Luận văn về phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

B G I O D C V O TO TRNG I HC s PH M H NI _ * _ N G U Y N VN T V PHNG PH P IM BT NG CHO BI TON BT NG THC BIN PH N L U N V N T H C S T O N H C H N I , 2015 B G I O D C V O TO TRNG I HC s PH M H NI _ * _ N G U Y N VN T V PHNG PH P IM BT NG CHO BI TON BT NG THC BIN PH N Chuyờn nghnh: To ỏ n gii tớch Mó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N H C Ngi hng dn khoa hc: G S T S K H Lờ D n g M u H N I , 2015 Li cm n Trc trỡnh by ni dung chớnh ca lun vn, tỏc gi xin gi li cm n sõu sc n GS TSKH Lờ Dng Mu ngi thy ó luụn tn tỡnh hng dn, ch bo v giỳp tỏc gi quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi xin gi li cm n chõn thnh ti cỏc thy, cụ phũng sau i hc v thy cụ ging dy lp K17 toỏn gii tớch t trng i hc S phm H Ni ó ging dy v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc ti trng Qua õy, tỏc gi xin chõn thnh cm n ti BGH, cỏc ng nghip trng TH PT Lng Ti v ngi thõn gia ỡnh ó luụn ng viờn, to iu kin giỳp tỏc gi v mi mt sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun ny Mc dự tỏc gi ó rt c gng quỏ trỡnh thc hin lun vn, nhiờn khú trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong c s úng gúp ý kin ca cỏc quý thy cụ, lun c hon thin hn X in tr õ n tr n g cm n! H Ni, thỏng 07 nm 2015 Hc viờn N g u y n V n T ỳ Li cam oan Tụi xin cam oan rng s liu v kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc gi N g u y n V n T ỳ iii Cỏc kớ hiu v ch vit tt H Khụng gian Hilbert thc Tp rng \/x Vi mi X Tn ti X B{0,R) Hỡnh cu úng tõm bỏn kớnh R CH l thc s ca H ầ H l ca H X := X c nh ngha bng (x,y) Tớch vụ hng ca hai vộct INI Chun ca vộct X {En} Dóy cỏc phn t X\, X2 , F :C H nh x F i t vo H F x(T) Tp cỏc im bt ng ca ỏnh x T domF Min hu hiu ca ỏnh x F V/ o hm ca hm / p c () Tp cỏc hỡnh chiu ca X lờn N c (x) Nún phỏp tuyn ngoi ca ti im X VI(C, F) Bt T bin phõn xỏc nh bi v ỏnh x F M c lc Li cm n Li cam oan 11 Cỏc kớ hiu v ch vit t t iii Mc lc iii M u C h n g im b t n g c a ỏ n h x co v ỏ n h x k h ụ n g g ión Khụng gian Hilbert 1.1.1 Khụng gian tin Hilbert Khụng gian Hilbert 9 12 y Anh x co v ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert 16 1.3 S tn ti im bt ng 19 1.3.1 Bi toỏn im bt ng 19 1.3.2 Nguyờn lý ỏnh x co Banach 20 1.3.3 Phng phỏn lp Mann 25 1.3.4 Phng phỏp lp Halpern 26 V C h n g B i to ỏ n b t n g th c b i n p h õ n 28 2.1 Phỏt biu bi toỏn v vớ d 28 2.2 S tn ti nghim ca bi toỏn (VI) 31 2.3 Bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu mnh 37 2.3.1 Tớnh co ca ỏnh x nghim 38 2.3.2 Mụ t thut toỏn hi t 43 2.4 Bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu 48 2.4.1 Thut toỏn 48 2.4.2 Kt hp nguyờn lý ỏnh x co v thut toỏn im gn k 50 2.4.3 Mụ t thut toỏn 52 K t lu n 57 T i liu th a m k h o 58 M u Lý chn ti Lý thuyt im bt ng cú nhiu ng dng quan trng nhiu lnh vc khỏc ca toỏn hc nh gii tớch s, phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, ti u húa, bi toỏn cõn bng, bi toỏn bt ng thc bin phõn, Bi toỏn bt ng thc bin phõn ó c nhiu nh khoa hc quan tõm v nghiờn cu m mt nhng hng nghiờn cu ú l i xõy dng phng phỏp gii bi toỏn bng cỏch tip cn im bt ng Vi mong mun tỡm hiu sõu v ny, cựng vi s giỳp tn tỡnh ca G S T S K H Lờ D n g M u, tỏc gi ó chn nghiờn cu ti: "V p h n g p h ỏ p im b t n g cho b i to ỏ n b t n g th c b in phõn" Cu trỳc lun Lun gm cú chng: Chng 1: im bt ng ca ỏnh x co v ỏnh x khụng gión Chng 2: Bi toỏn bt ng thc bin phõn Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn bt ng thc bin phõn theo cỏch tip cn im bt ng da trờn nguyờn lý ỏnh x co Banach, cỏc phng phỏp lp Mann, Hapern cho ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert v nh lý im bt ng Brouwer nghiờn cu s tn ti nghim cng nh cỏc phng phỏp gii bi toỏn bt ng thc bin phõn Nhim v nghiờn cu Tng hp li nhng kin thc c bn v im bt ng i vi ỏnh x co, ỏnh x khụng gión khụng gian Hilbert Tip n l gii thiu bi toỏn bt ng thc bin phõn, c th l s tn ti nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn, cỏc phng phỏp gii lp mt s bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu mnh, n iu da trờn phng phỏp im bt ng i tng v phm vi nghin cu i tng nghiờn cu: Khụng gian Hilbert, cỏc nh lý im bt ng ca ỏnh x co, ỏnh x khụng gión, bt ng thc bin phõn Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo, cỏc cun sỏch v cỏc ti liu cú liờn quan n vic nghiờn cu bi toỏn bt ng thc bin phõn bng cỏch tip cn im bt ng Phng phỏp nghiờn cu S dng cụng c gii tớch hm, lý thuyt im bt ng, lý thuyt ti u nghiờn cu s tn ti nghim v cỏc phng phỏp gii bi toỏn bt ng thc bin phõn úng gúp mi Tng hp li nhng kin thc c bn nht v cỏc nh lý im bt ng cho ỏnh x co, ỏnh x khụng gión, nh lý im bt ng Brouwer khụng gian Hilbert Trỡnh by cỏc phng phỏp tớnh im bt ng theo nguyờn lý ỏnh x co Banach, theo cỏc phng phỏp lp Mann, Hapern Trỡnh by nhng kin thc c bn v bt ng thc bin phõn v c bit l i sõu vo nghiờn cu, trỡnh by cỏc cỏch tớnh im bt ng cho bi toỏn bt ng thc bin phõn õy, < < l h s co ca ỏnh x nghim h, vi S = J l - 2-a + aK.2 n h lý 2.7 Di gi thit ca nh lý 2.6, dóy {ặjfc} c xõy dng bi Thut toỏn 2.1 tha k+1 llzfc+1 - *II < - ||0 - ặill , V/, y * l nghim chớnh xỏc ca bi toỏn (VI) C h n g m in h Trc ht, ta s dng gi thit ca nh lý 2.6 c tha Theo B 2.1, ta cú: Xif = h (X *) T gi thit Lipschitz ca F, ta cú: IIF ( x k+1) - F (zfc)|| < L ||a:fc+i - x k\\ , Vk = ,1 ,2 , Theo nh lý 2.6 ta nhn c \\h(xk+1) - h ( x k)II < ||xfc+i - iCjfcll, VA: = ,1 ,2 , T h (x k+1) = x k + suy \\xk+2 - x k+1\\ < ||xfe+i - x k\\ , VA: = ,1 ,2 , Theo nguyờn lý ỏnh x co Banach, ta cú 45 Nh vy, Xk >* > + 00 Hn na, s dng tớnh cht co ca ỏnh x nghim h, ta t c k (1 - ụp) \\xp+k - x k\\ < - \\xk+1- x k\\, \/k,p Cho p > + 00 , ta c òk+l ||z* - z * || < ll^fc+i - z * || , VA: = ,1 ,2 , Nu trng hp ca Thut toỏn 2.1 xy thỡ ||*Efc+l x k\\ ^ Ê (1 ) V ú \\xk - a;*|| < e iu ny cú ngha l Xk l mt e-nghim ca bi toỏn (VI) nh lý c chng minh C h ỳ ý 2.2 Ta thy rng h s co l hm s theo tham s chớnh quy L2 a v nh nht tham s chớnh quy = Do vy, thut toỏn 2.1 X X X L2 hi t tt nht chntham s chớnh quy = Sau õy l mt vớ d v thut toỏn gii theo ỏnh x co "1 V d 2.4 Xột ỏnh x F : = ằ R c xỏc nh bi F (X) = 42 X2 Khi ú, F l ỏnh x n iu mnh vi h s ò = - v Lipschitz vi h s L = trờn c Tht vy, \/x,x' Ê ta z cú: ( F (X) F (X'), X x') = X X12, X X') = (( + X') (x x ) , X x') = {x + x') (x x ' > {x x')2, Vổ, x' g c 46 Ngoi ra, Vx, x' e c ta li cú: IF (X) F (a:')| = x2 x /2 = |x + x ' \ \x x'\ < \x x ' \ , \fx, x' e c L2 Nh vy, = 1, ta chn tham s chớnh quy a > Theo nh lý 2.6 2p vi gi thit ỏnh x F l n iu mnh v Lipschitz trờn I 2/3 c thỡ ỏnh x ~ nghiờm h l ỏnh xa co vi hờ s = \ - I Trong trng hp V a a2 ny, theo nguyờn lý ỏnh x co Banach bi toỏn (VI) cú nghim Sau õy, ta i tỡm e-nghim ca bi toỏn (VI) p dng Thut toỏn 2.1 ta cú: - Bc u: Chon x = G c , Ê = , tham s chớnh quy a = > 1, 25 x/3 suy = - Bc lp 0: Ta gii bi toỏn quy hoch li mnh: n / /lV < X * - X + + 8 P ( x o) x x e c y Bi toỏn p (a^o) cú nghim ti \xi - x0| xec _ X = Xi = e ( l - ) _ s ~ c Khi ú, ta c 25 (2 + y/3) < "8 Suy \xi - C0| > e(l-ớ) Theo trng hp ca Thut toỏn ta chuyn sang bc lp k tip Bc lp 1: Ta gii bi toỏn quy hoch li mnh: 47 < I X ) + x&c ,x - P ( Xl) , ' 39 45 < X X + 64 512 39 Bi toỏn p (xi) cú nghim ti X = x = c Khi ú, ta c \x2 - X i \ = 39 128 _ Ê (1 - ) _ 128 I1 25 (6 + 3\/3) 128' Suy \x2 - E li > e(l-ớ) Theo trng hp ca Thut toỏn ta chuyn sang bc lp k tip - Bc lp 2: Ta gii bi toỏn quy hoch li mnh: 39 V /ớ3 \2 39 + ,128, , x 128 128, 8463 135369 < X :X + x< ec\ 16384 2097152 < [ X Bi toỏn p (x 2) cú nghim ti X = x = |a:2 x&c P { x 2) 8463 G c Khi ú, ta c 32768 1521 e { l - 5) _ 16 32768 75 (2 + V) 1521 > 32768' Suy 1^3 - 32 I < 39 Theo trng hp thỡ Thut toỏn dng ng thi x = 128 mt e-nghim ca bi toỏn (VI) c l 48 2.4 Bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu Trong mc ny chỳng ta s dựng thut toỏn im gn k kt hp vi nguyờn lý ỏnh x co Banach gii bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu Ta nhc li rng: n h n g h a 2.3 nh x a tr T : > c gi l 1) n iu trờn nu ( V, X ) > , 2) n iu cc i trờn Mx, e nu c, Vw e T ( x ) , V Ê T ( y ) T n iu v th ca T khụng l thc s ca th ca bt k ỏnh x n iu no khỏc V d 2.5 nh x N c (.) vi li, úng l ỏnh x n iu cc i 2.4.1 T hut toỏn Rockafellar R.T ó phỏt trin thut toỏn im gn k cho bi toỏn tỡm khụng im ca ỏnh x n iu cc i T khụng gian Hilbert H Bi toỏn: Tỡm X* G : G (*) (2-17) Khi () = F (X) + N(7 () thỡ bi toỏn (2.17) tr v bi toỏn VI(C, F) T ht vy, ta cú: e T ( x *) (*) + N c (*) F (ổ*) e N c (*) (F ( *), X *) > G 49 M n h 2.2 Gi s T : ằ H ỏnh x n iu, n tr v liờn tc Khi ú, T l ỏnh x n iu cc i Cho T l ỏnh x n iu cc i, vi mi ck > 0, ta t: p k := + ckT ) - \ õy, I l ỏnh x ng nht Mi quan h gia ỏnh x n iu cc i T v ỏnh x P c trỡnh by nh lý di õy n h lý 2.8 Cho ỏnh x a tr T : > Kh ú, T ỏnh x n iu cc i v ch Pk l ỏnh x n tr, khụng gión v domP = H T nh lý 2.8 , ta nhn thy mc dự T l ỏnh x a tr n iu cc i nhng ỏnh x P l ỏnh x n tr v khụng gión Ta gi s cỏc gi thit ca nh lý 2.8 tha v X l im bt ng ca ỏnh x p k v ch khi: X = p k (X) = + cT l (X) - G ( / + ) (x) = X + CT (X) oO eT (i) Do ú, X l khụng im ca ỏnh x T Vy X l khụng im ca ỏnh x n iu cc i T v ch X l im bt ng ca ỏnh x P Nh vy, thay vỡ tỡm khụng im ca ỏnh x a tr T ta i tỡm im bt ng ca ỏnh x khụng gión P], vi Cfc > Khi ú, thut toỏn im gn k cho bi toỏn (VI) cú th c trỡnh by n gin nh sau: T hut toỏn 2.2 50 - Bc u 0: Chn dóy s {*} tha Ck > > vi = 0,1,2, tỡm x e c - Bc lp ( = , 1, 2, ) Xõy dng im Ek+1 Pk Xk+1 thụng qua cụng thc: (-^ Trong trng hp c bit ca thut toỏn Ck = > 0, VA; = ,1 ,2 , v ỏnh x n iu cc i T vi l mt b chn, M artinet ó ch rng dóy hi t yu ti im ặ* cho G T (*) Trong trng hp Cfc > > v l li, úng, khỏc rng, Rockafellar ch rng dóy im hi t yu ti im * cho G T (*) S hi t ca thut toỏn im gn k c phỏt biu thụng qua nh lý sau: n h lý 2.9 Cho T : ằH l ỏnh x n iu cc i Kh ú, nu T cú khụng im thỡ dóy im {ặfe} hi t yu ti nu T khụng cú khụng im thỡ dy im Xif cho T ( , ) , khụng b chn 2.4.2 K t hp nguyờn lý ỏnh x co v thut toỏn im gn k S b v phng phỏp T Thut toỏn 2.2 , ta cú th vit x k+l = + ckT l (xk), di dng x k G + ckT ) (xk+1) 51 Thay th T (xk+1) bi F (xk+i) + N c (xk+i ) , ta c: [xk - Xk + - ckF (Zfc+i)] n N c {xk+1) 0iu ny chng t rng: (xk+1 + ckF (x k+1) - x kỡx - x k+1) > , V xe c (2.18) t Fk (X ) := X + ckF (X) - E* Khi ú, (2.18) c vit di dng sau: {tt+1, x - x k+1) > 0, V x e C , < yh) vi t+ = F (Xfe+i ) Do vy, X+ l nghim ca bi toỏn bt ng thc bin phõn iy ik ) vi ỏnh x giỏ Fk Rừ rng, nu F n iu thỡ Fk l n iu mnh vi h s ò = 1, v nu F l L-Lipschitz thỡ Fk l Lipschitz vi hng s L k = + CkL Nh vy, mi im X thut toỏn im gn k l nghim ca bi toỏn i y i k ) vi ỏnh x giỏ Fk (ớe) := X + ckF (X) - x k Vy ta cú th dng Thut toỏn 2.1 c miờu t bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu mnh gii bi toỏn i y i ) Vi mi X Ê c , ta t: s( x) := arg (F ( z ) , - z) + ^a\\y - x\\2 y c j , (2.19) õy a > Chỳ ý rng c l li, úng v hm mc tiờu l li mnh nờn bi toỏn (2.19) cú nghim nht vi mi domF = domF, Vk = 0,1, 2, X c v 52 Theo B 2.1, nghim nht ca bi toỏn iy ik ) l im bt ng ca ỏnh x s im bt ng ny cú th c tớnh thụng qua nguyờn lý ỏnh x co Banach Trờn thc t thỡ ch cú th gii bi toỏn iy ik ) tỡm nghim xp x Ta chn sai s E > cho nghim ca bi toỏn iy ik ) 00 n iu mnh tha Êk \ >oo v Êk < +00 Khi ú, k=1 thay vỡ tớnh chớnh xỏc nghim X]+ ca bi toỏn (V l ), ta tớnh xp x nghim Xk j +i cho ll^-'fcj+i *Efc+i II VA/ C h ỳ ý 2.3 Theo Thut toỏn 2.1 ỏp dng cho bi toỏn iy ik )t tham s húa chớnh quy a phi tha món: a > L l = i + ckL) m bo s hi t cho thut toỏn im gn k, dóy {*;} tha ck > > vi mi k Do l s dng tựy ý nờn ta cú th chn Cfe > nh cho L = + CL < /2 Do ú, ta cú th ly > Nu P (Xk) = Xk thỡ Xk l nghim chớnh xỏc ca bi toỏn (VI) Do ú, thut toỏn c trỡnh by sau õy ta gi X l mt e-nghim ca bi toỏn (VI ) nu Pjfc (ặfc) ặfcll < e 2.4.3 M ụ t thu t toỏn Trong phn ny, chỳng ta kt hp phng phỏp lp Banach vo thut toỏn im gn k gii bi toỏn bt ng thc bin phõn n iu C 53 th, ta s dng Thut toỏn 2.1 gii xp x bi toỏn ph iy ik ) phng phỏp im gn k Cho mt dóy s dng E > cho 00 Êk \ , Ê k=0 Ek < +00 Nu tỡm c hng s Lipschitz L ca F thỡ ta chn mt dóy s dng ck > c > cho + ckL ~