Cho G là một k-lược đồ nhóm affine, phẳng, không giao hoán, kiểu hữu hạn. Ta xác định tôpô chính tắc trênH1f l(k,G) như sau (được dẫn ra từ trường hợp giao hoán). Để đơn giản ta giả sửGlà trơn. (Trường hợp tổng quát ta phải xét phức ˘Cech, phủ ˘Cech, là những khái niệm phức tạp hơn.) Khi đó, đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng đẳng cấu chính tắc với nhau. Đầu tiên ta xem H1(k,G) như giới
hạn trực tiếp lim
−−→K/kH1(K/k,G(K)), trong đó K chạy trên các mở rộng chuẩn tắc hữu hạn củaknằm trong một bao tách được ksnào đó củak. Ta có ánh xạ chính tắc sau fK/k : H1(K/k,G(K)) → H1(k,G) được cho từ dãy khớp các đối đồng điều
1 → H1(K/k,G(K)) → H1(k,G) → H1(K,G).
Giả sửGal(K/k)là nhóm Galois của K/k. Thế thì ta có H1(K/k,G(K)) = Z1(K/k,G(K))/ ∼ .
VìZ1(K/k,G(K))là một tập con của
C1(K/k,G(K)) := Map(Gal(K/k),G(K))' G(K)n,
trong đón = [K : k], nên ta có thể trang bị cho nó tôpô cảm sinh từ tôpô trên tích trực tiếp G(K)n. Đặt θK : Z1(K/k,G(K)) → Z1(K/k,G(K))/ ∼ là ánh xạ thương. Vì thế ta xác định tôpô trên H1(K/k,G(K)) là tôpô thương, cảm sinh từ tôpô trên Z1(K/k,G(K)). Khi đó ta trang bị tôpô trênH1(k,G)như giới hạn của các tôpô vừa xác định. Nói riêng ra, một tập conU ⊆ H1(k,G)là mở nếu và chỉ nếu fK−/1k(U)mở trongH1(K/k,G(K))với mọi K. Điều này tương đương:
(∗) H1(k,G) = S
K/k fK/k(H1(K/k,G(K))),
và tập con U là mở trong H1(k,G) nếu và chỉ nếu giao của nó với các tập con Im(fK/k) = fK/k(H1(K/k,G(K)))đều là mở trong
fK/k(H1(K/k,G(K))),
với mọiK.
Ta gọi tôpô này là tôpô “chính tắc” (vì nó được xác định hoàn toàn nội tại theo G). KhiG giao hoán thì tôpô này chính là tôpô chính tắc đã được nói ở trên. Trường hợp tổng quát cho các lược đồ k-nhóm affine được xây dựng tương tự. Như đã đề cập ở [49], khiG là nhóm trơn, tôpô H-đặc biệt không phụ thuộc vào H. Hơn nữa, ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 1.5.3.1. (a) ([49])NếuG là một lược đồ nhóm trơn, và với các giả thiết như ở trên, thì tôpô đặc biệt trên H1(k,G) không phụ thuộc việc chọn phép nhúngGvào nhóm đặc biệt.
(b) ([14]) Hơn nữa, nếu G là một lược đồ nhóm trơn, giao hoán, liên thông, thì tôpô chính tắc trênH1(k,G) trùng với tôpô đặc biệt.
Chương 2
Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans
Cho G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số k. Khi đó, một cách tự nhiên, G tác động lên vành các hàm chính quy của nó thông qua phép tịnh tiến phải(rg · f)(x) = f(x·g), với x,g ∈ G, f ∈ k[G]. VớiH là một k-nhóm con đóng củaG, ta đặt
H0 = k[G]H := {f ∈ k[G]|rh · f = f,với mọih ∈ H}.
Như vậy, k[G]H chính là k-đại số con các hàm H-bất biến của k[G]. Hơn nữa, nếu Rlà mộtk-đại số con của k[G], ta đặt
R0 = {g ∈G|rg · f = f,với mọi f ∈ R}.
Khi đó, với bất kỳ nhóm con đóng H củaG ta có H ⊆ (H0)0 = H00 ⊆ G.
Trong một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn, các tác giả A. Bialynicki-Birula, G. Hochschild, G. Mostow [3, p. 134] đã đưa ra khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta nói một nhóm con đóng là quan sát được nếu mọi biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều củaHđều mở rộng được lên thành biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều của toàn bộ nhómG. Nói cách khác, điều này có nghĩa là mọi H-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều đều là mộtH-môđun con của mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều. Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiện tương đương để một nhóm là quan sát được. Sau đó, F. Grosshans đã tìm thêm được một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó). Nhờ vậy, chúng ta biết rằng điều kiện để một nhóm là quan sát được tương đương với đẳng thứcH = H00. Hiện tại, người ta biết thêm một
số điều kiện tương đương (ít nhiều dễ kiểm tra) để một nhóm là quan sát được và các kết quả này được tổng hợp trong Định lý 2.1.1.
Theo chiều hướng hoàn toàn ngược lại, một nhóm con đóng H ⊆ G còn có thể thỏa mãn điều kiện H00 = G. Nếu điều này đúng,H được gọi là mộtnhóm con toàn cấu củaG. Thực tế, một dạng khác tương đương của khái niệm này ban đầu được đưa ra bởi F. Bien và A. Borel (xem [56], [57], và [21] về các kết quả gần đây). Trước đó, S. Bergman đã đưa ra khái niệm tương tự cho Đại số Lie (nhưng không công bố). Ngoài ra, F. Bien, A. Borel, J. Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất H là nhóm con toàn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ của không gian thuần nhấtG/H. Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là toàn cấu được cho trong Định lý 2.2.1.
Trong mối liên hệ với bài toán số 14 của D. Hilbert, vấn đề sau đây được đặc biệt quan tâm. Giả sửX là một đa tạp affine,Glà một nhóm reductive tác động cấu xạ lên đa tạpX. Cho H là một nhóm con đóng củaG, vàG tác động lên đại số các hàm chính quy k[X]thông qua phép tịnh tiến trái (lg · f)(x) = f(g−1 · x). Một cách tự nhiên, người ta đặt câu hỏi khi nàok[X]H là mộtk-đại số hữu hạn sinh.
Với mỗi H là nhóm con đóng củaG, ta có k[X]H = k[X]H00 (theo [20], [21]). Vì thế bài toán trên quy về trường hợp H là nhóm con quan sát được của G. Để giải quyết bài toán này, F. Grosshans ([20], [21]) đưa ra khái niệm đối chiều 2 cho các nhóm con quan sát được. Những nhóm con thỏa mãn tính chất như vậy được gọi là các nhóm con Grosshans (xem Mục 2.3).
Trong chương này, chúng tôi tiếp tục những nghiên cứu của [3]. Cụ thể hơn, chúng tôi quan tâm đến một số câu hỏi về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, và nhóm con Grosshans. Những kết quả ban đầu về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được (tương ứng nhóm con toàn cấu) thu được trong [3], và sau đó trong [21], [53] (tương ứng [53], [56], [57]). Cũng trong bài báo [53], một số ứng dụng về tác động ergodic cũng được nghiên cứu. Chúng tôi chứng minh ở chương này một số kết quả mới về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu, nhóm con Grosshans mà ban đầu chỉ được chứng minh trong trường hợpklà trường đóng đại số. Kết quả chính của phần này là các Định lý 2.1.11, 2.2.4, 2.3.5.
2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả cơ bản của các nhóm con quan sát được xác định trên trường đóng đại số. Trong các phát biểu dưới đây,G0 được ký hiệu cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thành phần liên thông của nhómG.
Định lý 2.1.1([3], [21, Theorem 2.1, 1.12]). ChoG là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường đóng đại số k và H là một k-nhóm con đóng củaG. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:
(a) H = H00.
(b) Tồn tại một biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và một véctơ
v ∈ V, xác định trênk, sao cho:
H = Gv = {g ∈G|ρ(g)·v = v}.
(c) Tồn tại một số hữu hạn các hàm f ∈ k[G/H] sao cho các hàm này tách các điểm củaG/H.
(d) Không gian thuần nhấtG/H là mộtk-đa tạp tựa affine.
(e) Mọik-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiềuρ : H →GL(V)đều mở rộng được thành mộtk-biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiềuρ0
:G → GL(V0), trong đóV ⊆ V0. Nói cách khác, mọi H-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều đều là một H-môđun con của mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều nào đó.
(f) Tồn tại một k-biểu diễn hữu tỷ ρ : G → GL(V) và một vectơ v ∈ V sao cho
H = Gv(nhóm con dừng củav) vàG/H G·v = {ρ(g)(v)|g ∈G}.(Đẳng cấu ở đây là đẳng cấu giữa các đa tạp đại số.)
(g) Trường các thương của vành các hàmG0∩H-bất biến trongk[G0]chính bằng trường các hàm hữu tỷG0 ∩H-bất biến trongk(G0).
(h) Nếu H-môđun hữu tỷ1 chiều M là một H-môđun con của mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều thìH-môđun đối ngẫu M∗ của M cũng là mộtH-môđun con của mộtG-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều nào đó.
Từ định lý trên, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.2 ([47]). Giả sử k là một trường tùy ý, H là một k-nhóm con đóng của k-nhóm đại số tuyến tínhG thỏa mãn điều kiện (b) (tương ứng điều kiện (e)) trong Định lý 2.1.1, trong đóv ∈ V(k)và biểu diễnρtương ứng xác định trênk. Khi đó ta gọiH là mộtk-nhóm con dừngcủaG (tương ứng,H cótính chất mở rộng trên
k).
Định lý 2.1.3([3, Theorem 5]). ChoG là một k-nhóm đại số tuyến tính, H là một
k-nhóm con đóng củaG. Giả sử k ⊆ K là một mở rộng trường tùy ý của k. Khi đó
H có tính chất mở rộng trên k nếu và chỉ nếu H có tính chất mở rộng trên K.
Định lý 2.1.4 ([3, Theorem 8]). Cho H là một k-nhóm con đóng của một k-nhóm đại số tuyến tính G. Giả sử thêm rằng H có tính chất mở rộng trên k. Khi đó H
là một k-nhóm con dừng củaG. Đảo lại, nếu k là trường đóng đại số và H là một
k-nhóm con dừng củaG, thì H có tính chất mở rộng trênk.
Từ Định lý 2.1.3 và Định lý 2.1.4 ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 2.1.5([47]). Chok là một trường tùy ý vàH là một k-nhóm con đóng của mộtk-nhómG. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(a) H là một nhóm con dừng củaG trênk¯.
(b) H là một nhóm con dừng của G trên k, tức là tồn tại một biểu diễn k-hữu tỷ hữu hạn chiềuρ :G → GL(V)và một vectơv ∈ V(k)sao choH = Gv.
Chứng minh. (b) ⇒(a): Điều này là đương nhiên.
(a) ⇒ (b): Từ Định lý 2.1.1, vì H là nhóm con dừng trên k¯ nên H có tính chất mở rộng trênk. Do đó, theo Định lý 2.1.3,¯ H có tính chất mở rộng trên k. Vậy theo Định lý 2.1.4, H có tính chất dừng trênk.
Nhận xét. Dựa trên một số ý tưởng của F. Grosshans [20], B. Weiss [53] cũng cho một chứng minh khác cho Mệnh đề 2.1.5. Trong bài báo đó, B. Weiss có giả thiết điều kiện (không căn bản) làk = Q và H là liên thông. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta đặt Hk0 = k[G]H(k) = {f ∈ k[G]|rh · f = f,∀h ∈ H(k)}, và (Hk0)0 = {g ∈
G|rg · f = f,∀f ∈ Hk0}.
Khi đó, k[G]H(k) và k[G]H := {f ∈ k[G]|rh · f = f,∀h ∈ H} là các đại số con củak[G].
Nói chung, ta có bao hàm thức sau:
Hk0 = k[G]H(k) ⊆ k[G]¯ H(k) S| S| k[G]H ⊆ k[G]¯ H = H0. Do đó ta có: (Hk0)0 = (k[G]H(k))0 ⊇ (¯k[G]H(k))0 T| T| (k[G]H)0 ⊇ (¯k[G]H)0 = H00.
Nếu hơn nữa, H(k) trù mật Zariski trongH, thìHk0 = k[G]H = k[G]¯ H∩k[G].
Định nghĩa 2.1.6([47]). Ta nóiH làquan sát được tương đối trênknếuH = (Hk0)0, và H làk-quan sát được nếu (k[G]H)0 = H.
Ta nhận thấy, trong trường hợp k là trường đóng đại số thì các khái niệm trên trùng với khái niệm quan sát được. Ta có khẳng định hiển nhiên sau:
H là k-quan sát được ⇒ H là quan sát được.
Trong mệnh đề sau đây, dựa trên khẳng định không gian thuần nhất G/H cũng xác định trênk, chúng tôi chỉ ra chiều ngược lại cũng đúng. Khẳng địnhG/Hcũng xác định trênk là một điểm quan trọng trong việc mở rộng các kết quả về nhóm con quan sát được (cũng như các nhóm con toàn cấu, nhóm con Grosshans) cho trường hợp nhóm xác định trên tùy ý, không nhất thiết là đóng đại số.
Mệnh đề 2.1.7([47]). Choklà một trường tùy ý, vàH là mộtk-nhóm con đóng của mộtk-nhómG. Khi đó:
(a) H0 = k[G]¯ H = k¯ ⊗k k[G]H.
(b) H là quan sát được nếu và chỉ nếu H làk-quan sát được.
(c) Giả sử H(k)là trù mật Zariski trong H. Khi đó, một trong hai điều kiện tương đương ở(b)là tương đương với điều kiệnH là quan sát được tương đối trênk.
Trước khi chứng minh mệnh đề này ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.8([47]). Cho Xlà một lược đồ affine kiểu hữu hạn trên trường kvà H là một k-nhóm tác động k-cấu xạ lên X. Giả sử tồn tại lược đồ thương tốt X/H. Khi đó ta có
¯
k[X]H = k¯ ⊗kk[X]H.
(Ở đây, ta quy ước, X = Spec(¯k[X]), vàk[X] chok-cấu trúc củak[X]¯ .)
Chứng minh. Vì lược đồ thương X/H là tồn tại và xác định trên k nên k[X¯ /H] = ¯
k⊗kk[X/H]. Mặt khác, vì cấu xạ thương π : X → X/H xác định trênk nên đối cấu xạπ0 gửik[X/H]vàok[X]. Hơn nữa, π0 : ¯k[X/H] → k[X]¯ H là một đẳng cấu.
Vậyπ0 k[X/H] :k[X/H]→ k[X]∩k[X]¯ H = k[X]H là đơn cấu. Vìπ0 là một ánh xạ ¯ k-tuyến tính nên ¯ k[X]H = π0(¯k[X/H]) = π0(¯k⊗k[X/H]) = k¯ ⊗π0(k[X/H]) ⊆ k¯ ⊗(k[X]H) ⊆ k[X]¯ H.
Bao hàm thức ở trên kéo theo π0(k[X/H]) = k[X]H. Hơn nữa, π0 là một đẳng cấu, kéo theok[X]¯ H = k¯ ⊗kk[X]H. Do đó, bổ đề được chứng minh.
Ta chuyển sang chứng minh Mệnh đề 2.1.7.
Chứng minh Mệnh đề 2.1.7. (a) Cho X = G, khi đó đa tạp thương tốt G/H là tồn tại và xác định trênk. Áp dụng Bổ đề 2.1.8, ta có điều cần chứng minh.
(b) Giả sửg là phần tử tùy ý của(k[G]H)0. Thế thìrg(f)= f với mọi f ∈ k[G]H. Theo (a), k[G]¯ H = k¯ ⊗k k[G]H, nên mọi phần tử f ∈ k[G]¯ H đều có biểu diễn
f = Pn
i=1aifi, trong đó ai ∈ k,¯ fi ∈ k[G]H với mọi i = 1,n. Vì tác động phải của G lên k[G]¯ H có tính chất tuyến tính nên rg(f) = f với mọi f ∈ k[G]¯ H. Vậy g ∈ (¯k[G]H)0 = H. Do đó(k[G]H)0 = (¯k[G]H)0 = H. Vậy H là nhóm con k-quan sát được củaGvà (b) được chứng minh.
(c) Từ phần (b), ta chỉ cần chỉ ra:
H là quan sát được tương đối⇔ H làk-quan sát được. “ ⇒ ”: Vì H(k) là trù mật Zariski trongH nên (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f ∈ k[G]¯ H(k) ⇔ f ∈ k[G]¯ H.
Do đó,H = (k[G]H(k))0 ⊇ (¯k[G]H(k))0 = (k[G]H)0 ⊇ H, tức là,H là quan sát được. Vậy H là k-quan sát được (theo (b)).
“ ⇐ ”: Nếu H làk-quan sát được thì
H = (k[G]H)0 ⊇ (k[G]H(k))0 ⊇ H.
Do đó, H là quan sát được tương đối trênk.
Nhờ mệnh đề trên, ta có khẳng định sau đây về sự tương đương của tính chất tách các điểm của không gian thuần nhấtG/H bởi các hàm thuộck[G]¯ H và k[G]H.
Mệnh đề 2.1.9 ([47]). Cho H là một k-nhóm con của một k-nhóm G. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(a) Tồn tại một số hữu hạn các hàm thuộck[G¯ /H] sao cho chúng tách các điểm củaG/H.
(b) Tồn tại một số hữu hạn các hàm thuộck[G/H] sao cho chúng tách các điểm củaG/H.
Chứng minh. Khẳng định (b)⇒(a) là hiển nhiên. Ta chỉ ra (a) ⇒(b).
VìG/H xác định trên k nên k[G¯ /H] = k¯ ⊗k[G/H]. Giả sử các hàm f1, . . . , fn ∈
¯
k[G/H]tách các điểm củaG/H. Khi đó fi = X
j
λi jϕi j,
trong đóλi j ∈ k,¯ ϕi j ∈ k[G/H].
Vì các hàm f1, . . . , fn tách các điểm của G/H và xH , yH ∈ G/H nên tồn tại i sao cho fi(xH) , fi(yH). Do đó, tồn tại j sao cho ϕi j(xH) , ϕi j(yH). Vậy tập hữu hạn các hàm{ϕi j} ⊆ k[G/H]sẽ tách các điểm củaG/H.
Kết quả sau đây cũng là một chi tiết quan trọng trong chứng minh Định lý chính 2.1.11.
Mệnh đề 2.1.10 ([47]). ChoG là một k-nhóm, H là một k-nhóm con đóng của G. Giả sử tồn tại mộtk-biểu diễn hữu hạn chiều ρ : G → GL(V) và v ∈ V(k)sao cho
H = Gv. Khi đó tồn tại một biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiềuρ0 : G → GL(W) xác định trênk,w ∈ W(k), sao cho H =Gw vàG/H k G ·w.
Chứng minh. Theo Định lý 1.12 của [21], tồn tại một không gian véctơ V0, một biểu diễn ρ0 : G → GL(V0), một véctơ v0 ∈ V0 sao cho H = Gv0 và tồn tại đẳng cấu G/H G·v0.
Đặt X = G·v0 là bao đóng củaG · v0 trong V0, V0∗ là không gian đối ngẫu của V0 và(λ1, . . . , λn)là một cơ sở củaV0∗. Thế thì,k[V¯ 0] = k[¯ λ1, . . . , λn]. Ta có dãy các đối cấu xạ:
ϕ∗
: ¯k[V] →r k[X]¯ →p∗ k[G¯ /H] π
∗
,→ k[G]¯ ,
cho bởiϕ∗(λi)(g)= λi(g·v0) (trong đór là phép hạn chế). Từ dãy này ta có dãy các cấu xạ
ϕ :G →π G/H ,→p X ,→ V0,
trong đóϕ(g)= g ·v0.
Nhận thấy,ϕ∗ là cấu xạG-đẳng biến với tác động trái củaG và (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ϕ∗ (¯k(X)) = k(G)¯ H. Do đó,li = ϕ∗ (λi) = p∗(r(λi)) ∈ k(G)¯ H ∩k[G]¯ = k[G]¯ H. Từ Mệnh đề 2.1.7 ta có li = X j ci j ⊗µi j, µi j ∈ k[G]H,với mọii, j.
Theo [9, p. 54], vì G xác định trên k nên G-quỹ đạo của các µi j sinh ra một không gian vectơ con hữu hạn chiều của k[G]¯ và không gian này xác định trên k. Ta có thể thêm (hoặc bớt) một số hữu hạn các hàm và có thể giả sử các hàm{µi j}là độc lập tuyến tính trênk. Hơn nữa,k-không gian vectơ¯ W0 vớik-cơ sở{µi j}làG-ổn định.
Ta chọn W là không gian đối ngẫu của W0 và có biểu diễn tuyến tính tương ứng