng minh một số kết quả về tính đóng của quỹ đạo dưới tác động của một số lớp nhóm đặc biệt, và nhóm dừng của chúng bao gồm lớp nhóm lũy linh (tương ứng reductive). Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm tác động tách mạnh (strongly separable) của nhóm đại số (theo [37]).
Định nghĩa 4.3.1.1 ([37]). Cho G là một nhóm đại số tuyến tính tác động chính quy lên một đa tạp affineV vàG ·v là bao đóng Zariski củaG·vtrongV. Tác động củaG được gọi là tách mạnhtại v nếu với mọi x ∈ G·v thì nhóm con dừng Gx là trơn, hoặc tương đương, cấu xạG →G/Gxlà tách.
Liên quan đến khái niệm này, ta có định nghĩa
Định nghĩa 4.3.1.2([14]). Ta nói một tác động là “khá tách”(fairly separable) tại vnếu với mọi x ∈ (G ·v)(k)thìGxlà mộtk-nhóm con trơn củaG.
Khẳng định dưới dây là Định lý chính của mục này.
Định lý 4.3.1.3([14]). Chok là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường có hạng thực bằng 1, vàG là mộtk-nhóm đại số tuyến tính tác động k-cấu xạ lên mộtk-đa tạp affineV. Giả sửv ∈ V(k). Ta có các khẳng định sau:
1) Nếu quỹ đạo tương đốiG(k)·vlà đóng trong tôpô Hausdorff củaV(k)và hoặc
G là lũy linh, hoặcG là reductive với tác động củaG là tách mạnh tại v, thì quỹ đạoG·v là đóng theo tôpô Zariski trongV.
2) Đảo lại, với những quy ước trên, G(k) · v là đóng Hausdorff trong V(k) nếu
G·v đóng và một trong các điều kiện sau là đúng:
a) Gv là giao hoán và trơn; hoặc nhómG là giao hoán.
b) Gv là một k-nhóm trơn và là mở rộng của một k-nhóm lũy đơn trơn bởi mộtk-nhóm chéo hóa được.
c) Trường k là compắc địa phương, vàGvlà một k-nhóm con reductive liên thông và trơn trongG.
d) Tác động củaG tạiv là khá tách.
Nhận xét. 1) Nếu đặc số của trường k bằng 0 thì định lý này nằm trong kết quả chính của Mục 4.2. Vì thế, kết quả này chỉ thú vị trong trường hợp trường không hoàn thiện, ví dụ như trường hàm địa phương.
2) Các ví dụ ở Mục 4.4 chỉ ra rằng nếu một trong những điều kiện củaG trong Định lý 4.3.1.3, Phần 1) (tính lũy linh, tính tách mạnh) bị vi phạm thì khẳng định 1) không đúng. Ta chia chứng minh ra làm nhiều đoạn. Đầu tiên, trong Mục 4.3.2, ta chứng minh phần đầu của Định lý 4.3.1.3. Đối với Phần 2, chúng tôi chứng minh cho trường hợp lũy đơn ở Mục 4.3.4 và trường hợp giao hoán ở Mục 4.3.5. (Trong trường hợp xuyến, chúng tôi cho một chứng minh khác, trong đó có dùng một số lập luận sẽ cần về sau, và bản thân chúng cũng có ý nghĩa riêng.) Chúng tôi chứng minh cho trường hợp nhóm dừng là nhóm tuyến tính lũy linh (hoặc tổng quát hơn một chút, nhưng liên quan chặt chẽ với những nhóm này) ở Mục 4.3.6. Trong Mục 4.3.8, chúng tôi chứng minh cho trường hợp nhóm dừng là reductive xác định trên trường địa phương.
4.3.2 Chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 1
Khẳng định này được dẫn ra từ các khẳng định 4.3.2.1-4.3.2.3 dưới đây. Chúng tôi nhắc lại các kết quả sau đây của D. Birkes.
Định lý 4.3.2.1 ([6, Proposition 9.10]). Cho k là một trường bất kỳ, G là một k- nhóm lũy linh tác động tuyến tính lên không gian vectơ hữu hạn chiềuV thông qua biểu diễn ρ : G → GL(V), tất cả đều xác định trên k. Giả sử v ∈ V(k), và Y là một tập con đóngG-ổn định khác ∅ của G ·v \G · v. Khi đó, tồn tại một phần tử
y ∈ Y ∩V(k), và một nhóm con một tham sốλ : Gm → G xác định trên k, sao cho
λ(t)·v → y khit → 0.
Nhờ có kết quả này, ta có khẳng định của Định lý 4.3.1.3, Phần 1, cho trường hợpG là nhóm lũy linh.
Định lý 4.3.2.2([14]). Chok là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng 1, G là một nhóm đại số tuyến tính tác động k-chính quy lên mộtk-đa tạp affine V, và tất cả đều xác định trênk. Giả sử v thuộc V(k). Nếu quỹ đạo tương đốiG(k)·v là đóng trong tôpô Hausdorff cảm sinh từ V(k) vàG là lũy linh thì quỹ đạoG·vlà đóng trong V theo tôpô Zariski.
Chứng minh. Giả sửGlà một k-nhóm lũy linh tác độngk-tuyến tính lên một không gian vectơVxác định trên trườngk,v ∈ V(k)vàG(k)·vlà đóng theo tôpô Hausdorff. Ta giả sử ngược lại, G ·v không đóng trong V. Thế thì Y := G·v\ G ·v , ∅. Rõ ràng, Y là tập đóng và G-ổn định. Theo kết quả của D. Birkes, Định lý 4.3.2.1, tồn tạiy ∈ Y ∩V(k), và một nhóm con một tham số, λ : Gm → G, xác định trên k sao choλ(t)·v → y, khi t → 0. Ký hiệuCl0 là bao đóng theo tôpô Hausdorff. Khi đó, vìG(k)·vlà đóng Hausdorff nêny ∈Cl0(λ(k∗)·v) ⊆Cl0(G(k)·v) =G(k)·v ⊆G·v. Điều này mâu thuẫn vìy ∈ Y = G·v\G·v. Do đó, G·vlà tập đóng.
Trong trường hợp nhóm reductive ta có.
Mệnh đề 4.3.2.3 ([14]). Cho k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường có hạng thực bằng1,Glà một nhóm đại số tuyến tính tác độngk-chính quy lên mộtk-đa tạp affineV. Giả sử quỹ đạo tương đốiG(k)·vlà đóng trongV(k)
theo tôpô Hausdorff,G là nhóm reductive, và tác động của G tại v là tách mạnh. Khi đó quỹ đạoG·vlà đóng.
Chứng minh. Giả sử G · v là không đóng, tức là, v là một k-điểm thiếu ổn định
đối với tác động của G. Vì tác động của G là tách mạnh, nên theo [37, Theorem 2.3], tồn tại một nhóm con một tham số λ : Gm → G, xác định trên k, sao cho lim
t→0λ(t) · v = v0 ∈ G·v \ G · v. Do đó, v0 ∈ V(k) và hơn nữa v0 thuộc bao đóng Hausdorff củaG(k)·v trong V(k). Vì G(k)·vlà đóng trong V(k)nên v0 ∈ G(k)·v. Do đó, v0 ∈ G· v nên điều này trái với điều kiệnv0 ∈ G·v\G ·v. Vậy G·v là tập
đóng Zariski.
4.3.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.3.1.3, Phần 2
Chứng minh này được chia làm nhiều phần. Phần 2a) (tương ứng, 2b), 2c)) được chứng minh trong các Mục 4.3.5 (tương ứng, 4.3.7, 4.3.8). Đầu tiên chúng tôi chứng minh cho trường hợp nhóm con dừng là lũy đơn ở Mục 4.3.4, và trường hợp giao hoán (nói riêng là xuyến) ở Mục 4.3.5. Đây là trường hợp quan trọng trong số các
nhóm dừng. Chúng tôi cũng xét một số trường hợp riêng của các nhóm lũy linh (hoặc trường hợp nhóm G tổng quát hơn là mở rộng của một k-nhóm lũy đơn bởi mộtk-xuyến) trên trường địa phương ở Mục 4.3.7. Trong Mục 4.3.8, chúng tôi xét trường hợp nhóm reductive xác định trên trường địa phương.
4.3.4 Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn
Chúng ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 4.3.4.1 ([14]). Cho k là một trường, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng 1, vàG là nhóm đại số tuyến tính xác định trên k, tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine V. Giả sử v ∈ V(k), G · v là đóng theo Zariski, và nhóm dừngGv là một k-nhóm lũy đơn trơn. Khi đó, quỹ đạo tương đối
G(k)·vlà đóng theo tôpô Hausdorff trongV(k).
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng tập {1} là một tập con đóng củaH1(k,Gv). Để chứng minh điều này, ta chỉ ra rằng nếuG là một nhóm lũy đơn, trơn, thì tập {1}là một tập con đóng củaH1(k,G)theo tôpô đặc biệt. Ta có thể giả thiếtchar.k = p > 0. Ta xét trường hợp thứ nhất, dimG = 0. Khi đóG là một k-nhóm étale hữu hạn, đồng thời là một p-nhóm, trong đó p = char.k. Nói riêng ra, theo [64, Exp. XVII, Théorème 1.1.7], có một dãy hợp thành
{0} E G1 E G2 E . . . EGn−1 EGn =G,
sao choGi/Gi−1 đẳng cấu với một nhóm lũy đơn cho bởi tập không điểm của một p-đa thức tách được1 biến f(T) ∈ k[T], xem nhưk-cấu xạ f : Ga → Ga. Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ dài m của dãy hợp thành G, trong đó mỗi nhân tử là một nhóm con của Ga, và sau đó dùng phương pháp dévissage. Giả sử m = 1, khi đóG = Ker(f)với f : Ga → Ga là một cấu xạ cho bởi một đa thức tách được. Vậy ta có dãy khớp
(1) 1 → G →α Ga →f Ga → 1, và dãy khớp đối đồng điều tương ứng
1 →G(k) → k →f k →β H1(k,G)→ H1(k,Ga) = 1.
Do đó, H1(k,G) k/f(k). Theo Định lý 4.1.6, vì cấu xạ f là tách nên f(k) là mở trong nhóm tôpô (k,+). Do đó, f(k) cũng là đóng trongk. Vậy tôpô trên k/f(k)là tôpô rời rạc. Mặt khác, đối với dãy khớp (1),Ga/α(G) = Ga/Ker(f) Im(f) = Ga nên dãy khớp (1) có thể dùng để xây dựng tôpô đặc biệt trênH1(k,G), nghĩa là, tôpô
đặc biệt trên H1(k,G) chính là tôpô thương theoβ. Vì k/f(k) rời rạc nên tôpô đặc biệt trênH1(k,G)là rời rạc.
Bây giờ ta giả sử m > 1 và khẳng định đúng với mọi nhóm có độ dài dãy hợp thành nhỏ hơnm. Vì Z(G) , {0} nên ta chọnG1 không tầm thường nằm trong tâm Z(G),G2 =G/G1, và ta có dãy khớp
1 →G1 →G →G2 → 1,
trong đóG1 là các nhóm trơn và giao hoán, G2 là nhóm trơn, lũy đơn, với độ dài của dãy hợp thành là≤ m−1. Thế thì, ta có dãy khớp đối đồng điều Galois
G2(k) → H1(k,G1) →g H1(k,G) →f H1(k,G2).
VìG1 là giao hoán (hoặc do G1 = Ker(f) với f : Ga → Ga là cấu xạ tách theo giả thiết quy nạp), ta có tôpô đặc biệt trênH1(k,G1) là rời rạc. VìG1 nhúng đóng vào G nên theo Hệ quả 4.1.4,glà ánh xạ mở. Khi đó, mọi điểm trong tập ảnh I = Im(g) củagđều là mở trongH1(k,G). Theo giả thiết quy nạp,{1}là đóng trongH1(k,G2). Mặt khác, vì f liên tục nên Ker(f) = Im(g) = I là tập đóng trong H1(k,G). Vì thế, tập J := H1(k,G)\ I là mở trongH1(k,G). Vì mỗi điểm của I là mở trongH1(k,G) nên∪i∈I\{1}{i} ∪J là mở trongH1(k,G). Vậy phần bù của nó, chính là tập{1}, là đóng trongH1(k,G). Vậy ta có kết luận khin = 0.
Tiếp đến, ta giả sử dimG = n > 0, và khẳng định được chứng minh cho mọi nhóm lũy đơn có chiều< n. Ta biết rằng tâmZ(G) = G1 của nhóm G có chiều lớn hơn0 (theo [24, Sec. 17.4, Proposition, p. 112]) và ta lại có dãy khớp
1 →G1 →G →G2 → 1,
vớiG1là một nhóm giao hoán,G2là một nhóm có tính chất{1}đóng trongH1(k,G2). Vậy lặp lại lập luận như trường hợp chiều0, ta thấy,{1}là tập đóng trong H1(k,G).
Vậy tóm lại, nếu Gv là một k-nhóm lũy đơn, trơn, thì tập {1} là đóng trong H1(k,Gv). Do đó, từ dãy khớp dài
1 →Gv(k) → G(k) → (G·v)(k) → H1(k,Gv),
ta rút ra,G(k)·vđóng trong (G·v)(k). Vậy ta thu được điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.3.4.2([14]). Chok là một trường, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng 1, G là một nhóm lũy đơn trơn và xác định trên k. Ta có các khẳng định sau:
1) Lớp đối đồng điều{1}vừa đóng vừa mở theo tôpô đặc biệt trongH1(k,G). Nếu
G tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine V,v ∈ V(k)là mộtk-điểm, và nhóm dừngGvlà trơn thì G(k)·v là đóng trongV(k).
2) Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều xác định trên k, G là một k- nhóm con lũy đơn trơn củaGL(V), và G tác động chuẩn lên V. Khi đó, với mọi v ∈ V(k), quỹ đạo tương đối G(k) ·v là đóng theo tôpô Hausdorff trong
V(k).
Chứng minh. 1) Theo Mệnh đề 1.5.3.1, tôpô đặc biệt trênH1(k,G)không phụ thuộc vào phép nhúng G vào nhóm đặc biệt H. Do đó, ta nhúng G vào nhóm đặc biệt H = Un là mộtk-nhóm lũy đơn tam giác trên, đường chéo bằng1, và nhóm này tác động chính tắc lên một không gian vectơV xác định trên k nào đó. Ta có dãy khớp các tập được đánh dấu sau
1 → G(k) → H(k) π→(k) (H/G)(k) →δ H1(k,G)→ 0.
Ta nhận thấy, mỗiH(k)-quỹ đạo trên(H/G)(k)chính bằng nghịch ảnh của các phần tử củaH1(k,G) thông quaδ. VìG là trơn nên π : H → H/G là cấu xạ tách, và do đóπ(k) : H(k) → (H/G)(k) là ánh xạ mở. Do đó,H(k)-quỹ đạo của ¯1 := G ∈ H/G là mở.
Mặt khác, vì G là lũy đơn nên Un/G là một đa tạp tựa affine, và ta có phép nhúngUn-đẳng biến (trênk) củaUn/G vào không gian vectơ hữu hạn chiềuW xác định trênk. Vì nhóm dừngG của ¯1 = 1G ∈ Un/G là mộtk-nhóm con lũy đơn, trơn của Un nên theo Mệnh đề 4.3.4.1, quỹ đạo tương ứng củaUn(k) trên(Un/G)(k)là đóng Hausdorff. Vìδ là ánh xạ mở đối với tôpô Hausdorff trên(Un/G)(k) và tôpô đặc biệt trênH1(k,G)nên{1}là ảnh củaUn(k)·¯1quaδ, cũng là đóng trongH1(k,G) đối với tôpô đặc biệt. Do đó, vìGv là trơn và là nhóm con củaG nên Gv cũng là nhóm lũy đơn, trơn. Vậy theo kết quả vừa chứng minh,{1}là tập vừa đóng, vừa mở trongH1(k,Gv)đối với tôpô đặc biệt. Thế thì từ dãy khớp
1 →Gv(k) → G(k) → (G·v)(k) → H1(k,Gv),
ta rút raG(k)·vlà đóng trong(G ·v)(k) theo tôpô Hausdorff.
2) Vì tác động của G lên V là chuẩn nên nhóm dừng là trơn. Thật vậy, khẳng định nhóm dừng là trơn tương đương với cấu xạG → G·x, g 7→ g·x, là tách. Điều này có nghĩa là vi phân của nó tạie ∈G là toàn ánh trên các không gian tiếp xúc. Vì tác động là chuẩn nên cấu xạ nói trên được cho bởi các đa thức bậc1 đối với từng biến, tức là không có chứa phần với số mũ p = char.k. Vậy vi phân là toàn ánh. Do đó, áp dụng Phần 1), ta có quỹ đạo tương đốiG(k)·vlà đóng trongV(k).
4.3.5 Trường hợp các nhóm giao hoán và xuyến
Chúng tôi đưa ra hai chứng minh cho trường hợpG là một xuyến. Cách thứ nhất sử dụng các kết quả của Mục 4.1, chứng minh kết quả tổng quát cho các nhóm giao
hoán. Cách thứ hai chỉ làm đối với xuyến xác định trên trường địa phương, nhưng khá khép kín, một số lập luận trong đó có ý nghĩa độc lập, và được sử dụng ở phần sau, trong trường hợp nhóm lũy linh. Đầu tiên ta có kết quả tổng quát sau.
Mệnh đề 4.3.5.1 ([14]). Cho k là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng1 và G là mộtk-nhóm đại số tuyến tính tác động lên mộtk-đa tạp affineV,v ∈ V(k). Giả sửG·vlà đóng. Khi đó, nếuGvlà một lược đồ
k-nhóm affine, trơn, giao hoán, kiểu hữu hạn, hoặcG là giao hoán, kiểu hữu hạn, thì quỹ đạo tương đối là đóng trongV(k) theo tôpô Hausdorff.
Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ raG(k)·v là đóng trong(G·v)(k). Ta có dãy khớp sau 1 → Gv(k) →G(k) → (G/Gv)(k) →δ H1f l(k,Gv).
VìGv là lược đồ k-nhóm affine, giao hoán, kiểu hữu hạn nên theo [27, Chap. III, Lemma 6.5], tôpô chính tắc trên H1f l(k,Gv) là T1. Do đó, lớp đối đồng điều tầm thường{1}là đóng (theo tôpô chính tắc).
(a) Nếu G giao hoán thì theo [27, Chap. III, Lemma 6.5], δ là liên tục. Vậy
δ−1(1) = G(k)·v là đóng trong(G·v)(k).
(b) Nếu Gv là trơn thì theo Định lý 4.1.1, tôpô đặc biệt mạnh hơn tôpô chính tắc. Do đó {1} cũng đóng theo tôpô đặc biệt. Mặt khác, ta biết ánh xạ đối biên δ
là liên tục theo tôpô đặc biệt trên H1(k,Gv). Vậy G(k)· v = δ−1({1}) là đóng trong
(G·v)(k).
Hệ quả 4.3.5.2 ([14], [16]). Giả sử rằng T là một xuyến xác định trên một trường địa phương k. Cho T tác động chính quy lên một k-đa tạp affine V, v ∈ V(k). Khi đó, nếuT ·v là đóng trongV thìT(k)·v là đóng Hausdorff trongV(k).
Chứng minh. VìT là giao hoán nên đây là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 4.3.5.1.
Ta trình bày cách chứng minh thứ hai của khẳng định này trong trường hợpk là một trường địa phương và không dùng Mệnh đề 4.3.5.1. Một số lập luận trong cách chứng minh này sẽ được dùng lại trong trường hợp lũy linh. Trước hết, bằng những lập luận quen thuộc, ta nhúng đẳng biến (trênk)T-đa tạpV vàoT-môđun W, và có thể giả sử T tác động tuyến tính lên không gian vectơ V. Đầu tiên, ta cần đến các bổ đề sau.
Bổ đề 4.3.5.3([46, Lemma 1.1]). Cho mi j, 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ n là các số nguyên có tính chất sau: Nếu b1, . . . ,br là các số thực (không đồng thời bằng 0) sao cho