4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa
4.3.4Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn
Chúng ta có khẳng định sau.
Mệnh đề 4.3.4.1 ([14]). Cho k là một trường, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng 1, vàG là nhóm đại số tuyến tính xác định trên k, tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine V. Giả sử v ∈ V(k), G · v là đóng theo Zariski, và nhóm dừngGv là một k-nhóm lũy đơn trơn. Khi đó, quỹ đạo tương đối
G(k)·vlà đóng theo tôpô Hausdorff trongV(k).
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng tập {1} là một tập con đóng củaH1(k,Gv). Để chứng minh điều này, ta chỉ ra rằng nếuG là một nhóm lũy đơn, trơn, thì tập {1}là một tập con đóng củaH1(k,G)theo tôpô đặc biệt. Ta có thể giả thiếtchar.k = p > 0. Ta xét trường hợp thứ nhất, dimG = 0. Khi đóG là một k-nhóm étale hữu hạn, đồng thời là một p-nhóm, trong đó p = char.k. Nói riêng ra, theo [64, Exp. XVII, Théorème 1.1.7], có một dãy hợp thành
{0} E G1 E G2 E . . . EGn−1 EGn =G,
sao choGi/Gi−1 đẳng cấu với một nhóm lũy đơn cho bởi tập không điểm của một p-đa thức tách được1 biến f(T) ∈ k[T], xem nhưk-cấu xạ f : Ga → Ga. Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ dài m của dãy hợp thành G, trong đó mỗi nhân tử là một nhóm con của Ga, và sau đó dùng phương pháp dévissage. Giả sử m = 1, khi đóG = Ker(f)với f : Ga → Ga là một cấu xạ cho bởi một đa thức tách được. Vậy ta có dãy khớp
(1) 1 → G →α Ga →f Ga → 1, và dãy khớp đối đồng điều tương ứng
1 →G(k) → k →f k →β H1(k,G)→ H1(k,Ga) = 1.
Do đó, H1(k,G) k/f(k). Theo Định lý 4.1.6, vì cấu xạ f là tách nên f(k) là mở trong nhóm tôpô (k,+). Do đó, f(k) cũng là đóng trongk. Vậy tôpô trên k/f(k)là tôpô rời rạc. Mặt khác, đối với dãy khớp (1),Ga/α(G) = Ga/Ker(f) Im(f) = Ga nên dãy khớp (1) có thể dùng để xây dựng tôpô đặc biệt trênH1(k,G), nghĩa là, tôpô
đặc biệt trên H1(k,G) chính là tôpô thương theoβ. Vì k/f(k) rời rạc nên tôpô đặc biệt trênH1(k,G)là rời rạc.
Bây giờ ta giả sử m > 1 và khẳng định đúng với mọi nhóm có độ dài dãy hợp thành nhỏ hơnm. Vì Z(G) , {0} nên ta chọnG1 không tầm thường nằm trong tâm Z(G),G2 =G/G1, và ta có dãy khớp
1 →G1 →G →G2 → 1,
trong đóG1 là các nhóm trơn và giao hoán, G2 là nhóm trơn, lũy đơn, với độ dài của dãy hợp thành là≤ m−1. Thế thì, ta có dãy khớp đối đồng điều Galois
G2(k) → H1(k,G1) →g H1(k,G) →f H1(k,G2).
VìG1 là giao hoán (hoặc do G1 = Ker(f) với f : Ga → Ga là cấu xạ tách theo giả thiết quy nạp), ta có tôpô đặc biệt trênH1(k,G1) là rời rạc. VìG1 nhúng đóng vào G nên theo Hệ quả 4.1.4,glà ánh xạ mở. Khi đó, mọi điểm trong tập ảnh I = Im(g) củagđều là mở trongH1(k,G). Theo giả thiết quy nạp,{1}là đóng trongH1(k,G2). Mặt khác, vì f liên tục nên Ker(f) = Im(g) = I là tập đóng trong H1(k,G). Vì thế, tập J := H1(k,G)\ I là mở trongH1(k,G). Vì mỗi điểm của I là mở trongH1(k,G) nên∪i∈I\{1}{i} ∪J là mở trongH1(k,G). Vậy phần bù của nó, chính là tập{1}, là đóng trongH1(k,G). Vậy ta có kết luận khin = 0.
Tiếp đến, ta giả sử dimG = n > 0, và khẳng định được chứng minh cho mọi nhóm lũy đơn có chiều< n. Ta biết rằng tâmZ(G) = G1 của nhóm G có chiều lớn hơn0 (theo [24, Sec. 17.4, Proposition, p. 112]) và ta lại có dãy khớp
1 →G1 →G →G2 → 1,
vớiG1là một nhóm giao hoán,G2là một nhóm có tính chất{1}đóng trongH1(k,G2). Vậy lặp lại lập luận như trường hợp chiều0, ta thấy,{1}là tập đóng trong H1(k,G).
Vậy tóm lại, nếu Gv là một k-nhóm lũy đơn, trơn, thì tập {1} là đóng trong H1(k,Gv). Do đó, từ dãy khớp dài
1 →Gv(k) → G(k) → (G·v)(k) → H1(k,Gv),
ta rút ra,G(k)·vđóng trong (G·v)(k). Vậy ta thu được điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.3.4.2([14]). Chok là một trường, đầy đủ đối với một định giá không tầm thường, hạng thực bằng 1, G là một nhóm lũy đơn trơn và xác định trên k. Ta có các khẳng định sau:
1) Lớp đối đồng điều{1}vừa đóng vừa mở theo tôpô đặc biệt trongH1(k,G). Nếu
G tác động k-chính quy lên một k-đa tạp affine V,v ∈ V(k)là mộtk-điểm, và nhóm dừngGvlà trơn thì G(k)·v là đóng trongV(k).
2) Cho V là một không gian vectơ hữu hạn chiều xác định trên k, G là một k- nhóm con lũy đơn trơn củaGL(V), và G tác động chuẩn lên V. Khi đó, với mọi v ∈ V(k), quỹ đạo tương đối G(k) ·v là đóng theo tôpô Hausdorff trong
V(k).
Chứng minh. 1) Theo Mệnh đề 1.5.3.1, tôpô đặc biệt trênH1(k,G)không phụ thuộc vào phép nhúng G vào nhóm đặc biệt H. Do đó, ta nhúng G vào nhóm đặc biệt H = Un là mộtk-nhóm lũy đơn tam giác trên, đường chéo bằng1, và nhóm này tác động chính tắc lên một không gian vectơV xác định trên k nào đó. Ta có dãy khớp các tập được đánh dấu sau
1 → G(k) → H(k) π→(k) (H/G)(k) →δ H1(k,G)→ 0.
Ta nhận thấy, mỗiH(k)-quỹ đạo trên(H/G)(k)chính bằng nghịch ảnh của các phần tử củaH1(k,G) thông quaδ. VìG là trơn nên π : H → H/G là cấu xạ tách, và do đóπ(k) : H(k) → (H/G)(k) là ánh xạ mở. Do đó,H(k)-quỹ đạo của ¯1 := G ∈ H/G là mở.
Mặt khác, vì G là lũy đơn nên Un/G là một đa tạp tựa affine, và ta có phép nhúngUn-đẳng biến (trênk) củaUn/G vào không gian vectơ hữu hạn chiềuW xác định trênk. Vì nhóm dừngG của ¯1 = 1G ∈ Un/G là mộtk-nhóm con lũy đơn, trơn của Un nên theo Mệnh đề 4.3.4.1, quỹ đạo tương ứng củaUn(k) trên(Un/G)(k)là đóng Hausdorff. Vìδ là ánh xạ mở đối với tôpô Hausdorff trên(Un/G)(k) và tôpô đặc biệt trênH1(k,G)nên{1}là ảnh củaUn(k)·¯1quaδ, cũng là đóng trongH1(k,G) đối với tôpô đặc biệt. Do đó, vìGv là trơn và là nhóm con củaG nên Gv cũng là nhóm lũy đơn, trơn. Vậy theo kết quả vừa chứng minh,{1}là tập vừa đóng, vừa mở trongH1(k,Gv)đối với tôpô đặc biệt. Thế thì từ dãy khớp
1 →Gv(k) → G(k) → (G·v)(k) → H1(k,Gv), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ta rút raG(k)·vlà đóng trong(G ·v)(k) theo tôpô Hausdorff.
2) Vì tác động của G lên V là chuẩn nên nhóm dừng là trơn. Thật vậy, khẳng định nhóm dừng là trơn tương đương với cấu xạG → G·x, g 7→ g·x, là tách. Điều này có nghĩa là vi phân của nó tạie ∈G là toàn ánh trên các không gian tiếp xúc. Vì tác động là chuẩn nên cấu xạ nói trên được cho bởi các đa thức bậc1 đối với từng biến, tức là không có chứa phần với số mũ p = char.k. Vậy vi phân là toàn ánh. Do đó, áp dụng Phần 1), ta có quỹ đạo tương đốiG(k)·vlà đóng trongV(k).