Tóm tắt luận án Tiến sĩ Toán học: Số học, hình học của nhóm đại số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

Luận án với mục tiêu trình bày một số kiến thức cơ bản, khái niềm về nhóm đại số tuyến tính, lý thuyết biến hình học; mối liên hệ giữa các tính chất đóng Zariski của các quỹ đạo dưới tác động bởi một số nhóm đại số và tính chất đóng Hausdorff của các quỹ đạo tương đối.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO PHƯƠNG BẮC SỐ HỌC, HÌNH HỌC CỦA NHĨM ĐẠI SỐ VÀ CÁC KHƠNG GIAN THUẦN NHẤT LIÊN QUAN TRÊN TRƯỜNG SỐ HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số : 62.46.05.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2010 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Quốc Thắng Phản biện: GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp Phản biện: PGS TS Nguyễn Tiến Quang Phản biện: TS Lê Minh Hà Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án Tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án N Q Thắng, Đ P Bắc (2005), “Some rationality properties of observable groups and related questions”, Illinois J Math 49 (2), pp 431-444 Đ P Bắc, N Q Thắng (2008), “Relative versions of theorems of Bogomolov and Sukhanov over perfect fields”, Proc Japan Acad., 84, Ser A, No 7, pp 101-106 Đ P Bắc, N Q Thắng (2009), “On the topology of group cohomology of algebraic groups over local fields”, Proceedings of 4th International Conference on Research and Education in Mathematics, ISBN 978-967-344-092-4, pp 524-531 Đ P Bắc, N Q Thắng (2010), “On a relative version of a theorem of Bogomolov over perfect fields and its applications”, J Algebra 324 (2010)doi:10.1016/j.jalgebra.2010.04.020, 20 pp Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology of relative orbits for action of algebraic tori over local fields”, Preprint, 8pp Đ P Bắc, N Q Thắng, “On the topology on group cohomology and the topology of relative orbits for action of algebraic groups over local fields”, Preprint, 49 pp Đ P Bắc, “On some topological properties of relative orbits of subsets”, Preprint, 25 pp Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: - Hội nghị Quốc tế Osaka-Hanoi, Hà Nội (2005) - Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ, Thành phố Hồ Chí Minh (2005) - Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập Khoa Toán-Cơ-Tin học, Hà Nội (2006) - Hội nghị Đại số-Hình học-Tơpơ, Vinh (2007) - Hội nghị Tốn học Tồn quốc, Quy Nhơn (2008) - Seminar Phịng Lý thuyết số, Viện Tốn học - Seminar Phịng Đại số, Viện Tốn học - Seminar Bộ mơn Đại số-Hình học-Tơ pơ, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội Mở đầu Giả sử G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k Ta hiểu đơn giản G nhóm ma trận vuông cấp n với hệ số nằm bao đóng đại số trường k G đồng thời tập không điểm họ đa thức n2 biến với hệ số k Một hướng nghiên cứu quan trọng nằm Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính Hình học Đại số Lý thuyết bất biến hình học Một phần chủ yếu lý thuyết nghiên cứu tác động (cấu xạ) nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp đại số cho trước, đặc biệt nghiên cứu tính chất quỹ đạo Lý thuyết bất biến hình học xuất từ lâu với việc nghiên cứu Bài tốn số 14 Hilbert tính chất hữu hạn sinh đại số hàm bất biến Với đóng góp Mumford, Haboush, Nagata, , lý thuyết phong phú trường hợp trường k đóng đại số Tuy nhiên, từ thời điểm ban đầu Lý thuyết bất biến hình học đại, mà Mumford người đặt móng, ơng đặt vấn đề nghiên cứu tình tương đối, tức k trường nói chung khơng đóng đại số Chẳng hạn, với động nghiên cứu toán số học (cụ thể xây dựng không gian moduli đa tạp abel), Mumford (1965) xét nhiều vấn đề lý thuyết lược đồ đủ tổng quát Ngoài ra, Borel (1969) Tits (1965), đặt số câu hỏi (hay giả thuyết) mở rộng kết biết lý thuyết bất biến hình học trường đóng đại số cho trường khơng đóng đại số (chẳng hạn mở rộng định lý tiếng Hilbert Mumford) Những kết điển hình theo hướng thuộc Birkes (1971), Kempf (1978), Raghunathan (1974), cho câu trả lời (hoặc lời giải) số câu hỏi (hoặc giả thuyết) đề cập Những nghiên cứu theo cách nói chung gọi nghiên cứu tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số, đa tạp đại số, v.v ) Khó khăn gặp phải tốn nói tương tự tốn số học, ví dụ việc tìm nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học”) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học”) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc nghiên cứu Lý thuyết bất biến hình học, lớp nhóm quan sát được, lớp nhóm tồn cấu, lớp nhóm Grosshans Từ số nghiên cứu Lý thuyết biểu diễn nhóm đại số, Bialynicki-Birula, Hochschild, Mostow (1963) đưa khái niệm nhóm quan sát Ta hiểu nhóm đóng H G quan sát H nhóm dừng vectơ v G-mơđun hữu tỷ hữu hạn chiều V Các tác giả đưa số điều kiện cần đủ để nhóm quan sát Sau đó, Grosshans (1973, 1997) tìm thêm số điều kiện tương đương khác Tuy nhiên, hầu hết kết chứng minh cho trường hợp k trường đóng đại số Một lớp nhóm khác quan trọng lớp nhóm tồn cấu Borel Bien đưa (trước Bergman làm công việc tương tự Đại số Lie) Ta định nghĩa nhóm đóng H G toàn cấu đại số hàm quy k[G/H] khơng gian G/H k Những điều kiện cần đủ để nhóm đóng tồn cấu ban đầu đưa Bien Borel (1992) Bên cạnh đó, Bien, Borel, Kollar (1996) nghiên cứu mối liên hệ tính chất H nhóm tồn cấu với tính chất liên thơng hữu tỷ khơng gian G/H Nhờ vào nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 Hilbert, Grosshans (1973) đưa lớp nhóm quan sát mang tên ơng Đó nhóm quan sát H G có tính chất đại số hàm bất biến k[G]H hữu hạn sinh, H tác động tịnh tiến phải lên đại số hàm quy k[G] Chính Grosshans tìm số điều kiện cần đủ thú vị cho khái niệm nói Tuy nhiên, kết nói chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Gần đây, cần thiết phải có ứng dụng Số học Lý thuyết ergodic, Weiss (1998) có số kết tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm tồn cấu Như ta biết, nhóm đóng H G quan sát H = Gv , với v ∈ V , V G-môđun hữu hạn chiều Tuy nhiên, H nhóm dừng vectơ (đối với biểu diễn cho), ta khó nói thêm cấu trúc H Ở đây, Sukhanov (1990) có kết sâu khẳng định nói Ơng chứng minh định lý nói rằng, nhóm quan sát parabolic Để làm điều này, Sukhanov phải dùng kết quan trọng Bogomolov cấu trúc nhóm dừng vectơ thiếu ổn định (instable) v (nghĩa ∈ G · v ) Tuy nhiên, kết Bogomolov Sukhanov chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Nội dung hai chương nói kết luận án (Chương 2, Chương 3) trình bày việc mở rộng khẳng định cho trường khơng đóng đại số Vì số lý kỹ thuật, kết Bogomolov Sukhanov Chương mở rộng lên cho truờng hợp k trường hoàn thiện Như nói trên, có nhiều kết Lý thuyết bất biến (hình học) đề cập đến việc nghiên cứu tính chất đóng quỹ đạo tác động nhóm G thu trường hợp hình học, tức là, trường hợp trường k đóng đại số Bên cạnh đó, số địi hỏi nội Lý thuyết số mà trường địa phương, toàn cục quan tâm đặc biệt Chẳng hạn ta cho G nhóm đại số tuyến tính tác động lên k -đa tạp V x ∈ V (k) Khi bước việc chứng minh kết tương tự Định lý siêu cứng (super-rigidity) Margulis trường hợp trường hàm toàn cục, đưa Venkataramana (1988), chứng minh tính chất đóng (địa phương) số quỹ đạo tương đối G(k) · x Vì thế, chúng tơi quan tâm đến mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo tác động nhóm đại số tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo tương đối Cụ thể hơn, giả sử k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường v có hạng thực 1, ví dụ trường địa phương trường p-adic trường số thực R Ta trang bị cho X(k) tôpô v -adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v -adic k Cho x ∈ X(k), muốn nghiên cứu mối liên hệ tính chất đóng Zariski quỹ đạo hình học G · x X tính chất đóng Hausdorff quỹ đạo (tương đối) G(k) · x X(k) Kết theo hướng thuộc Borel Harish-Chandra (1963), tiếp đến Birkes (1971) trường hợp trường số thực, sau Bremigan (1994) Thực tế, báo G R-nhóm reductive, G · x đóng Zariski G(R) · x đóng theo tơpơ thực Điều mở rộng cho trường p-adic Bremigan (1994) Mục đích chúng tơi chương kết thứ ba (Chương 4) mở rộng nghiên cứu sâu toán đề cập Bản luận án gồm chương Trong Chương 1, trình bày số kiến thức bản, cần thiết cho luận án Cụ thể là, Mục 1.1, 1.2, chúng tơi nhắc lại số khái niệm nhóm đại số tuyến tính, Lý thuyết bất biến hình học (nói rõ hơn, tác động nhóm đại số lên đa tạp) lược đồ nhóm affine Trong Mục 1.3, 1.4, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng, Mục 1.5, chúng tơi trình bày số định nghĩa, kết biết tôpô tập đối đồng điều Các kết chúng tơi trình bày Chương 2, 3, Chương (tương ứng, Chương 3, Chương 4) viết dựa theo báo [1](tương ứng, ([2], [4]) ([5], [6])) Trong Chương 2, nghiên cứu số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Ở đó, chúng tơi số tiêu chuẩn cần đủ để nhóm quan sát nhóm tồn cấu mở rộng cho trường k bất kỳ, khơng thiết đóng đại số Nói riêng ra, điều kiện cần đủ để nhóm quan sát bao gồm tính chất nhóm dừng k , tính chất mở rộng k , tính chất tựa affine k , , mở rộng cho trường k tùy ý Phát biểu xác kết cho Định lý 2.1.11 Tương tự nhóm quan sát được, Bien Borel (1992) chứng minh số tiêu chuẩn cần đủ để nhóm tồn cấu Định lý thứ hai Chương khẳng định rằng, tiêu chuẩn cần đủ đại số hàm quy đa tạp thương gồm hàm đại số hàm quy đa tạp thương khơng gian vectơ hữu hạn chiều k , mở rộng cho trường k tùy ý (xem Định lý 2.2.4) Dựa vào kết chúng tơi thu kết tính chất hữu tỷ cho nhóm Grosshans Định lý nói tính chất hữu hạn sinh k[G]H tương đương với tính chất đối chiều (trên k ) nhóm đóng H tính chất k[G]H(k) hữu hạn sinh trường hợp trường k hoàn thiện gồm vô hạn phần tử (xem Định lý 2.3.5) Trong Chương 3, nghiên cứu việc mở rộng Định lý Bogomolov Định lý Sukhanov cho trường khơng đóng đại số Như biết, theo Bogomolov, nhóm dừng H := Gv vectơ thiếu ổn định v ∈ V chứa nhóm tựa parabolic Q đó, nghĩa tồn G-môđun bất khả quy W vectơ trọng cao w ∈ W cho H ⊆ Gw Dùng kết này, Sukhanov nhóm đóng H G nhóm quan sát H nhóm parabolic G, nghĩa tồn Q nhóm tựa parabolic G cho H ⊆ Q Ru (H) ⊆ Ru (Q) (trong đó, H thành phần liên thơng H , Ru (G) lũy đơn G) Hai kết chương Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 Nói riêng ra, mở rộng kết Bogomolov Sukhanov cho trường hoàn thiện bất kỳ, chứng minh kết cho mối liên hệ nhóm quan sát được, nhóm tựa parabolic, k -tựa parabolic, k -dưới parabolic, (Xem Định lý 3.1.7.) Trong Chương 4, nghiên cứu câu hỏi liên hệ tơpơ Zariski quỹ đạo hình học G · v tôpô Hausdorff quỹ đạo tương đối G(k) · v Chúng tơi có hai định lý tương ứng với trường k hồn thiện (xem Định lý 4.2.6) trường k không thiết hoàn thiện (xem Định lý 4.3.1.3) Ngoài ra, chúng tơi có ví dụ, phản ví dụ để bổ sung cho định lý nói (Xem thêm Mệnh đề 4.2.8, 4.4.1, 4.4.2.) Chẳng hạn, khẳng định rằng, k trường đầy đủ, hồn thiện điều kiện G(k) · v đóng (theo tơpơ Hausdorff) kéo theo G · v đóng (theo tơpơ Zariski) trường hợp G = L × U tích trực tiếp nhóm reductive L nhóm lũy đơn U (một phần Định lý 4.2.6) G khơng tích trực tiếp L × U khẳng định nói chung sai (Mệnh đề 4.2.8) Đối với k trường đầy đủ bất kỳ, phần Định lý 4.3.1.3 khẳng định điều kiện G · v đóng Zariski kéo theo điều kiện G(k) · v đóng Hausdorff trường hợp nhóm dừng Gv giao hốn trơn Đảo lại, G reductive tác động tách mạnh v (theo nghĩa Ramanan Ramanathan) điều kiện G(k) · v đóng Hausdorff kéo theo G · v đóng Zariski Tuy nhiên, tác động khơng cịn tách mạnh chúng tơi ví dụ nói khẳng định sai (Mệnh đề 4.4.2) Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho toàn luận án Ở đây, xét nhóm đại số affine (tuyến tính) lược đồ nhóm đại số affine Trong Mục 1.1, nhắc lại số khái niệm nhóm đại số tuyến tính trường Cụ thể định lý nhúng nhóm đại số tuyến tính vào nhóm tuyến tính tổng quát GLn , phân tích Jordan nhóm đại số tuyến tính, định nghĩa số tính chất nhóm reductive, nhóm nửa đơn, nhóm lũy đơn, xuyến, Sau đó, chúng tơi trình bày số khái niệm lý thuyết bất biến hình học như: tác động nhóm đại số tuyến tính lên đa tạp, thương hình học, thương phạm trù đa tạp theo tác động nhóm đại số Trong Mục 1.2, chúng tơi trình bày ngắn gọn lý thuyết lược đồ nhóm affine Chúng điểm qua số khái niệm lược đồ nhóm affine, lược đồ nhóm lũy đơn, lược đồ nhóm hữu hạn, étale, , định lý cấu trúc lược đồ nhóm lũy đơn trường Trong Mục 1.3, chúng tơi trình bày đối đồng điều Galois khơng giao hốn nhóm đại số tuyến tính: định nghĩa tập đối đồng điều bậc 1, phép xoắn đối xích, định lý dãy khớp tập đối đồng điều liên kết với dãy khớp nhóm đại số, Trong Mục 1.4, chúng tơi trình bày vài nét đối đồng điều phẳng lược đồ nhóm trường: định nghĩa đối đồng điều phẳng bậc 1, liên hệ đối đồng điều Galois với đối đồng điều phẳng, Trong Mục 1.5, chúng tơi trình bày việc trang bị tơpơ tập đối đồng điều Galois (hoặc đối đồng điều phẳng) Hai tơpơ quan trọng trình bày tơpơ tắc tơpơ đặc biệt Chương Một số tính chất hữu tỷ nhóm quan sát nhóm Grosshans Trong chương này, tiếp tục nghiên cứu nhóm quan sát Cụ thể hơn, chúng tơi quan tâm số câu hỏi tính chất hữu tỷ nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Những kết ban đầu tính chất hữu tỷ nhóm quan sát (tương ứng nhóm tồn cấu) thu Bialynicki-Birula, Hochschild, Mostow (1963), sau Grosshans (1973, 1997) Weiss (1998) (tương ứng Weiss (1998), F Bien A Borel (1992) Hơn nữa, báo Weiss (1998), số ứng dụng tác động ergodic nghiên cứu Ở đây, chứng minh số kết tính chất hữu tỷ nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans mà ban đầu chứng minh trường hợp k trường đóng đại số Kết chương Định lý 2.1.11, 2.2.4, 2.3.5 2.1 Các tính chất hữu tỷ nhóm quan sát Cho k trường tùy ý, k¯ bao đóng đại số k Cho H k -nhóm đóng k -nhóm G Khi đó, G tác động lên đại số hàm quy ¯ k[G] thơng qua phép tịnh tiến phải rg (f )(x) = f (xg), với g, x ∈ G Ta ¯ H := {f ∈ k[G] ¯ ký hiệu H = k[G] | rh (f ) = f, ∀h ∈ H} Với R k¯-đại số ¯ , ta đặt R = {g ∈ G | rg (f ) = f, ∀f ∈ R} Định nghĩa sau k[G] đưa Bialynicki-Birula, Hochschild, Mostow (1963) Định nghĩa Ta nói nhóm đóng H G nhóm quan sát ¯ H) = H (trên k¯) H = (k[G] Chúng ta biết số tiêu chuẩn cần đủ nhóm quan sát trường hợp k trường đóng đại số Sau đây, chúng tơi trình bày kết mở rộng tiêu chuẩn cần đủ cho trường hợp k trường Định nghĩa 2.1.6 ([1]) Ta nói H quan sát tương đối k H = (k[G]H(k) ) , H k -quan sát (k[G]H ) = H Dựa khẳng định không gian G/H , cấu xạ thương π : G → G/H xác định k , có kết luận sau Mệnh đề 2.1.7 ([1]) Cho k trường tùy ý, H k -nhóm đóng k -nhóm G Khi đó: ¯ H = k¯ ⊗k k[G]H (a) H = k[G] (b) H quan sát H k -quan sát (c) Giả sử H(k) trù mật Zariski H Khi đó, hai điều kiện tương đương (b) tương đương với điều kiện H quan sát tương đối k Từ thu kết sau chi tiết quan trọng chứng minh Định lý 2.1.11 Mệnh đề 2.1.10 ([1]) Cho G k -nhóm, H k -nhóm đóng G Giả sử tồn k -biểu diễn hữu hạn chiều ρ : G → GL(V ) v ∈ V (k) cho H = Gv Khi tồn biểu diễn hữu tỷ hữu hạn chiều ρ : G → GL(W ) k xác định k , w ∈ W (k), cho H = Gw G/H ∼ = G · w Nhận xét Nhìn chung có cấu xạ song ánh khơng gian G/H không gian quỹ đạo G · v Trong trường hợp trường k đóng đại số, phải lấy chuẩn tắc hóa đa tạp X := G · v trường hàm k(G/H) sử dụng Định lý Zariski Trong trường hợp k trường tùy ý, việc lặp lại chứng minh khơng thật đơn giản nhìn chung khó rút kết luận tính chất đẳng cấu k Vì thế, chọn cách dựa kết có trường hợp trường k đóng đại số Mệnh đề 2.1.7 Từ kết chứng minh trên, có định lý sau cho số tiêu chuẩn cần đủ để nhóm đóng nhóm quan sát trường Định lý 2.1.11 ([1]) Cho G nhóm đại số tuyến tính xác định trường k tùy ý H k -nhóm đóng G Khi khẳng định sau tương đương: (b) Ta nói H nhóm Grosshans tương đối k (tương ứng, nhóm k -Grosshans) G k[G]H(k) (tương ứng, k[G]H ) k -đại số hữu hạn sinh Chúng ta có kết sau (là mở rộng Định lý 2.3.2) cho nhóm k -Grosshans trường khơng đóng đại số Định lý 2.3.5 ([1]) Cho k trường hồn thiện với vơ hạn phần tử G k -nhóm Giả sử H k -nhóm quan sát G Ta xét điều kiện sau: (a’) H thỏa mãn điều kiện đối chiều k 0 (b’) Một k -đại số k[G]H , k[G]H , k[G0 ]H∩G , k[G0 ]H k -đại số hữu hạn sinh (c’) H nhóm Grosshans tương đối k (tức là, k[G]H(k) k -đại số hữu hạn sinh) Khi với điều kiện Định lý 2.3.2 ta có (a) ⇔ (a ) ⇔ (b) ⇔ (b ) ⇒ (c ) Nếu nữa, H(k) trù mật Zariski H tất khẳng định tương đương Nhận xét Một ví dụ mà (c’) cịn điều kiện cịn lại khơng có ý nghĩa Thật vậy, để có ví dụ vậy, ta phải tìm nhóm G H cho k[G]H vơ hạn sinh H(k) không trù mật Zariski H Mặt khác, nhóm đại số liên thơng H xác định trường đặc số ln có tính chất H(k) trù mật H Do đó, điều dẫn đến việc tìm phản ví dụ cho toán thứ 14 Hilbert trường hợp đặc số p Những kết mở rộng cho Lý thuyết bất biến hình học trường hợp đặc số p tìm Mumford et al (1994) Nếu phản ví dụ cho trường hợp G, H liên thơng kết thú vị 10 Chương Về dạng tương đối cho định lý Bogomolov trường hoàn thiện ứng dụng Trong chương này, chúng tơi thu hai kết hai lớp nhóm quan trọng nhóm quan sát nhóm tựa parabolic nhóm đại số tuyến tính Cụ thể là, thu dạng tương đối cho Định lý quan trọng Bogomolov, áp dụng chúng để thu dạng tương đối cho Định lý Sukhanov Những kết liên quan chặt chẽ với lý thuyết tính thiếu ổn định (instability) Kempf (1978) Rousseau (1978), dạng mịn thuộc Ramanan Ramanathan (1984) Sau đó, kết mở rộng Coiai Holla (2006) Trong Mục 3.1, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị chung phát biểu định lý Trong Mục 3.2, chúng tơi nhắc lại số kết lý thuyết biểu diễn nhóm reductive chứng minh số kết sơ Trong Mục 3.3, đưa chứng minh dạng tương đối cho kết Bogomolov (Định lý 3.1.5) Sau đó, chúng tơi chứng minh Định lý Sukhanov cho trường hoàn thiện (Định lý 3.1.7) Mục 3.4 3.1 Một số khái niệm kết Ta bắt đầu số định nghĩa Định nghĩa 3.1.1 (Hilber-Mumford) a) Một vectơ v ∈ V \ {0} gọi thiếu ổn định (unstable, instable) tác động G ∈ G · v b) Ta nói vectơ v ∈ V \ {0} nửa ổn định (semi-stable) tác động nhóm G ∈ / G · v c) Ta nói vectơ v ∈ V \ {0} ổn định (stable) tác động nhóm G quỹ đạo G · v đóng 11 Cho G nhóm đại số tuyến tính (khơng thiết liên thơng, reductive) V G0 -môđun bất khả quy Khi G0 /Ru (G) nhóm reductive Ru (G) tác động tầm thường lên V Vậy theo Grosshans (1997), ta có định nghĩa vectơ trọng cao ứng với biểu diễn bất khả quy nhóm đại số tuyến tính Định nghĩa 3.1.2 Ta nói v ∈ V vectơ trọng cao biểu diễn nói trên, xem V G0 /Ru (G)-mơđun bất khả quy v ∈ V vectơ trọng cao Từ có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1.3 ([2,4]) Giả sử G nhóm đại số tuyến tính a) Cho Q nhóm đóng G0 Khi đó, ta nói Q nhóm k -tựa parabolic G Q = (G0 )v , với v ∈ V (k) vectơ trọng cao k − G0 -môđun V bất khả quy b) Ta định nghĩa nhóm đóng H G k -dưới parabolic (subparabolic) H xác định k , tồn nhóm k -tựa parabolic Q G0 , cho H ⊆ Q Ru (H) ⊆ Ru (Q) a’) Ta định nghĩa nhóm Q G0 tựa parabolic k (hoặc k -nhóm tựa parabolic) tựa parabolic xác định k b’) Ta nói nhóm H G parabolic k (hoặc k -nhóm parabolic) xác định k parabolic Một k -nhóm đóng H G gọi parabolic mạnh k (strongly subparabolic over k ) tồn k -nhóm tựa parabolic Q G0 cho H ⊆ Q Ru (H) ⊆ Ru (Q) Chúng lưu ý chương này, nhóm đóng Q G gọi tựa parabolic k¯-tựa parabolic nhóm đóng Q G parabolic k¯-dưới parabolic Vì thế, ta thu lại khái niệm thông thường nhóm nói chúng đưa Grosshans (1997) Hơn nữa, rõ ràng tính chất parabolic mạnh k chặt tính chất parabolic k Kết chương Định lý 3.1.5 cho liên hệ nhóm dừng vectơ thiếu ổn định v ∈ V (k) với nhóm k -tựa parabolic trường hợp k trường hoàn thiện Định lý 3.1.5 ([2,4]) Cho k trường hoàn thiện, G k -nhóm reductive liên thơng, V k − G-môđun hữu hạn chiều, v ∈ V (k) \ {0} Khi đó, v vectơ thiếu ổn định tác động G (tức ∈ G · v ), Gv chứa nhóm k -tựa parabolic thực Q G Bằng cách áp dụng Định lý 3.1.5 số kết khác, thu kết thứ hai tính chất hữu tỷ cho nhóm tựa parabolic, 12 parabolic quan sát nhóm đại số tuyến tính G xác định trường hồn thiện k Định lý 3.1.7 ([2,4]) Cho k trường hồn thiện, G nhóm đại số tuyến tính xác định k H k -nhóm đóng G Ta xét khẳng định sau 1) H k -tựa parabolic 2) H tựa parabolic k 3) H quan sát k 4) H k -dưới parabolic 5) H parabolic mạnh k 6) H parabolic k Thế 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇔ 4) ⇔ 5) ⇔ 6) Nếu G nhóm nửa đơn 1) ⇔ 2) Nói chung, 2) khơng suy 1) 3.3 Dạng tương đối cho định lý Bogomolov Trong Mục 3.3.1, đưa cách chứng minh thứ cho Định lý 3.1.5 Đầu tiên, phát biểu Bổ đề 3.3.1.1 từ rút χ ∈ X ∗ (T ) ln mở rộng lên cho nhóm parabolic P (χ) (được cho Định nghĩa 3.2.4.2) tương ứng Sau đó, chúng tơi phát biểu chứng minh Bổ đề 3.3.1.2 Bổ đề 3.3.1.2 ([2,4]) Với χ ∈ Λ+ trọng trội ứng với nhóm Borel B chứa T , ta giả sử χ ˜ ∈ X ∗ (P (χ)) đặc trưng P (χ) cho χ| ˜ T = χ Cho ρ : G → GL(W ) biểu diễn bất khả quy tuyệt đối ứng với trọng trội χ w ∈ W vectơ trọng cao ứng với χ Khi Kerχ˜ = Gw Nhờ kết trên, chúng tơi có chứng minh thứ Định lý 3.1.5 Trong Mục 3.3.2, trình bày chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 Chúng cần khẳng định sau Bổ đề 3.3.2.3 ([2,4]) Giả sử G nhóm reductive xác định trường hoàn thiện k , T k -xuyến cực đại chứa nhóm Borel B G Cho π : G → GL(V ) = k GLn k¯-biểu diễn tuyệt đối bất khả quy ứng với trọng trội χ ∈ X ∗ (T )k Giả sử tồn vectơ v ∈ V (k)(= k n ) ứng với ¯ trọng cao χ biểu diễn xạ ảnh tương ứng π : G → P GL(V ) = k P GLn (k) xác định k Thế π xác định k nói riêng ra, H = Gv nhóm k -tựa parabolic 13 Từ khẳng định số kết bổ trợ khác, chúng tơi có cách thứ hai chứng minh Định lý 3.1.5 Cũng nhờ cách chứng minh này, thu kết sau mở rộng định lý Grosshans (1997) cho trường hoàn thiện Định lý 3.3.2.4 ([4]) Cho G nhóm reductive xác định trường hoàn thiện k , T k -xuyến cực đại, χ ∈ X ∗ (T )k Thế tồn k -biểu diễn bất khả quy tuyệt đối G → k GLn = GL(W ) với trọng cao χ, cho Pχ nhóm dừng vectơ trọng cao w ∈ W (k) Đảo lại, với k -biểu diễn bất khả quy tuyệt đối G → k GLn = GL(W ), nhóm dừng vectơ trọng cao w ∈ W (k) (đối với nhóm Borel B cho trước) có dạng Pχ , χ ∈ X ∗ (T )k đặc trưng trội (ứng với B ) 3.4 Một số tính chất hữu tỷ nhóm tựa parabolic nhóm parabolic Mục đích phần chứng minh Định lý 3.1.7 nêu phần mở đầu chương Kết phần then chốt chứng minh Khẳng định ứng với trường hợp riêng tương đương 3) ⇔ 4) Định lý 3.1.7, trường hợp k trường đóng đại số định lý Grosshans (1997) Mệnh đề 3.4.2 ([2,4]) Cho G nhóm reductive xác định trường hồn thiện k , T k -xuyến cực đại G cho H k -nhóm đóng G chuẩn tắc T Khi đó, H nhóm quan sát G H nhóm k -dưới parabolic nhóm tựa parabolic Pχ G (Ru (H) < Ru (Pχ )) Để chứng minh 2) ⇒ 1) Định lý 3.1.7, cần khẳng định sau tác động Galois lên nhóm parabolic P (χ) Cho T k -xuyến cực đại k -nhóm G, (., ) tích vô hướng W (T, G)-bất biến X ∗ (T ) ⊗Z R xác định k P (χ), Pχ cho Định nghĩa 3.2.4.2 Khi ta có Bổ đề 3.4.6 ([2,4]) a) σ Kerχ = Ker(σ χ), Gal(ks /k) σ P χ = Pσ χ , b) Kerχ = T ∩ Pχ 14 σ P (χ) = P (σ χ), với σ ∈ Γ = Nhận xét Bằng việc lập luận chứng minh thứ hai Định lý 3.1.5 (xem Định lý 3.3.2.4), ta thấy T k -xuyến cực đại nhóm reductive G, χ ∈ X ∗ (T )k k -đặc trưng T Pχ nhóm k -tựa parabolic G Cuối cùng, cần kết sau cho nhóm nửa đơn để chứng minh khẳng định 2) ⇒ 1) Định lý 3.1.7 Mệnh đề 3.4.7 ([2,4]) Cho k trường hoàn thiện, G k -nhóm nửa đơn Giả sử H nhóm tựa parabolic G xác định k Khi đó, H nhóm k -tựa parabolic G, nghĩa là, tồn k -biểu diễn bất khả quy tuyệt đối ρ : G → GL(V ), vectơ trọng cao v ∈ V (k) cho H = Gv nhóm dừng ứng với v Để chứng minh Mệnh đề 3.4.7, cần kết bổ trợ sau Bổ đề 3.4.8 ([2,4]) Cho k trường hoàn thiện, G nhóm reductive H nhóm tựa parabolic xác định k Khi đó, tồn k -xuyến cực đại T G đặc trưng χ ∈ X ∗ (T ) cho H = Pχ = Kerχ, Uα | α ∈ Φ(T, G), (α, χ) ≥ Bổ đề 3.4.9 ([2,4]) Cho T k -xuyến cực đại G, χ ∈ X ∗ (T ) cho Pχ xác định k Thế Kerχ = Ker(σ χ) với σ ∈ Γ Bổ đề 3.4.10 ([2,4]) Với khái niệm Bổ đề 3.4.9, G nửa đơn, χ xác định k Chúng tơi trình bày hai cách chứng minh bổ đề Từ kết nói thu chứng minh Định lý 3.1.7 Chúng ta lưu ý có ví dụ nói chung 2) ⇒ 1) trường hợp G nhóm reductive với hạng nửa đơn lớn tùy ý (miễn nhỏ hạng G) (Xem nhận xét trang 76, 77 luận án.) 15 Chương Quỹ đạo tương đối ứng với tác động nhóm đại số trường địa phương Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu tốn trang bị tơpơ tập đối đồng điều, mối liên quan với vấn đề quỹ đạo đóng (theo tơpơ Zariski tơpơ Hausdorff), tác động nhóm đại số lên đa tạp đại số xác định trường đầy đủ, đặc biệt trường địa phương cho số ứng dụng Cho k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường v có hạng thực 1, chẳng hạn trường địa phương trường số thực R trường số p-adic Qp Ta trang bị cho X(k) tôpô v -adic Hausdorff, cảm sinh từ tôpô v -adic k Cho x ∈ X(k), quan tâm đến mối liên hệ tính đóng Zariski quỹ đạo G · x X tính đóng Hausdorff quỹ đạo (tương đối) G(k) · x x X(k) Kết theo hướng thuộc Borel HarishChandra (1963), tiếp đến Birkes (1971) trường hợp trường thực, sau Bremigan (1994) mở rộng cho trường p-adic Lưu ý rằng, số chứng minh nói khơng mở rộng cho trường hợp trường có đặc số dương Mục đích chương nghiên cứu xem kết mở rộng cho lớp nhóm lớp trường Trong cách tiếp cận chúng tôi, câu hỏi liên quan chặt chẽ với tốn trang bị tơpơ nhóm (hoặc tập) đối đồng điều Đó khía cạnh quan trọng lý thuyết đối ngẫu đối đồng điều Galois đối đồng điều phẳng trường hợp tổng quát (theo Shatz (1964, 1972), Milne (2006)) Một số kết sơ trình bày Mục 4.1, với định lý Định lý 4.1.5 Ở Mục 4.2, đưa số kết tổng qt tính đóng quỹ đạo tương đối, đặc biệt trường đầy đủ, hồn thiện Định lý mục Định lý 4.2.4, 4.2.6 Trong Mục 4.3, xét trường hợp trường đầy đủ, khơng thiết hồn thiện tác động nhóm đại số với 16 nhóm dừng nằm lớp nhóm đặc biệt, bao gồm nhóm lũy linh trường đầy đủ Kết cho Định lý 4.3.1.3 4.1 Một số kết sơ Các khẳng định sau cho mối liên hệ tôpô tắc với tơpơ đặc biệt, tính chất liên tục ánh xạ tập đối đồng điều theo tôpô Định lý 4.1.1 ([6]) Cho k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực Khi với k -nhóm đại số tuyến tính G, phép nhúng xác định k vào k -nhóm đặc biệt H , tơpơ H -đặc biệt H1 (k, G) mạnh tơpơ tắc tập đối đồng điều H1 (k, G) Hơn nữa, G giao hốn liên thơng hai tơpơ trùng Định lý 4.1.2 ([6]) Cho trước dãy khớp k -nhóm đại số tuyến tính → A → B → C → (∗) 1) Nếu ánh xạ đối biên tập đối đồng điều δ : C(k) → H1 (k, A), cảm sinh từ dãy khớp k -nhóm (∗) liên tục tơpơ H -đặc biệt đó, liên tục tơpơ tắc H1 (k, A) 2) Mọi ánh xạ nối tập đối đồng điều bậc ≤ cảm sinh từ (∗) liên tục tơpơ tắc (tương ứng, tôpô đặc biệt) tập Nhận xét Phương pháp chứng minh phần a) định lý sau chủ yếu thuộc Borel Tits (1965), sau xuất lại Bremigan (1994) Gille et al Trong trường hợp k trường địa phương đặc số 0, kết tính chất hữu hạn thuộc Borel Serre (1963) Định lý 4.1.5 ([6]) Cho k trường đầy đủ định giá không tầm thường hạng thực G k -nhóm đại số tuyến tính Khi a) Tập {1} mở tơpơ đặc biệt H1 (k, G) Do đó, G giao hốn tơpơ đặc biệt H1 (k, G) rời rạc b) Nếu đặc số trường k tơpơ đặc biệt tập đối đồng điều H1 (k, G) rời rạc Nói riêng ra, k trường địa phương đặc số tập H1 (k, G) hữu hạn rời rạc tôpô đặc biệt Nếu k trường khơng Acsimet G giao hốn khẳng định nhóm Hi (k, G), i ≥ 17 c) Cho G nhóm đại số tuyến tính tác động quy lên k -đa tạp affine X Nếu v ∈ X(k) điểm cho nhóm dừng trơn (chẳng hạn char k = 0) quỹ đạo tương đối G(k) · v mở (G · v)(k) theo tôpô Hausdorff 4.2 Quỹ đạo tương đối theo tôpô Hausdorff tác động nhóm đại số trường đầy đủ hồn thiện Trong mục thiết lập chứng minh kết tính chất đóng quỹ đạo (hình học tương đối) nhóm đại số tích trực tiếp nhóm reductive với nhóm lũy đơn Trước đến kết chính, cần đến số kết khác, mà số chúng có ý nghĩa độc lập Dưới đây, thuật ngữ “mở” “đóng”, khơng có thích thêm, hiểu theo tơpơ Zariski Khẳng định sau mở rộng định lý Kempf (1978) cho trường hợp nhóm khơng reductive có dạng tích trực tiếp nhóm reductive nhóm lũy đơn Định lý 4.2.4 ([6]) Cho k trường hồn thiện, G = L × U , nhóm L reductive U lũy đơn xác định k Cho G tác động k -chính quy lên k -đa tạp affine X , x điểm không ổn định X(k) (tức G · x khơng đóng) Giả sử Y tập đóng, G-bất biến tùy ý G · x \ G · x Khi đó, tồn nhóm tham số λ : Gm → G, xác định k , điểm y ∈ Y ∩ X(k) cho λ(t) · x → y t → Với kết chuẩn bị này, ta có kết sau tơpơ quỹ đạo Định lý 4.2.6 ([6]) Cho k trường hoàn thiện, đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực Cho G k -nhóm đại số tuyến tính tác động k -chính quy lên k -đa tạp affine X , x ∈ X(k) k -điểm X Khi ta có khẳng định sau: 1) (Mở rộng số kết Birkes, Borel, Harish-Chandra, Tits, Bremigan) Nếu quỹ đạo G · x đóng nhóm dừng Gx k -nhóm trơn, quỹ đạo tương đối G(k) · x đóng theo tôpô Hausdorff X(k) 2) Đảo lại, giả sử G = L × U , L reductive U lũy đơn, tất xác định k Nếu G(k) · x đóng X(k) theo tơpơ Hausdorff G · x đóng theo tơpơ Zariski X 3) Với giả thiết 1), G(k) · x đóng X(k) G0 (k) · x đóng X(k) 18 Nhận xét Khẳng định 1) Định lý 4.2.6 có nguồn gốc từ báo Borel Harish-Chandra (1963) cho trường hợp trường thực R Trường hợp tổng quát suy từ lập luận Borel, Tits (1965) mà có dùng đến Định lý hàm ẩn Lập luận xuất lại Bremigan (1994) Chiều đảo lại chứng minh cho nhóm reductive xác định trường thực Birkes (1971), Bremigan (1994) cho nhóm reductive xác định trường địa phương đặc số Ở chúng tơi có kết cho trường hoàn thiện, đầy đủ với định giá khơng tầm thường với hạng thực 1, trường hợp đó, Định lý hàm ẩn Từ lập luận trên, ta có kết sau đây, mở rộng kết biết Borel, Harish-Chandra, Birkes, Bremigan (xem phần giới thiệu chương) Định lý 4.2.7 ([6]) Cho k , G, V Định lý 4.2.6 Giả sử Gv k -nhóm trơn Khi ta có 1) Nếu G = L × U , với L U nhóm reductive lũy đơn, G · v đóng Zariski G(k) · v đóng Hausdorff 2) Nếu G nhóm reductive lũy linh tập G · v đóng Zariski G(k) · v đóng Hausdorff 3) Giả sử G k -nhóm lũy linh trơn, T k -xuyến cực đại G Thế khẳng định sau tương đương: a) G · v đóng theo tơpơ Zariski b) T · v đóng theo tơpơ Zariski c) G(k) · v đóng theo tơpơ Hausdorff d) T (k) · v đóng theo tôpô Hausdorff Nhận xét Một định lý tiếng Mostow (1956) nói rằng, nhóm đại số tuyến tính liên thơng xác định trường k đặc số có phân tích thành tích nửa trực tiếp G = L · U , U k -nhóm chuẩn tắc lũy đơn cực đại G, L k -nhóm reductive liên thơng cực đại Những nhóm tích trực tiếp nhóm reductive nhóm lũy đơn lớp ví dụ tốt để khẳng định 2) Định lý 4.2.6 đúng, nghĩa cho G · x đóng Hausdorff kéo theo G · x đóng Zariski Cụ thể, chúng tơi đưa ví dụ với chiều nhỏ số nhóm giải khơng lũy linh, mà G · x khơng đóng Zariski 19 Mệnh đề 4.2.8 ([6]) Cho B nhóm đại số tuyến tính giải chiều 2, tác động quy lên đa tạp affine X , x ∈ X , tất xác định trường k đặc số 1) Nếu nhóm dừng Bx x nhóm vơ hạn B, quỹ đạo B · x ln đóng 2) Cho G = SL2 , B nhóm Borel G bao gồm ma trận tam giác Ta chọn biểu diễn tiêu chuẩn G cách cho G tác động lên V2 không gian đa thức bậc với hệ số C, xem không gian C-không gian vectơ chiều Khi dim B = 2, với v = (1, 0, 1)t ∈ V2 , ta có a) Quỹ đạo G · v = {(x, y, z) | 4xz = y + 4} tập đóng theo tơpơ Zariski b) Quỹ đạo B · v = {(x, y, z) | 4xz = y + 4} \ {z = 0} tập khơng đóng theo tôpô Zariski c) B(k) · v = {(a2 + b2 , 2bd, d2 ) | ad = 1, a, b, c, d ∈ k} tập đóng theo tôpô Hausdorff, với k trường thực R trường p-adic, p=2 p ≡ (mod 4) d) Nhóm dừng Bv v B hữu hạn Nhận xét Chúng ta lưu ý trường hợp nhóm giải được, trái ngược với trường hợp lũy linh (xem Định lý 4.2.7), số tính chất liên hệ tính đóng quỹ đạo nhóm đóng tính chất đóng quỹ đạo nhóm lớn khơng Điều mệnh đề sau Mệnh đề 4.2.9 ([6]) Cho G nhóm tuyến tính giải xác định trường địa phương k đặc số 0, T k -xuyến cực đại tùy ý G, G tác động k -chính quy lên k -đa tạp affine V Giả sử v ∈ V (k) điểm k -hữu tỷ Ta xét khẳng định sau a) G · v tập đóng theo tơpơ Zariski; b) T · v tập đóng theo tơpơ Zariski; c) G(k) · v tập đóng theo tơpơ Hausdorff; d) T (k) · v tập đóng theo tơpơ Hausdorff Khi ta có sơ đồ lơgic sau b) ⇔ d), a) ⇒ c), a) ⇒ b), b) ⇒ a), c) ⇒ d), d) ⇒ c), c) ⇒ a) 20 4.3 Quỹ đạo tương đối nhóm đại số trường đầy đủ Trong mục xem xét chủ yếu tác động nhóm đại số với nhóm dừng lũy linh (gần với lũy linh) trường k bất kỳ, đầy đủ định giá không tầm thường, hạng thực Đặc biệt, quan tâm đến nhóm xác định trường hàm địa phương, trường hợp quan trọng trường khơng hồn thiện 4.3.1 Tác động tách mạnh, tác động tách Kết Phần 4.3 Định lý 4.3.1.3 Định lý nói rằng, số giả thiết tự nhiên yếu, chúng tơi giải trường hợp nhóm reductive nhóm lũy linh Kết triệt để nhất, khơng cần có thêm điều kiện thu cho trường hợp nhóm giao hốn nhóm lũy đơn Trong Mục 4.3.2, 4.3.6 (tương ứng 4.3.7) chứng minh số kết tính đóng quỹ đạo tác động số lớp nhóm đặc biệt, nhóm dừng chúng bao gồm lớp nhóm lũy linh (tương ứng reductive) Trước hết, nhắc lại khái niệm tác động tách mạnh (strongly separable) nhóm đại số (theo Ramanan Ramanathan (1984)) Định nghĩa 4.3.1.1 Cho G nhóm đại số tuyến tính tác động quy lên đa tạp affine V G · v bao đóng Zariski G · v V Tác động G gọi tách mạnh v với x ∈ G · v nhóm dừng Gx trơn, tương đương, cấu xạ G → G/Gx tách Liên quan đến khái niệm này, ta có định nghĩa Định nghĩa 4.3.1.2 ([6]) Ta nói tác động “khá tách” (fairly separable) v với x ∈ (G · v)(k) Gx k -nhóm trơn G Định lý 4.3.1.3 ([6]) Cho k trường đầy đủ định giá khơng tầm thường có hạng thực 1, G k -nhóm đại số tuyến tính tác động k -cấu xạ lên k -đa tạp affine V Giả sử v ∈ V (k) Ta có khẳng định sau: 1) Nếu quỹ đạo tương đối G(k) · v đóng tơpơ Hausdorff V (k) G lũy linh, G reductive với tác động G tách mạnh v , quỹ đạo G · v đóng theo tôpô Zariski V 2) Đảo lại, với quy ước trên, G(k) · v đóng Hausdorff V (k) G · v đóng điều kiện sau đúng: a) Gv giao hốn trơn; nhóm G giao hốn 21 b) Gv k -nhóm trơn mở rộng k -nhóm lũy đơn trơn k -nhóm chéo hóa c) Trường k compắc địa phương, Gv k -nhóm reductive liên thông trơn G d) Tác động G v tách Nhận xét 1) Nếu đặc số trường k định lý nằm kết Mục 4.2 Vì thế, kết thú vị trường hợp trường khơng hồn thiện, ví dụ trường hàm địa phương 2) Các ví dụ Mục 4.4 điều kiện G Định lý 4.3.1.3, Phần 1) (tính lũy linh, tính tách mạnh) bị vi phạm khẳng định 1) khơng Chứng minh Định lý 4.3.1.3 chia làm nhiều phần Bên cạnh chúng tơi có số kết khác có liên quan sau 4.3.7 Trường hợp G k -nhóm tuyến tính lũy linh Ta giả sử G k -nhóm tuyến tính lũy linh, G = T × U , T k -nhóm chéo hóa được, U k -nhóm lũy linh Ta đặt T = Ts · Ta , Ts , Ta tương ứng xuyến k -phân rã k -không đẳng hướng cực đại T , tích nói hầu trực tiếp, xác định k Ta biết rằng, ln tồn nhóm chuẩn tắc k -phân rã cực đại Ud U cho thương Uw := U/Ud k -xoắn, nghĩa không tồn k -nhóm đẳng cấu (trên k ) với nhóm cộng tính Ga Khẳng định sau cho phép ta quy toán trường hợp G k -nhóm lũy linh tùy ý trường hợp G = T × U , với T , U nhóm k -phân rã Mệnh đề 4.3.7.1 ([6]) Với k trường compắc địa phương, giả sử G tác động k -chính quy lên k -đa tạp affine V , v ∈ V (k) Giả sử thêm rằng, G · v đóng V , G = T × U , T k -nhóm chéo hóa được, U k -nhóm lũy đơn Khi (Ts (k) × Ud (k)) · v đóng Hausdorff ((Ts × Ud ) · v)(k) G(k) · v đóng Hausdorff V (k) Chúng ta có hệ sau Hệ 4.3.7.2 ([6]) Cho k trường compắc địa phương, G k -nhóm lũy linh, trơn GL(V ) G tác động tuyến tính lên V thơng qua biểu diễn tiêu chuẩn Giả sử G · v đóng Khi đó, G(k) · v tập đóng Hausdorff V (k) 22 4.4 Một số tính tốn trường hợp trường có đặc số p Dưới chúng tơi đưa hai ví dụ tính tốn trường hợp trường có đặc số p = Mệnh đề 4.4.1 ([6]) Cho G = SL2 xác định trường hàm địa phương đặc số 2, ρ, V biểu diễn cho Mệnh đề 4.2.8, v = (1, 0, 1)t ∈ V (k) Khi 1) G · v = {(x, 0, z)t ∈ k¯ × k¯ × k¯ | (x, z) = (0, 0)} G · v khơng đóng V 2) G(k) · v đóng (G · v)(k), G(k) · v khơng đóng V (k) 3) Cho B nhóm Borel G Mệnh đề 4.2.8 Khi B · v khơng đóng V , B(k) · v khơng đóng V (k), B(k) · v đóng (B · v)(k)1 4) Cho U lũy đơn B Khi U (k) · v đóng V (k), nhóm dừng Gv ∼ = α2 lược đồ nhóm khơng trơn Ví dụ sau cho thấy số khẳng định Định lý 4.3.1.3 không ta bỏ số điều kiện liên quan đến tính tách tác động Mệnh đề 4.4.2 ([6]) Cho p số nguyên tố, k = Fq ((T )), q = pr , G = SL2 , V không gian vectơ hai chiều xác định k biểu diễn ρ cho ρ : G = SL2 → GL2 , g = a b c d → ap bp t p p , v = (1, T ) ∈ k c d Khi 1) G · v = V \ {(0, 0)} tập mở (và khơng đóng) V 2) G(k) · v tập đóng V (k) 3) Giả sử B cho Khi B · v = {(x, y) ∈ V | y = 0} tập mở (và khơng đóng V ) 4) B(k) · v tập đóng V (k) 5) Cho U nhóm lũy đơn Mệnh đề 4.4.1 Khi quỹ đạo U (k) · v tập đóng V (k) Uv ∼ = αp lược đồ nhóm khơng trơn 6) Các không gian quỹ đạo U (k) · v , B(k) · v , G(k) · v không mở V (k) Trường hợp khác với trường hợp char.(k) = 0, B(k) · v đóng V (k) 23 Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau Chứng minh khẳng định tính chất hữu tỷ cho nhóm quan sát được, nhóm tồn cấu, nhóm Grosshans Mở rộng kết F Bogomolov cho trường hoàn thiện Chứng minh khẳng định liên hệ khái niệm nhóm tựa parabolic, parabolic, trường hợp k hoàn thiện Kết chứa mở rộng Định lý Sukhanov cho trường hoàn thiện Nghiên cứu mối liên hệ tính đóng Zariski quỹ đạo hình học tính đóng Hausdorff quỹ đạo tương đối Liên hệ chúng với tốn trang bị tơpơ tập đối đồng điều Galois (hoặc phẳng) thu số kết tôpô tập đối đồng điều 24 ... nghiệm đa thức trường đóng đại số (“bài tốn hình học? ??) trường khơng đóng đại số (“bài tốn số học? ??) Để hiểu rõ tính chất quỹ đạo, việc nghiên cứu nhóm dừng quan trọng Có số lớp nhóm quan trọng việc... lại số khái niệm nhóm đại số tuyến tính trường Cụ thể định lý nhúng nhóm đại số tuyến tính vào nhóm tuyến tính tổng qt GLn , phân tích Jordan nhóm đại số tuyến tính, định nghĩa số tính chất nhóm. .. liên thông hữu tỷ không gian G/H Nhờ vào nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 Hilbert, Grosshans (1973) đưa lớp nhóm quan sát mang tên ông Đó nhóm quan sát H G có tính chất đại số hàm bất biến