Giả sử k là một trường, và G là một k-lược đồ nhóm affine. Nếu G là trơn, tức làG là nhóm đại số tuyến tính thông thường (theo [9], [24]), ta có thể định nghĩa đối đồng điều GaloisH1(k,G)như ở mục trước. Tuy nhiên, khiG không là trơn thì định nghĩa đối đồng điều Galois không phù hợp vì, đối đồng điều Galois lúc này không thỏa mãn một điều kiện cơ bản của lý thuyết đối đồng điều: đưa dãy khớp ngắn thành dãy khớp dài trên đối đồng điều. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau. Cho dãy khớp các lược đồk-nhóm:
(∗) 1 → αp → Ga x7→x
p
−→ Ga →1,
đó,αp(ks) = 1và H1(Gal(ks/k), αp(ks))là tầm thường. Ta xét tập các đối đồng điều Galois liên kết với dãy khớp(∗) nói trên
1 → αp(k) → k x7→x
p
−→ k → H1(Gal(ks/k), αp(ks)) = 1.
Vì ánh xạ k x7→x
p
−→ k không là toàn ánh khi trườngk không hoàn thiện, nên dãy này không là khớp.
Như vậy, ta cần một lý thuyết đối đồng điều tổng quát hơn cho trường hợp lược đồ nhóm. Đó là khái niệm đối đồng điều phẳng mà ta sẽ xét ở đây. Chúng tôi trình bày các khái niệm này theo các tài liệu ([42], [43], [52]).
ChoG là một lược đồ k-nhóm affine. Ta xem G : A 7→ G(A), Alà k-đại số, như một hàm tử biểu diễn được (bởi một k-đại số giao hoán) từ phạm trù các k-đại số sang phạm trù các nhóm. Cho K/k là một mở rộng đại số (không nhất thiết tách được), K ⊆ k. Đặt¯ H0
f l(k,G) = H0(¯k/k,G) = G(k). Ta có các ánh xạ
d10 : K → K ⊗k K,a 7→ 1⊗a, d11 : K → K ⊗k K,a 7→ a⊗1, và các ánh xạ từ K⊗kK vàoK ⊗k K ⊗k K được cho như sau:
d02 : a⊗b 7→ 1⊗a⊗b, d12 : a⊗b 7→ a⊗1⊗b, d22 : a⊗b 7→ a⊗b⊗1. Chúng cảm sinh các ánh xạ (vẫn ký hiệu là dij) di1 : G(K) → G(K ⊗k K) và d2i : G(K ⊗k K) →G(K ⊗k K ⊗k K). Ta định nghĩa tập các1-đối xích là Z1(K/k,G) = {g ∈ G(K⊗kK)|d21(g) = d02(g)d22(g)}.
Định nghĩa 1.4.1 ([52, Chap. 17, Sec. 17.7, pp. 136-137]). Ta nói hai 1-đối xích g,g0 là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại h ∈ G(K) sao cho g0 = (d10h)g(d11h)−1. Đây là một quan hệ tương đương trên Z1(K/k,G) và tập các lớp tương đương ký hiệu là H1f l(K/k,G), và được gọi là đối đồng điều phẳng ứng với mở rộng K/k. Ta định nghĩa H1f l(k,G) = H1f l(¯k/k,G), và gọi H1f l(k,G) là đối đồng điều phẳng của lược đồ nhómG.
Thế thì,
H1f l(k,G)= lim
−−→H1f l(K/k,G),
trong đó, giới hạn được lấy trên tất cả các mở rộng hữu hạn (không nhất thiết Galois) K/k, K ⊆ k. Tập này là tập với phần tử được đánh dấu là lớp tương đương của¯ 1-đối xích hằng với giá trị1.
Trong trường hợpG là giao hoán, ta có thể định nghĩa các nhóm đối đồng điều phẳng Hqf l(k,G) ở bậc cao (xem [27], [42], [43]). Định lý sau đây cho mối liên hệ giữa đối đồng điều phẳng và đối đồng điều Galois trong một số trường hợp.
Định lý 1.4.2([52, Theorem 17.7, 17.8, pp. 136-138; Sec. 18.5, Corollary, p. 144]).
Với những định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau:
1) ChoG là một lược đồ k-nhóm affine, và L/k là một mở rộng Galois. Khi đó,
H1f l(L/k,G) H1(Gal(L/k),G(L)).
2) ChoG là một lược đồ k-nhóm affine trơn. Khi đó,
H1f l(¯k/k,G) H1(Gal(ks/k),G(ks)).
Các kết quả cơ bản của đối đồng điều Galois cũng đúng cho đối đồng điều phẳng.
Định lý 1.4.3([52, Chap. 18, Sec. 18.1, pp. 140-141]). Cho1 → N → F → G → 1
là một dãy khớp các lược đồ k-nhóm affine. Khi đó, ta có ánh xạ nối G(k) → (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H1f l(¯k/k,N)sao cho
1 → N(k) → F(k) →G(k) → H1f l(¯k/k,N)→ H1f l(¯k/k,F) → H1f l(¯k/k,G)
là một dãy khớp dài các tập với phần tử được đánh dấu. Hơn nữa, khiG giao hoán thì các ánh xạ trên là đồng cấu.
Trong trường hợp N nằm trong tâm của F, thìH2f l(¯k/k,N)được định nghĩa và ta cũng có một ánh xạ nối∆ : H1f l(¯k/k,G) → H2f l(¯k/k,N)được xác định như sau. Giả sử x = [h]∈ H1f l(¯k/k,G),h ∈ Z1(¯k/k,G)là một phần tử đại diện của x. Ta đặt
∆(h) = (d20g)(d22g)(d21g)−1,
với g ∈ F(¯k ⊗k k)¯ là một nghịch ảnh bất kỳ của h. Theo [42, pp. 418-421], ánh xạ F(¯k ⊗k k)¯ → G(¯k ⊗k k)¯ là toàn ánh, nên phần tử g luôn tồn tại. Hơn nữa, lớp tương đương của ∆(h) trong H2f l(¯k/k,N) không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện h cũng như việc chọn phần tử g. Ta xác định ánh xạ nối bằng cách đặt ∆(x) := [∆(h)] ∈ H2f l(¯k/k,N). Chúng ta có khẳng định sau
Định lý 1.4.4([67, Chap IV, Sec. 4.2]). Cho 1 → N → F → G → 1 là một dãy khớp các lược đồ k-nhóm đại số affine. Nếu nhóm N nằm trong tâm của F thì ta có ánh xạ nối∆ : H1f l(¯k/k,G) → H2f l(¯k/k,N)sao cho dãy các tập với phần tử được đánh dấu
1 → N(k) → F(k) → G(k) → H1f l(¯k/k,N) → H1f l(¯k/k,F) → H1f l(¯k/k,G) →∆
ChoG là một lược đồ k-nhóm affine. Ta xét (hàm tử) nhóm tự đẳng cấu của G được cho bởi: Aut(G)(R) = Aut(G(R)), với mọi k-đại số R. Khi đó ta cũng định