4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.2 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ hoàn thiện
hoàn thiện
Trong mục này chúng ta thiết lập và chứng minh một kết quả về tính chất đóng của quỹ đạo (hình học hoặc tương đối) của nhóm đại số là tích trực tiếp của một nhóm reductive với một nhóm lũy đơn. Trước khi đi đến kết quả chính, chúng ta cần đến một số kết quả khác, mà một số trong chúng có ý nghĩa độc lập. Dưới đây, các thuật ngữ “mở” và “đóng”, nếu không có chú thích gì thêm, được hiểu là theo tôpô Zariski.
Bổ đề 4.2.1 ([14]). Cho G là một nhóm đại số tác động chính quy lên đa tạp X,
x ∈ X, vàG0 là thành phần liên thông củaG. Khi đó quỹ đạoG· x là đóng (tương ứng là mở) trongX nếu và chỉ nếuG0 · xcũng như vậy.
Chứng minh. Giả sửG·xlà đóng, ta chỉ ra rằngG0·xcũng là đóng. ĐặtG = SgiG0 là phân tích của G ra các lớp kề trái của G0. Khi đó, G · x = S
i∈IgiG0 · x =
S
j∈JgjG0 · x, trong đó biểu thức thứ hai là hợp rời, J ⊆ I, và đó là phân tích của G· xra các thành phần bất khả quy. Vì ánh xạ quỹ đạoG → G·x,g 7→ g· x, là mở vàG0 mở trongG nênG0· x mở trongG · x. VậyG0 · x là phần bù của hợp các tập mở nên nó cũng là tập đóng trongG· x. VậyG0 · xlà tập đóng.
Điều đảo lại là đương nhiên do chỉ số của G0 trong G là hữu hạn, và G · x =
Sn
i=1giG0 ·x là hợp của hữu hạn các tập đóng.
Giả sử rằngG· xmở trong X. Theo trên,G0 · xlà mở trongG· x. VậyG0 ·x mở trong X.
Đảo lại, giả sửH là một nhóm con bất kỳ (không nhất thiết đóng) củaG sao cho H · x mở trongX. Khi đó, vớiG = S
giH thìG · x = S
giH · x là hợp các tập mở.
VậyG· xlà tập mở.
Mệnh đề 4.2.2([14]). Với những giả thiết của Bổ đề 4.2.1, giả sử H là một nhóm con đóng củaG. Khi đó ta có:
1) Nếu G · x là đóng trong X thì tồn tại một nhóm con liên hợp H0 của H sao cho H0 · x là đóng trong X. Nói riêng, tồn tại một xuyến cực đại (tương ứng, nhóm con Cartan) H củaG sao cho quỹ đạo H · xlà đóng. Hơn nữa, với mỗi nhóm con parabolic chuẩn (standard) Pθ ứng với kiểuθ của G, tồn tại nhóm con parabolicP ⊆ G, liên hợp với Pθ sao cho P· x là đóng.
2) Với những giả thiết và khái niệm như trên, giả sửG = L×U (tích trực tiếp), trong đó Llà một nhóm reductive trongG và U là một nhóm con lũy đơn của
Trước khi chứng minh, chúng ta nhắc lại một kết quả quan trọng về thương phạm trù tốt. Về khái niệmthương phạm trù tốt, người đọc có thể xem thêm [18, Sec. 6.1, Definition, p. 94; Prop. 6.2, p. 93].
Bổ đề 4.2.3([18, Corol. 6.1, p. 94]). Giả sử cấu xạ p : X → Y là một thương phạm trù tốt. Khi đó, cấu xạ p thỏa mãn các điều kiện sau:
a) Hai điểm x,x0 ∈ X có cùng ảnh trongY nếu và chỉ nếuG· x∩G· x0
, ∅.
b) Với mỗiy ∈ Y, thớ p−1(y)của ychỉ chứa duy nhất một quỹ đạo đóng.
Chứng minh Mệnh đề 4.2.2. 1) Nhóm đại sốH tác động chính quy lênG·x, do đó, theo Bổ đề quỹ đạo đóng, tồn tại một quỹ đạo H · y là đóng trong trongG · x với y ∈ G · x nào đó. Đặt y = g · x, ta có H · y = Hg· x = g(g−1Hg)x. Vì ta có phép đồng phôi ϕg : X → X, x 7→ g · x gửi (g−1Hg)x vào g(g−1Hg)x, và g(g−1Hg)x là tập đóng, nên H0 · x đóng với H0 = g−1Hg. Vì các nhóm con Borel, các xuyến cực đại, các nhóm con Cartan, các nhóm con parabolic kiểuθđều liên hợp với nhau nên ứng với mỗi lớp nhóm này, tồn tại Psao choP· xđóng.
2) Giả sửG·x là đóng. Theo 1), tồn tại liên hợpL0 = gLg−1 của Lsao choL0·x đóng. Tuy nhiên, vớig = lu,l ∈ L,u ∈ U, L0 = luL(lu)−1 = l(uLu−1)l−1 = L. Do đó, L·x là đóng.
Đảo lại, bằng lập luận tương tự như [6, Lemma 9.7], ta rút raG· x là đóng. Tuy nhiên, để cho đầy đủ, ta trình bày chứng minh chi tiết ở đây.
Giả sử L · x là đóng, ta cần chỉ ra rằng G · x đóng. Đặt Y = G· x là bao đóng củaG·x trongX. VìLlà nhóm reductive nên thương phạm trù tốt f : Y −→Y ∥ L là tồn tại. Ta chỉ ra nếu f(y) = f(y0) thì f(g · y) = f(g · y0). Vì f : Y −→ Y ∥ L là thương phạm trù tốt nên L·y ∩ L·y0
, ∅. Với g = lu = ul ∈ L × U, ta có L·gy= L·(ul)y = u·(Ly). Vậy L(gy) = u·(Ly) = u·Ly. Vậy L(gy) = u·Ly = u·Ly. Vì L·y ∩L·y0
, ∅ nên u· Ly∩u · Ly0
, ∅. Do đó, L(gy)∩ L(gy0) , ∅. Thế thì, theo Bổ đề 4.2.3, f(g·y) = f(g·y0). Vậy nếu f(y) = f(y0)thì f(g·y) = f(g·y0). Vì thế, ta xác định được tác động củaG lênY ∥ Lcho bởig· f(y) = f(g·y), và ánh xạ f : Y → Y ∥ LlàG-đẳng biến. VớiG = L×U, thì f(G · x) = U · f(x) là quỹ đạo đóng (doU là nhóm lũy đơn). Do đó, nghịch ảnhZ := f−1(G· f(x))là tập con đóng củaY và chứaG·x. VậyZ = Y =G · x. Mặt khác, vìL·xlà đóng theo giả thiết nên f−1(f(x)) = L·x. Vì vậy,Z = f−1(G· f(x)) =G· f−1(f(x)) = G·(L·x) =G·x. Do đó,G· x =G · x = Z vàG· x là đóng trongX.
Tiếp đến chúng ta cần mở rộng một định lý của G. Kempf cho trường hợp nhóm không reductive có dạngL×U.
Định lý 4.2.4(Một mở rộng của Định lý Kempf, [14]). Cho k là một trường hoàn thiện,G = L×U, trong đó nhóm L là reductive và U là lũy đơn xác định trên k. ChoG tác độngk-chính quy lênk-đa tạp affine X, và x là một điểm không ổn định của X(k)(tức làG· x không đóng). Giả sửY là một tập con đóng,G-bất biến tùy ý củaG· x\G· x. Khi đó, tồn tại một nhóm con một tham sốλ : Gm → G, xác định trênk, và một điểm y ∈ Y ∩X(k)sao choλ(t)· x → y khit → 0.
Nhận xét. Thực tế, trong trường hợp reductive, định lý gốc của G. Kempf mang nhiều thông tin hơn về bản chất của những quỹ đạothiếu ổn định. Ta chỉ đề cập ở đây mở rộng cho một dạng đơn giản của định lý đó.
Chứng minh. Chứng minh sử dụng ý tưởng của [6, Proposition 9.10]. Thực tế, chúng tôi cho một chứng minh chi tiết hơn. Ta cố định một tập con đóng khác rỗngY củaG · x\G·x, và giả thiết định lý được cho ứng với bộ(G,Y,x). VìG·xlà không đóng nên theo Mệnh đề 4.2.2, nên quỹ đạoL·xlà không đóng. Ta nhận thấy mọi quỹ đạo củaLtrongG·xđều có dạnggLx,g ∈ G, và có cùng số chiều với L·x. Vì vậy,L·xlà đóng trongG·x. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số chiều củaG·x. Nếudim(G·x) = 0 thì khẳng định đương nhiên đúng. VìL·xlà không đóng nên áp dụng Định lý Kempf cho tập con đóng L-ổn định Y0 := L· x\L·x , ∅, tồn tại một nhóm con một tham số λ : Gm → Lxác định trên k, và một điểm y0 ∈ Y0 ∩X(k), sao choλ(t)·x → y0, khit → 0. Vì các quỹ đạo của LtrongG ·x có cùng số chiều nênL· x∩G·x = L·x. Do đóy0 ∈ [λ(Gm)· x\L·x]⊆ [G· x\G·x]. Đặt Zlà bao đóng ZariskiG· x và A = {z ∈ Z | L·z∩G ·y0 , ∅}. Ta chỉ ra Alà tập đóng trong Z. VìLlà nhóm reductive vàZ = G· xlàL-ổn định nên tồn tại thương phạm trù tốt
π : Z → Z ∥ L.
Ta chứng minh
(∗) A= π−1(π(G·y0)).
Thật vậy, nếu z ∈ A thì L·z ∩ G·y0 , ∅. Giả sử y ∈ L· x ∩ G ·y0. Khi đó L·z ∩L·y , ∅. Theo Bổ đề 4.2.3, π(z) = π(y). Vìy ∈ G·y0 nên π(z) ∈ π(G·y0). Do đó,z ∈ π−1(π(G·y0)), hay
(1) A⊆ π−1(π(G·y0)).
Đảo lại, giả sửz ∈ π−1(π(G·y0)). Khi đóπ(z)= π(y)vớiy ∈ G·y0 nào đó. Vậy theo Bổ đề 4.2.3,L·z∩L·y , ∅. Do đó, L·z∩G·y0 , ∅, hayz ∈ A. Vậy ta có
Từ (1) và (2) suy ra A = π−1(π(G·y0)). Vì G·y0 là tập con đóng L-ổn định nên cũng theo [18, Corollary 6.1, p. 94], π(G·y0) đóng trong Z ∥ L. Do đó, A = π−1(π(G·y0)) đóng trong Z. Hơn nữa, ta chỉ ra A là G-ổn định và x ∈ A. Vìλ(t)x → y0 khi t → 0 nên x ∈ A. Mặt khác, vì gL·z = L·gz, gG ·y0 = G·y0, với mọig ∈ G, nên nếua ∈ Athì L·a ∩G·y0 , ∅, hay L·(g·a)∩G ·y0 , ∅. Do đó, tập Alà G-ổn định. Từ đó ta có, A là G-ổn định, chứa x, và đóng trong Z. Thế thìA = Z =G ·x. Giả sửy ∈ Y (⊆ A). Khi đóL·y∩G ·y0 , ∅. VìY đóng và L-ổn định nên L·y ⊆ Y. Do đóY1 := Y ∩G·y0 , ∅. Vì Y là đóng vàG-ổn định nênY1 cũng là đóng vàG-ổn định trong Z. Nếu Y ∩G · y0 , ∅ thì từ giả thiết Y là G-ổn định ta cóy0 ∈ Y vàlim
t→0λ(t)·x = y0 vớiλlà một nhóm con một tham số củaG. Do đó ta có kết luận(∗).
NếuY∩G·y0 = ∅thìY1∩G·y0 = ∅. Do đóY1 ⊆ G·y0\G·y0. Vìy0 ∈ G· x\G·x nêndim(G ·y0) < dim(G· x). Vậy áp dụng giả thiết quy nạp cho bộ (G,Y1,y0), tồn tại một nhóm con một tham số µ : Gm → G (thực tế là µ : Gm → L, do Llà nhóm con reductive cực đại duy nhất củaG) xác định trênk, sao choµ(t)·y0 → y1 ∈ Y1, khit → 0. Vìλ(t)· x → y0, khit → 0, nên µ(t)(λ(t)· x) = (µ(t)λ(t))· x → y1, khi
t → 0. Vậy định lý được chứng minh.
Từ đây, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 4.2.5 ([14]). Với những ký hiệu như trên, cho z ∈ X(k) sao cho nhóm con dừng Gz của nó chứa tất cả các xuyến con k-phân rã cực đại của G. Thế thì quỹ đạoG·zlà đóng trong X.
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra khẳng định đúng nếu thay G bởi L. Giả sử L · z không đóng. Khi đó Y := L·z \ L· z , ∅. Theo định lý của G. Kempf [25], tồn tại một nhóm con một tham số λ : Gm → L, xác định trên k, y ∈ Y(k), sao cho
λ(t)·z → y, khi t → 0. Vì Lz chứa tất cả những xuyến k-phân rã cực đại củaG nên z = y ∈ L·z\ L·z. Điều này mâu thuẫn.
Ta xét trường hợp tổng quát. Theo Mệnh đề 4.2.2, nếu G · z không đóng thì L· z cũng không đóng. Vì mọi xuyến con k-phân rã cực đại của L đều nằm trong L∩Gz = Lz nên theo lập luận ở phần đầu ta thu được điều vô lý. Vậy hệ quả được
chứng minh.
Với những kết quả chuẩn bị này, ta có kết quả sau về tôpô của những quỹ đạo.
Định lý 4.2.6 ([14]). Chok là một trường hoàn thiện, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường có hạng thực1. ChoG là mộtk-nhóm đại số tuyến tính tác động
k-chính quy lên một k-đa tạp affine X, và x ∈ X(k)là một k-điểm của X. Khi đó ta có các khẳng định sau:
1) (Mở rộng một số kết quả của [6], [10], [59], [11])Nếu quỹ đạo G· x là đóng và nhóm dừngGx là một k-nhóm trơn, thì quỹ đạo tương đốiG(k)· x là đóng theo tôpô Hausdorff trongX(k).
2) Đảo lại, giả sửG = L×U, trong đóLlà reductive vàU là lũy đơn, tất cả đều xác định trênk. NếuG(k)· xlà đóng trong X(k)theo tôpô Hausdorff thìG· x
là đóng theo tôpô Zariski trongX.
3) Với những giả thiết như ở 1),G(k)·xđóng trong X(k)nếu và chỉ nếuG0(k)·x
là đóng trong X(k).
Chứng minh. 1) Ký hiệuGx là nhóm con dừng của x trongG, Y = G · x. Theo giả thiết, nhóm dừngGxlà trơn và xác định trênk (điều này luôn đúng khichar.k = 0). Do đó phép chiếu G → G/Gx là tách. Mặt khác, nếu Y là đóng trong X thì Y(k) luôn đóng trong X(k) theo tôpô Hausdorff. Ta chỉ ra nhóm dừngGz luôn là trơn và xác định trên k với mọi z ∈ (G · x)(k). Thật vậy, vì Gz liên hợp với Gv và nhóm dừng Gv là trơn nên Gz cũng là trơn. Vậy ta chỉ cần chỉ ra Gz cũng là xác định trên k. Giả sử h ∈ G sao cho z = h · x ∈ (G · x)(k) và s ∈ Gal(ks/k). Khi đó z = sz = s(h· x) = sh· sx = sh· x(vì x ∈ X(k)). Mặt khácz = h· x nên sh·x = h· x. Thế thì gs := h−1sh ∈ Gx với mọi s ∈ Gal(ks/k). Hơn nữa, vì Gz = h(Gx)h−1 nên sGz = (sh)(sGx)s(h−1) = hgsGxg−s1h−1 = hGxh−1 = Gz, hay sGz = Gz với mọi s ∈ Gal(ks/k). Vì k là trường hoàn thiện nênGz là xác định trên k. Từ chứng minh của Định lý 4.1.5, mọi G(k)-quỹ đạo đều mở trong (G/Gx)(k) = Y(k) theo tôpô Hausdorff. Do đó, các quỹ đạo này là phần bù của hợp các tập mở và do đó nó cũng là đóng. VậyG(k)· x đóng trongY(k)và cũng đóng trong X(k).
2) Giả sửG(k)·xlà tập đóng theo tôpô Hausdorff và giả sử ngược lạiG·xkhông đóng Zariski. Khi đóY =G ·x\G·x , ∅. Từ một mở rộng của Định lý Kempf cho trường hoàn thiện (Định lý 4.2.4), tồn tại một nhóm con một tham số λ : Gm → G xác định trênk, và một điểm y ∈ Y ∩X(k)sao cho λ(t)· x → y, khi t → 0. Vì λvà x xác định trên k nên y thuộc bao đóng (theo tôpô v-adic) của λ(k∗) · x ⊆ G(k) · x trongX(k). Mặt khác,y <G· xnên y ∈G · x\G(k)·x. Do đó,G(k)· xkhông đóng theo tôpô Hausdorff (mâu thuẫn). VậyG· x đóng theo tôpô Zariski.
3) Ta nhận thấy G0(k) có chỉ số hữu hạn trongG(k), vàG(k) = S
sgsG0(k), với gs ∈ G(k), s = 1,n. NếuG0(k)·xđóng trongX(k)thìG(k)·x = S
sgsG0(k)·xcũng đóng trongX(k). Từ Phần 2) ở trên,G·xlà đóng Zariski. Theo Mệnh đề 4.2.2,G0·x cũng đóng Zariski và do đó theo 1),G0(k)· xcũng là đóng Hausdorff.
Nhận xét. Khẳng định 1) của Định lý 4.2.6 ở trên có nguồn gốc từ bài báo của A. Borel và Harish-Chandra [10] cho trường hợp trường thực R. Trường hợp tổng quát được suy ra từ một lập luận của [59, Sec. 9, Chứng minh của Bổ đề 9.2] mà ở đó có dùng đến Định lý hàm ẩn (Định lý 4.1.7). Lập luận này cũng được xuất hiện lại ở [11, Sec. 5] và [66]. Sau đó, chiều đảo lại được chứng minh cho nhóm reductive xác định trên trường thực bởi D. Birkes [6] (cũng xem cả [55]), và bởi R. Bremigan [11] cho các nhóm reductive xác định trên trường địa phương đặc số 0. Ở đây chúng tôi cũng có được kết quả cho các trường hoàn thiện, đầy đủ với định giá không tầm thường với hạng thực bằng 1, vì trong trường hợp đó, Định lý hàm ẩn vẫn đúng.
Từ những lập luận ở trên, ta có kết quả sau đây, là mở rộng của những kết quả đã biết của A. Borel-Harish-Chandra, D. Birkes, và R. Bremigan (xem ở phần giới thiệu chương).
Định lý 4.2.7([14]). Chok,G,V như trong Định lý 4.2.6. Giả sửGvlà mộtk-nhóm trơn. Khi đó ta có
1) NếuG = L×U, vớiLvàU lần lượt là các nhóm reductive và lũy đơn, thìG·v
là đóng Zariski nếu và chỉ nếuG(k)·v là đóng Hausdorff.
2) NếuG là nhóm reductive hoặc lũy linh thì tậpG·vlà đóng Zariski nếu và chỉ nếuG(k)·v là đóng Hausdorff.
3) Giả sửG là một k-nhóm lũy linh và trơn, T là một k-xuyến cực đại duy nhất củaG. Thế thì các khẳng định sau là tương đương:
a) G·vlà đóng theo tôpô Zariski.
b) T ·vlà đóng theo tôpô Zariski.
c) G(k)·v là đóng theo tôpô Hausdorff.
d) T(k)·v là đóng theo tôpô Hausdorff.
Nhận xét. Một định lý nổi tiếng của G. Mostow nói rằng, bất kỳ nhóm đại số tuyến tính liên thông xác định trên trườngk đặc số0 đều có phân tích thành tích nửa trực tiếpG = L·U, trong đóU là một k-nhóm chuẩn tắc lũy đơn cực đại củaG, và Llà mộtk-nhóm con reductive liên thông cực đại (xem [28]). Những nhóm là tích trực tiếp của một nhóm reductive và một nhóm lũy đơn có thể là lớp ví dụ tốt nhất để khẳng định 2) của Định lý 4.2.6 là đúng, nghĩa là sao choG(k)·xlà đóng Hausdorff kéo theoG·xlà đóng Zariski. Cụ thể, chúng tôi đưa ra dưới đây ví dụ với chiều nhỏ
nhất trong số những nhóm giải được không lũy linh, mà ở đóG · x không là đóng Zariski.
Mệnh đề 4.2.8 ([14]). Cho B là một nhóm đại số tuyến tính giải được chiều 2, tác động chính quy lên một đa tạp affine X, x ∈ X, tất cả đều xác định trên một trường