Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm cổ điển không âm trong miền kiểu hình sao; Nghiên cứu các định lí kiểu Liouville về sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương trong toàn không gian.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIẾN TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 HÀ NỘI, 2019 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học : PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nhiều phương trình đạo hàm riêng loại elliptic gắn với việc nghiên cứu trạng thái dừng q trình tiến hóa vật lí, hóa học, học sinh học Mặt khác, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng xuất phát từ tốn hình học vi phân (xem chuyên khảo Ambrosetti Malchiodi (2007), Evans (1998), Gilbag Trudinger (1998), Quittner Souplet (2007), Willem (1996)) Vì vậy, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Một mặt việc nghiên cứu phương trình elliptic thúc đẩy cung cấp ý tưởng cho phát triển công cụ kết nhiều chun ngành giải tích Lí thuyết khơng gian hàm, Giải tích hàm phi tuyến, Phép tính biến phân, Mặt khác, phát triển chuyên ngành dẫn đến tiến lớn lí thuyết phương trình elliptic Chính lí thuyết phương trình elliptic thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Như nói trên, vấn đề nghiên cứu tốn elliptic phương pháp giải tích nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp tốn chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến (xem, chẳng hạn chuyên khảo Ambrosetti Malchiodi (2007), Quittner Souplet (2007), Willem (1996) báo tổng quan gần Figueiredo (1996), Kogoj (2018)) Trong lớp tốn tử suy biến, có lớp đặc biệt quan trọng lớp toán tử ∆λ -Laplace có dạng N ∂xi (λ2i (x)∂xi u), ∆λ u = i=1 λi hàm thỏa mãn số điều kiện phù hợp Lớp toán tử đưa Kogoj Lanconelli năm 2012, chứa nhiều lớp toán tử quan trọng N toán tử Laplace ∆u = uxi xi , toán tử Grushin Gs u = ∆x u+|x|2s ∆y u (xem i=1 Grushin (1971)), toán tử suy biến mạnh Pα,β u = ∆x u + |x|2α ∆y u + |y|2β ∆z u, (xem N.M Tri cộng (2002, 2012)) Dưới đây, điểm qua số kết quan trọng tồn tính chất định tính nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic, liên quan đến nội dung luận án • Phương trình elliptic nửa tuyến tính Trong thập kỉ vừa qua, tốn biên phương trình elliptic nửa tuyến tính có dạng −∆u = f (x, u), x ∈ Ω, (1) u = 0, x ∈ ∂Ω nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nhiều toán quan trọng đặt nghiên cứu lớp phương trình trên, chẳng hạn tồn nghiệm, tính quy nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tô-pô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm (xem Evans (1998)), phương pháp bậc tô-pô (xem Li (1989)), Tuy nhiên, phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình phương pháp biến phân (xem Ambrosetti Malchiodi (2007), Jabri (2003), Rabinowitz (1986), Willem (1996)) Ý tưởng phương pháp chuyển toán (1) việc tìm điểm tới hạn phiếm hàm Euler-Lagrange khả vi J liên kết với toán (1) Theo đó, điều kiện (AR) đưa lần Ambrosetti Rabinowitz (1973) (AR) ∃R0 > 0, θ > cho < θF (x, s) ≤ sf (x, s), ∀|s| ≥ R0 , ∀x ∈ Ω, đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu tốn dạng (1) Điều kiện khơng đảm bảo cho phiếm hàm Euler-Lagrange J liên kết với tốn (1) có cấu trúc hình học qua núi mà đảm bảo cho dãy Palais-Smale phiếm hàm Euler-Lagrange bị chặn Với điều kiện (AR) này, ta sử dụng định lí qua núi dạng cổ điển Ambrosetti Rabinowitz (xem Ambrosetti-Rabinowitz (1973), Ambrosetti-Malchiodi (2007), Rabinowitz (1986)) để nghiên cứu tồn nghiệm toán Mặc dù điều kiện (AR) đưa cách tự nhiên, có nhiều tốn số hạng phi tuyến f (x, u) không thỏa mãn điều kiện (AR), điều kiện (AR) làm hạn chế số hạng phi tuyến Do đó, vài năm trở lại đây, vài tác giả nghiên cứu toán (1) loại bỏ điều kiện (AR), chẳng hạn, Schechter Zou (2004), Liu Wang (2004), Miyagaki Souto (2008), Liu (2010), Lam Lu (2013, 2014), Binlin cộng (2015) Sự tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn (1) tốn tử Laplace thay toán tử suy biến số tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn, V.V Grushin (1971), N.M Tri (1998), N.T.C Thuy N.M Tri (2002), P.T Thuy N.M Tri (2012, 2013) Năm 2017 nhiều tác giả nghiên cứu toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính có phần tốn tử suy biến tổng qt cho toán tử suy biến mạnh ∆λ , cụ thể toán −∆ u + V (x)u = f (x, u), x ∈ Ω, λ (2) u = 0, x ∈ ∂Ω, Ω miền bị chặn RN , N ≥ Các kết tồn tại, tính đa nghiệm tính quy nghiệm tốn (2) nghiên cứu tác Kogoj Lanconelli (2012), D.T Luyen N.M Tri (2015, 2018), Luyen (2017), Chen, Tang Gao (2018), Rahal Hamdani (2018), nhiều trường hợp hàm vị xét số hạng phi tuyến khơng liên tục phải thỏa mãn điều kiện (AR) (xem thêm báo tổng quan gần Kogoj (2018)) Như thấy rằng, phương trình elliptic suy biến, kết chủ yếu đạt trường hợp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn (tức tăng trưởng tới hạn thỏa mãn điều kiện (AR)) Theo hiểu biết chúng tơi, nhiều vấn đề mở liên quan tới chủ đề này, chẳng hạn nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (2) số hạng phi tuyến f (x, u) không thỏa mãn điều kiện (AR), số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn, • Hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính dạng Hamilton Bên cạnh nghiên cứu cho phương trình elliptic vơ hướng, hệ phương trình elliptic nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Một lớp hệ elliptic điển hình lớp hệ Hamilton có dạng sau: p−1 x ∈ Ω, −∆u = |v| v, −∆v = |u|q−1 u, u = v = 0, x ∈ Ω, (3) x ∈ ∂Ω, p, q > Ω miền bị chặn RN , N ≥ với biên ∂Ω trơn Với hệ (3), ta biết đường hyperbol tới hạn 1 N −2 + = p+1 q+1 N Khi cặp số mũ (p, q) nằm nằm phía đường hyperbol này, nghĩa (p, q) thỏa mãn N −2 + ≤ , p+1 q+1 N không tồn nghiệm cổ điển dương hệ (3) miền hình bị chặn chứng minh cơng trình Pucci Serrin (1986), Mitidieri (1993) Trong trường hợp toán tử suy biến, vài kết không tồn nghiệm toán biên cho hệ Hamilton/gradient suy biến chứng minh tác N.T Chung (2014), N.M Chuong cộng (2004, 2005) Trong đó, cặp số mũ (p, q) nằm phía đường hyperbol tới hạn, nhờ sử dụng phương pháp biến phân Định lí Fountain thiết lập Bartsch-Figueiredo (1996), tồn vô hạn nghiệm yếu hệ (3) chứng minh (xem thêm cơng trình Peletier van der Vorst (1992), Hulshof van der Vorst (1993), de Figueiredo Felmer (1994) báo tổng quan Figueiredo (1996)) Tuy nhiên, hệ phương trình elliptic chứa tốn tử suy biến, kết tương ứng ít; chẳng hạn, tồn nghiệm, tính đa nghiệm khơng tồn nghiệm hệ có dạng (3) tốn tử Laplace thay toán tử elliptic suy biến mạnh ∆λ chưa nghiên cứu • Các định lí kiểu Liouville cho phương trình hệ phương trình elliptic Trong năm gần đây, chủ đề thời nghiên cứu Định lí kiểu Liouville cho phương trình hệ phương trình elliptic Nội dung Định lí kiểu Liouville khẳng định khơng tồn nghiệm tồn khơng gian nửa khơng gian Định lí Liouville cổ điển phát biểu sau: “Một hàm điều hòa (hoặc chỉnh hình) bị chặn tồn khơng gian hàm phải số” Phát biểu Liouville đưa năm 1844 sau Cauchy (1844) đưa chứng minh định lí (xem thêm Axler-Bourdon-Ramey (2001)) Các định lí kiểu Liouville cho phương trình elliptic bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính tồn khơng gian RN nghiên cứu tác giả Gidas Spruck (1980, 1981), Chen Li (1991) Định lí Liouville cho phương trình elliptic nửa tuyến tính bất đẳng thức nón Σ RN đạt Dolcetta, Berestycki Nirenberg (1995) Gần đây, định lí kiểu Liouville cho phương trình elliptic suy biến thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học Định lí Liouville mở rộng cho hàm p-điều hòa tồn khơng gian RN miền Serrin Zou (2002) Định lí Liouville cho phương trình bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử Grushin nghiên cứu tác giả, chẳng hạn xem Dolcetta Cutrì (1997), D’Ambrosio Lucente (2003), Monticelli (2010), Yu (2014) Các định lí Liouville cho hệ phương trình hệ bất đẳng thức elliptic không suy biến thiết lập Souto (1995), Serrin Zou (1996), Mitidieri Pohozaev (2001), Souplet (2009) Bên cạnh đó, hướng nghiên cứu thời khác liên quan đến chủ đề thiết lập định lí kiểu Liouville cho nghiệm ổn định ổn định bên tập compact Về hướng nghiên cứu xin xem chuyên khảo Dupaigne (2011) số kết gần cho toán tử suy biến, chẳng hạn Hung Tuan (2017), Anh, Jihoon My (2018), Rahal (2018) Như vậy, ta thấy định lí kiểu Liouville chứng minh cho vài lớp toán tử suy biến yếu kết đạt ít; kết cho trường hợp tốn tử suy biến mạnh, nói riêng lớp toán tử suy biến ∆λ , nhiều trường hợp mở Tóm lại, với phân tích trên, ta thấy rằng, bên cạnh kết đạt được, toán phương trình, hệ phương trình elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh ∆λ nhiều vấn đề mở, chẳng hạn: • Sự tồn tính đa nghiệm phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến mạnh có dạng −∆ u = f (x, u), λ u = 0, x ∈ Ω, (4) x ∈ ∂Ω, Ω miền bị chặn RN , N ≥ số hạng phi tuyến f (x, u) không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz • Sự tồn tại, khơng tồn tính đa nghiệm hệ Hamilton elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến ∆λ có dạng p−1 x ∈ Ω, −∆λ u = |v| v, −∆λ v = |u|q−1 u, u = v = 0, x ∈ Ω, (5) x ∈ ∂Ω, với p, q > Ω miền bị chặn RN , N ≥ • Các định lí kiểu Liouville cho phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến mạnh ∆λ Cụ thể, thiết lập định lí kiểu Liouville cho bất đẳng thức − ∆λ u ≥ up , x ∈ RN , hệ bất đẳng thức −∆ u ≥ v p , λ −∆λ v ≥ uq , x ∈ RN , x ∈ RN , (N ≥ 2, p > 1), (6) (N ≥ 2, p, q > 0) (7) Vì vậy, luận án tập trung vào nghiên cứu tồn khơng tồn nghiệm, tính đa nghiệm, thiết lập định lí kiểu Liouville cho phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình elliptic chứa tốn tử suy biến ∆λ Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa tốn tử ∆λ phương pháp Giải tích hàm phi tuyến Cụ thể vấn đề sau: • Nghiên cứu tồn nghiệm yếu; • Nghiên cứu tính đa nghiệm; • Nghiên cứu khơng tồn nghiệm cổ điển khơng âm miền kiểu hình sao; • Nghiên cứu định lí kiểu Liouville khơng tồn nghiệm cổ điển dương tồn khơng gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích đặt trên, luận án chúng tơi nghiên cứu nội dung sau: • Nội dung Nghiên cứu tồn tính đa nghiệm trường hợp tới hạn phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử ∆λ với số hạng phi tuyến khơng thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz • Nội dung Nghiên cứu tồn tại, không tồn tính đa nghiệm trường hợp số hạng phi tuyến tới hạn hệ Hamilton elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử ∆λ • Nội dung Nghiên cứu định lí kiểu Liouville cho hệ bất đẳng thức elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử ∆λ Phương pháp nghiên cứu • Để nghiên cứu tồn nghiệm tính đa nghiệm sử dụng phương pháp biến phân định lí tổng qt lí thuyết tới hạn • Để nghiên cứu không tồn nghiệm thiết lập đồng thức kiểu Pohozaev phù hợp khai thác cấu trúc hình học miền xét • Để nghiên cứu định lí kiểu Liouville sử dụng phương pháp hàm thử thiết lập ước lượng tích phân phù hợp Kết luận án Luận án đạt kết sau đây: • Chứng minh tồn nghiệm yếu không tầm thường tốn (4) số hạng phi tuyến có tăng trưởng đa thức tới hạn không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz Ngoài ra, số hạng phi tuyến hàm lẻ theo biến ẩn hàm, chứng minh tính đa nghiệm tốn (4) Đây nội dung Chương • Chứng minh không tồn nghiệm cổ điển dương hệ Hamilton (5) trường hợp miền xét miền hình Chứng minh tính đa nghiệm hệ (5) trường hợp số mũ p, q nằm đường hyperbol tới hạn Đây nội dung Chương • Thiết lập định lí kiểu Liouville không tồn nghiệm cổ điển không âm bất đẳng thức (6) hệ bất đẳng thức elliptic (7) tồn khơng gian Đây nội dung Chương Các kết luận án đóng góp có ý nghĩa khoa học cho Lí thuyết Giải tích hàm phi tuyến ứng dụng Lí thuyết phương trình elliptic; góp phần vào việc hồn thiện lí thuyết giải số vấn đề mở mà nhiều nhà khoa học nước quan tâm Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục cơng trình cơng bố danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương sau; • Chương trình bày kết tồn nghiệm yếu phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến có tăng trưởng đa thức tới hạn; • Chương trình bày kết khơng tồn nghiệm cổ điển, tồn nghiệm yếu hệ Hamilton suy biến miền bị chặn; • Chương trình bày định lí kiểu Liouville hệ bất đẳng thức elliptic suy biến tồn khơng gian với i, j = 1, 2, , N chuẩn tương ứng p1 N u |u|p + |∇λ u|p + = Wλ2,p λi i,j=1 Ω ∂ ∂u (λj ) ∂xi ∂xj p dx Ta thấy không gian Wλ2,p (Ω) không gian Banach Đặc biệt, p = 2, không gian Wλ2,2 (Ω) không gian Hilbert tương ứng với tích vơ hướng N (u, v)W 2,2 = (u, v)L2 + (λi λ i=1 N ∂u ∂v , λi )L2 ∂xi ∂xi λi + i,j=1 ∂ ∂u ∂ ∂v (λj ), λi (λj ) ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj , L2 f (x)g(x)dx với f, g ∈ L2 (Ω) (f, g)L2 = Ω Ta có kết phép nhúng thường sử dụng sau luận án Mệnh đề 1.1 Giả sử hàm λi , i = 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện 1)-4) Mục 1.1 Q > Khi phép nhúng ◦ ∗ 2λ ∗ W 1,2 λ (Ω) → L (Ω), 2λ = 2Q , Q−2 liên tục Hơn nữa, phép nhúng ◦ γ W 1,2 λ (Ω) → L (Ω) compact với γ ∈ [1, 2∗λ ) Bây giờ, thiết lập phép nhúng quan trọng sau Mệnh đề 1.2 Giả sử hàm λi , i = 1, 2, , N thỏa mãn điều kiện 1)-4) Mục 1.1 Q > Khi phép nhúng Wλ2,2 (Ω) → Lγ (Ω) liên tục với 2Q ≤ γ ≤ Q−4 Xét toán biên Dirichlet sau toán tử ∆λ -Laplace: −∆ u = f (x) Ω, λ (1.1) u = ∂Ω ◦ ◦ 1,2 Mệnh đề 1.3 Toán tử −∆λ : W 1,2 λ (Ω) → (W λ (Ω)) song ánh, ◦ ◦ 1,2 (W 1,2 λ (Ω)) không gian đối ngẫu W λ (Ω) 11 Hệ 1.1 Với f ∈ L2 (Ω), tốn Dirichlet (1.1) có nghiệm ◦ yếu u ∈ W 1,2 λ (Ω) ◦ ◦ Nhờ Mệnh đề 1.3, ta có tồn tốn tử nghịch đảo T = (−∆λ )−1 : (W 1,2 λ (Ω)) → W 1,2 λ (Ω) toán tử −∆λ Khi đó, ta có khẳng định sau Mệnh đề 1.4 Toán tử nghịch đảo T toán tử −∆λ toán tử xác định dương, tự liên hợp compact L2 (Ω) Từ Mệnh đề 1.4, ta suy tồn dãy hàm riêng ϕj ∈ L2 (Ω) toán tử T sở trực giao L2 (Ω) ứng với giá trị riêng {γj }∞ j=1 γj → j → +∞ Mặt khác, ◦ T : L2 (Ω) → W λ1,2 (Ω) ⊂ L2 (Ω) ◦ nên ϕj ∈ W 1,2 λ (Ω) với j = 1, 2, Hơn nữa, ϕj = T −1 (T ϕj ) = T −1 (γj ϕj ) = γj (−∆λ ϕj ), nên −∆λ ϕj = ϕj , γj ∀j = 1, 2, Điều chứng tỏ rằng, tốn tử −∆λ có dãy hàm riêng {ϕj }∞ j=1 ◦ W λ1,2 (Ω) ứng với dãy giá trị riêng {µj = < µ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µj ≤ · · · , ∞ γj }j=1 thỏa mãn µj → +∞ j → +∞ 1.3 Một vài kết lí thuyết điểm tới hạn Ta sử dụng phiên sau Định lí qua núi (Mountain Pass Theorem) Định lí 1.1 Cho X không gian Banach phiếm hàm J ∈ C (X, R) thỏa mãn điều kiện (C)c với c ∈ R, J(0) = 0, (i) Tồn số ρ, α > cho J(u) ≥ α ∀ u = ρ; (ii) Tồn điểm u1 ∈ X, u1 > ρ cho J(u1 ) ≤ Khi c = inf max J(γ(t)) ≥ α giá trị tới hạn J, γ∈Γ 0≤t≤1 Γ = {γ ∈ C ([0, 1], X) : γ(0) = 0, γ(1) = u1 } 12 Do X không gian Banach phản xạ, ta biết tồn dãy {ej } ⊂ X, {ϕj } ⊂ X ∗ cho (i) ϕj , ej = δi,j , δi,j = i = j δi,j = trái lại; ∗ w ∞ ∗ (ii) span{ej }∞ j=1 = X span {ϕj }j=1 = X Ta đặt Xj = Rej X = Xj Đặt j≥1 k Yk = Xj Zk = j=1 Xj (1.2) j≥k Vì Định lí qua núi phiếm hàm thỏa mãn điều kiện Cerami (C)c nên để thiết lập kết tính đa nghiệm cho trường hợp phương trình Chương 2, ta sử dụng định lí sau Bartsch Định lí 1.2 Giả sử phiếm hàm J ∈ C (X, R) thỏa mãn điều kiện (C)c với c ∈ R J(u) = J(−u) Nếu với k ∈ N, tồn ρk > rk cho (i) ak = max ϕ(u) ≤ 0; u∈Yk u =ρk (ii) bk = inf ϕ(u) → +∞, k → ∞; u∈Zk u =rk phiếm hàm J có dãy điểm tới hạn {uk } cho J(uk ) → +∞ Tiếp theo, ta nhắc lại số khái niệm để nghiên cứu tồn nghiệm yếu hệ Hamilton Chương Định nghĩa 1.5 Cho E không gian Hilbert phiếm hàm Φ ∈ C (E, R) Giả sử cho trước dãy không gian hữu hạn chiều F = (En ) không gian E cho En ⊂ En+1 , n = 1, 2, ∪∞ n=1 En = E Khi đó, ta nói rằng: i) dãy (zk ) ⊂ E với zk ∈ Enk , nk → ∞, dãy (P S)Fc Φ(zk ) → c (1 + zk )(Φ |Enk )(zk ) → 0; ii) phiếm hàm Φ thỏa mãn điều kiện (P S)Fc mức c ∈ R, dãy (P S)Fc có dãy hội tụ tới điểm tới hạn Φ 13 Để chứng minh tồn dãy vô hạn nghiệm yếu cho hệ Hamilton Chương 3, chúng tơi sử dụng định lí sau thiết lập Bartsch de Figueiredo Ta phân tích khơng gian Hilbert E thành tổng trực tiếp E = E + ⊕ E − , kí hiệu E1± ⊂ E2± ⊂ · · · dãy tăng không gian hữu hạn chiều tương ứng ± + − ± E ± cho ∪∞ n=1 En = E đặt En = En ⊕ En , n = 1, 2, Định lí 1.3 Giả sử phiếm hàm Φ : E → R thuộc C (E, R) thỏa mãn điều kiện sau: (Φ1) Φ thỏa mãn (P S)Fc , với F = (En ), n = 1, 2, c > 0; (Φ2) Tồn dãy rk > 0, k = 1, 2, , cho với k ≥ đó, bk := inf{Φ(z) : z ∈ E + , z⊥Ek−1 , z = rk } → +∞ k → ∞; (Φ3) Tồn dãy phép đồng phôi Tk : E → E, k = 1, 2, , với Tk (En ) = En với k n, tồn dãy Rk > 0, k = 1, 2, , cho, với z = z + + z − ∈ Ek+ ⊕ E − Rk = max{ z + , z − } ta có Tk z > rk Φ(Tk z) < rk dãy xuất điều kiện (Φ2); (Φ4) dk := sup{Φ(Tk (z + + z − )) : z + ∈ Ek+ , z − ∈ E − , z + , z − ≤ Rk } < +∞; (Φ5) Φ phiếm hàm chẵn, tức Φ(z) = Φ(−z) Khi phiếm hàm Φ có dãy khơng bị chặn giá trị tới hạn Lưu ý rằng, phiếm hàm Φ ánh xạ tập bị chặn E thành tập bị chặn R điều kiện (Φ4) thỏa mãn 1.4 Một số điều kiện tiêu chuẩn số hạng phi tuyến Trong mục chúng tơi trình bày số điều kiện tiêu chuẩn số hạng phi tuyến f (x, s) : cụ thể là, điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz (AR), điều kiện tăng trưởng đa thức tới hạn kiểu (SPC) kiểu (SCPI), điều kiện tăng trưởng tới hạn số kết liên quan nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (1) 14 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn elliptic suy biến nửa tuyến tính chứa tốn tử suy biến mạnh ∆λ miền bị chặn Ω ⊂ RN , N ≥ 2, số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz Chúng tơi chứng tỏ tồn nghiệm yếu thêm điều kiện tính lẻ số hạng phi tuyến chúng tơi chứng minh tính đa nghiệm yếu tốn Nội dung chương viết dựa báo [1] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan tới luận án 2.1 Đặt tốn Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán elliptic suy biến nửa tuyến tính sau miền bị chặn Ω ⊂ RN , N ≥ 2, −∆ u = f (x, u), x ∈ Ω, λ (2.1) u = 0, x ∈ ∂Ω, số hạng phi tuyến f (x, u) có tăng trưởng tới hạn thỏa mãn giả thiết sau: (f 1) f : Ω × R → R hàm liên tục f (x, 0) = với x ∈ Ω; F (x, u) = +∞ theo x ∈ Ω, F (x, u) = u2 |u|→+∞ u (f 2) lim f (x, s)ds; 2F (x, u) < µ1 theo x ∈ Ω, µ1 giá trị riêng đầu |u|2 |u|→0 tiên toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet nhất; (f 3) lim sup (f 4) Tồn số C∗ ≥ 0, θ ≥ cho H(x, t) ≤ θH(x, s) + C∗ ∀t, s ∈ R, < |t| < |s|, ∀x ∈ Ω, với H(x, u) = uf (x, u) − F (x, u); 15 (SCP I) f có tăng trưởng đa thức tới hạn Ω, tức 2Q f (x, s) ∗ ,Q > ∗ −1 = 0, 2λ = Q−2 |s|→+∞ |s| λ lim Q kí hiệu số chiều RN ứng với nhóm co dãn {δt }t>0 Nhận xét 2.1 Trong toán (2.1) không yêu cầu số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện (AR) Tiếp theo ta định nghĩa nghiệm yếu toán (2.1) ◦ Định nghĩa 2.1 Một hàm u ∈ W 1,2 λ (Ω) gọi nghiệm yếu toán (2.1) ∇λ u∇λ ϕ dx = f (x, u)ϕ dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω Ω Để chứng minh tồn nghiệm yếu toán (2.1), ta sử dụng phương pháp biến phân Trước hết, ta định nghĩa phiếm hàm Euler-Lagrange liên kết với toán (2.1) sau Jλ (u) = F (x, u) = |∇λ u|2 dx − Ω u f (x, s)ds F (x, u)dx, Ω Nhờ giả thiết đặt f , ta thấy ◦ ◦ 1,2 Jλ xác định không gian W 1,2 λ (Ω) Jλ ∈ C (W λ (Ω), R) với đạo hàm xác định ◦ ∇λ u∇λ vdx − Jλ (u)v = Ω f (x, u)vdx, ∀ v ∈ W λ1,2 (Ω) Ω Khi đó, điểm tới hạn Jλ nghiệm yếu phương trình (2.1), ta sử dụng Định lí qua núi 1.1 để chứng tỏ tồn nghiệm yếu toán (2.1) 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường Trong mục chứng minh tồn nghiệm yếu khơng tầm thường tốn (2.1) 16 Định lí 2.1 Giả sử f có tăng trưởng đa thức tới hạn miền Ω, tức điều kiện (SCPI) f thỏa mãn điều kiện (f 1) − (f 4) Khi tốn (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường Để chứng minh Định lí 2.1 ta kiểm tra tất điều kiện Định lí 1.1 thỏa mãn qua bổ đề Bổ đề 2.1 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (f 1), (f 3) (SCP I) Khi tồn số α, ρ > cho Jλ (u) ≥ α ◦ ∀u ∈ W 1,2 λ (Ω), u 1,2 = ρ Bổ đề 2.2 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện (f 2) Khi Jλ (tu) → −∞ ◦ t → +∞ với u ∈ W 1,2 λ (Ω) \ {0} Bổ đề 2.3 Nếu điều kiện f (1) − (f 4) (SCP I) thỏa mãn, Jλ thỏa mãn điều kiện (C)c với c ∈ R 2.3 Tính đa nghiệm nghiệm yếu Trong mục này, ta sử dụng dụng Định lí 1.2 điều kiện (SCP I) thay điều kiện (SCP ) số hạng phi tuyến, đồng thời áp dụng giả thiết f (x, s) hàm lẻ theo biến s, chứng minh kết tồn vô hạn nghiệm yếu tốn (2.1) Định lí 2.2 Giả sử điều kiện (f 1) − (f 4) thỏa mãn (1) tồn số a, b > and q ∈ (2, 2∗λ ) cho (SCP) |f (x, s)| ≤ a + b|s|q−1 ∀(x, s) ∈ Ω × R; (2) f (x, −s) = −f (x, s), với (x, s) ∈ Ω × R Khi tốn (2.1) có dãy nghiệm yếu {un } cho Jλ (un ) → +∞ n → ∞ 17 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA HỆ HAMILTON SUY BIẾN Trong chương này, nghiên cứu không tồn nghiệm cổ điển miền bị chặn kiểu hình tồn dãy vơ hạn nghiệm yếu lớp hệ elliptic Hamilton nửa tuyến tính suy biến chứa tốn tử ∆λ miền bị chặn Nội dung chương viết dựa theo báo [3] Danh mục cơng trình tác giả liên quan tới luận án 3.1 Đặt tốn Xét hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính suy biến loại Hamilton có dạng = |v|p−1 v, x ∈ Ω, −∆λ u −∆λ v u=v = |u|q−1 u, x ∈ Ω, = 0, x ∈ ∂Ω, (3.1) p, q > Ω miền bị chặn RN , N ≥ với biên ∂Ω trơn Bây ta định nghĩa không gian hàm dùng để nghiên cứu toán (3.1) ◦ Nhờ định nghĩa không gian W λ1,2 (Ω) Wλ2,2 (Ω) Chương 1, ta xét toán tử ◦ 2,2 A : Wλ (Ω) ∩ W λ1,2 (Ω) → L2 (Ω), (3.2) A = −∆λ , với điều kiện biên Dirichlet Ta kí hiệu khơng gian E s = (D(As )) với s > với tích vô hướng As u As v dx u, v ∈ E s , (u, v)E s = Ω ∞ s D(A ) = {ϕ = ∞ aj ϕj , aj ∈ R| j=1 ∞ µ2s j aj j=1 s aj µsj ϕj , < +∞} A ϕ = j=1 ϕj hàm riêng tốn tử A ứng với giá trị riêng µj , j = 1, 2, Từ Mệnh đề 1.2 định lí nội suy, ta có kết phép nhúng quan trọng sau 18 Bổ đề 3.1 Giả sử Q > Khi phép nhúng E s → Lq+1 (Ω) E t → Lp+1 1 2t liên tục q+1 ≥ 21 − 2s Q p+1 ≥ − Q Hơn nữa, phép nhúng compact bất đẳng thức ngặt Bây giờ, với s, t ≥ s + t = 1, ta đặt E = E s × E t , E khơng gian Hilbert với tích vơ hướng (z, η)E = (u, ϕ)E s + (v, ψ)E t với z = (u, v), η = (ϕ, ψ) ∈ E Ta xét dạng song tuyến tính (As uAt ψ + As ϕAt v) dx B((u, v), (ϕ, ψ)) = Ω Bây giờ, ta định nghĩa phiếm hàm lượng Φ : E = E s × E t → R liên kết với toán (3.1) (As uAt ψ + As ϕAt v) dx − Φ(z) = Ω H(u, v)dx, Ω H(u, v) hàm Hamilton xác định H(u, v) = |v|p+1 |u|q+1 + p+1 q+1 Khi phiếm hàm Φ xác định E Φ ∈ C (E, R) với đạo hàm (As u At ψ + At v As φ)dx − Φ (u, v)(φ, ψ) = Ω (uq φ + v p ψ)dx Ω Ta thấy rằng, điểm tới hạn phiếm hàm Φ nghiệm yếu toán (3.1) theo nghĩa sau Định nghĩa 3.1 Ta nói z = (u, v) ∈ E = E s × E t nghiệm yếu toán (3.1) As u At ψ dx − Ω v p ψdx = ∀ψ ∈ E t , Ω At v As φdx − Ω uq φ dx = ∀φ ∈ E s Ω 19 3.2 Sự không tồn nghiệm dương cổ điển Trong mục này, ta chứng minh kết không tồn nghiệm cổ điển dương hệ (3.1) miền Ω miền δt -hình Trước tiên, ta đồng toán tử vi phân cấp N N N T :R →R , T (x) = T (x1 , , xN ) = i xi i=1 ∂ ∂xi với trường vectơ T xác định N T := i xi i=1 ∂ , ∂xi (3.3) trường vectơ phần tử sinh nhóm co dãn {δt }t>0 theo nghĩa, hàm u δt -thuần bậc m T u = mu Định nghĩa 3.2 Một miền Ω gọi δt -hình theo điểm gốc điểm gốc ∈ Ω T, ν ≥ điểm ∂Ω, ν = (ν1 , , νN ) vectơ pháp tuyến ngồi Ω kí hiệu ·, · tích vơ hướng RN Ta kí hiệu Λ2 (Ω) khơng gian tuyến tính gồm tất hàm u ∈ C(Ω) cho Xj u Xj2 u với j = 1, , N tồn Ω mở rộng liên ∂ tục tới Ω, Xj := λj ∂xj Để chứng tỏ không tồn nghiệm cổ điển dương hệ (3.1), trước tiên chúng tơi thiết lập đẳng thức tích phân kiểu Pohozaev phù hợp cho hệ phương trình (3.1) qua bổ đề sau Bổ đề 3.2 Với u, v ∈ A2 (Ω), ta có [T (u) ∇λ v, νλ + T (v) ∇λ u, νλ ]dS [T (u)∆λ v + T (v)∆λ u] dx = Ω ∂Ω − ∇λ u, ∇λ v T, ν dS + (Q − 2) ∇λ u, ∇λ v dx, (3.4) Ω ∂Ω T trường vectơ (3.3), ν vectơ pháp tuyến Ω νλ = (λ1 ν1 , , λN νN ), ∇λ = (λ1 ∂x1 , , λN ∂xN ) Nhờ bổ đề ta có kết khơng tồn nghiệm dương cổ điển toán (3.1) sau 20 Định lí 3.1 Giả sử N ≥ cho p, q > thỏa mãn Q−2 + ≤ p+1 q+1 Q (3.5) Nếu Ω miền bị chặn δt -hình theo điểm gốc, tốn (3.1) khơng có nghiệm dương cổ điển 3.3 Sự tồn dãy vô hạn nghiệm yếu Trong mục chứng minh tồn dãy vô hạn nghiệm yếu tốn (3.1) Định lí 3.2 Nếu p, q > 1, miền Ω trơn bị chặn RN Q−2 + > , p+1 q+1 Q (3.6) tốn (3.1) có dãy vơ hạn nghiệm yếu Ở Định lí 3.2 chứng minh cách kiểm tra tất điều kiện (Φ1) − (Φ4) Định lí 1.3 Chương thỏa mãn 21 Chương ĐỊNH LÍ KIỂU LIOUVILLE CHO HỆ BẤT ĐẲNG THỨC ELLIPTIC SUY BIẾN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu định lí kiểu Liouville, tức kết không tồn nghiệm cổ điển dương, cho bất đẳng thức hệ bất đẳng thức elliptic suy biến chứa toán tử ∆λ tồn khơng gian RN , N ≥ Các kết chương viết dựa cơng trình [2] Danh mục cơng trình tác giả liên quan tới luận án 4.1 Đặt toán Trong phần nghiên cứu hệ bất đẳng thức elliptic suy biến có dạng −∆ u ≥ v p , x ∈ RN , λ (4.1) −∆λ v ≥ uq , x ∈ RN , p, q > Chúng ta thiết lập định lí Liouville hai trường hợp sau: • Trường hợp Các số mũ p, q > thỏa mãn điều kiện max{ 2(p + 1) 2(q + 1) , } ≥ Q − pq − pq − Để thực điều này, chúng tơi sử dụng phương pháp đổi tỉ xích hàm thử (rescaled test-functions method) sau khai thác tính chất toán tử ∆λ Ý tưởng phương pháp sau: ta cố định số R > xét phương trình hệ phương trình miền bị chặn, cách nhân với hàm thử phù hợp nhờ tính tốn phù hợp, sau cho R tiến vơ hạn, ta thu phương trình hệ phương trình tồn khơng gian, từ ta thu nghiệm ta nghiệm tầm thường • Trường hợp Các số mũ p, q > cho pq > thỏa mãn điều kiện 1 Q−2 + ≥ p+1 q+1 Q−1 22 Để thiết lập định lí kiểu Liouville cho trường hợp này, chúng tơi khai thác ý tưởng Souto (1995) cho tốn tử Laplace, cách xét phép đổi biến w = uv ta quy tốn phương trình vơ hướng sau kết thu nhờ áp dụng Hệ 4.1 Định lí Liouville 4.1 cho bất đẳng thức mục 4.2 4.2 Định lí Liouville cho trường hợp p, q > Kết mục định lí sau Định lí 4.1 Cho p, q > Khi hệ (4.1) khơng có nghiệm cổ điển dương u, v ∈ C (RN ) max{a, b} ≥ Q − 2, a = 2(q + 1) 2(p + 1) ,b= pq − pq − Như hệ trực tiếp Định lí 4.1, u = v p = q, ta thu định lí Liouville sau cho bất đẳng thức elliptic − ∆λ u ≥ up RN Hệ 4.1 Giả sử < p ≤ u ≡ Q Q−2 (4.2) Nếu u nghiệm không âm (4.2), 4.3 Định lí Liouville cho trường hợp p, q > Định lí 4.2 Giả sử p, q > cho pq > 1, 1 Q−2 + ≥ p+1 q+1 Q−1 Khi hệ (4.1) khơng có nghiệm cổ điển dương 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Luận án nghiên cứu tồn tại, không tồn tính đa nghiệm số lớp phương trình, hệ phương trình, hệ bất đẳng thức elliptic suy biến chứa toán tử ∆λ Các kết đạt luận án bao gồm: 1) Chứng minh tồn tính đa nghiệm nghiệm yếu phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn, số hạng phi tuyến có độ tăng trưởng tới hạn không thỏa mãn điều kiện (AR) 2) Chứng minh không tồn nghiệm cổ điển dương miền δt -hình tính đa nghiệm nghiệm yếu hệ elliptic suy biến nửa tuyến tính dạng Hamilton miền bị chặn 3) Thiết lập số định lí kiểu Liouville cho bất đẳng thức hệ bất đẳng thức elliptic suy biến tồn khơng gian RN Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: 1) Nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm phương trình, hệ phương trình elliptic suy biến nói trường hợp số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn Nghiên cứu tính quy nghiệm yếu 2) Nghiên cứu ứng dụng định lí kiểu Liouville đánh giá số phổ quát, đánh giá kì dị nghiệm, đánh giá độ suy giảm, bùng nổ nghiệm, 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ [1] C.T Anh and B.K My, (2016), Existence of solutions to ∆λ -Laplace equations without the Ambrosetti-Rabinowitz condition, Complex Var Elliptic Equ 61 No.1, 137-150 (SCIE) [2] C.T Anh and B.K My, (2016), Liouville type theorems for elliptic inequalities involving the ∆λ -Laplace operator, Complex Var Elliptic Equ 61 No.7, 1002-1013 (SCIE) [3] C.T Anh and B.K My, (2019), Existence and non-existence of solutions to a Hamiltonian strongly degenerate elliptic system, Adv Nonlinear Anal No.1, 661-678 (SCIE) Các kết luận án báo cáo tại: • Xêmina Giải tích Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; • Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Hội thảo khoa học "Tốn học nghiệp đổi giáo dục", Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 10/2017 ... elliptic chứa tốn tử suy biến ∆λ Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa toán tử ∆λ phương pháp Giải tích hàm phi tuyến... quy nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tô-pô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm... quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp toán chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến (xem,