Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ KHÁNH HƯNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Văn Ân TS Kiều Phương Chi Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Vinh vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh Thư Viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Kết điểm bất động ánh xạ thu từ năm 1911 Lúc đó, L Brouwer chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên tục từ tập lồi compắc không gian hữu hạn chiều vào có điểm bất động Năm 1922, S Banach giới thiệu lớp ánh xạ co không gian mêtric chứng minh nguyên lý ánh xạ co tiếng: Mỗi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào có điểm bất động Sự đời Nguyên lý ánh xạ co Banach với ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân đánh dấu phát triển hướng nghiên lý thuyết điểm bất động Sau đó, nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên lớp ánh xạ không gian khác Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977 B E Rhoades tổng kết so sánh với 25 dạng tiêu biểu 1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach gắn liền với lớp ánh xạ co T : X → X không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co (B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với x, y ∈ X ≤ k < Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên lớp ánh xạ không gian khác Mở rộng thu E Rakotch cách làm giảm nhẹ điều kiện co có dạng (R) d(T x, T y) ≤ θ d(x, y) d(x, y), với x, y ∈ X , θ : R+ → [0, 1) hàm đơn điệu giảm Năm 1969, D W Boyd S W Wong đưa dạng mở rộng kết trên, xét điều kiện co có dạng (BW) d(T x, T y) ≤ ϕ d(x, y) , với x, y ∈ X , ϕ : R+ → R+ hàm nửa liên tục bên phải thỏa mãn ≤ ϕ(t) < t với t ∈ R+ Năm 2001, B E Roades cải tiến mở rộng kết Y I Alber S Guerre-Delabriere đưa điều kiện co dạng (R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với x, y ∈ X , ϕ : R+ → R+ hàm liên tục, đơn điệu tăng cho ϕ(t) = t = Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P N Dutta B S Choudhury đưa điều kiện co dạng (DC) ψ d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với x, y ∈ X , ψ, ϕ : R+ → R+ hàm liên tục, đơn điệu không giảm cho ψ(t) = = ϕ(t) t = Năm 2009, R K Bose M K Roychowdhury đưa khái niệm ánh xạ co yếu suy rộng với điều kiện co sau nhằm nghiên cứu điểm bất động chung ánh xạ (BR) ψ d(T x, Sy ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với x, y ∈ X , ψ, ϕ : R+ → R+ hàm liên tục cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > với t > ψ(0) = = ϕ(0), nữa, ϕ hàm đơn điệu không giảm ψ hàm đơn điệu tăng Năm 2012, B Samet, C Vetro P Vetro giới thiệu khái niệm ánh xạ kiểu α-ψ -co không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện co dạng (SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) , với x, y ∈ X ψ : R+ → R+ n hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn +∞ n=1 ψ (t) < +∞ với t > α : X × X → R+ 1.3 Trong năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướng tổng quát hóa điều kiện co cho ánh xạ không gian mêtric thứ tự phận Theo hướng này, năm 2006, T G Bhaskar V Lakshmikantham đưa khái niệm điểm bất động đôi ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn thu số kết cho lớp ánh xạ không gian mêtric thứ tự phận thỏa mãn điều kiện co (BL) Tồn k ∈ [0, 1) cho d F (x, y), F (u, v) ≤ với x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v k d(x, u) + d(y, v) , Năm 2009, tiếp tục mở rộng định lý điểm bất động đôi, V Lakshmikantham L Ciric thu số kết cho lớp ánh xạ F : X ×X → X có tính chất g -đơn điệu trộn với g : X → X không gian mêtric thứ tự phận thỏa mãn điều kiện co sau d g(x), g(u) + d g(y), g(v) , với x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g(y) ≤ g(v) F (X × X) ⊂ g(X) (LC) d F (x, y), F (u, v) ≤ ϕ Năm 2011, V Berinde M Borcut đưa khái niệm điểm bất động ba cho lớp ánh xạ F : X × X × X → X thu số định lý điểm bất động ba cho ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn không gian mêtric thứ tự phận thỏa mãn điều kiện co (BB) Tồn số j, k, l ∈ [0, 1) cho j + k + l < thỏa mãn d F (x, y, z), F (u, v, w) ≤ jd(x, u) + kd(y, v) + ld(z, w), với x, y, z, u, v, w ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v, z ≥ w Sau đó, năm 2012, H Aydi E Karapinar mở rộng kết thu số định lý điểm bất động ba cho lớp ánh xạ F : X ×X ×X → X có tính chất đơn điệu trộn không gian mêtric thứ tự phận thỏa mãn điều kiện co yếu sau (AK) Tồn hàm φ cho với x ≤ u, y ≥ v, z ≤ w ta có d T F (x, y, z), T F (u, v, w) ≤ φ max d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w) 1.4 Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết điểm bất động có động lực từ ứng dụng rộng rãi nó, đặc biệt lý thuyết phương trình vi phân tích phân mà dấu ấn việc áp dụng Nguyên lý ánh xạ co Banach để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình vi phân thường Trong lý thuyết phương trình vi phân tích phân đại, việc chứng minh tồn hay việc xấp xỉ nghiệm thường quy áp dụng thích hợp định lý điểm bất động Đối với toán biên với miền bị chặn định lý điểm bất động không gian mêtric đủ để làm tốt công việc Tuy nhiên, toán biên với miền không bị chặn định lý điểm bất động không gian mêtric không đủ để thực Vì vậy, vào thập niên 70 kỷ trước, song song với việc tìm cách mở rộng lớp ánh xạ người ta tìm cách mở rộng lên lớp không gian rộng Một hướng mở rộng tiêu biểu tìm cách mở rộng kết điểm bất động ánh xạ không gian mêtric lên lớp không gian lồi địa phương, rộng không gian thu hút quan tâm nhiều toán học mà bật V G Angelov Năm 1987, V G Angelov xét họ hàm thực Φ = {φα : α ∈ I} cho với α ∈ I , φα : R+ → R+ hàm đơn điệu tăng, liên tục, φα (0) = < φα (t) < t với t > Từ ông giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co, ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện (A) dα (T x, T y) ≤ φα dj(α) (x, y) với x, y ∈ M với α ∈ I , M ⊂ X thu số kết điểm bất động lớp ánh xạ Bằng cách đưa khái niệm không gian có tính chất j -bị chặn, V G Angelov thu số kết tính điểm bất động lớp ánh xạ Theo hướng mở rộng kết điểm bất động lên lớp không gian lồi địa phương, năm 2005, B C Dhage thông qua nghiên cứu nghiệm phương trình toán tử x = AxBx A : X → X , B : S → X hai toán tử thỏa mãn A D-Lipschitz, B hoàn toàn liên tục x = AxBy kéo theo x ∈ S với y ∈ S , với S tập đóng, lồi bị chặn đại số Banach X , cho thỏa mãn điều kiện co (Dh) ||T x − T y|| ≤ φ ||x − y|| với x, y ∈ X , φ : R+ → R+ hàm liên tục không giảm, φ(0) = 0, thu số định lý điểm bất động đại số Banach 1.5 Trong thời gian gần đây, với xuất lớp ánh xạ co mới, kiểu điểm bất động không gian mêtric, hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động có bước phát triển mạnh mẽ Với lý trên, nhằm mở rộng kết lý thuyết điểm bất động cho lớp không gian có cấu trúc đều, chọn đề tài ‘‘Về tồn điểm bất động số lớp ánh xạ không gian với cấu trúc ứng dụng” làm đề tài luận án tiến sĩ Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mở rộng kết tồn điểm bất động không gian mêtric số lớp ánh xạ lên lớp không gian với cấu trúc ứng dụng chúng để chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án không gian đều, ánh xạ co suy rộng không gian đều, điểm bất động, điểm bất động đôi, điểm bất động ba số lớp ánh xạ không gian với cấu trúc đều, số lớp phương trình tích phân Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu định lý điểm bất động không gian ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân với hàm độ lệch không bị chặn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Giải tích hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân Lý thuyết điểm bất động trình thực đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án mở rộng số kết tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian với cấu trúc Đồng thời xét tồn nghiệm số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, mà áp dụng định lý điểm bất động không gian mêtric Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyết điểm bất động ứng dụng nói riêng Tổng quan cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày chương Ngoài ra, luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học nghiên cứu sinh liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Trong Chương 1, trước hết nhắc lại số khái niệm kết biết không gian cần dùng cho trình bày sau Tiếp theo, giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà mở rộng khái niệm (ψ, ϕ)-co P N Dutta B S Choudhury không gian đều, thu kết tồn điểm bất động ánh xạ (Ψ, Π)-co không gian Bằng cách đưa khái niệm không gian có tính chất j -đơn điệu giảm, thu kết tồn điểm bất động ánh xạ (Ψ, Π)-co Tiếp theo, mở rộng khái niệm ánh xạ α-ψ -co không gian mêtric cho không gian đều, đưa khái niệm ánh xạ (β, Ψ1 )-co không gian thu số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ Các định lý thu không gian xem mở rộng định lý không gian mêtric đầy đủ Cuối cùng, ứng dụng định lý thu điểm bất động lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co không gian đều, chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Lưu ý rằng, xét lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, áp dụng định lý điểm bất động biết không gian mêtric Các kết Chương Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý 1.3.11 Định lý 1.4.3 Trong Chương 2, xét không gian thứ tự phận Đầu tiên, mục 2.1, thu kết điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ không gian thứ tự phận mở rộng điều kiện co (LC) V Lakshmikantham L Ciric cho ánh xạ không gian Trong mục 2.2, cách mở rộng điều kiện co (AK) H Aydi E Karapinar cho ánh xạ không gian đều, thu kết điểm bất động ba lớp ánh xạ không gian thứ tự phận Trong mục 2.3, cách đưa vào khái niệm nghiệm đôi dưới, nghiệm ba dưới, áp dụng kết thu mục 2.1, 2.2, chứng minh tồn nghiệm vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Kết Chương Định lý 2.1.5, Hệ 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6, Định lý 2.3.3 Định lý 2.3.6 Trong Chương 3, hệ thống lại số kiến thức đại số lồi địa phương cần dùng cho trình bày sau Tiếp theo, mục 3.2, cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho ánh xạ đại số lồi địa phương dựa vào kết biết đại số Banach, không gian đều, thiết lập định lý điểm bất động đại số lồi địa phương mà mở rộng kết thu B C Dhage Cuối cùng, mục 3.3, áp dụng định lý thu chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân đại số lồi địa phương với độ lệch không bị chặn Kết Chương Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2 Trong luận án này, giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa cho kết thu ý nghĩa mở rộng định lý đưa CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỀU VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Trong chương này, trình bày số kiến thức không gian kết sử dụng cho phần sau Tiếp theo, đưa định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co không gian Trong phần cuối chương, mở rộng định lý điểm bất động lớp ánh xạ α-ψ -co không gian mêtric lên không gian Sau đó, ứng dụng kết để chứng tỏ lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn có nghiệm 1.1 Không gian Mục nhắc lại số kiến thức không gian cần dùng cho trình bày sau Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X Ta ký hiệu 1) U −1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U } 2) U ◦ V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } viết U thay cho U ◦ U 3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} gọi ∆(X) đường chéo X 4) U [A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U }, với A ⊂ X viết U [x] thay cho U [{x}] Định nghĩa 1.1.1 Họ U tập X × X gọi hay cấu trúc X thỏa mãn điều kiện sau 1) ∆(X) ⊂ U với U ∈ U 2) Nếu U ∈ U U −1 ∈ U 3) Nếu U ∈ U tồn V ∈ U cho V ⊂ U 4) Nếu U, V ∈ U U ∩ V ∈ U 5) Nếu U ∈ U U ⊂ V ⊂ X × X V ∈ U Cặp (X, U) gọi không gian Trong phần này, trình bày khái niệm tôpô sinh cấu trúc đều, không gian với cấu trúc sinh họ giả mêtric, dãy Cauchy, không gian đầy đủ dãy mối liên hệ chúng Chú ý 1.1.8 1) Giả sử X không gian Khi đó, tôpô X sinh họ giả mêtric liên tục X 2) Nếu E không gian lồi địa phương với họ bão hòa nửa chuẩn {pα }α∈I , họ giả mêtric liên kết {dα }α∈I xác định dα (x, y) = pα (x − y) với x, y ∈ E Khi đó, tôpô sinh họ giả mêtric liên kết trùng với tôpô xuất phát không gian E Do đó, hệ kết sau này, ta thu định lý điểm bất động không gian lồi địa phương 3) Cho I tập số ánh xạ j : I → I Các phép lặp j xác định theo quy nạp j (α) = α, j k (α) = j j k−1 (α) , k = 1, 2, 1.2 Điểm bất động ánh xạ co yếu Trong trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản X hiểu không gian Hausdorff với cấu trúc sinh họ bão hòa giả mêtric P = {dα (x, y) : α ∈ I}, I tập số Lưu ý rằng, (X, P) Hausdorff dα (x, y) = với α ∈ I kéo theo x = y Định nghĩa 1.2.2 Không gian (X, P) gọi j -bị chặn với α ∈ I x, y ∈ X tồn q = q(x, y, α) cho dj n (α) (x, y) ≤ q(x, y, α) < ∞, với n ∈ N Ký hiệu Ψ = {ψα : α ∈ I} họ hàm ψα : R+ → R+ đơn điệu tăng, liên tục, ψα (t) = t = 0, với α ∈ I Ký hiệu Π = {ϕα : α ∈ I} họ hàm ϕα : R+ → R+ , α ∈ I cho ϕα liên tục, ϕα (t) = t = Định nghĩa 1.2.4 Cho X không gian Ánh xạ T : X → X gọi (Ψ, Π)-co X ψα dα (T x, T y) ≤ ψα dj(α) (x, y) − ϕα dj(α) (x, y) , với x, y ∈ X với α ∈ I, ψα ∈ Ψ, ϕα ∈ Π Chú ý, lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co X rộng lớp ánh xạ Φ-co X Thật vậy, T ánh xạ Φ-co X với α ∈ I φα ∈ Φ ta đặt Ψ = {ψα : R+ → R+ , α ∈ I} với ψα (t) = t với t ≥ Π = {ϕα : R+ → R+ , α ∈ I} với ϕα (t) = t − φα (t) với t ≥ Khi T ánh xạ (Ψ, Π)-co X 11 1.4 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến Trong mục này, áp dụng định lý chứng minh Mục 1.3 để nghiên cứu toán tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị chặn Xét phương trình tích phân ∆(t) x(t) = (1.27) G(t, s)f s, x(s) ds, hàm f : R+ × R → R G : R+ × R+ → R+ liên tục Hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ liên tục, trường hợp tổng quát không bị chặn Chú ý, hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ không bị chặn, nên áp dụng kết định lý điểm bất động biết không gian mêtric cho loại phương trình tích phân Giả thiết 1.4.1 A1) Tồn hàm u : R2 → R cho với tập compắc K ⊂ R+ , tồn số thực dương λ ψK ∈ Ψ1 cho với t ∈ R+ , với a, b ∈ R mà u(a, b) ≥ 0, ta có ∆(t) λ sup f (t, a) − f (t, b) ≤ λψK |a − b| t∈K G(t, s)ds ≤ A2) Tồn x0 ∈ C(R+ , R) cho với t ∈ R+ , ta có ∆(t) u x0 (t), G(t, s)f s, x0 (s) ds ≥ 0 A3) Với t ∈ R+ , x, y ∈ C(R+ , R), u x(t), y(t) ≥ 0, ∆(t) u ∆(t) G(t, s)f s, x(s) ds, G(t, s)f s, y(s) ds ≥ 0 A4) Nếu {xn } dãy C(R+ , R) cho xn → x ∈ C(R+ , R) u(xn , xn+1 ) ≥ với n ∈ N∗ , u(xn , x) ≥ với n ∈ N∗ A5) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn tập compắc K ⊂ R+ cho với n ∈ N∗ , ta có ∆n (K) ⊂ K Định lý 1.4.3 Giả sử Giả thiết 1.4 thỏa mãn Khi đó, phương trình (1.27) có nghiệm C R+ , R Hệ 1.4.4 Giả sử 1) f : R+ × R → R+ liên tục đơn điệu không giảm theo biến thứ hai 12 2) Với tập compắc K ⊂ R+ tồn số thực dương λ hàm ψK ∈ Ψ1 cho với t ∈ R+ , với a, b ∈ R mà a ≤ b, ta có ∆(t) f (t, a) − f (t, b) ≤ λψK |a − b| λ sup t∈K G(t, s)ds ≤ 3) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn tập compắc K ⊂ R+ cho với n ∈ N∗ , ∆n (K) ⊂ K Khi đó, phương trình (1.27) có nghiệm C R+ , R Ví dụ 1.4.5 Xét phương trình tích phân phi tuyến t x(t) = G(t, s)f s, x(s) ds, (1.28) G : R+ × R+ → R+ cho G(t, s) = s−t 4e t−s 4e t ≥ s ≥ s ≥ t ≥ f : R+ × R → R+ xác định f (t, x) = √ x+ 1+ √x + x − + x2 x < x ≥ 0, với t ∈ R+ Áp dụng Hệ 1.4.4 ta suy phương trình (1.28) có nghiệm Kết luận Chương Trong Chương này, thu kết sau • Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co không gian (Định lý 1.2.6, 1.2.9) Các kết viết thành báo: Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014), Some fixed point theorems in uniform spaces, submitted to Filomat • Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co không gian (Định lý 1.3.11) Ứng dụng Định lý 1.3.11 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Các kết viết thành báo: Kieu Phuong Chi, Tran Van An, Le Khanh Hung (2014), Fixed point theorems for (α-Ψ)-contractive type mappings in uniform spaces and applications, Filomat (to appear) 13 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, đưa số định lý điểm bất động số lớp ánh xạ không gian thứ tự phận ví dụ minh họa cho kết Sau đó, ứng dụng định lý thu vào việc nghiên cứu toán tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến 2.1 Điểm bất động đôi không gian thứ tự phận Năm 2006, mở rộng định lý điểm bất động không gian mêtric đầy đủ, T G Bhaskar V Lakshmikantham đưa khái niệm điểm bất động đôi thu số kết cho lớp ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Định nghĩa 2.1.1 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận F : X ×X → X Ánh xạ F gọi có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone) F không giảm theo biến thứ không tăng theo biến thứ hai, nghĩa với x, y ∈ X x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 F (x1 , y) ≤ F (x2 , y) y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ) Trong mục này, chứng minh số định lý điểm bất động đôi cho ánh xạ co suy rộng không gian thứ tự phận Xét họ hàm Φ1 = {φα : R+ → R+ ; α ∈ I} thỏa mãn điều kiện 14 i) φα hàm đơn điệu không giảm ii) < φα (t) < t với t > φα (0) = Cho (X, ≤) tập thứ tự phận Khi đó, xét thứ tự phận X × X với (x, y), (u, v) ∈ X × X, (x, y) ≤ (u, v) x ≤ u, y ≥ v Định lý 2.1.5 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận P = {dα (x, y) : α ∈ I} họ giả mêtric X cho (X, P) không gian Hausdorff đầy đủ dãy Cho F : X × X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Giả sử 1) Với α ∈ I , tồn φα ∈ Φ1 cho dα F (x, y), F (u, v) ≤ φα dj(α) (x, u) + dj(α) (y, v) , với x ≤ u, y ≥ v 2) Với α ∈ I , tồn φα ∈ Φ1 cho sup{φj n (α) (t) : n = 0, 1, } ≤ φα (t) φα (t) không giảm t 3) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 ) dj n (α) x0 , F (x0 , y0 ) + dj n (α) y0 , F (y0 , x0 ) < 2p(α) < ∞ với α ∈ I, n ∈ N Ngoài ra, giả thiết thêm a) F liên tục; b) X có tính chất i) Nếu dãy không giảm {xn } X hội tụ đến x xn ≤ x với n ii) Nếu dãy không tăng {yn } X hội tụ đến y yn ≥ y với n Khi đó, F có điểm bất động đôi Hơn nữa, X có tính chất j -bị chặn với (x, y), (z, t) ∈ X × X tồn (u, v) ∈ X × X so sánh với chúng, F có điểm bất động đôi Hệ 2.1.6.Ngoài giả thiết Định lý 2.1.5, x0 y0 so sánh F có điểm bất động nhất, nghĩa tồn x ∈ X cho F (x, x) = x 15 2.2 Điểm bất động ba không gian thứ tự phận Năm 2011, V Berinde M Borcut đưa khái niệm điểm bất động ba thu số định lý điểm bất động ba cho lớp ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Sau đó, năm 2012, H Aydi E Karapinar tiếp tục đưa kết tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu Định nghĩa 2.2.1 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận F : X ×X ×X → X Ánh xạ F gọi có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone property) với x, y, z ∈ X x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z), y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z) z1 , z2 ∈ X, z1 ≤ z2 ⇒ F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ) Định nghĩa 2.2.2 Cho ánh xạ F : X → X Phần tử (x, y, z) gọi điểm bất động ba (triple fixed point) F F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y F (z, y, x) = z Trong mục này, với họ hàm Φ1 (xác định Mục 2.2) cho trước chứng minh số định lý điểm bất động ba cho ánh xạ co suy rộng không gian đều, mà chúng mở rộng tự nhiên định lý điểm bất động ba giới thiệu gần tác giả khác không gian mêtric Chúng đưa số ví dụ minh họa cho kết thu Cho (X, ≤) tập thứ tự phận Khi đó, ta xác định thứ tự phận X sau: Với (x, y, z), (u, v, w) ∈ X (x, y, z) ≤ (u, v, w) x ≤ u, y ≥ v z ≤ w Ta nói (x, y, z) (u, v, w) so sánh (x, y, z) ≤ (u, v, w) (u, v, w) ≤ (x, y, z) Ngoài ra, ta nói (x, y, z) (u, v, w) x = u, y = v z = w 16 Định nghĩa 2.2.4 Cho X không gian Ánh xạ T : X → X gọi ICS (injective, continuous, sequence) T đơn ánh, liên tục có tính chất: với dãy {xn } X , dãy {T xn } hội tụ {xn } hội tụ Định lý 2.2.5 Cho (X, ≤) tập thứ tự phận P = {dα (x, y) : α ∈ I} họ giả mêtric X cho (X, P) không gian Hausdorff đầy đủ dãy Cho T : X → X ánh xạ ICS F : X → X ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Giả sử 1) Với α ∈ I tồn φα ∈ Φ1 cho dα T F (x, y, z), T F (u, v, w) ≤ φα max dj(α) (T x, T u), dj(α) (T y, T v), dj(α) (T z, T w) , với x ≤ u, y ≥ v z ≤ w 2) Với α ∈ I , tồn φα ∈ Φ1 cho sup{φj n (α) (t) : n = 0, 1, } ≤ φα (t) φα (t) hàm không giảm (0, +∞) t 3) Tồn x0 , y0 , z0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ), z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) với t > max dj n (α) T x0 , T F (x0 , y0 , z0 ) , dj n (α) T y0 , T F (y0 , x0 , y0 ) , dj n (α) T z0 , T F (z0 , y0 , x0 ) < p(α) < ∞, với α ∈ I, n ∈ N Ngoài ra, giả thiết thêm a) F liên tục; b) X có tính chất i) Nếu dãy không giảm {xn } X hội tụ đến x xn ≤ x với n ii) Nếu dãy không tăng {yn } X hội tụ đến y yn ≥ y với n Khi đó, F có điểm bất động ba Hơn nữa, X có tính chất j -bị chặn với (x, y, z), (u, v, w) ∈ X tồn (a, b, c) ∈ X so sánh với chúng, F có điểm bất động ba Hệ 2.2.6 Ngoài giả thiết Định lý 2.2.5, giả thiết thêm x0 ≤ y0 z0 ≤ y0 F có điểm bất động nhất, nghĩa tồn x ∈ X cho F (x, x, x) = x Chúng đưa số ví dụ minh họa cho định lý mục 2.1, 2.2 17 2.3 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến Trước hết trình bày ứng dụng định lý điểm bất động đôi vào việc khảo sát tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn Xét phương trình tích phân sau ∆(t) x(t) = h(t) + K1 (t, s) + K2 (t, s) f (s, x(s)) + g(s, x(s)) ds, (2.49) K1 , K2 ∈ C R+ × R+ , R , f, g ∈ C R+ × R, R hàm chưa biết x ∈ C R+ , R) Hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ liên tục, trường hợp tổng quát không bị chặn Vì hàm độ lệch ∆ không bị chặn nên áp dụng định lý điểm bất động đôi biết không gian mêtric cho phương trình tích phân Để xét tồn nghiệm x ∈ C R+ , R) phương trình tích phân trên, bổ sung thêm giả thiết sau Giả thiết 2.3.1 B1) K1 (t, s) ≥ K2 (t, s) ≤ với t, s ≥ B2) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn λ, µ ≥ φK ∈ Φ1 cho với x, y ∈ R, x ≥ y với t ∈ K , ta có ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ λφK −µφK x−y ∆(t) max(λ, µ) sup t∈K x−y , ≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ K1 (t, s) − K2 (t, s) ds ≤ B3) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn tập compắc K ⊂ R+ cho ∆n (K) ⊂ K, với n ≥ B4) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn φK ∈ Φ1 cho không giảm φ∆n (K) (t) ≤ φK (t) với n với t ≥ φK (t) hàm t Định nghĩa 2.3.2 Phần tử (α, β) ∈ C R+ , R × C R+ , R gọi nghiệm đôi (coupled lower and upper solution) phương trình (2.49) α(t) ≤ β(t) ∆(t) α(t) ≤ h(t) + K1 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds ∆(t) + K2 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds 18 ∆(t) β(t) ≥ h(t) + K1 (t, s) f (s, β(s)) + g(s, α(s)) ds ∆(t) + K2 (t, s) f (s, α(s)) + g(s, β(s)) ds Định lý 2.3.3 Xét phương trình tích phân (2.49) với hàm K1 , K2 ∈ C R+ × R+ , R , f, g ∈ C R+ × R, R , h ∈ C R+ , R giả sử Giả thiết 2.3 thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm đôi phương trình (2.49) kéo theo tồn nghiệm phương trình (2.49) C R+ , R Tiếp theo, trình bày ứng dụng kết thu điểm bất động ba vào toán khảo sát tồn nghiệm lớp phương trình tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị chặn Xét phương trình tích phân phi tuyến ∆(t) x(t) = k(t) + K1 (t, s) + K2 (t, s) + K3 (t, s) (2.50) × f s, x(s) + g s, x(s) + h s, x(s) ds, K1 , K2 , K3 ∈ C R+ × R+ , R , f, g, h ∈ C R+ × R, R hàm chưa biết x ∈ C R+ , R), hàm độ lệch ∆ : R+ → R+ liên tục Chúng ta giả sử hàm K1 , K2 , K3 , f, g, h thỏa mãn điều kiện sau Giả thiết 2.3.4 C1) K1 (t, s) ≥ 0, K2 (t, s) ≤ K3 (t, s) ≥ với t, s ≥ C2) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn số thực λ, µ, η ≥ hàm φK ∈ Φ1 cho với x, y ∈ R, x ≥ y với t ∈ K , ta có ≤ f (t, x) − f (t, y) ≤ λφK x − y , −µφK x − y ≤ g(t, x) − g(t, y) ≤ 0, ≤ h(t, x) − h(t, y) ≤ ηφK x − y ∆(t) max(λ, µ, η) sup t∈K K1 (t, s) − K2 (t, s) + K3 (t, s) ds ≤ C3) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn tập compắc K ⊂ R+ cho với n ∈ N, ∆n (K) ⊂ K, ∆0 (t) = t, ∆n (t) = ∆ ∆n−1 (t) , với t ≥ n = 1, 2, 19 C4) Với tập compắc K ⊂ R+ , tồn φK ∈ Φ1 cho không giảm φ∆n (K) (t) ≤ φK (t) với n ∈ N t ≥ φK (t) hàm t Định nghĩa 2.3.5 Về phần tử (α, β, γ) ∈ C R+ , R × C R+ , R × C R+ , R gọi nghiệm ba (tripled lower and upper solution) phương trình tích phân (2.50) Định lý 2.3.6 Xét phương trình tích phân (2.50) với K1 , K2 , K3 ∈ C R+ × R+ , R , f, g, h ∈ C R+ × R, R , k ∈ C R+ , R giả sử Giả thiết 2.3 thỏa mãn Khi đó, tồn nghiệm ba (2.50) dẫn đến tồn nghiệm (2.50) C R+ , R Kết luận Chương Trong Chương này, thu kết sau • Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ co không gian thứ tự phận (Định lý 2.1.5, Hệ 2.1.6) • Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động ba cho lớp ánh xạ co không gian thứ tự phận (Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6) • Ứng dụng Định lý 2.1.5 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Ứng dụng Định lý 2.2.5 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Các kết công bố báo • Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014), Coupled fixed point theorems in uniform spaces and application, Journal of Nonlinear Convex Analysis, Vol 15, No 5, 953-966 • Le Khanh Hung (2014), Triple fixed points in ordered uniform spaces, Bul- letin of Mathematical Analysis and Applications, Vol 6, Issue 2, 1-22 20 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG ĐẠI SỐ LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG Trong chương thiết lập định lý điểm bất động đại số lồi địa phương dựa ý tưởng kết biết đại số Banach không gian đều, sau áp dụng định lý thu để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn 3.1 Đại số lồi địa phương Mục giới thiệu số kiến thức sở đại số lồi địa phương Từ sau ta giả thiết đại số nói tới đại số giao hoán kết hợp trường số phức trường số thực K Định nghĩa 3.1.1 Cho X đại số K X gọi đại số tôpô (topological algebra) X trang bị tôpô τ cho 1) (X, τ ) không gian véctơ tôpô; 2) Phép toán nhân X liên tục Định nghĩa 3.1.2 Cho X đại số tôpô Khi đó, 1) Nửa chuẩn p : X → R gọi bán nhân tính (submultiplicative) p(xy) ≤ p(x)p(y) với x, y ∈ X 2) Tập U ⊂ X gọi nhân tính (multiplicative) U.U ⊂ U Định nghĩa 3.1.3 Đại số tôpô X gọi đại số lồi địa phương nhân tính (locally multiplicatively-convex algebra) X có sở lân cận điểm ∈ X gồm tập lồi nhân tính Định nghĩa 3.1.6 Cho X không gian lồi địa phương T : X → X Khi đó, 2) T gọi hoàn toàn bị chặn với tập bị chặn S X , T (S) tập hoàn toàn bị chặn X 3) T gọi hoàn toàn liên tục liên tục hoàn toàn bị chặn 21 3.2 Điểm bất động đại số lồi địa phương Xét Φ = {φα : R+ → R+ , α ∈ I} họ hàm đơn điệu tăng, liên tục, thỏa mãn < φα (t) < t với t > φα (0) = 0; Ψ = {ψα : R+ → R+ , α ∈ I} họ hàm đơn điệu tăng, liên tục ψα (0) = Cho X đại số lồi địa phương với họ bão hòa nửa chuẩn {pα }α∈I Định nghĩa 3.2.4 Ánh xạ T : X → X gọi D-Lipschitz với họ hàm {ψα }α∈I pα (T x − T y) ≤ ψα pj(α) (x − y) , với x, y ∈ X α ∈ I , {ψα }α∈I họ Ψ Nếu ψα (t) = kα t với t ≥ 0, kα số thực với α ∈ I , T gọi Lipschitz với họ số Lipschitz {kα }α∈I Mở rộng kết không gian đại số Banach, thu định lý sau đại số lồi địa phương Định lý 3.2.5 Cho X đại số lồi địa phương cho X không gian Hausdorff đầy đủ dãy Giả sử S tập đóng, lồi bị chặn X A : X → X , B : S → X hai toán tử cho 1) A D-Lipschitz với họ hàm {ψα }α∈I 2) B hoàn toàn liên tục với y ∈ S , x = AxBy kéo theo x ∈ S 3) pj(α) (x − y) ≤ pα (x − y) với x, y ∈ S α ∈ I 4) Với x ∈ X với α ∈ I , tồn q(α, x) cho pj k (α) (x) ≤ q(α, x) < ∞ với k = 0, 1, 2, , trường hợp đặc biệt pj k (α) (x) ≤ q(α) < ∞ với x ∈ S với k = 0, 1, 2, 5) Với α ∈ I , Mα ψα (t) < t với t > tồn φα ∈ Φ cho φα (t) không giảm sup{Mj k (α) ψj k (α) (t) : k = 0, 1, 2, } ≤ φα (t) với t > 0, t Mα = sup pα B(x) : x ∈ S Khi đó, phương trình toán tử x = AxBx có nghiệm Hệ 3.2.7 Cho S tập đóng, lồi bị chặn đại số lồi địa phương X cho X không gian Hausdorff đầy đủ dãy cho A : X → X , B : S → X hai toán tử cho 1) A Lipschitz với họ số Lipschitz {kα }α∈I 2) B hoàn toàn liên tục với y ∈ S , x = AxBy kéo theo x ∈ S 3) pj(α) (x − y) ≤ pα (x − y) với x, y ∈ S α ∈ I 22 4) Với x ∈ X với α ∈ I , tồn q(α, x) cho pj k (α) (x) ≤ q(α, x) < ∞ với k = 0, 1, 2, , trường hợp đặc biệt pj k (α) (x) ≤ q(α) < ∞ với x ∈ S với k = 0, 1, 2, 5) Với α ∈ I , Mα kα < sup Mj k (α) kj k (α) : k = 0, 1, 2, ≤ rα < 1, Mα = sup pα B(x) : x ∈ S , α ∈ I Khi đó, phương trình toán tử x = AxBx có nghiệm 3.3 Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến Trong mục này, ứng dụng kết thu Mục 3.2 để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân với hàm độ lệch không bị chặn Xét phương trình tích phân sau ∆1 (t) ∆m (t) x(s)ds, , x(t) = F t, x(s)ds, x τ1 (t) , , x τn (t) (3.3) t f s, x(s) ds , × q(t) + x ∈ C(R+ , R) hàm chưa biết, hàm ∆i , τj : R+ → R+ liên tục, nói chung không bị chặn, q : R+ → R, f : R+ ×R → R liên tục, F : R+ ×Rm+n → [0, 1] Nghiệm phương trình (3.3) hàm liên tục x : R+ → R thỏa mãn (3.3) R+ Ký hiệu X = C(R+ , R) đại số lồi địa phương tất hàm giá trị thực liên tục R+ với họ nửa chuẩn p[0,n] (x) = max |x(t)| : t ∈ [0, n] , n ∈ N∗ Để xét tồn nghiệm phương trình tích phân ta cần thêm giả thiết sau Giả thiết 3.3.1 D1) Các hàm ∆i (t) : R+ → R+ , i = 1, 2, , m; τl (t) : R+ → R+ , l = 1, 2, , n liên tục ∆i (t) ≤ t, τl (t) ≤ t với t > D2) Hàm F : (t, u1 , u2 , , um , v1 , , ) : R+ × Rm+n → [0, 1] liên tục thỏa mãn điều kiện F (t, u1 , , um , v1 , , ) − F (t, u1 , , um , v , , v n ) ≤ Ω t, |u1 − u1 |, , |um − um |, |v1 − v |, , |vn − v n | , 23 hàm Ω(t, x1 , , xm , y1 , , yn ) : Rm+n+1 → R+ liên tục theo t, không + giảm liên tục theo biến xi , yl , Ω(t, ay, , ay, y, , y) < y với số a > Ω(t, ay, , ay, y, , y) hàm không giảm theo y y D3) Hàm q : R+ → R liên tục R+ , q +∞ f s, x(s) ds < − q ∞ ∞ = supt∈R+ |q(t)| < với x ∈ C(R+ , R) mà |x(t)| ≤ với t Định lý 3.3.2 Với giả thiết D1), D2) D3), phương trình (3.3) có nghiệm x = x(t) thuộc C(R+ , R) Ví dụ minh họa cho Định lý 3.3 Ví dụ 3.3.3 Xét phương trình tích phân phi tuyến sau x(t) = + x τ (t) t te−t + se−s 1+x2 (s) ds , (3.9) τ (t) hàm liên tục R+ τ (t) ≤ t với t ∈ R+ Áp dụng Định lý 3.3, ta chứng minh (3.9) có nghiệm C(R+ , R) Kết luận Chương Trong Chương này, thu kết sau • Thiết lập định lý điểm bất động đại số lồi địa phương dựa ý tưởng kết biết đại số Banach không gian (Định lý 3.2.5) • Áp dụng Định lý 3.2.5 để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Các kết công bố báo Le Khanh Hung (2014), Fixed point theorems in locally convex algebras and applications to nonlinear intergral equations, Fixed point theory and applications, DOI 10.1186/s13663-015-0310-9 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ không gian với cấu trúc ứng dụng để chứng minh số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn có nghiệm Các kết luận án Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co không gian Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co không gian Ứng dụng để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động đôi cho lớp ánh xạ co không gian có thứ tự phận (Định lý 2.1.5, Hệ 2.1.6) Ứng dụng Định lý 2.1.5 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động ba cho lớp ánh xạ co không gian có thứ tự phận (Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6) Ứng dụng Định lý 2.2.5 để tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Thiết lập định lý điểm bất động đại số lồi địa phương dựa ý tưởng kết biết đại số Banach không gian (Định lý 3.2.5) Áp dụng Định lý 3.2.5 để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Đưa số ví dụ minh họa cho định lý để kết thực mở rộng so với kết biết Kiến nghị Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đa trị không gian với cấu trúc ứng dụng vào toán tồn nghiệm phương trình tích phân, phương trình vi phân Nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ co không gian với tôpô yếu DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014), Coupled fixed point theorems in uniform spaces and application, Journal of Nonlinear Convex Analysis, Volume 15, Number 5, 953-966 Le Khanh Hung (2014), Triple fixed points in ordered uniform spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, Volume 6, Issue 2, 1-22 Kieu Phuong Chi, Tran Van An, Le Khanh Hung (2014), Fixed point theorems for (α-Ψ)-contractive type mappings in uniform spaces and applications, Filomat (to appear) Le Khanh Hung (2015), Fixed point theorems in locally convex algebras and applications to nonlinear integral equations, Fixed point theory and applications, DOI 10.1186/s13663-015-0310-9 Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2014), Some fixed point theorems in uniform spaces, submitted to Filomat CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI • Seminar Tổ Giải tích thuộc Khoa Toán Trường Đại học Vinh; • Các Hội nghị NCS Trường Đại học Vinh (2010 - 2014); • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp Huế 20-24/8/2012; • Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ Nha Trang 10-14/8/2013 [...]... 10.1186/s13663-015-0310-9 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Luận án nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng để chứng minh một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn có nghiệm Các kết quả chính của luận án là 1 Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian... cứu các vấn đề sau: 1 Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng vào các bài toán về sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân, phương trình vi phân 2 Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian với tôpô yếu DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1 Tran Van An, Kieu Phuong Chi... trong không gian đều 2 Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động cho lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co trong không gian đều Ứng dụng để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn 3 Đưa ra định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều có thứ tự bộ phận (Định lý... appear) 13 CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận cùng các ví dụ minh họa cho những kết quả đó Sau đó, chúng tôi ứng dụng các định lý thu được vào việc nghiên cứu bài toán về sự tồn tại nghiệm của một lớp các phương trình... chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn 4 Đưa ra định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ ba cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều có thứ tự bộ phận (Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6) Ứng dụng Định lý 2.2.5 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn 5 Thiết lập một định... và M Borcut đưa ra khái niệm điểm bất động bộ ba và đã thu được một số định lý điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn Sau đó, năm 2012, H Aydi và E Karapinar tiếp tục đưa ra các kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu Định nghĩa 2.2.1 Cho (X, ≤) là một tập thứ tự bộ phận và F : X ×X ×X → X Ánh xạ F được gọi là có tính chất đơn điệu trộn (mixed monotone property)... sự tồn tại nghiệm bộ ba trên và dưới của (2.50) dẫn đến sự tồn tại nghiệm duy nhất của (2.50) trong C R+ , R Kết luận Chương 2 Trong Chương này, chúng tôi thu được những kết quả chính sau • Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận (Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6) • Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn. .. Đưa ra các định lý khẳng định sự tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động bộ ba cho một lớp ánh xạ co trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận (Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6) • Ứng dụng Định lý 2.1.5 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn Ứng dụng Định lý 2.2.5 để chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của một lớp phương trình tích phân với độ lệch... (z, t) ∈ X × X tồn tại (u, v) ∈ X × X so sánh được với chúng, thì F có điểm bất động bộ đôi duy nhất Hệ quả 2.1.6.Ngoài các giả thiết của Định lý 2.1.5, nếu x0 và y0 so sánh được thì F có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho F (x, x) = x 15 2.2 Điểm bất động bộ ba trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận Năm 2011, V Berinde và M Borcut đưa ra khái niệm điểm bất động bộ ba và... R , h ∈ C R+ , R và giả sử Giả thiết 2.3 được thỏa mãn Khi đó, sự tồn tại của nghiệm bộ đôi trên và dưới của phương trình (2.49) sẽ kéo theo sự tồn tại nghiệm duy nhất của phương trình (2.49) trong C R+ , R Tiếp theo, chúng tôi trình bày ứng dụng các kết quả thu được về điểm bất động bộ ba vào bài toán khảo sát sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến với hàm độ lệch không bị ... tượng nghiên cứu luận án không gian đều, ánh xạ co suy rộng không gian đều, điểm bất động, điểm bất động đôi, điểm bất động ba số lớp ánh xạ không gian với cấu trúc đều, số lớp phương trình tích... kết luận án Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co không gian Đưa định lý khẳng định tồn tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co không gian Ứng dụng để tồn. .. (to appear) 13 CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN ĐỀU SẮP THỨ TỰ BỘ PHẬN VÀ ỨNG DỤNG Trong chương này, đưa số định lý điểm bất động số lớp ánh xạ không gian thứ tự phận