Một số vấn đề về các phủ và các không gian đặc biệt

Giả sử K là tập compact của X và U là lân cận mở bất kỳ của x chứa K (K U), khi đó ta có: Nếu K là tập hữu hạn thì từ P là wcs* -lới, suy ra tồn tại P < thoả mãn K U; Nếu K là tập vô hạn thì giả sử rằng không tồn tại P < thoả mãn K U (1) Đặt P = { P x : x X}, trong đó P x = {P P : x P}. Do P là phủ điểm - đếm đợc nên có thể ký hiệu P x = {P n (x) : n }. Ta xây dựng dãy {x n } trên K nh sau: Lấy x 1 K và P 1 (x 1 ) U. Theo (1) thì K\ P 1 (x 1 ) , nên ta có thể lấy x 2 K\P 1 (x 1 ). Khi đó tồn tại P 1 (x 2 ) P 2 (x 2 ) U. Lặp đi lặp lại quá trình nh vậy, ta có dãy {x n } mà x n K \ {P i (x j ) : 1 i, j < n } (2) Do K là tập compact nên tồn tại dãy con { } k n x của dãy {x n } mà { } k n x hội tụ về điểm y nào đó (vì khi đó K là tập compact dãy theo giả thiết). Theo giả thiết P là wcs*-lới nên tồn tại P P sao cho có một dãy con { i k n x : i } của { k n x : k } mà { i k n x : i } P U (3) Vậy nên 1 k n x P hay tồn tại m 1 sao cho: P = 1 m P ( 1 k n x ) Đặt M = Max{m 1 , 1 k n }. Khi đó theo (2) thì m > M thì x m 1 m P ( 1 k n x ) hay m > M thì x m P điều này mâu thuẫn với (3). Vậy giả thiết giả sử là sai. Do đó tồn tại P < thoả mãn K U Từ đó suy ra P là k - lới điểm - đếm đợc của X. 15 1.2.2.18. Mệnh đề. Cho P là phủ điểm - đếm đợc của không gian tôpô X, khi đó P là p -k-lới khi và chỉ khi P là p-wcs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy. Chứng minh. Điều kiện cần: Theo kết quả mệnh đề 1.2.2.12 thì một p-k-lới là một p- wcs*-lới, do đó nếu P là p-k-lới thì P là một p-wcs*-lới. Theo bổ đề 1.1.2.7 thì mọi không gian compact với một p- k- lới điểm - đếm đợc là mêtric hoá đợc. Do vậy, mọi tập compact K của X là metric hoá đợc. Ta suy ra K là tập compact dãy. Điều kiện đủ: Việc chứng minh giống nh đã chứng minh ở mệnh đề 1.2.2.17 với chỉ việc thay U bởi X \{y} là đợc. 1.2.3. Một số ví dụ. 1.2.3.1. Ví dụ về k- lới. Xét X = với tôpô thông thờng. Đặt P = {(a, b) : a ; b }. Khi đó P là một k- lới đếm đợc của không gian tôpô X. Thật vậy, giả sử K là một tập compact trong X vì {(-n; n) : n + } là một phủ mở của X, nên nó là một phủ mở của K. Do K là tập compact nên có một phủ con hữu hạn {(-n i ; n i ) : i = 1, ., m}. Đặt N = mi , .,1 max = {n i }. Ta có K m i 1 = (-n i ; n i ) = (-N, N). Do vậy K là tập bị chặn. Giả sử U là một tập mở bất kỳ chứa K. Khi đó với mỗi x K thì x U và x là hữu hạn. Do đó tồn tại (a x , b x ) sao cho x (a x , b x ) U và a x , b x . Đặt U = {(a x , b x ) : x K}, thì ta có U là một phủ mở của tập compact K. Do đó tồn tại một phủ con hữu hạn { } niba ii xx ,1:),( = sao cho K n i 1 = ),( ii xx ba U U. Mặt khác, vì ),( ii xx ba P, i = 1, ., n, nên P là một k- lới. Hiển nhiên P là đếm đợc. 16 Nhận xét: Do P là tập đếm đợc nên P là một k- lới điểm-đếm đợc của không gian tôpô . 1.2.3.2. Ví dụ về p-k-lới. Xét không gian X = , với tôpô thông thờng. Đặt P = {(-, a) : a }{(b, +) : b }. Khi đó do là tập đếm đợc nên P là phủ điểm- đếm đợc. Giả sử K là tập compact trong . Khi đó K là một tập đóng và bị chặn. Vì K đóng, nên với y K thì y X\ K mở. Do đó tồn tại U y = ( , ) sao cho y ( , ) X \K. Mặt khác là tập trù mật trong X nên tồn tại a y ( , y) và b y (y, ). Khi đó dễ thấy K (-, a y ) (b y +) X \{y}. Vậy P là một p- k- lới điểm- đếm đợc. 1.2.3.3. Ví dụ về cs*-lới. Trong không gian X = với tôpô thông thờng. Đặt P = { [a, b) : a, b }. Giả sử {x n } là một dãy trong , hội tụ tới x và U là tập mở chứa x. Có thể giả thiết U = ( , ) x. Khi đó, tồn tại a x , b x sao cho x (a x , b x ) [a x , b x ) ( , ). Vì [a x , b x ) P và n 0 sao cho {x n : n > n 0 } (a x , b x ) nên P là cs * -lới. Do P đếm đợc nên P là cs * - lới điểm - đếm đợc. 1.2.3.3. Nhận xét. Xác định x 0 , khi đó đặt P = {(a, b) : a, b (-; x 0 )} {(a, b) : a, b (x 0 , +)} {(a, x 0 ] : a } {[x 0 , b) : b }. thì P là một cs*-lới của không gian tôpô X, nhng nó không là sn-lới. 1.2.3.4. Ví dụ về wcs*-lới nhng không là cs * - lới. Cho X = , với tôpô T = { ; {1, 2}, X }. Đặt P = { {1}; {2}; \ {1, 2} }. 17 Khi đó P là một wcs*-lới điểm-đếm đợc. Thật vậy, với mọi dãy {x n } hội tụ về x trong X, ta có + Nếu x {1, 2} thì {1, 2} sẽ là lân cận bé nhất của x, do đó trong {x n } có dãy con { } = 0 nn n x , n 0 nằm trong {1, 2}. Từ đó ắt có một dãy con { k n x } của { } = 0 nn n x mà k n x = 1, với k , hoặc là k n x = 2, với k . Khi đó, tồn tại P = {1} hoặc P = {2} chứa dãy con { k n x } của {x n } và với mọi lân cận U của x thì P {1, 2} U. + Nếu x {1, 2} thì X là lân cận duy nhất của x. Khi dó mọi dãy trong X đợc phân bố trong ba thành phần của P, do vậy ắt có P P sao cho có một dãy con { k n x : k } của {x n } mà { k n x : i } P X. Vậy nên P là một wcs*-lới điểm-đếm đợc. Tuy nhiên, P không là wcs * -lới. Thật vậy, lấy dãy {x n } thoả mãn x n = 2, n . Ta có {x n } hội tụ về 1, nhng không tồn tại P P mà có dãy con { k n x : k } của {x n } sao cho { k n x : k } {1} = {1, 2} P. Do vậy P không phải là cs*-lới. 1.2.3.4. Nhận xét: ở trên ta lấy ví dụ về X là không gian tôpô không là T 1 -không gian và không chính quy. Ta có thể lấy ví dụ về phủ có tính chất nh trên trong T 1 -không gian chính quy nh sau: Lấy X = , với tôpô thông thờng, là T 1 -không gian, chính quy. x 0 là điểm xác định trong X. Đặt P = {(a, x 0 ) : a }{(x 0 , b): b }{{x 0 }} {(a, b) : a, b (-, x 0 )} {(a, b) : a, b (x 0 , +)}. P là một wcs*- lới điểm- đếm đợc, nhng P không phải là một cs*-lới. 1.2.3.5. Ví dụ về p-wcs*-lới. Giả sử X = , với tôpô thông thờng. Khi đó đặt: 18 P = {X \y : y X}. Dễ dàng thấy rằng P là một p-wcs*-lới, nhng nó không là wcs*-lới. 1.2.3.5. Nhận xét. Theo mệnh đề 1.2.2.13, không gian tôpô X là T 1 - không gian khi và chỉ khi nó có một p- wcs*- lới. Và theo nhận xét 1.2.2.9(ii), trong T 1 - không gian thì một wcs*- lới là một p - wcs * - lới. Vậy có chăng một wcs*-lới của một không gian tôpô X mà không là p-wcs * - lới. Ví dụ sau đây trả lời câu hỏi vừa nêu. Cho X = , với tôpô T = { ; {1, 2}; {1, 2, 3}; .; {1, 2, ., n}; .; X}, và P = {{a} : a X } là phủ rời rạc của X. Với mọi dãy {x n } hội tụ về m X thì tồn tại n 0 sao cho { } = 0 nn n x {1, 2, ., m}, vì {1, 2, ., m } là một lận cận của m. Do vậy ắt tồn tại a {1, 2, ., m} và một dãy con { k n x : k } của { } = 0 nn n x sao cho k n x = a, k. Chọn P = {a} thì { k n x : k } P U, với U là lân cận bất kỳ của m. Vậy P là một wcs*-lới điểm hữu hạn của X. Và rõ ràng P không thể là p-wcs*- lới vì X không là T 1 - không gian. 1.2.2.6. Ví dụ về lân cận dãy. ở nhận xét 1.2.2.14, ta đã biết nếu P là một lân cận của x thì nó là lân cận dãy của x. Bây giờ, ta lấy một ví dụ về lân cận dãy của x nhng không là lân cận của x. Giả sử X một tập quá đếm đợc (chẳng hạn X ) và tôpô T = { ; X; A X sao cho X\ A là tập hữu hạn hoặc đếm đợc } (chúng ta có thể kiểm tra đợc T đúng là một tôpô trên X ). Khi đó, nếu {x n } là dãy hội tụ về x trong X, thì tồn tại n 0 mà x n = x, n n 0 . Thật vậy, giả sử điều đó không đúng. Khi đó sẽ tồn tại dãy { k n x } của {x n } mà k n x x, k . 19 Chọn U = X \{ k n x } thì U là một lân cận của x. Mặt khác { k n x } là dãy con của {x n } nên { k n x } hội tụ về x. Điều này mâu thuẫn vì { k n x } X \ U. Vậy ắt phải tồn tại n 0 để x n = x, với n n 0 . Từ đó, ta dễ thấy P = {x} chính là một lân cận dãy của x, nhng không là lân cận của x. 1.2.3.6. Nhận xét. Trong ví dụ trên X là T 1 - không gian chính quy. Sau đây là một ví dụ mà X là T 1 - không gian chính quy. 1.2.3.7. Cho X = {(m, n) : m, n } và tôpô T đợc xây dựng từ cơ sở: + {(m, n)} là tập mở nếu m 2 + n 2 > 0 + U là lân cận của (0, 0) nếu Tập A m = {n : (m, n) U} là tập hữu hạn với mỗi m trừ đi một số hữu hạn phần tử. Khi đó X là T 1 - không gian vì Với mọi a,b X (a b), nếu a (0,0) thì {a} là tập mở nên U = {a} là lân cận của a mà b U. Nếu a = (0, 0) thì U = X \ {b} là lân cận của a mà b U. X là không gian chính quy. Thật vậy, giả sử F đóng trong X và a X \ F. Nếu a (0, 0) thì U = {a} là lân cận của a và V = {X \ a} là một tập mở trong X mà X \ {a} F. Ta có U V = . Vậy X là T 1 - không gian chính quy. Khi đó nếu {x n } là dãy trong X hội tụ về (0, 0) thì tồn tại n 0 sao cho x n = (0, 0) với n n 0 . Thật vậy, giả sử khẳng định trên không đúng. Khi đó tồn tại dãy con { } k n x của {x n } mà k n x (0, 0) k . Do {x n } là dãy hội tụ về (0, 0) nên { k n x : k } cũng là dãy hội tụ về (0, 0). Ta lại có V = X \ { k n x : k } là một lân cận của (0, 0) theo cách định nghĩa lân cận của (0, 0) ở trên. Do đó { k n x : k } là một dãy nằm ngoài lân 20 cận V của (0, 0) mà lại hội tụ về (0, 0), mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ khẳng định trên là đúng. Vậy mọi dãy {x n } hội tụ về (0,0) thì tồn tại n 0 mà x n = (0,0) n >n 0 . Từ đó suy ra P = {(0, 0)} là một lân cận dãy của (0, 0). Nhng rõ ràng P không phải là một lân cận của (0, 0). *** 21 . lấy ví dụ về X là không gian tôpô không là T 1 -không gian và không chính quy. Ta có thể lấy ví dụ về phủ có tính chất nh trên trong T 1 -không gian chính. Và theo nhận xét 1.2.2.9(ii), trong T 1 - không gian thì một wcs*- lới là một p - wcs * - lới. Vậy có chăng một wcs*-lới của một không gian tôpô X mà không