4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.3.6Trường hợp nhóm dừng là một k-nhóm giải được, liên thông
Tiếp đến ta xét trường hợp nhóm G là giải được, liên thông, và là mở rộng của mộtk-nhóm lũy đơn U bởi mộtk-nhóm chéo hóa đượcGs. Trường hợp này sẽ bao hàm trường hợp nhóm tuyến tính lũy linh. Ta có thể giả sử nhómG không là xuyến, cũng như là nhóm lũy đơn. Với G là một k-nhóm lũy linh, liên thông, nhóm con chéo hóa được cực đạiGs củaG sẽ xác định trênks và ổn định đối với tác động của nhóm Galois Γ = Gal(ks/k). Vì thế, nhóm này là xác định trên k (xem [63, Chap. IV, Sec. 4]). Hơn nữa, nhóm này là k-nhóm con nằm trong tâm của G và cũng là trơn nếuG là nhóm trơn. Ta cũng biết phần lũy đơn Ru(G)củaG nói chung không xác định trênk. Tuy nhiên, ta vẫn có dãy khớp
1 →Gs →G →f U → 1,
trong đó U là một k-nhóm lũy đơn, và nhóm này được gọi là thương lũy đơn của G. Theo một kết quả quan trọng của J. Tits [50], như đã trình bày ở phần kiến thức chuẩn bị, tồn tại duy nhất một nhóm conk-phân rã, chuẩn tắc, cực đại,Ud, của U, sao cho nhóm thươngUw := U/Ud là một nhóm lũy đơn, k-xoắn (k-wound). Hơn nữa, ảnh ngược củaUd qua f là một lược đồ k-nhóm affine K củaG, và chứa Gs. Ta nhận thấy rằng,K là một lược đồk-nhóm affine con củaG.
Mệnh đề 4.3.6.1([14]). Choklà một trường compắc địa phương,G là mộtk-nhóm đại số tuyến tính, tác độngk-chính quy lên một k-đa tạp affine V, và v ∈ V(k). Giả sử thêmG là một mở rộng của mộtk-nhóm lũy đơn bởi mộtk-nhóm chéo hóa được và trơn Gs (chẳng hạn G là nhóm tuyến tính lũy linh). Ta giả sử lược đồ nhóm K
nói ở trên là mộtk-nhóm con trơn củaG. Khi đó:
1) NếuK(k)·v là đóng trong(K·v)(k), thìG(k)·vcũng là đóng trong(G·v)(k).
2) Tôpô đặc biệt trên H1(k,K) là rời rạc. Nói riêng ra, lớp đối đồng điều tầm thường{1} vừa đóng, vừa mở trongH1(k,K).
Chứng minh. 1) Theo phân tích ở trên, ta có dãy khớp cáck-nhóm sau 1 → K →G →g Uw → 1.
Dãy này cảm sinh dãy khớp dài trên đối đồng điều
1 → K(k)→ G(k) →gk Uw(k)→ H1(k,K)→ H1(k,G).
Theo Định lý 4.1.7, vì g là tách nên gk là ánh xạ mở và ảnh của G(k) là mở trong Uw(k). VìUw(k)là nhóm tôpô nêngk(G(k))cũng là đóng trongUw(k). Nếuchar.k = 0thì Uw = {1}và ta có ngay kết luận 1).
Giả sử char.k = p > 0. Vìgk là một ánh xạ mở, liên tục nên ta có G(k)/K(k) Im(gk),→ Uw(k),
trong đóG(k)/K(k) và Im(gk) đồng phôi về mặt tôpô. Vì Im(gk) là đóng và Uw(k) là compắc nên Im(gk), và G(k)/K(k) cũng là compắc. Hơn nữa, G(k) là một nhóm compắc địa phương nên theo Bổ đề 4.3.5.11, tồn tại một tập con compắc Ω ⊆
G(k) sao cho G(k) = ΩK(k). Do đó, theo chứng minh cho trường hợp xuyến ở Hệ quả 4.3.5.2, ta chỉ ra được, nếu K(k)·vđóng thìG(k)·vđóng.
2) Ta có dãy khớp sau
1 →Gs → K → Ud → 1.
Từ đó, ta có dãy khớp các đối đồng điều tương ứng
1 →Gs(k) → K(k) → Ud(k) →δ H1(k,Gs) →ψ H1(k,K)→ H1(k,Ud) = 1.
Vì Gs là một nhóm con trơn, chéo hóa được, nên thành phần liên thông G0s của nó là mộtk-xuyến, và nhóm thương tương ứngGs/G0s là étale. Mặt khác, theo ([40], [43], [27]), H1(k,G0s) và H1(k,Gs/G0s) là hữu hạn. Do đó, H1(k,Gs) cũng là một nhóm abel hữu hạn. Do đó,H1(k,K)là hữu hạn và ta có thể trang bị cho nó cấu trúc của một nhóm giao hoán thông qua song ánh
H1(k,Gs)/δ(Ud(k)) H1(k,K).
Ta chỉ ra rằng tôpô đặc biệt trênH1(k,K)trùng với tôpô thương cho bởi toàn ánhψ. Thật vậy, nếu K ,→ S là một phép nhúng của K vào một k-nhóm đặc biệt S thì ta có sơ đồ giao hoán sau với các hàng là khớp:
1 −−−−→ Gs(k) −−−−→ S(k) −−−−→ (S/Gs)(k) −−−−δK→ H1(k,G) −−−−→ 1 α y β y γ y ψ y 1 −−−−→ K(k) −−−−→ S(k) −−−−→ (S/K)(k) −−−−→ H1(k,K) −−−−→ 1.
VìGs nhúng đóng vào K nên theo chú ý sau Hệ quả 4.1.4, ánh xạψ là mở và toàn ánh. Ta ký hiệu tôpô đặc biệt trênH1(k,K)là τA, tôpô cảm sinh từ phép chiếuψlà
Giả sử U ∈ τB. Khi đó, ψ−1(U) mở trong H1(k,Gs). Vì δK là ánh xạ mở, liên tục nênδ−1(ψ−1(U)) mở trong(S/Gs)(k). VìGs, K là trơn nênγ là ánh xạ mở. Vậy
γ(δ−1
K (ψ−1(U))) = δ−1
L (U) là mở trong (S/K)(k). Do đó, theo định nghĩa của tôpô đặc biệt,U ∈ τA. Vậy τB ⊆ τA. Tương tự như vậy, vìψlà ánh xạ mở nên ta cũng có
τA ⊆ τB. Do đó, hai tôpô là trùng nhau. Vì tôpô trên H1(k,Gs) là rời rạc nên tôpô
τB trênH1(k,K) cũng là rời rạc. Vì thế, tôpô đặc biệt trênH1(k,K) cũng là rời rạc. Mặt khác, tập H1(k,Gs)là hữu hạn nên tập H1(k,K) cũng là hữu hạn. Tóm lại, lớp đối đồng điều{1}vừa đóng, vừa mở trongH1(k,K).
Hệ quả 4.3.6.2 ([14]). Với những giả thiết như ở trên, giả sử G là một k-nhóm tuyến tính lũy linh và phầnk-phân rã của thương lũy đơnG/Gs là giao hoán. Thế thìG(k)·vlà đóng trong V(k).
Chứng minh. Từ những phân tích ở trên, ta biết K chứa nhóm con chéo hóa được cực đạiGs củaG và thương K/Gs Ud. Từ đó suy ra K Gs ×Ud (trên k) (do¯ K lũy linh). Vậy K là nhóm giao hoán. Theo Mệnh đề 4.3.5.1, K(k)· v là đóng trong (K ·v)(k). Vì vậy, theo Mệnh đề 4.3.6.1,G(k)·v là đóng trong(G·v)(k). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta có kết quả tổng quát sau (tương ứng với Định lý 4.3.1.3, Phần 2b).
Định lý 4.3.6.3([14]). Chok là một trường đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng1. Giả sử nhóm đại số tuyến tính G tác động k-chính quy lênk-đa tạp affine V, vàv ∈ V(k). Giả sửG·v là đóng, vàGv là một mở rộng của mộtk-nhóm lũy đơn bởi mộtk-nhóm chéo hóa đượcGs,v, trong đó tất cả các nhóm này đều là trơn. Thế thìG(k)·v là đóng trongV(k).
Chứng minh. Ý tưởng chứng minh của kết quả này giống với Định lý 4.3.4.1, tức là, ta sẽ chứng minh lớp đối đồng điều{1}là đóng trongH1(k,Gv). Chúng ta có dãy khớp sau.
1 → Gs,v →Gv →Gv/Gs,v →1,
ở đóGv/Gs,v là lũy đơn. Khi đó, ta có dãy khớp dài trên đối đồng điều Galois, (Gv/Gs,v)(k) → H1(k,Gs,v)→g H1(k,Gv) →f H1(k,Gv/Gs,v).
VìGvvàGs,vđều là trơn nênGv/Gs,vcũng là trơn. Theo Hệ quả 4.3.4.2, tập{1}vừa đóng, vừa mở trong H1(k,Gv/Gs,v). VìGs,v ⊆ Gv nên Gs,v là giao hoán, và do đó, tôpô đặc biệt trênH1(k,Gs,v) là rời rạc. Theo Hệ quả 4.1.4,g là ánh xạ mở, nên từ khẳng định tôpô đặc biệt trênH1(k,Gs,v)là rời rạc, ta thấy rằng mọi tập con chỉ gồm một phần tửinằm trong ảnh I = Im(g)củag đều là mở trongH1(k,Gv). Nói riêng, tập chỉ gồm một phần tử {1} là mở trong H1(k,Gv). Mặt khác, vì f liên tục và tập
{1} đóng trong H1(k,Gv/Gs,v), nên I = f−1(1) là tập đóng trong H1(k,Gv). Do đó, J := H1(k,Gv)\I là mở trong H1(k,Gv). Mặt khác, I \ {1} = ∪i∈I\{1}{i}là mở trong H1(k,Gv). Do vậy,{1} = H1(k,Gv)\(J∪I\ {1})là tập đóng trongH1(k,Gv). Do đó, quỹ đạoG(k)·vlà đóng theo tôpô Hausdorff trongV(k).
Nhận xét. Trong Định lý 4.3.6.3 nói trên,Gvlà mộtk-nhóm trơn khi và chỉ khiGs,v vàGv/Gs,vlà trơn.
4.3.7 Trường hợpG là một k-nhóm tuyến tính lũy linh
Tiếp đến, ta giả sửG là một k-nhóm tuyến tính lũy linh, G = T ×U, trong đó T là một k-nhóm chéo hóa được, U là một k-nhóm lũy linh. Ta đặt T0 = Ts · Ta, trong đóTs, Ta tương ứng là các xuyến con k-phân rã và k-không đẳng hướng cực đại củaT, và tích nói trên là hầu trực tiếp, xác định trên k. Ta biết rằng, luôn tồn tại một nhóm con chuẩn tắc k-phân rã cực đại Ud E U sao cho thương Uw := U/Ud là k-xoắn, nghĩa là không tồn tại một k-nhóm con nào đẳng cấu (trên k) với nhóm cộng tínhGa.
Mệnh đề 4.3.7.1 ([14]). Với những giả thiết như trong Mệnh đề 4.3.6.1, giả sử G
tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine V, và v ∈ V(k). Giả sử thêm rằng,
G · v là đóng trong V, G = T × U, trong đó T là một k-nhóm chéo hóa được, và
U là một k-nhóm lũy đơn. Khi đó nếu (Ts(k) ×Ud(k))·v là đóng Hausdorff trong
((Ts×Ud)·v)(k) thìG(k)·vlà đóng Hausdorff trongV(k).
Chứng minh. Do T0 là xuyến con của T và T/T0, T(k)/T0(k) là hữu hạn nên ta có thể giả sử T là một xuyến. Theo Bổ đề 4.3.5.9, Ta(k)Ts(k) là một nhóm con đối compắc của T(k). Khi đó, theo Bổ đề 4.3.5.11, tồn tại một nhóm con compắc Ω1 ⊆ T(k)sao choT(k) = Ω1Ta(k)Ts(k). Từ dãy khớp
1 → Ud → U →α Uw → 1,
ta thu được dãy khớp trên đối đồng điều:
1 → Ud(k)→ U(k) α→(k)Uw(k) → H1(k,Ud).
VìUd là nhómk-phân rã nên theo Định lý Hilbert 90, ta cóH1(k,Ud)= {0}. Nhóm Ud là trơn nên αlà tách và α(k)là một ánh xạ mở. Do đóU(k)/Ud(k) là đồng phôi vớiUw(k)và U(k)/Ud(k)là một nhóm compắc. Vì thế, theo Bổ đề 4.3.5.11, tồn tại một tập con compắc củaU(k)sao choU(k) = Ω2Ud(k). VậyG(k) = T(k)×U(k) = Ω1Ta(k)Ts(k)×Ω2Ud(k) = Ω1Ω2Ta(k)Ts(k)Ud(k). Vì Ω = Ω1Ω2Ta(k)là tích của 3
tập compắc nên nó là ảnh qua ánh xạ liên tục của tích trực tiếp các tập compắc. Vì thế,G(k) = Ω(Ts(k)×Ud(k)), trong đóΩlà một tập compắc.
Ta chỉ raTs×Ud E T ×U = G. Thật vậy, giả sửt ∈ T, t0 ∈ Ts, u0 ∈ Ud, u ∈ U. Thế thì, nhờ tính giao hoántu= ut, với mọit ∈ T, u ∈ U, ta có
(tu)(t0u0)(tu)−1 = tut0u0u−1t−1 = tt0(uu0u−1)t−1.
VìUd E U nên uu0u−1 ∈ Ud. Vậy
(tu)(t0u0)(tu)−1 = tt0(uu0u−1)t−1 = t0t(uu0u−1)t−1 = t0(uu0u−1) ∈ Ts×Ud.
Vì thế,Ts×Ud EG. Vậy theo Mệnh đề 4.2.2,(Ts×Ud)·vlà đóng Zariski trongV. Do đó,((Ts×Ud)·v)(k)là đóng Hausdorff trongV(k). Từ đó suy ra,(Ts(k)×Ud(k))·v là đóng Hausdorff trong((Ts×Ud)·v)(k)kéo theo(Ts(k)×Ud(k))·vđóng Hausdorff trong V(k). Vậy nhờ những lập luận đã biết (xem chứng minh Hệ quả 4.3.5.2), ta suy raG(k)·v = Ω(Ts(k)×Ud(k))·v là đóng trongV(k).
Hệ quả 4.3.7.2([14]). Chok là một trường compắc địa phương,G là mộtk-nhóm con lũy linh, trơn của GL(V) và G tác động tuyến tính lên V thông qua biểu diễn tiêu chuẩn. Giả sửG·vlà đóng. Khi đó,G(k)·vlà tập đóng Hausdorff trongV(k). Chứng minh. Vì tác động là k-tuyến tính nên nhóm con dừng Gv là một k-nhóm trơn, lũy linh củaG. Vậy áp dụng Định lý 4.3.6.3, ta thu được hệ quả.
Tiếp đến chúng ta chứng minhG(k)·v đóng nếuG·vđóng khiGnằm trong một lớp nhómCđược định nghĩa như sau.
Định nghĩa 4.3.7.3([14]). a) Chok là một trường địa phương. Ta nói mộtk-nhóm G làcompắcnếu nhóm các điểmk-hữu tỷG(k)củaGlà nhóm tôpô compắc, Haus- dorff.
b) Ký hiệu C là lớp nhỏ nhất các k-nhóm đại số tuyến tính thỏa mãn các tính chất sau. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1) Mọik-nhóm giao hoán đều thuộc C. 2) Mọik-nhóm compắc đều thuộc C.
3) Mọi mở rộng của một nhóm compắc bởi một nhóm thuộcCđều thuộcC. c) Ta định nghĩa độ dài của một phần tử thuộcClàn nếunlà số nhỏ nhất trong các số m có tính chất, ta cần m lần mở rộng nhóm compắc bởi một nhóm thuộc C để thu đượcG.
Mệnh đề 4.3.7.4. Với những khái niệm cho ở trên, giả sử G ∈ C, và G ·v là đóng trongV. Khi đó,G(k)·vlà đóng trong V(k).
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ dài n của G. NếuG có độ dài bằng0 thìG là nhóm giao hoán hoặc nhóm compắc. Nếu G là nhóm giao hoán thì khẳng định của mệnh đề đã được chứng minh ở Mệnh đề 4.3.5.1. NếuG là nhóm compắc thìG(k)là tập compắc vàG(k)·v đương nhiên là tập đóng.
Giả sử khẳng định đúng cho nhóm có độ dài không vượt quá n−1, và giả sử G là nhóm có độ dàin. Khi đó ta có dãy khớp các k-nhóm:
1 → G1 → G →f C → 1,
trong đóClà compắc, và độ dài củaG1bằngn−1. VìG1là trơn nên f là tách, và ta thu được ánh xạ mở f(k) : G(k) → C(k). Vì f(G(k)) mở trong nhóm tôpôC(k)nên f(G(k))cũng là đóng và do đó f(G(k))là compắc. VìG là compắc địa phương nên từ Bổ đề 4.3.5.11, ta cóG(k) = ΩG1(k), vớiΩlà một nhóm con compắc củaG(k). Mặt khác,G·v đóng,G1 E G nênG1 ·v là đóng (theo Mệnh đề 4.2.2). Từ việcG1 là compắc nên theo giả thiết quy nạp,G1(k)·vlà đóng. Vì Ωlà compắc nên lặp lại lập luận ở trang 110, ta thấyG(k)·vlà đóng.