Mục tiêu chính của luận án Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân là phát triển phương pháp luận của Mickens để xây dựng LĐSPKT giải một số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Hồng Mạnh Tuấn PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2021 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi ’, ngày tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu Nhiều trình tượng quan trọng nảy sinh lĩnh vực khoa học công nghệ mô hình tốn học phương trình vi phân (PTVP) có dạng dy(t) = f y(t) , dt y(t) = y1 (t), y2 (t), , yn (t) T y(t0 ) = y0 ∈ Rn , (0.0.1) hàm véc-tơ, f hàm thỏa mãn điều kiện cần thiết cho nghiệm toán (0.0.1) tồn Bài tốn (0.0.1) cịn gọi tốn giá trị ban đầu toán Cauchy Bài toán (0.0.1) có vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Về mặt lý thuyết, không khó để chứng minh tồn tính nghiệm, phụ thuộc liên tục vào liệu đầu toán nhờ kết giải tích tốn học Tuy nhiên, việc tìm nghiệm xác tốn vơ khó khăn phức tạp, chí khơng thể Nói chung, người ta tìm nghiệm xác số trường hợp riêng đặc biệt Trong ứng dụng, việc tìm nghiệm xấp xỉ cho tốn (0.0.1) khơng thể tránh khỏi Vì vậy, việc nghiên cứu phương pháp giải gần PTVP đóng vai trị quan trọng bật tốn học nói chung tốn học tính tốn ứng dụng nói riêng Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết tốn học, nhiều phương pháp số, điển hình phương pháp sai phân xây dựng phát triển (xem, chẳng hạn, Ascher & Petzold 1998; Burden & Faires 2011; Hairer, Nørsset & Wanner 1993, Hairer & Wanner 1996, Stuart & Humphries 1998) Có thể nói lý thuyết chung lược đồ sai phân giải toán (0.0.1) xây dựng hoàn chỉnh nhiều sách chuyên khảo Các lược đồ gọi lược đồ sai phân bình thường (LĐSPBT) để phân biệt với lược đồ sai phân khác thường (LĐSPKT) trình bày phần Ngoài yêu cầu hội tụ ổn định yêu cầu quan trọng hàng đầu với lược đồ sai phân phải bảo tồn xác tính chất quan trọng PTVP Nói cách khác, mơ hình liên tục phải chuyển đổi thành mơ hình rời rạc bảo tồn tính chất mơ hình liên tục Tuy nhiên, nhiều toán, LĐSPBT lại bộc lộ nhược điểm nghiêm trọng bảo tồn tính chất PTVP tương ứng Hiện tượng Mickens gọi không ổn định số (numerical instabilities) Theo mô tả Mickens, tượng không ổn định số dấu hiệu cho thấy mơ hình rời rạc khơng thể mơ hình hóa xác tính chất mơ hình liên tục (Mickens 1994, 2000, 2005, 2012) Trong nhiều kết quả, Mickens nhiều ví dụ phân tích chi tiết tượng không ổn định số xảy sử dụng LĐSPBT Vì lý này, năm 1980, Mickens đề xuất khái niệm LĐSPKT để khắc phục tượng không ổn định số Theo phương pháp luận Mickens, lược đồ sai phân gọi khác thường xây dựng dựa quy tắc xác định đề xuất Mickens dựa phân tích tượng khơng ổn định số sử dụng LĐSPBT Trong nhiều năm qua, hướng nghiên cứu LĐSPKT giải PTVP thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học nhiều khía cạnh khác thu nhiều kết có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Tất kết khẳng định hiệu ưu LĐSPKT Ưu LĐSPKT so với LĐSPBT bảo tồn xác tính chất quan trọng (tính dương, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính ổn định tiệm cận, tính tuần hoàn, etc.) nghiệm PTVP với bước lưới hữu hạn Tức là, tính chất LĐSPKT độc lập với bước lưới chọn Hơn nữa, LĐSPKT hiệu tính tốn, dễ dàng thực áp dụng cho lớp lớn tốn khoa học cơng nghệ Trong tổng quan lớn Mickens (2012) Patidar (2005, 2016) sách chuyên khảo Mickens (1994, 2000, 2005), Mickens Patidar trình bày cách hệ thống kết LĐSPKT thập kỷ gần hướng phát triển tương lai Ngày nay, LĐSPKT tiếp tục sử dụng cách tiếp cận hiệu để giải gần PTVP đạo hàm thường (PTVPĐHT), PTVP đạo hàm riêng (PTVPĐHR), PTVP phân thứ (PTVPPT) PTVP có trễ (PTVPCT) (xem, chẳng hạn, Arenas, Gonzalez-Parra & Chen-Charpentier 2016; Garba et al 2015; Ehrardt & Mickens 2013; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012; Modday, Hashim & Momani 2011; Patidar 2005, 2016) Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Mặc dù hướng nghiên cứu LĐSPKT cho PTVP đạt nhiều thành tựu quan trọng, nhiên, phát triển thực tiễn lĩnh vực khoa học cơng nghệ ln ln đặt tốn phức tạp khía cạnh nghiên cứu định tính lẫn mơ số Mặt khác, có nhiều PTVP nghiên cứu hoàn chỉnh mặt lý thuyết LĐSPKT chưa đề xuất nghiên cứu Vì thế, việc xây dựng mơ hình rời rạc bảo tồn xác tính chất quan trọng PTVP thực cần thiết, có ý nghĩa khoa học quan trọng cần tiến hành nghiên cứu Đặc biệt, việc xây dựng LĐSPKT cho PTVPĐHT phải đối mặt với nhiều khó khăn chưa giải triệt để, đặc biệt tốn có tính chất sau: (i) Có số chiều cao chứa nhiều tham số (ii) Có điểm cân non-hyperbolic (iii) Có tính chất ổn định tiệm cận tồn cục (ƠĐTCTC) Nói chung, phần lớn kết trước tập trung vào PTVP có điểm cân hyperbolic với tính chất ƠĐTCĐP, chưa có cách tiếp cận hiệu cho tốn có điểm cân non-hyperbolic và/hoặc có tính chất ƠĐTCTC Hơn nữa, việc nghiên cứu tính chất ƠĐTCĐP LĐSPKT cho mơ hình có số chiều cao chứa nhiều tham số thử thách lớn Do đó, cách tiếp cận hiệu cần thiết cho mơ hình loại Mặt khác, việc nâng cao cấp xác LĐSPKT xây dựng lược đồ sai phân xác (LĐSPCX) thực cần thiết có nhiều ứng dụng quan trọng Từ lý trên, cho việc tiếp tục nghiên cứu LĐSPKT cho PTVP thực cần thiết, có ý nghĩa khoa học thực tiễn quan trọng Đây lý chúng tơi lựa chọn đề tài luận án "Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải số lớp phương trình vi phân" Mục tiêu nội dung nghiên cứu luận án Mục tiêu luận án phát triển phương pháp luận Mickens để xây dựng LĐSPKT giải số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh lĩnh vực khoa học công nghệ Các nội dung nghiên cứu luận án bao gồm: Nội dung LĐSPKT cho số lớp PTVPĐHT nảy sinh lĩnh vực khoa học công nghệ Nội dung LĐSPCX cho hệ PTVP tuyến tính với hệ số số ứng dụng Nội dung LĐSPKT có cấp xác cao cho số lớp hệ động lực tổng quát ứng dụng Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Chúng tiếp cận đến nội dung luận án từ khía cạnh định tính lẫn mơ số Các PTVP nghiên cứu hoàn chỉnh mặt định tính trước đề xuất nghiên cứu LĐSPKT Các mô số thực để kiểm tra tính đắn kết lý thuyết Để thực nghiên cứu trên, sử dụng tổ hợp công cụ bao gồm lý thuyết định tính hệ động lực liên tục rời rạc, lý thuyết ổn định Lyapunov, phương pháp luận Mickens LĐSPKT, lý thuyết phương pháp số lược đồ sai phân giải PTVP Mặt khác, phương pháp thực nghiệm sử dụng, đặc biệt trường hợp chứng minh lý thuyết chưa hồn thiện Những đóng góp luận án Đề xuất phân tích lược đồ sai phân khác thường cho số lớp phương trình vi phân, mơ hình tốn học nhiều tượng trình quan trọng nảy sinh khoa học công nghệ Các lược đồ sai phân khác thường tương thích động lực học với mơ hình vi phân, dễ dàng thực áp dụng cho lớp lớn toán lý thuyết lẫn ứng dụng Đề xuất kỹ thuật cách tiếp cận hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cận lược đồ sai phân khác thường Xây dựng phương pháp sai phân khác thường có cấp xác cao cho số lớp hệ động lực tổng quát, qua giải mâu thuẫn tính tương thích động lực cấp xác cao lược đồ sai phân khác thường Đề xuất lược đồ sai phân xác cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Kết giải số câu hỏi mở lược đồ sai phân xác mà cịn tổng qt nhiều kết trước Thực thử nghiệm số để khẳng định kết lý thuyết chứng tỏ ưu lược đồ sai phân khác thường so với lược đồ truyền thống Cấu trúc luận án Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận chung" "Tài liệu tham khảo", nội dung luận án trình bày chương, nội dung trình bày Chương Chương 3 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại số kiến thức chuẩn bị quan trọng liên quan đến hệ động lực liên tục rời rạc, phương pháp số giải PTVPĐHT, LĐSPCX LĐSPKT giải PTVP (Agarwal 2000; Allen 2007; Ascher & Petzold 1998; Brauer & Castillo-Chavez 2001; Burden 2011; Horváth 1998, 2005; Iggidr & Bensoubaya 1998; Edelstein-Keshet 1998; Khalil 2002; Kraaijevanger 1991; La Salle & Lefschetz 1961; Manning & Margrave 2006; Martcheva 2015; Mattheij & Molenaar 2002; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012; Patidar 2005, 2016; Seibert & Suarez 1990; Smith & Waltman 1995; Stuart & Humphries 1998) Nội dung chương bao gồm: Các hệ động lực liên tục Các hệ động lực rời rạc Phương pháp Runge-Kutta giải PTVP Tính dương phương pháp Runge-Kutta Lược đồ sai phân xác Lược đồ sai phân khác thường CHƯƠNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Trong chương này, đề xuất nghiên cứu LĐSPKT cho số lớp PTVPĐHT mô tả trình tượng quan trọng nảy sinh lĩnh vực khoa học công nghệ Các mơ hình xem xét bao gồm: (i) Hai mơ hình siêu quần thể (metapopulation) (ii) Một mơ hình thú-mồi (predator-prey) tổng qt (iii) Hai mơ hình lan truyền virus máy tính Cần nhấn mạnh tất mơ hình có tính chất sau: (i) Có số chiều cao chứa nhiều tham số (ii) Có điểm cân non-hyperbolic (iii) Có tính chất ƠĐTCTC Do đó, việc phân tích tính chất ổn định LĐSPKT thử thách lớn Để vượt qua thử thách này, đề xuất cách tiếp cận kỹ thuật hiệu để nghiên cứu tính chất ổn định LĐSPKT Kết chúng tơi thu LĐSPKT bảo tồn tính chất quan trọng mơ hình liên tục với bước lưới hữu hạn Chương viết dựa nội dung công trình [A1]-[A7] "Danh mục cơng trình cơng bố", trang 24 2.1 Lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình siêu quần thể Trong mục này, chúng tơi xây dựng LĐSPKT bảo tồn tính chất quan trọng mơ hình siêu quần thể đề xuất Keymer et al (2000) Các tính chất bao gồm tính dương, tính bị chặn, tính chất ƠĐTCĐP, tính chất ƠĐTCTC tính khơng tuần hồn nghiệm Bằng kỹ thuật giải tích tốn học, chúng tơi chứng minh LĐSPKT đề xuất tương thích động lực với mơ hình liên tục 2.1.1 Mơ hình tốn học tính chất Xét mơ hình siêu quần thể đề xuất Keymer et al (2000) d p0 = e(p1 + p2 ) − λ p0 , dt d p1 = λ p0 − β p1 p2 + δ p2 − ep1 , dt d p2 = β p1 p2 − (δ + e)p2 dt (2.1.1) Chi tiết mơ hình trình bày Keymer et al (2000) Bởi p0 + p1 + p2 = nên ta cần xem xét mơ hình sau d p1 = λ (1 − p1 − p2 ) − β p1 p2 + δ p2 − ep1 , dt d p2 = p2 (β p1 − δ − e) dt (2.1.2) Từ ý nghĩa sinh học mơ hình, xét điều kiện đầu p1 (0), p2 (0) thỏa mãn p1 (0), p2 (0) ≥ 0, p1 (0) + p2 (0) ≤ (2.1.3) Các phân tích tốn học Allen (2007) Keymer et al (2000) mơ hình (2.1.1) sở hữu tính chất sau đây: (P1 ) Tính chất đơn điệu tổng s(t) = p1 (t) + p2 (t): Với điều kiện ban đầu thỏa mãn (2.1.3), tổng s(t) = p1 (t) + p2 (t) hội tụ đơn điệu đến s∗ = λ /(λ + e) (P2 ) Tính bị chặn: Tất nghiệm mơ hình (2.1.1) với điều kiện ban đầu cho (2.1.3) thỏa mãn p1 (t), p2 (t) ≥ p1 (t) + p2 (t) ≤ với t ≥ (P3 ) Tính chất ƠĐTCĐP: Mơ hình (2.1.1) có hai điểm cân p∗1 = λ ,0 , λ +e p∗2 = (x∗ , y∗ ) = δ +e λ δ +e , − β λ +e β βλ Khi đó, điểm cân thứ p∗1 ÔĐTCĐP (λ + e)(δ + e) R0 < điểm cân thứ hai p∗2 ÔĐTCĐP R0 > Chúng ta định nghĩa số R0 := (P4 ) Tính chất ƠĐTCTC: Nếu R0 < điểm cân thứ ƠĐTCTC Trong đó, R0 > điểm cân thứ hai ƠĐTCTC (P5 ) Tính khơng tuần hồn nghiệm: Mơ hình (2.1.2) khơng có nghiệm tuần hồn tập D = (p1 , p2 )|0 < p1 + p2 < 2.1.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tơi ký hiệu bước lưới h đặt x(t) ≡ p1 (t), y(t) ≡ p2 (t) Xét LĐSPKT xác định xk+1 − yk+1 = −c1 (λ + e)xk − c2 (λ + e)xk+1 + c3 (δ − λ )yk + c4 (δ − λ )yk+1 ϕ(h) − c5 β xk yk − c6 β xk+1 yk − c7 β xk yk+1 − c8 β xk+1 yk+1 + λ , yk+1 − yk = −c1 (λ + e)yk − c2 (λ + e)yk+1 + c3 (λ − δ )yk + c4 (λ − δ )yk+1 ϕ(h) (2.1.4) + c5 β xk yk + c6 β xk+1 yk + c7 β xk yk+1 + c8 β xk+1 yk+1 , c1 + c2 = c3 + c4 = c5 + c6 + c7 + c8 = 1, ϕ(h) = h + O(h2 ) Xét vài trường hợp đặc biệt lược đồ (2.1.4) (2.1.5) • Lược đồ (2.1.4)-(i): c1 + c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5 + c6 = 1, c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h + O(h2 ) (2.1.6) • Lược đồ (2.1.4)-(ii): c1 + c2 = 1, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = 0, ϕ(h) = h + O(h2 ) (2.1.7) • Lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii): c1 = 1, c2 = 0, c3 = 1, c4 = 0, c5 = 1, c6 = c7 = c8 = (2.1.8) Trong [A1], chứng minh kết tính chất LĐSPKT Định lý 2.1 LĐSPKT (2.1.4)-(i) bảo tồn tính chất (P1 ) − (P3 ) mơ hình (2.1.2) c1 ≤ − δ , λ +e 2c2 > δ +e , λ +e c5 ≤ 0, c2 ≥ c6 ≥ (2.1.9) Định lý 2.2 LĐSPKT (2.1.4)-(ii) bảo toàn tính chất (P1 ) − (P5 ) mơ hình (2.1.2) c1 ≤ −δ , λ +e −β , λ +e c2 > max δ +e , 2(λ + e) β , λ +e β |y∗ | λ +e (2.1.10) Định lý 2.3 Cho q số thực thỏa mãn q > max max Ω Ω = e∗ ∈{p∗1 ,p∗2 } σ (J(e ∗ )) |λ |2 , 2|Re(λ )| λ +e+β, δ + e, β |y∗ | , (2.1.11) với J ma trận Jacobi hệ (2.1.2), ϕ(h) hàm thỏa mãn ϕ(h) < q, ∀h > (2.1.12) Khi đó, lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii) bảo tồn tính chất (P1 ) − (P5 ) (2.1.2) 2.2 Một cách tiếp cận nghiên cứu tính chất ổn định lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình siêu quần thể Trong mục này, chúng tơi xét mơ hình siêu quần thể đề xuất Amarasekare Possingham (2001) Chúng tơi thiết lập tính chất ƠĐTCTC hồn chỉnh mơ hình xây dựng LĐSPKT tương thích động lực với mơ hình liên tục Đáng ý tính chất ổn định tiệm cận LĐSPKT thiết lập nhờ cách tiếp cận dựa mở rộng Định lý ổn định Lyapunov 2.2.1 Tính chất ổn định tiệm cận tồn cục Xét mơ hình siêu quần thể đề xuất Amarasekare Possingham (2001): dI dt dS dt dL dt dR dt = βI SI − eI I + f L − gI, = eI I − βI SI + f R − gS, (2.2.1) = gI − f L − eL L + βL RI, = gS − f R + eL L − βL RI Chi tiết mơ hình trình bày Amarasekare Possingham (2001) Dễ dàng chứng minh tập Ω xác định Ω := (I, S, L, R) ∈ R4+ : I + S + L + R = (2.2.2) tập bất biến dương (2.2.1) Mơ hình (2.2.1) ln ln có điểm cân biên E0∗ = (I0∗ , S0∗ , L0∗ , R∗0 ) với giá trị tham số, I0∗ = 0, S0∗ = f , f +g L0∗ = 0, R∗0 = g g+ f Ta định nghĩa số a =βI βL , b = βI ( f + eL ) + βL (eI + g) − βI βL c =( f + eL ) eI − βI f , f +g f f + g eL − β L f +g f +g (2.2.3) Khi đó, c < mơ hình (2.2.1) có điểm cân dương E1∗ = (I1∗ , S1∗ , L1∗ , R∗1 ) định √ f √ − b2 − 4ac b + 2βI βL −b + b − 4ac f +g I1∗ := I ∗ = , S1∗ := S∗ = , 2a 2a βI g βI g + eI ∗ R∗1 := R∗ = − I∗2 + − I , f +g f f +g f βI g βI g + eI ∗ L1∗ := L∗ = − I ∗ − S∗ − R∗ = − R∗ = I ∗ − − I , f +g f f +g f (2.2.4) I1∗ nghiệm dương phương trình aX + bX + c = Trong [A3], chúng tơi thiết lập tính chất ƠĐTCTC mơ hình (2.2.1) Định lý 2.4 Nếu c ≥ 0, điểm cân E0∗ mơ hình (2.2.1) ƠĐTCTC tập Ω Nếu c < 0, điểm cân E1∗ mơ hình (2.2.1) ƠĐTCTC tập Ω − {E0∗ } 2.2.2 Lược đồ sai phân khác thường bán ẩn cho mơ hình (2.2.1) Chúng tơi đề xuất LĐSPKT bán ẩn cho mơ hình (2.2.1) dạng Sk+1 − Sk ϕ Ik+1 − Ik ϕ Rk+1 − Rk ϕ Lk+1 − Lk ϕ = eI Ik − βI Sk+1 Ik + f Rk − gSk , = βI Sk+1 Ik − eI Ik + f LK − gIk , (2.2.5) = gSk − f Rk + eL Lk − βL Rk+1 Ik , = gIk − f Lk − eL Lk + βL Rk+1 Ik Mục tiêu xác định điều kiện đặt lên ϕ(h) cho lược đồ (2.2.5) bảo toàn tính chất quan trọng mơ hình (2.2.1), bao gồm: (P1 ) Tính chất hội tụ đơn điệu: Với giá trị ban đầu nằm tập Ω, tổng a(t) := I(t) + S(t) b(t) := R(t) + L(t) hội tụ đơn điệu đến a∗ := f /( f + g) b∗ := g/( f + g), tương ứng (P2 ) Tính chất bị chặn: Tập Ω cho (2.2.2) tập bất biến dương (2.2.1) (ii) Trong trường hợp c < 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo tồn tính chất bị chặn, tính chất đơn điệu, tính chất ƠĐTCĐP E1∗ tính chất khơng ổn định E0∗ mơ hình (2.2.1) 1 1 τ1 , , , , , , , ∀h > 0, eI + g βI + g f + eL f + βL f + g τ2 τ1 ϕ(h) < ϕ ∗ := (2.2.11) τ1 := f + eL + βL I ∗ + 2βI I ∗ + eI + g − βI τ2 := βI βL I ∗2 ∗ f , f +g (2.2.12) ∗ + βI ( f + eL )I + f βL L > 2.2.4 Một ý lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình (2.2.1) Chúng ta xem xét lại LĐSPKT (2.1.4) với điều kiện (2.1.5) được xây dựng Mục 2.1 Nhờ cách tiếp cận đề xuất Mục 2.2.2, thu kết Định lý 2.7 LĐSPKT (2.1.4)-(2.1.5) bảo toàn tính chất (P1 ) − (P5 ) mơ hình (2.1.1) c5 ≤ 0, c6 ≥ 0, c2 ≥ max c6 , c∗ , c1 ≤ − δ λ +e (2.2.13) Chú ý Mục 2.1 kết luận tính dương khơng khẳng định tính chất khác LĐSPKT Vì vậy, Định lý 2.7 cải thiện quan trọng cho kết Mục 2.1 Đều khẳng định hiệu ưu cách tiếp cận 2.3 Lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình lan truyền virus máy tính Mục tiêu mục đề xuất nghiên cứu LĐSPKT bảo tồn tính chất quan trọng mơ hình lan truyền virus máy tính đề xuất Yang et al (2013) Đặc biệt, cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov, thiết lập tính chất ƠĐTCTC LĐSPKT 2.3.1 Mơ hình tốn học Chúng ta xét mơ hình lan truyền virus máy tính đề xuất Yang et al (2013): S˙ = δ − β S(L + B) + γ1 L + γ2 B − δ S, L˙ = β S(L + B) − γ1 L − αL − δ L, (2.3.1) B˙ = αL − γ2 B − δ B Chi tiết mơ hình trình bày Yang et al (2013) Bởi S(t) + L(t) + B(t) ≡ nên ta cần xét hệ sau L˙ = β (1 − L − B)(L + B) − γ1 L − αL − δ L, (2.3.2) B˙ = αL − γ2 B − δ B Dễ dàng tập Ω = (L, B) : L ≥ 0, B ≥ 0, L + B ≤ tập bất biến dương (2.3.2) Các phân tích tốn học mơ hình (2.3.2) có hai điểm cân E0 E∗ xác định (γ2 + δ ) − E0 = (0, 0), E∗ = (L∗ , B∗ ) = R0 α + δ + γ2 10 R0 α + δ + γ2 α 1− , , (2.3.3) R0 = β (α + γ2 + δ ) (α + γ1 + δ )(γ2 + δ ) (2.3.4) Hơn nữa, (i) E0 ÔĐTCTC tập Ω R0 ≤ (ii) E∗ ÔĐTCTC Ω = Ω − E0 < R0 ≤ 2.3.2 Lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình (2.3.1) Chúng tơi đề xuất lược đồ Euler khác thường cho mơ hình (2.3.1) Sk+1 − Sk = δ − β Sk (Lk + Bk ) + γ1 Lk + γ2 Bk − δ Sk , ϕ(h) Lk+1 − Lk = β Sk (Lk + Bk ) − γ1 Lk − αLk − δ Lk , ϕ(h) Bk+1 − Bk = αLk − γ2 Bk − δ Bk , ϕ(h) (2.3.5) ϕ(h) = h + O(h2 ) h → Các điều kiện đặt lên ϕ(h) xác định cho tính chất quan trọng mơ hình (2.3.1) bảo tồn Trong [A4], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chứng minh rằng: Định lý 2.8 (i) Trong trường hợp R0 ≤ 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo tồn tính dương, tính bị chặn, tính ƠĐTCTC E0 tính khơng ổn định E∗ ϕ(h) < ϕ ∗ := 1 , , , β + δ γ1 + α + δ δ + γ2 ∀h > 0, (2.3.6) (ii) Trong trường hợp R0 > 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính ƠĐTCĐP E∗ tính khơng ổn định E0 ϕ(h) < ϕ ∗ := τ1 1 , , , , , β + δ γ1 + α + δ δ + γ2 τ1 τ2 ∀h > (2.3.7) τ1 τ2 cho τ1 =: 2β (L∗ + B∗ ) + α + 2δ + γ1 + γ2 − β , (2.3.8) τ2 =: 2β (L∗ + B∗ ) + α + γ1 + δ − β (γ + δ ) + 2β (L∗ + B∗ ) − β α 2.4 Lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình thú-mồi tổng qt Trong mục này, chúng tơi xây dựng LĐSPKT bảo tồn tính dương tính ổn định tiệm cận mơ hình thú-mồi tổng qt Đáng ý tính chất ÔĐTCTC LĐSPKT chứng minh cách sử dụng định lý ổn định Lyapunov Các mô số LĐSPBT lược đồ Euler Rung-Kutta bốn nấc kinh điển (RK4) khơng thể bảo tồn tính chất quan trọng mơ hình liên tục 11 2.4.1 Mơ hình liên tục tính chất Chúng ta xét mơ hình thú-mồi tổng q xây dựng Ladino et al (2015) x(t) ˙ = x(t) f (x(t), y(t)) = x(t) r(x(t)) − y(t)φ (x(t)) − m1 , (2.4.1) y(t) ˙ = y(t)g(x(t), y(t)) = y(t) s(y(t)) + cx(t)φ (x(t)) − m2 , x(t) y(t) biểu thị số lượng mồi động vật ăn thịt thời điểm t, tương ứng Chi tiết mơ hình tình bày chi tiết Ladino et al (2015) Dễ dàng kiểm tra tập Ω = (x, y) ∈ R2 x ≥ 0, y ≥ tập bất biến dương mô hình (2.4.1) Định lý 2.9 (Ladino et al 2015) (i) Mơ hình (2.4.1) ln ln có điểm cân P0∗ = (x0∗ , y∗0 ) = (0, 0) với giá trị tham số (ii) Mơ hình (2.4.1) có điểm cân P1∗ = (x1∗ , y∗1 ) = (K, 0), với r(K) = m1 , m1 < r(0) (iii) Mơ hình (2.4.1) có điểm cân P2∗ = (x2∗ , y∗2 ) = (0, M), với s(M) = m2 , m2 < s(0) (iv) Mơ hình (2.4.1) có điểm cân P3∗ = (x3∗ , y∗3 ) = (x∗ , y∗ ), x∗ nghiệm phương trình cx∗ φ (x∗ ) + s r(x∗ ) − m1 − m2 = 0, φ (x∗ ) y∗ xác định y∗ = r(x∗ ) − m1 , φ (x∗ ) (m1 , m2 ) thỏa mãn m1 < r(0) − Mφ (0) m2 < s(0) m1 < r(0) s(0) < m2 < s(0) + cKφ (K) Tính chất ổn định tiệm cận mơ hình thiết lập hoàn chỉnh Ladino et al (2015) 2.4.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường Chúng đề xuất LĐSPKT tổng qt cho mơ hình (2.4.1) dạng xk+1 − xk = α1 xk r(xk ) + α2 xk+1 r(xk ) − α3 xk yk φ (xk ) − α4 xk+1 yk φ (xk ) − α5 m1 xk − α6 m1 xk+1 , ϕ(h) yk+1 − yk = β1 yk s(yk ) + β2 yk+1 s(yk ) + cβ3 xk yk φ (xk ) + cβ4 xk yk+1 φ (xk ) − β5 m2 yk − β6 m2 yk+1 , ϕ(h) α j + α j+1 = β j + β j+1 = 1, j = 1, 3, 5; ϕ(h) = h + O(h2 ), (2.4.2) h → Mệnh đề 2.1 Tập Ω = (x, y) ∈ R2 x ≥ 0, y ≥ tập bất biến dương mơ hình (2.4.2) α1 ≥ 0, α2 ≤ 0, α3 ≤ 0, α4 ≥ 0, β1 ≥ 0, β2 ≤ 0, β3 ≥ 0, β4 ≤ 0, α5 ≤ 0, β5 ≤ 0, α6 ≥ 0, (2.4.3) β6 ≥ Mệnh đề 2.2 Lược đồ (2.4.2) bảo toàn tập hợp điểm cân mơ hình (2.4.1) 2.4.3 Phân tích ổn định Trong mục này, giả thiết (2.4.3) thỏa mãn Trong [A5], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tơi thiết lập tính chất ổn định tiệm cận LĐSPKT (2.4.2) hai định lý 12 Định lý 2.10 (Tính chất ƠĐTCĐP LĐSPKT) (i) Điểm cân P0∗ = (x0∗ , y∗0 ) = (0, 0) lược đồ (2.4.2) ÔĐTCĐP m1 > r(0) m2 > s(0), không ổn định m1 < r(0) m2 < s(0) (ii) Xét lược đồ (2.4.2) trường hợp m1 < r(0) m2 > s(0) + cKφ (K) giả thiết T1 := 2α6 m1 − 2α2 r(K) + Kr (K) > 0, (2.4.4) T2 := s(0) − m2 + cKφ (K) − 2β2 s(0) − 2β4 cKφ (K) + 2β6 m2 > Khi đó, điểm cân P1∗ = (K, 0) ƠĐTCĐP Hơn nữa, P1∗ khơng ổn định m1 ≥ r(0) m2 < s(0) + cKφ (K) (iii) Xét lược đồ (2.4.2) trường hợp m1 > r(0) − Mφ (0) m2 < s(0) giả thiết T3 := r(0) − Mφ (0) − m1 − 2α2 r(0) + 2α4 Mφ (0) + 2α6 m1 > 0, (2.4.5) T4 := Ms (M) − 2β2 s(M) + 2β6 m2 > Khi đó, điểm cân P2∗ = (0, M) ÔĐTCĐP Hơn nữa, P2∗ không ổn định m1 < r(0) − Mφ (0) m2 ≥ s(0) (iv) Giả sử điểm cân P3∗ = (x∗ , y∗ ) nằm tập Ω Xét lược đồ (2.4.2) giả thiết T5 := − x∗ [r (x∗ ) − y∗ φ (x∗ )][−β2 s(y∗ ) − β4 cx∗ φ (x∗ ) + β6 m2 ] − y∗ s (y∗ )[−α2 r(x∗ ) + α4 y∗ φ (x∗ ) + α6 m1 ] − x∗ y∗ s (y∗ )[r (x∗ ) − y∗ φ (x∗ )] − cx∗ y∗ φ (x∗ )[φ (x∗ ) + x∗ φ (x∗ )] > 0, (2.4.6) T6 := − α2 r(x∗ ) + α4 y∗ φ (x∗ ) + α6 m1 + x∗ [r (x∗ ) − y∗ φ (x∗ )] > 0, T7 := − β2 s(y∗ ) − β4 cx∗ φ (x∗ ) + β6 m2 + y∗ s (y∗ ) > Khi đó, P3∗ = (x∗ , y∗ ) ƠĐTCĐP Định lý 2.11 Xét LĐSPKT (2.4.2) trường hợp m1 ≥ r(0) m2 ≥ s(0), giả thiết thêm α4 + β4 < (2.4.7) Khi đó, điểm cân P0∗ = (0, 0) ÔĐTCTC 2.4.4 Lược đồ sai phân khác thường tương thích động lực Định lý 2.12 LĐSPTK (2.4.2) tương thích động lực với mơ hình (2.4.1) tham số α j , β j ( j = 1, , 6) thỏa mãn điều kiện liệt kê Bảng 2.2, cột liệt kê điều kiện đảm bảo lược đồ (2.4.2) bảo tồn tính chất tương ứng mơ hình (2.4.1) Ký hiệu ∗ có nghĩa tập hợp điểm cân mơ hình (2.4.1) ln ln bảo tồn lược đồ (2.4.2) 13 Bảng 2.2 Các điều kiện cho tương thích động lực LĐSPKT Tham số (m1 , m2 ) Điểm cân Tính dương Tính ổn định m1 ≥ r(0) and m2 ≥ s(0) * (2.4.3) (2.4.7) m1 < r(0) and m2 > s(0) + cKφ (K) * (2.4.3) (2.4.4) m1 > r(0) − Mφ (0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.5) m1 < r(0) − Mφ (0) and m2 < s(0) * (2.4.3) (2.4.6) m1 < r(0) and s(0) < m2 < s(0) + cKφ (K) * (2.4.3) (2.4.6) 2.5 Một cách tiếp cận nghiên cứu tính chất ổn định lược đồ sai phân khác thường cho mơ hình lan truyền virus máy tính Trong mục này, LĐSPKT bảo tồn tính chất quan trọng bao gồm tính dương tính chất ƠĐTCTC mơ hình lan truyền virus máy tính đề xuất nghiên cứu Đặc biệt, đề xuất cách tiếp cận để chứng minh tính chất ƠĐTCTC mơ hình liên tục bảo toàn LĐSPKT Cách tiếp cận dựa định lý ổn định Lyapunov, mở rộng định lý ổn định hệ bậc thang (cascade systems) Kết chúng tơi thu LĐSPKT tương thích động lực với mơ hình liên tục Các mơ số LĐSPKT hiệu phù hợp để mơ mơ hình liên tục, đó, LĐSPBT lược đồ Euler lược đồ RK4 khơng thể bảo tồn tính chất quan trọng mơ hình liên tục 2.5.1 Mơ hình tốn học Xét mơ hình lan truyền virus máy tính đề xuất Zhu et al (2013) S˙ = λ − β1 SI − β2 SC + γ1 I + γ2C − µS, I˙ = β1 SI − β2 IC − (γ1 + µ)I, (2.5.1) C˙ = β2 (S + I)C − (γ2 + µ)C, Chúng ta nhắc lại kết hiệu sau (Zhu et al 2013) Γ1 := (S, I,C) ∈ R3+ : S + I +C ≤ λ , µ λ , I1 = C1 = 0, µ γ2 + µ λ β2 − µ(µ + γ2 ) E2 := (S2 , I2 ,C2 ), S2 = , I2 = 0, C2 = , β2 µβ2 γ1 + µ λ β1 − µ(µ + γ1 ) E3 := (S3 , I3 ,C3 ), S3 = , I3 = , C3 = 0, β1 µβ1 λ β2 + µ(γ1 − γ2 ) E4 := (S4 , I4 ,C4 ), S4 = , µβ1 µβ1 (γ2 + µ) − β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] I4 = , C4 = C2 µβ1 β2 E1 := (S1 , I1 ,C1 ), S1 = 14 (2.5.2) Chi tiết mơ hình kết tồn điểm cân tính chất ổn định chúng thiết lập hoàn chỉnh Zhu et al (2013) 2.5.2 Lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính dương cho mơ hình (2.5.1) Chúng đề xuất họ LĐSPKT dương sau cho mơ hình (2.5.1) Sk+1 − Sk = λ − β1 Sk+1 Ik − β2 Sk+1Ck + γ1 Ik + γ2Ck − µSk , ϕ(h) Ik+1 − Ik = β1 Sk+1 Ik − β2 Ik+1Ck − (γ1 + µ)Ik , ϕ(h) Ck+1 −Ck = β2 (Sk+1 + Ik+1 )Ck − (γ2 + µ)Ck , ϕ(h) (2.5.3) ϕ(h) = h + O(h2 ) h → Định lý 2.13 Tập R3+ tập bất biến dương mô hình (2.5.3) ϕ(h) < ϕ ∗ := , µ + γ1 , µ + γ2 ∀h > (2.5.4) Hệ 2.1 Xét lược đồ (2.5.3) (A1) Lược đồ có điểm cân bằng, E1 , λ β1 < µ(µ + γ1 ) λ β2 < µ(µ + γ2 ) (A2) Lược đồ có hai điểm cân bằng, E1 E2 , λ β1 < µ(µ + γ1 ) λ β2 > µ(µ + γ2 ) (A3) Lược đồ có hai điểm cân bằng, E1 E3 , λ β1 > µ(µ + γ1 ) λ β2 < µ(µ + γ2 ) (A4) Lược đồ có ba điểm cân bằng, E1 , E2 E3 , λ β1 > µ(µ + γ1 ), λ β2 > µ(µ + γ2 ) µβ1 (µ + γ2 ) < β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] (A5) Lược đồ có bốn điểm cân bằng, E1 , E2 , E3 E4 , λ β1 > µ(µ + γ1 ), λ β2 > µ(µ + γ2 ) µβ1 (µ + γ2 ) > β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] Định lý 2.14 Xét mơ hình (2.5.3) giả thiết (2.5.4), đặt Nk := Sk + Ik +Ck Khi đó, dãy {Nk } hội tụ đơn điệu tới N ∗ = λ /µ k → ∞ 2.5.3 Phân tích ổn định Trong suốt mục này, luôn giả thiết (2.5.4) thỏa mãn Trước hết, nhờ mở rộng định lý ổn định Lyapunov cổ điển (Iggidr & Bensoubaya 1998), cần xét hệ sau Ik+1 − Ik = β1 ϕ(h) Ck+1 −Ck = β2 ϕ(h) λ − Ik+1 −Ck+1 Ik − β2 Ik+1Ck − (γ1 + µ)Ik , µ λ −Ck+1 Ck − (γ2 + µ)Ck , µ (2.5.5) tập Γ2 = (I,C) ∈ R+ : I +C ≤ λ µ (2.5.6) Sử dụng định lý ổn định toàn cục hệ bậc thang (Seibert & Suarez 1990) thu kết sau 15 Hệ 2.2 Xét LĐSPKT (2.5.5) (i) Nếu λ β2 < µ(µ + γ2 ), tính chất ƠĐTCTC phương trình λ Ik+1 − Ik = β1 − Ik+1 Ik − (γ1 + µ)Ik ϕ(h) µ (2.5.7) kéo theo tính chất ƠĐTCTC mơ hình (2.5.5) Γ2 (ii) Nếu λ β2 > µ(µ + γ2 ), tính chất ƠĐTCTC phương trình Ik+1 − Ik λ = β1 − Ik+1 −C2 Ik − β2C2 Ik+1 − (γ1 + µ)Ik ϕ(h) µ (2.5.8) kéo theo tính chất ƠĐTCTC mơ hình (2.5.5) Γ2 Nhờ hàm Lyapunov phù hợp, chúng tơi thiết lập tính chất ổn định LĐSPKT Định lý 2.15 Xét LĐSPKT (2.5.3) giả thiết λ β2 < µ(µ + γ2 ) (i) E1 ÔĐTCTC Γ1 λ β1 < µ(µ + γ1 ) (ii) E3 ƠĐTCTC Γ1 λ β1 > µ(µ + γ1 ) Định lý 2.16 Xét LĐSPKT (2.5.3) giả thiết λ β2 > µ(µ + γ2 ) (i) E2 ÔĐTCTC Γ1 µβ1 (µ + γ2 ) < β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] (ii) E4 ƠĐTCTC Γ1 µβ1 (µ + γ2 ) > β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] Bảng 2.5 Tính chất hệ động lực mơ hình (2.5.3) với giả thiết (2.5.4) TH Tham số Điểm cân Định lý ƠĐTCTC λ β1 < µ(µ + γ1 ), λ β2 < µ(µ + γ2 ) E1 ∈ Γ1 , E2 , E3 , E4 ∈ / Γ1 2.15-(i) E1 λ β1 < µ(µ + γ1 ), λ β2 > µ(µ + γ2 ) E1 , E2 ∈ Γ1 , E3 , E4 ∈ / Γ1 2.16-(i) E2 λ β1 > µ(µ + γ1 ), λ β2 < µ(µ + γ2 ) E1 , E3 ∈ Γ1 E2 , E4 ∈ / Γ1 2.15-(ii) E3 λ β1 > µ(µ + γ1 ), λ β2 > µ(µ + γ2 ), E1 , E2 , E3 ∈ Γ1 , E4 ∈ / Γ1 2.16-(i) E2 E1 , E2 , E3 , E4 ∈ Γ1 2.16-(ii) E4 µβ1 (µ + γ2 ) < β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] λ β1 > µ(µ + γ1 ), λ β2 > µ(µ + γ2 ), µβ1 (µ + γ2 ) > β2 [λ β2 + µ(γ1 − γ2 )] Định lý 2.17 LĐSPKT (2.5.3) bảo tồn tính dương tính ƠĐTCTC mơ hình (2.5.1) với bước lưới hữu hạn hàm mẫu số ϕ(h) thỏa mãn điều kiện (2.5.4) 2.5.4 Tính chất ổn định tồn cục mơ hình thú-mồi Trong [A7], sử dụng cách tiếp cận Mục 2.5.2 để thiết lập lại tính chất ƠĐTCĐP ƠĐTCTC mơ hình thú-mồi đề xuất Meng et al (2014) Chúng chứng minh điểm cân dương mơ hình tồn ƠĐTCTC Điều có nghĩa điều kiện đủ đề xuất trước giải phóng hồn toàn Cần nhấn mạnh cách tiếp cận đơn giản hiệu cách tiếp cận trước áp dụng cho nhiều mơ hình khác Mặt khác, cách tiếp cận khơng hiệu mơ hình rời rạc mà cịn hiệu với mơ hình liên tục 16 2.6 Kết luận Chương Trong chương này, cách tiếp cận kỹ thuật hiệu quả, xây dựng thành công LĐSPKT bảo tồn tính chất quan trọng số mơ hình vi phân nảy sinh lĩnh vực khoa học cơng nghệ Các LĐSPKT tương thích động lực học với mơ hình vi phân, dễ dàng thực áp dụng cho lớp lớn toán khoa học công nghệ Hơn nữa, cách tiếp cận kỹ thuật đề xuất chương cịn áp dụng cho phương trình PTVPĐHR PTVPPT 17 CHƯƠNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG CÓ CẤP CHÍNH XÁC CAO CHO MỘT SỐ LỚP HỆ ĐỘNG LỰC TỔNG QUÁT Trong chương này, xét số lớp hệ động lực tổng quát mô tả hệ PTVPĐHT cấp Đầu tiên, xây dựng LĐSPCX cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số số Các kết thu giải câu hỏi mở đặt Roeger (2008) mà cịn tổng qt nhiều kết trước Tiếp theo, chúng tơi đề xuất LĐSPKT có cấp xác cao bảo tồn tính dương tính chất ổn định tiệm cận cho lớp hệ động lực học tổng quát Kết giải mâu thuẫn tính tương thích động lực cấp cao LĐSPKT Chương viết dựa cơng trình [A8] [A9] "Danh mục cơng trình cơng bố", trang 24 3.1 Lược đồ sai phân xác cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số số 3.1.1 Xây dựng lược đồ sai phân xác Trong Roeger (2008), Roeger xây dựng LĐSPCX cho hệ hai PTVP tuyến tính với hệ số x (t) = Ax(t), x(t) = x(t), y(t) T A ∈ M2×2 (R), , (3.1.1) dạng xk+1 − xk = A θ xk+1 + (1 − θ )xk , φ (h) (3.1.2) θ ∈ R φ (h) = h + O(h2 ) h → Trong mục này, xây dựng LĐSPCX cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số x (t) = Ax(t), x(t) = x(t), y(t), z(t) T , A ∈ M3×3 (R) (3.1.3) Khác với cách tiếp cận Roeger, sử dụng lược đồ sau thay lược đồ (3.1.2) xk+1 − ψ(h)xk = A θ xk+1 + (1 − θ )xk , φ (h) (3.1.4) ψ(h) = + O(h2 ) h → Cùng với lược đồ (3.1.4), sử dụng lược đồ dạng hiển sau cho hệ (3.1.3) xk+1 − ψ(h)xk = Axk + α2 φ A2 xk φ (3.1.5) 3.1.2 Các lược đồ ẩn Định lý 3.1 Cho A ma trận cỡ × J dạng chuẩn Jordan A Nếu lược đồ uk+1 − ψuk = J θ uk+1 + (1 − θ )uk φ (3.1.6) xác cho hệ u = Ju, lược đồ (3.1.4) với tham số ψ, φ , θ tương tự xác cho x = Ax 18 Trường hợp 1: A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = λ2 = λ3 Chúng ta ký hiệu C1 := λ2 − λ1 + λ1 eλ1 h − λ2 eλ2 h , (3.1.7) đưa hai giả thiết sau θ= T1 , T2 T1 = λ1 (eλ2 h − eλ3 h ) + λ2 (eλ3 h − eλ1 h ) + λ3 (eλ1 h − eλ2 h ), (3.1.8) λ1 h T2 = λ1 (1 − e )(e λ2 h φ= λ3 h −e ) + λ2 (1 − e λ2 h eλ1 h − eλ2 h , λ1 − λ2 + θC1 λ3 h )(e −e λ1 h ) + λ3 (1 − e λ3 h )(e λ1 h λ2 h −e ψ = eλ3 h − φ λ3 (eλ3 h θ + − θ ) ) (3.1.9) Định lý 3.2 Nếu ma trận hệ số A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = λ2 = λ3 , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.4), tham số ψ, φ , θ xác định (3.1.8) (3.1.9) Trường hợp ma trận A có cặp giá trị riêng liên hợp phức λ1,2 = α ± β i, λ3 = λ , β = 0, α, β , λ ∈ R, từ Định lý 3.2, thu tham số ψ, φ , θ sau: θ= T1 , T2 φ= 2eαh sin(β h) , 2β + T3 θ ψ = eλ h − φ λ (θ eλ h + − θ ), T1 = 2β (eαh cos(β h) − eλ h ) + 2eαh (λ − α) sin(β h), T2 = α(1 − eαh cos(β h))(−2eαh sin(β h)) + αeαh sin(β h)(2eλ h − 2eαh cos(β h)) + β (1 − e αh αh cos(β h))(2e λh cos(β h) − 2e ) + β e αh sin(β h)(−2e αh (3.1.10) sin(β h)) + λ (1 − eλ h )(2eαh sin(β h)), T3 = −2β + 2αeαh sin (β h) + 2β eαh cos(β h) Trường hợp A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 Chúng đưa ký hiệu (λ1 + λ2 )(eλ2 h − eλ1 h ) − (eλ1 h − eλ2 h ) λ1 − λ2 λ1 λ2 (eλ1 h − eλ2 h ) λ h 2[he λ1 − λ1 − λ2 2heλ1 h λ1 + T1 := (3.1.11) hai giả thiết ψ = 1, φ = h, θ= eλ2 h − λ2 h − λ2 h(eλ2 h − 1) λ1 (eλ2 h − 1) − λ2 (eλ1 h − 1) + λ1 λ2 (eλ1 h − eλ2 h )T1 , λ1 − λ2 eλ1 h − eλ2 h + λ2 (eλ2 h − 1) − λ1 (eλ1 h − 1) T1 φ= λ1 − λ2 T1 θ= φ (3.1.12) ψ = 1+ 19 (3.1.13) Định lý 3.3 Nếu ma trận A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.4), tham số ψ, φ , θ cho (3.1.13) λ1 = 0, cho (3.1.12) λ1 = Trường hợp A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 = λ Chúng đưa giả thiết sau ψ= eλ h (2 − λ h) , λh+2 φ= h(eλ h + 1) , λh+2 θ= eλ h + (3.1.14) Định lý 3.4 Nếu ma trận A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 = λ , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.4), tham số ψ, φ , θ xác định (3.1.14) 3.1.3 Các lược đồ hiển Định lý 3.5 (i) Nếu ma trận A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.5), tham số cho φ= (λ32 − λ22 )(λ22 eλ1 h − λ12 eλ2 h ) − (λ22 − λ12 )(λ32 eλ2 h − λ22 eλ3 h ) , λ1 λ2 (λ2 − λ1 )(λ32 − λ22 ) − λ2 λ3 (λ3 − λ2 )(λ22 − λ12 ) λ eλ1 h − λ12 eλ2 h − λ1 λ2 (λ2 − λ1 ) , ψ= λ22 − λ12 eλ3 h − ψ − λ3 φ α2 = λ32 φ (3.1.15) (ii) Nếu ma trận A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.5), tham số cho φ= (λ22 h − λ12 h + 2λ1 )eλ1 h − 2λ1 eλ2 h (2 − λ1 h)eλ1 h − λ1 φ heλ1 h − φ , ψ = , α = (λ1 − λ2 )2 2λ1 φ (3.1.16) (iii) Nếu ma trận A có giá trị riêng λ1 = λ2 = λ3 , hệ (3.1.3) có LĐSPCX dạng (3.1.5), tham số cho φ = (h − λ h2 )eλ h , α2 = h2 eλ h , 2φ ψ = eλ h − λ φ − α2 φ λ (3.1.17) 3.1.4 Phân tích nhiễu Bởi tham số LĐSPCX chứa hàm mũ hàm lượng giác nên sai số làm trịn phát sinh q trình tính tốn Giả sử thay tham số xác ψ, θ , φ , có tham ˆ θˆ , φˆ Chú ý lược đồ dạng ẩn lẫn dạng hiển cho hệ x = Ax viết dạng số gần ψ, ˆ ψ, ˆ φˆ , θˆ ) thay Q Giả sử xk+1 = Q(ψ, φ , θ )xk := Qxk Do đó, ta có Qˆ := Q( Qˆ = Q + εT, T = (1)3×3 Vì thế, ta thu xˆk thay xk Bằng cách phép biến đổi đại số, ta thu k xˆk − xk ≤ C ∑ ε i < C i=1 ε , 1−ε 20 C = max j=1, ,k Q j T k− j 3.2 Phương pháp Runge-Kutta khác thường cho hệ động lực tổng quát Trong mục này, phương pháp Runge-Kutta khác thường dạng hiển có cấp xác cao bảo tồn tính dương tính ƠĐTCĐP cho hệ động lực tổng quát đề xuất Phương pháp xây dựng dựa phương pháp Runge-Kutta cổ điển lớp hàm mẫu số khác thường Một số ứng dụng quan trọng mô số thực để khẳng định kết lý thuyết chứng minh ưu hiệu phương pháp đề xuất Chúng ta bắt đầu với hệ động lực tổng quát dạng dy = f (y), dt y = y1 , y2 , , yn T y(t0 ) = y0 ∈ Rn , : [t0 , T ) → Rn , f = f , f , , f n T (3.2.1) : Rn → Rn khả vi Cùng với đó, chúng tơi xét lược đồ số bước với bước lưới h, xấp xỉ giá trị y(tk ) cho mơ hình (3.2.1) dạng: Dh (yk ) = Fh ( f ; yk ), (3.2.2) Dh (yk ) ≈ dy/dt, F( f ; yk ) ≈ f (y), tk = t0 + kh 3.2.1 Lược đồ Runge-Kutta khác thường ổn định Trong mục này, xây dựng LĐSPKT ổn định dựa phương pháp Runge-Kutta cổ điển Với mục đích đó, chúng tơi xét lược đồ có dạng s−1 K1 = f (yk ), K2 = f (yk + ϕ(h)a21 K1 ), Ks = f (yk + ϕ(h) ∑ as j K j ), j=1 yk+1 − yk = b1 K1 + b2 K2 + + bs Ks , ϕ(h) ϕ(h) = h + O(h ), (3.2.3) h → Để đơn giản, sử dụng ký hiệu (A, bT , ϕ) để biểu thị lược đồ (3.2.3), A = (ai j )s×s b = (b1 , , bs ) Chú ý (A, bT , h) phương pháp Runge-Kutta cổ điển Giả sử hệ (3.2.1) có số hữu hạn điểm cân bằng, Re(λ ) = với λ ∈ Ω, Ω= y∗ ∈Γ σ (J(y ∗ )), Γ tập hợp điểm cân (3.2.1) Chúng ta xét hai trường hợp p số nấc s phương pháp (A, bT , h), p = s p < s Định lý 3.6 Giả sử lược đồ Runge-Kutta cổ điển (A, bT , h) có cấp xác p = s Khi đó, tồn số ϕ ∗ := ϕ ∗ (p, Ω) > 0, đóng vai trị ngưỡng ổn định lược đồ Runge-Kutta khác thường (3.2.3), tức lược đồ (3.2.3) ổn định ϕ(h) thỏa mãn điều kiện < ϕ(h) < ϕ ∗ , ∀h > (3.2.4) Định lý 3.7 Giả sử lược đồ Runge-Kutta (A, bT , h) có cấp xác p < s Khi đó, tồn số ϕ ∗ := ϕ ∗ (p, Ω, A, bT , s) > cho lược đồ Runge-Kutta khác thường (3.2.3) ổn định ϕ(h) thỏa mãn điều kiện < ϕ(h) < ϕ ∗ với h > 21 3.2.2 Lược đồ sai phân khác thường bảo tồn tính dương Giả sử hàm vế phải f (y) hệ (3.2.1) thỏa mãn điều kiện cho nghiệm dương với y0 ≥ 0, tức là, f ∈ P (Horváth 1998; 2005) Bây giả sử hàm f nằm tập F ∗ , F ∗ (ρ), ∗ (ρ) P Khi đó, phương pháp Runge-Kutta với R(A, b) > 0, xác F∞∗ (ρ), F∞,w α định ngưỡng dương phụ thuộc vào R(A, b) (Horváth 1998; 2005) Giả sử ngưỡng dương H > Kết hợp điều với Định lý 3.6 Định lý 3.7, suy phương pháp (3.2.3) bảo tồn tính dương tính ƠĐTCĐP (3.2.1) ϕ(h) < τ ∗ := min{ϕ ∗ , H}, ∀ h > (3.2.5) 3.2.3 Ảnh hưởng hàm mẫu số Định lý 3.8 Nếu phương pháp Runge-Kutta cổ điển (A, bT , h) có cấp xác p, sai số địa phương phương pháp Runge-Kutta khác thường (A, bT , ϕ) O(h p ) ϕ(h) = h + O(h p+1 ), h → (3.2.6) Chúng đề xuất lớp hàm mẫu số thỏa mãn đồng thời (3.2.5) (3.2.6) có dạng ϕ3 (h) = θ (h)ϕ2 (h) + − θ (h) ϕ1 (h), (3.2.7) hàm θ (h) thỏa mãn tính chất θ (h) = 1+O(h p ) h → 0, < θ (h) < với h > 0, limh→0 θ (h) = limh→∞ θ (h) = 3.3 Kết luận Chương Trong chương này, xây dựng LĐSPCX LĐSPKT có cấp xác cao cho số lớp hệ động lực tổng quát dựa phương pháp Runge-Kutta tổng quát Các kết thu tổng quát kết xây dựng Roeger (2008), Dimitrov & Kojouharov (2006, 2007) Đầu tiên, LĐSPCX dạng ẩn hiển cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số xây dựng Các kết giải câu hỏi mở Roeger mà cịn mở rộng để xây dựng cácLĐSPCX cho hệ PTVP tuyến tính tổng quát Thứ hai, chúng tơi xây dựng phân tích lược đồ Runge-Kutta khác thường cấp xác cao bảo tồn tính dương tính ƠĐTCĐP hệ động lực tổng quát Các kết giải mâu thuẫn tính tương thích động lực cấp cao LĐSPKT Hơn nữa, cách tiếp cận kết chương cịn mở rộng áp dụng cho PTVPĐHR PTVPPT 22 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, xây dựng LĐSPKT cho số lớp PTVP mô tả trình tượng quan trọng nảy sinh lĩnh vực khoa học công nghệ Các LĐSPKT xây dựng tương thích động lực học với mơ hình vi phân, dễ dàng thực áp dụng cho lớp lớn toán lý thuyết lẫn ứng dụng Các kết lý thuyết ưu LĐSPKT hỗ trợ mô số Các kết kết mô số phù hợp với kết lý thuyết xây dựng Trong phần đầu luận án, xây dựng thành công LĐSPKT cho số mô hình tốn học mơ tả PTVPĐHT, bao gồm hai mơ hình siêu quần thể, mơ hình thú-mồi hai mơ hình lan truyền virus máy tính Đầu tiên, kỹ thuật giải tích tốn học, chúng tơi nghiên cứu tính chất ƠĐTCTC LĐSPKT cho mơ hình siêu quần thể đề xuất Keymer (2000) Tiếp theo, sử dụng định lý ổn định Lyapunov để nghiên cứu tính chất ƠĐTCTC LĐSPKT cho mơ hình lan truyền virus máy tính xây dựng Yang et al (2013) mơ hình thú-mồi đề xuất Ladino et al (2015) Cuối cùng, đề xuất hai cách tiếp cận để thiết lập tính chất ổn định LĐSPKP cho hai mơ hình siêu quần thể mơ hình lan truyền virus máy tính xây dựng Keymer et al (2000), Amarasekare & Possingham (2001) Zhu et al (2013), tương ứng Cách tiếp cận thứ xây dựng dựa mở rộng định lý ổn định Lyapunov Cách tiếp cận thứ hai xây dựng dựa kết hợp định lý Lyapunov cổ điển, mở rộng định lý ổn định hệ bậc thang Các kết thu hai cách tiếp cận hiệu đơn giản cách tiếp cận đề xuất trước Trong phần thứ hai luận án, chúng tơi xây dựng LĐSPCX LĐSPKT cho hệ động lực tổng quát dựa phương pháp Runge-Kutta cổ điển Các kết thu tổng quát kết xây dựng Roeger (2008), Dimitrov & Kojouharov (2006, 2007) Đầu tiên, LĐSPCX dạng ẩn hiển cho hệ ba PTVP tuyến tính với hệ số xây dựng Kết giải câu hỏi mở Roeger mà cịn mở rộng cho hệ PTVP tuyến tính tổng quát Tiếp theo, đề xuất phương pháp Runge-Kutta khác thường có cấp xác cao bảo tồn tính dương tính chất ổn định cho lớp hệ động lực tổng quát Kết thu giải mâu thuẫn tính tương thích động lực cấp xác cao LĐSPKT Trong tương lai, mở rộng kết luận án để xây dựng LĐSPKT có hiệu cao cho PTVPĐHR, PTVPPT, PTVPCT, PTVP ngẫu nhiên PTVP đại số Đặc biệt, nghiên cứu việc kết hợp phương pháp luận LĐSPKT với cách tiếp cận khác để xây dựng lược đồ số có hiệu cao cho PTVP phương trình vi-tích phân 23 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ [A1] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Dynamically consistent discrete metapopulation model, Journal of Difference Equations and Applications 22(2016) 1325-1349 (SCI-E) [A2] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Lyapunov direct method for investigating stability of nonstandard finite difference schemes for metapopulation models, Journal of Difference Equations and Applications 24(2018) 15-47 (SCI-E) [A3] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Complete global stability of a metapopulation model and its dynamically consistent discrete models, Qualitative Theory of Dynamical Systems 18(2019) 461-475 (SCI-E) [A4] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Numerical dynamics of nonstandard finite difference schemes for a computer virus propagation model, International Journal of Dynamics and Control 8(2020) 772-778 (SCOPUS) [A5] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Nonstandard finite difference schemes for a general predator-prey system, Journal of Computational Science 36(2019) 101015 (SCI-E) [A6] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Positivity and global stability preserving NSFD schemes for a mixing propagation model of computer viruses, Journal of Computational and Applied Mathematics 374(2020) 112753 (SCI) [A7] Manh Tuan Hoang, On the global asymptotic stability of a predator-prey model with Crowley-Martin function and stage structure for prey, Journal of Applied Mathematics and Computing 64(2020) 765-780 (SCI-E) [A8] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Exact finite difference schemes for three-dimensional linear systems with constant coefficients, Vietnam Journal of Mathematics 46(2018) 471-492 (ESCI, SCOPUS) [A9] Quang A Dang, Manh Tuan Hoang, Positive and elementary stable explicit nonstandard Runge-Kutta methods for a class of autonomous dynamical systems, International Journal of Computer Mathematics 97(2020) 2036-2054 (SCI-E) 24 ... lựa chọn đề tài luận án "Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải số lớp phương trình vi phân" Mục tiêu nội dung nghiên cứu luận án Mục tiêu luận án phát triển phương pháp luận Mickens để... rạc Phương pháp Runge-Kutta giải PTVP Tính dương phương pháp Runge-Kutta Lược đồ sai phân xác Lược đồ sai phân khác thường CHƯƠNG LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... góp luận án Đề xuất phân tích lược đồ sai phân khác thường cho số lớp phương trình vi phân, mơ hình tốn học nhiều tượng q trình quan trọng nảy sinh khoa học công nghệ Các lược đồ sai phân khác thường