Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số phép biến hình không gian áp dụng” Các tài liệu trích dẫn đầy đủ Tác giả Nguyễn Hùng Cường ii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức bản, tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Nguyên An, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Hùng Cường iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu Chương Các phép biến hình mặt phẳng 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Phép tịnh tiến 1.3 Phép đối xứng qua đường thẳng 1.4 Phép quay xung quanh điểm 1.5 Phép dời hình 10 1.6 Phép vị tự 13 1.7 Phép đồng dạng 20 1.8 Phép nghịch đảo 22 Chương Các phép biến hình không gian 25 2.1 Phép tịnh tiến 25 2.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng 29 2.3 Phép quay xung quanh đường thẳng 32 2.4 Phép dời hình 33 2.5 Phép vị tự 38 2.6 Phép đồng dạng 43 2.7 Phép nghịch đảo 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iv Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng số ký hiệu sau ⊥ // ∩ ≡ |v| ∆ABC Tv D∆ DP QαO Qα∆ D VIk D(k) NIk Vuông góc Song song Giao Trùng Độ dài véc tơ v Tam giác ABC Phép tịnh tiến theo véc tơ v Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ Phép đối xứng qua mặt phẳng P Phép quay tâm O, góc quay α Phép quay xung quanh đường thẳng ∆, góc quay α Phép dời hình Phép vị tự tâm I, tỉ số k Phép đồng dạng tỉ số k Phép nghịch đảo cực I, phương tích k Mở đầu Các phép biến hình công cụ hữu hiệu quan trọng việc nghiên cứu Hình học sơ cấp Ở chương trình phổ thông, học sinh làm quen với số phép biến hình mặt phẳng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, Các phép biến hình giúp ta giải số dạng toán: Chứng minh, quĩ tích, dựng hình, cực trị, Một cách tự nhiên ta mở rộng phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình không gian Mục đích luận văn trình bày số phép biến hình không gian đưa số ví dụ áp dụng Để thấy mở rộng từ phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình không gian luận văn trình bày hệ thống lại số kết phép biến hình mặt phẳng Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Phép biến hình mặt phẳng Trong Chương 1, trình bày số phép biến hình mặt phẳng 24 toán sử dụng phép biến hình để giải Chương Phép biến hình không gian.Trong Chương 2, trình bày số phép biến hình không gian mở rộng 24 toán hình học phẳng sang toán hình học không gian Chương Các phép biến hình mặt phẳng Chương trình bày số phép biến hình mặt phẳng số ví dụ áp dụng Mục đích việc trình bày chương hệ thống lại phép biến hình mặt phẳng để từ mở rộng tương ứng sang phép biến hình không gian 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa (Phép biến hình) Trong mặt phẳng (không gian) cho quy tắc f Với điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định điểm M Khi ta nói M ảnh M qua quy tắc f kí hiệu f : M → M Điểm M gọi tạo ảnh M , f gọi phép biến hình mặt phẳng (phép biến hình không gian) 1.2 Định nghĩa (Phép biến hình 1-1) Ta biết ảnh điểm M qua phép biến hình f có nhiều tạo ảnh khác M Nếu ảnh M có tạo ảnh ứng với nó, ta nói f phép biến hình − 1.3 Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất) Ta nói f phép biến hình đồng nhất, f biến điểm M thành M 1.4 Định nghĩa (Phép biến hình ngược) Giả sử f : M → M với điểm M mặt phẳng (không gian) Nếu tồn phép biến hình g biến M thành M , ta nói g phép biến hình ngược f f phép biến hình có ngược 1.5 Định nghĩa (Tích phép biến hình) Tích hai (hoặc nhiều) phép biến hình phép biến hình nhận từ việc thực liên thứ tự xác định phép biến hình cho 1.6 Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến hình) Ta nói O điểm bất động (hoặc điểm kép) phép biến hình f , f biến O thành O Ta nói đường thẳng d bất động (hoặc kép hoàn toàn) phép biến hình f , điểm thuộc d điểm bất động f Ta nói mặt phẳng (P ) bất động (hoặc kép hoàn toàn) phép biến hình f , điểm thuộc (P ) điểm bất động f Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P )) bất biến phép biến hình f , f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) thành Khi đường thẳng d (mặt phẳng (P )) gọi đường thẳng kép (hoặc mặt phẳng kép) 1.7 Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp) Phép biến hình f gọi phép biến hình có tính chất đối hợp f (M ) = M , f (M ) = M M ≡ M 1.8 Định nghĩa (Góc định hướng) Góc tạo hai tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu tia cuối gọi góc định hướng Nếu tia Ox tia đầu, tia Oy tia cuối người ta kí hiệu góc định hướng (Ox, Oy) Thường người ta chọn chiều dương chiều quay ngược chiều kim đồng hồ 1.9 Định nghĩa (Chiều quay tam giác) Chiều quay tam giác ABC chiều quay từ A đến B, tiếp đến C Nếu chiều quay tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ tam giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương) 1.10 Định nghĩa (Chiều tứ diện) Tứ diện ABCD gọi có chiều dương nửa không gian với biên mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm Nếu tam giác BCD xét nửa không gian có chiều dương tứ diện ABCD có chiều âm 1.2 Phép tịnh tiến 1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho véc tơ v = 0, phép biến hình f : M → −−−→ M cho M M = v f gọi phép tịnh tiến theo véc tơ v, kí hiệu Tv : M → M 1.2.2 Tính chất Phép tịnh tiến phép biến hình - Phép tịnh tiến điểm kép − Mọi đường thẳng a//→ v a đường thẳng kép Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Phép tịnh tiến biến điểm A, B, C thẳng hàng thành điểm A , B , C thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d song song trùng với d Phép tịnh tiến biến điểm A, B, C không thẳng hàng thành điểm A , B , C không thẳng hàng, biến tam giác ABC thành tam giác A B C với − Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc T→ v : α → α = α Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính 1.2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.2.1 Cho đường tròn (O, R) đường thẳng ∆ cố định, đường tròn (O , R ) tiếp xúc với (O, R), R không đổi Ở vị trí (O , R ) kẻ tiếp tuyến M x//∆ Tìm tập hợp tiếp điểm M (O , R ) chuyển động Giải a Trường hợp đường tròn (O , R ) tiếp xúc với (O, R) Vì O M ⊥ M X mà ∆//M X nên ta suy O M ⊥ ∆, ∃Tv : O → M , |v| = R v ⊥ ∆ Tập hợp điểm O đường tròn W (O, R+R ), nên từ ta suy tập hợp điểm M W (O1 , R+R ) − ảnh đường tròn W qua T→ v Vì có hai v (ngược hướng nhau) thỏa mãn điều kiện nên toán có hai nghiệm hình b Trường hợp đường tròn Hình 1.1 (O , R ) tiếp xúc với (O, R) Tương tự trên, ta có hai tập hợp điểm M tập hợp điểm M hai đường tròn Vì tập hợp O đường tròn λ(O, |R − R |) nên tập 36 b (hình 2.10) Lấy M bất kỳ, qua D∆ : M → M , D∆ : M → M , −−−→ qua D∆ D∆ : M → M Ta thấy M M ” = v, v ⊥ ∆, |v| = 2h, hướng v từ ∆ → ∆ (h khoảng cách ∆ → ∆ ) Từ ta suy qua Tv : M → M , D∆ D∆ = Tv Ví dụ 2.4.2 (Xem Ví dụ 1.5.2) Cho mặt phẳng α, β, γ Hãy xác định tích: Dγ Dβ Dα hai trường hợp sau: a α//β//γ b α ∩ β ∩ γ ≡ ∆ Giải Hình 2.11 a Dựng λ cho α//β//γ//λ, khoảng cách từ λ đến γ khoảng cách từ α đến β chiều λ → γ chiều α → β (Hình 2.11) Vì α//β//γ//λ nên Dγ Dβ Dα = Dγ Tv = Dγ Dγ Dλ = Dλ b Dựng mặt phẳng λ cho λ qua ∆, góc (λ, γ) = (α, β) = α1 , chiều từ (λ, γ) ≡ chiều từ (α, β) (Hình 2.12) Hình 2.12 Ta có Dγ Dβ Dα = Dγ Q2α ∆ = Dγ Dγ Dλ = Dλ Ví dụ 2.4.3 (Xem Ví dụ 1.5.3) Cho hình F (có thể tích V ) Chứng minh F có tâm đối xứng 37 Hình 2.13 Giải Giả sử F có hai tâm đối xứng O1 O2 Lấy điểm M bất kỳ, qua DO1 : M → M ; qua DO2 : M → M từ ta −−→ : M → M Xây dựng hệ trục tọa độ vuông suy DO2 DO1 = T2− O1 O2 góc xO1 y, cho O1 O2 ≡ O1 x, O1 y ⊥ O1 O2 Giả sử M có hoành độ lớn −−−→ −−−→ mà M M = 2O1 O2 từ ta suy hoành độ M ” lớn hoành độ M tức M ∈ / F Trái giả thiết O2 tâm đối xứng F nên từ ta suy O2 ≡ O1 Vậy F có tâm đối xứng Ví dụ 2.4.4 (Xem Ví dụ 1.5.4) Cho hình F tích V , chứng minh F có từ hai mặt phẳng đối xứng trở lên mặt phẳng đối xứng phải cắt theo đường thẳng Giải a) Giả sử F có hai mặt phẳng đối xứng P1 P2 P1 //P2 Hình 2.14 −−−→ Lấy M ∈ F , qua DP2 DP1 (M ) = M = Tv (M ) ta suy M M = v, |v| = 2h h = ρ(P1 , P2 ) Qua DP2 DP1 : M → M ta suy −−−−→ −−−−→ |M M | = 2h |M M | = 4h, tiếp tục ảnh M Mx không thuộc F Vậy P1 phải cắt P2 b) Giả sử F có mặt phẳng đối xứng P1 , P2 , P3 ta chứng minh P1 , P2 , P3 cắt theo đường thẳng ∆ 38 Hình 2.15 Thật vậy, giả sử P1 , P2 , P3 không cắt theo đường thẳng ∆, chúng tạo thành lăng trụ ABC.A B C (hình 2.15) Gọi M điểm nằm lăng trụ ABC.A B C , I ∈ F M I lớn Gọi I = DP1 (I), N ≡ M I ∩ P1 ta suy N I = N I M N + N I = M I = M N + N I > M I Vậy I có khoảng cách tới M lớn khoảng cách từ I tới M từ ta suy I không thuộc F , ( điều vô lí P1 mặt phẳng đối xứng F ) P1 , P2 , P3 phải cắt theo đường thẳng.Vậy F có trục đối xứng trở lên chúng phải cắt theo đường thẳng ∆ 2.5 Phép vị tự 2.5.1 Định nghĩa Trong không gian cho điểm I cố định số thực k = Một −−→ −−→ phép biến hình f biến M → M cho IM = k.IM f gọi phép vị tự tâm I, tỷ số k, ký hiệu VIk : M → M Chú ý: Nếu k = VI1 ≡ E ≡ Q360 ∆ (∆ đường thẳng qua I) Nếu k = −1 VI1 ≡ DP ≡ Q180 ∆ (P mặt phẳng qua I vuông góc với IM ) Nếu k > M M phía I Nếu k < M M khác phía I Nếu |k| > IM > IM Nếu |k| < IM < IM 39 2.5.2 Tính chất Phép vị tự phép biến hình − Phép vị tự có điểm I điểm kép Phép vị tự biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với Phép vị tự biến điểm không thẳng hàng thành điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Nếu I, A, B, C không đồng phẳng phép vị tự biến ∆ABC thành ∆A B C ∆ABC mặt phẳng (ABC)//(A B C ) Phép vị tự bảo toàn độ lớn góc Phép vị tự biến tứ diện thành tứ diện đồng dạng với Phép vị tự biến đường tròn (O, R) thành (O , R ), biến mặt cầu −→ −→ (O, R) thành (O , R ) cho IO = k.IO, R = |k|.R Chú ý : Hai đường tròn (O, R) (O , R ) coi vị tự k= RR phép vị tự VI (O, R) → (O , R ) (hình 2.16) k=− RR : (O, R) → (O , R ) VJ : Hình 2.16 Trong I tâm vị tự ngoài, J tâm vị tự Trục vị tự mặt cầu Cho mặt cầu (O1 , R1 ), (O2 , R2 ) (O3 , R3 ) có tâm O1 , O2 , O3 không thẳng hàng; có tâm vị tự, tâm (trong tâm đó) thẳng hàng; đường thẳng chứa tâm gọi trục vị tự mặt cầu, có trục vị tự 40 R3 R2 R3 Thật vậy, VIR1 : (O1 , R1 ) → (O2 , R2 ), VFR2 : (O2 , R2 ) → (O3 , R3 ), VQR1 = R3 R2 R2 R1 VF VI : (O1 , R1 ) → (O3 , R3 ), từ ta suy F, I, Q thẳng hàng Tương tự, có trục vị tự (F, Q, I), (J, E, Q), (P, E, I), (F, P, J) (hình 2.17) Hình 2.17 Tích hai phép vị tự: a Tích hai phép vị tự tâm: VIk2 VIk1 = VIk , k = k1 k2 b Tích hai phép vị tự khác tâm: VIk22 VIk11 = VIk , k = k1 k2 −→ Trong I1 , I2 , I thẳng hàng I thỏa mãn I2 I = −→ k2 (1−k1 ) − I 1−k1 k2 I1 2.5.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.5.1 (Xem Ví dụ 1.6.1) Cho hai mặt cầu (O, R) (O , R ) tiếp xúc với A Đường OO cắt (O) (O ) B B Một đường thẳng d qua A, d cắt (O) (O ) C C Tìm tập hợp điểm M giao BC CB Giải a Trường hợp (O, R) (O , R ) tiếp xúc A (hình 2.18) Vì BCA = AC B = 900 nên ta suy BB //CC , MB BC AB 2R R = = = = MC BC AB 2R R 41 Hình 2.18 Từ ta suy MB MB R = = (Giả sử R > R ) MB − MC BC R−R R −−→ −−→ R Từ ta có BM = R−R BC , VBR−R : C → M Vì tập C mặt R R−R cầu (O ), nên tập M mặt cầu (O , R ) = VB [(O , R )], −−→ −−→ R R BO = R−R BO R = | R−R |.R b Trường hợp (O, R) (O , R ) tiếp xúc A (hình 2.19) Hình 2.19 Tương tự trường hợp a, BC//B C Nên ta có BC AB 2R R BM = = = = MC BC AB 2R R Từ ta có R BM = =k BC R+R Do −−→ R −−→ BM = BC R+R Từ ta suy ra, qua VBk : C → M Vậy tập hợp điểm M mặt cầu (O , R ) = VBk [(O , R )] 42 Ví dụ 2.5.2 (Xem Ví dụ 1.6.2) Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB cố định; CD = a; AD = m Gọi M giao AC BD Tìm tập hợp điểm M CD chuyển động BM AB BM AB Giải Vì AB//CD nên M D = CD Từ ta suy BM +M D = a+AB = k −−→ −−→ Do ta có BM = k BD, nên ta suy VBk : D → M Vì tập hợp D mặt cầu (A, m) nên tập M mặt cầu (A , m ) : A = VBk (A), m = k.m (hình 2.20) Hình 2.20 Ví dụ 2.5.3 (Xem Ví dụ 1.6.3) Cho mặt cầu (O, R) điểm A cố định, cát tuyến d qua A, d cắt (O) B C Kẻ phân giác góc BOA, gọi I giao phân giác với AB Tìm tập hợp điểm I Giải (Hình 2.21) Hình 2.21 IA OA AI OA Theo tính chất phân giác IB = OB Nên ta có AI+IB = R+OA = k − → −→ Từ ta suy AI = k.AB VAk : B → I Vì tập hợp điểm B mặt −−→ −→ cầu (O, R) nên tập hợp điểm I mặt cầu (O , R ) cho AO = k.AO R = k.R 43 Ví dụ 2.5.4 (Xem Ví dụ 1.6.4) Cho mặt cầu (O, R) điểm P nằm mặt cầu Một góc vuông có đỉnh P quay quanh P , hai cạnh góc cắt (O, R) A B Gọi M trung điểm AB Tìm tập hợp M đối xứng P qua M Giải (Hình 2.22) Hình 2.22 −−→ −−→ Vì P M = M M nên ta suy P M = 2P M VP2 : M → M Mặt khác, M P + M O2 = M B + M O2 = OB = R2 nên tập √ hợp M mặt cầu (I, ρ), I trung điểm OP , ρ = 2R2 − OP Vậy, tập hợp M mặt cầu tâm I , bán kính ρ = 2ρ (I ≡ O), mặt cầu (O, 2ρ) 2.6 Phép đồng dạng 2.6.1 Định nghĩa Cho hai góc xOy x O y Một phép biến hình f : M → M cho tam diện xOyM tam diện x O y M , O M = kOM (k > 0), (k, O, O cho trước) f gọi phép đồng dạng tỷ số k, ký hiệu Œ(k) : M → M 2.6.2 Tính chất Phép đồng dạng phép biến hình − Phép đồng dạng biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng 44 Phép đồng dạng biến điểm không thẳng hàng thành điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Biến mặt phẳng thành mặt phẳng Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc Phép đồng dạng biến đường tròn (O, R) → (O , R ), biến mặt cầu (O, R) → (O , R ), O → O , R = kR 2.6.3 Phân loại phép đồng dạng Phép đồng dạng thuận a Định nghĩa Phép đồng dạng thuận phép đồng dạng mà hai tam diện xOyM x O y M hướng b Dạng tắc Phép đồng dạng thuận tích giao hoán phép phép vị tự thuận phép quay xung quanh trục D(k) = VOk Qα∆ = Qα∆ VOk −→ : M → M1 , V k : M1 → M2 , * Nếu D(k) (M ) = M , D(k) (O) = O , T− O OO α QO : M2 → M −→ QαO ≡ Qα∆ : M2 → M (∆ qua O ), ta suy D(k) = Qα∆o VOk T− OO −→ lại phép vị tự thuận, suy D(k) : Qα V k * Tích VOk T− ∆o O OO Phép đồng dạng nghịch a Định nghĩa Phép đồng dạng nghịch phép đồng dạng hai tam diện xOyM x O y M khác hướng b Dạng tắc Mọi phép đồng dạng nghịch D(k) phân tích thành tích (giao hoán nhất) phép vị tự nghịch phép quay xung quanh trục ∆ qua tâm vị tự D(k) = Qα∆ VOk = VOk QαO 2.6.4 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.6.1 (Xem Ví dụ 1.7.1) Cho nửa mặt cầu (O, R) đường kính AB; C ∈ mặt cầu Dựng hình vuông CBEF cho E, F thuộc mặt −−→ −−→ phẳng (ABC) (BC, BE) = −900 Tìm tập hợp điểm F Giải Trong mặt phẳng (ABC) (gọi (P )) ta có tập hợp F 45 nửa đường tròn A B, A = D(∆,−450 ,√2) (A) = √ −45 VB Q∆ (A), (B ∈ ∆) Cho điểm C chạy khắp mặt cầu mặt phẳng (P ) quay xung quanh AB, ta suy tập hợp điểm F mặt cầu có đường tròn lớn chứa BA , đường tròn lớn thuộc mặt phẳng (P ) hợp với mặt phẳng (P ) chứa hình tròn lớn AB cho trước góc 450 : (P , P ) = −450 (Hình 2.23) Hình 2.23 Ví dụ 2.6.2 (Xem Ví dụ 1.7.2) Cho điểm O hai mặt phẳng (α)//(β) (O∈(α), (β)) Điểm A ∈ (α) B ≡ OA ∩ (β), mặt phẳng (Q) ⊥ OB, (Q) cắt (β) theo giao tuyến x Trên x lấy B cho BB = BA Tìm tập hợp điểm B Giải (Hình 2.24) Hình 2.24 OA OB−OA Kẻ đường thẳng OEF ⊥ α, β Ta suy OB = OE = OF Từ ta có OB OF −OE AB BB = OB = EF OF F O = k Do OB = k = tanα ta suy α không đổi (OBB = 900 ) ∆OBB tự đồng dạng, từ ta suy D(O,α,cosα) : B → B Tập hợp điểm B mặt phẳng (β) nên tập hợp điểm B b = D(O,α,cosα) (β) 46 2.7 Phép nghịch đảo 2.7.1 Định nghĩa Cho điểm I số thực k = Một phép biến hình f biến −−→ −−→ M → M cho: I, M, M thẳng hàng IM IM = k, phép biến hình f gọi phép nghịch đảo cực I, phương tích k, ký hiệu NIk : M → M Chú ý: • Nếu k > M, M phía I • Nếu k < M, M khác phía I 2.7.2 Tính chất Phép nghịch đảo phép biến hình − (trừ điểm I) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp √ Phép nghịch đảo có tập hợp điểm kép mặt cầu W (I, k) gọi mặt cầu nghịch đảo Nếu k > W mặt cầu thực; Nếu k < W mặt cầu bán thực Điều kiện cần đủ để điểm M M ảnh qua NIk có hai mặt cầu (O) (O ) qua M M trực giao với mặt cầu nghịch đảo W Nếu qua NIk : A → A , B → B điểm A, A , B, B thuộc mặt cầu k Tích hai phép nghịch đảo đồng cực NIk2 NIk1 = k= VI k1 Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn góc 2.7.3 Ảnh đường thẳng Ảnh đường thẳng qua cực I Ảnh mặt phẳng qua cực I Ảnh đường thẳng d không qua cực I đường tròn (O) qua I Ảnh mặt phẳng không qua cực I mặt cầu qua I 47 2.7.4 Ảnh đường tròn mặt cầu Ảnh đường tròn qua cực đường thẳng không qua cực Ảnh mặt cầu qua cực mặt phẳng không qua cực Ảnh đường tròn (O, R) không qua cực I đường tròn (O , R ) không qua cực I Ảnh mặt cầu (O, R) không qua cực I mặt cầu (O , R ) không qua cực I; O R xác định sau: −→ −→ * IO = k IO (k = Pk ) P = P(I/(O)) * R = |k |R 2.7.5 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.7.1 (Xem Ví dụ 1.8.1) Cho mặt cầu (O) điểm A cố định không thuộc (O) Một mặt phẳng P thay đổi qua A Chứng minh có mặt cầu (O1 ) (O2 ) tiếp xúc với mặt phẳng (P ), A tiếp xúc với mặt cầu (O) Gọi M, N hai tiếp điểm mặt cầu (O) với (O1 ) (O2 ), dựng tiếp điểm M, N Chứng minh M N qua điểm cố định Giải Hình 2.25 Giả sử tồn hai mặt cầu (O1 ) (O2 ) có tính chất đầu Xét phép nghịch đảo NAk , k = PA/(O) (O) → (O), (P ) → (P ), (O1 ) → (P1 ), (O2 ) → (P2 ), (P1 ), (P2 ) tiếp xúc với (O) Vì (O1 ), (O2 ) tiếp xúc với P A nên (P1 )//(P2 )//(P ) Vì ta 48 có (P1 ), (P2 ) tiếp xúc với (O) //(P ) Vậy có (O1 ) (O2 ) (Hình 2.25) Xác định tiếp điểm M, N (O1 ) (O2 ) với (O) Gọi M , N hai tiếp điểm P1 P2 với (O), ta suy M ≡ AM ∩ (O); N ≡ AN ∩ (O) Chứng minh M N qua điểm cố định Gọi đường tròn (AM N ) ảnh M N qua NAk ; I ≡ (AM N ) ∩ AO −→ −→ −−→ −−→ Ta có OI OI = OM ON = −R2 Nên từ ta suy I cố định; gọi I ≡ M N ∩ AO NAk : I → I , từ ta suy điểm I cố định Ví dụ 2.7.2 (Xem Ví dụ 1.8.2) Cho mặt cầu (O) mặt phẳng (P ) không cắt (O), M chuyển động (P ) Gọi H hình chiếu (O) (P ) Gọi (Q) mặt phẳng chứa OH M Gọi d ≡ (Q) ∩ (P ) Trong (Q) kẻ tiếp tuyến M A, M B với mặt cầu (O) Tìm quỹ tích trung điểm I AB Giải (Hình 2.26) Trong (Q) dễ thấy O, I, M thẳng hàng Trong tam −→ −−→ giác OAM có OI.OM = OA2 = R2 , nên ta suy qua NOR : M → I Hình 2.26 Cho (Q) quay quanh OH, quỹ tích điểm M mặt phẳng (P ) không qua O nên quỹ tích điểm I mặt cầu đường kính (OE), E = NOR (H) 49 Kết luận Luận văn tìm hiểu mở rộng số phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình không gian tương ứng Cụ thể luận văn đạt kết sau: Hệ thống số khái niệm sở phép biến hình Tìm hiểu số phép biến hình mặt phẳng phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay Mỗi phép biến hình có ví dụ áp dụng Từ phép biến hình mặt phẳng, luận văn tìm hiểu sử mở rộng tương ứng sang phép biến hình không gian Mỗi phép biến hình có ví dụ áp dụng Hầu hết ví dụ mở rộng ví dụ cho phép biến hình mặt phẳng Vì khuôn khổ luận văn nên việc tìm hiểu ứng dụng chi tiết phép biến dùng công cụ đại số để nghiên cứu phép biến hình không trình bày chi tiết Tác giả tìm hiểu thêm 50 Tài liệu tham khảo [1] Argunov B.I, Balc M.B (1977), Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] J Marie Monier (1997), Giáo trình hình học, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình không gian, NXB Giáo dục [5] Đào Tam (2007), Hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, tr 108-157 [...]... Chương 2 Các phép biến hình trong không gian Chương này trình bày một số phép biến hình cơ bản trong không gian là sự mở rộng của các phép biến hình đã trình bày ở Chương 2 Các ví dụ trong chương này trước hết là sự phát triển các ví dụ ở Chương 2, sau đó bổ sung thêm một số ví dụ khác về việc vận dụng các phép biến hình trong không gian 2.1 Phép tịnh tiến 2.1.1 Định nghĩa Trong không gian cho một véc tơ... AB 0 qua phép quay Q−90 (hình 1.11) B 1.5 Phép dời hình 1.5.1 Định nghĩa Hình 1.11 Một phép biến hình D được gọi là một phép dời hình nếu D(M ) = M và D(N ) = N thì M N = M N 1.5.2 Tính chất • Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ • Phép dời hình biến 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ không thẳng... (b) 22 1.8 Phép nghịch đảo 1.8.1 Định nghĩa Cho một điểm I và một số thực k = 0 Một phép biến hình f biến −−→ −−→ M → M sao cho: I, M, M thẳng hàng và IM IM = k, thì phép biến hình f được gọi là phép nghịch đảo cực I, phương tích k, ký hiệu NIk : M → M Chú ý: • Nếu k > 0 thì M, M cùng phía đối với I • Nếu k < 0 thì M, M khác phía đối với I 1.8.2 Tính chất 1 Phép nghịch đảo là một phép biến hình 1 −... toán có thể vô nghiệm Hình 1.5 hoặc có một nghiệm 1.3 Phép đối xứng qua đường thẳng 1.3.1 Định nghĩa Cho một đường thẳng ∆ cố định, một phép biến hình f biến M thành M sao cho ∆ là đường trung trực của M M thì f được gọi là phép đối xứng trục qua đường thẳng ∆, ký hiệu D∆ : M → M 1.3.2 Tính chất 1 D∆ là một phép biến hình 1 - 1 2 ∆ là đường thẳng kép hoàn toàn 3 D∆ là một phép biến hình có tính chất đối... Định nghĩa Cho một mặt phẳng (P ) cố định, một phép biến hình f biến M → M sao cho M M nhận (P ) làm mặt phẳng trung trực thì f là phép đối xứng qua mặt phẳng (P ), kí hiệu DP : M → M 2.2.2 Tính chất 1 DP là một phép biến hình 1 − 1 30 2 (P ) là mặt phẳng kép hoàn toàn 3 DP là một phép biến hình có tính chất đối hợp 4 DP bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm 5 DP bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của... VOk QαO : M N → M N 2 Phép đồng dạng nghịch a Định nghĩa Phép đồng dạng nghịch là một phép đồng dạng nhưng biến ∆ABC → ∆A B C (ngược hướng) b Dạng chính tắc Mọi phép đồng dạng nghịch D(k) đều có thể phân tích thành tích (giao hoán và duy nhất) của một phép đối xứng trục ∆ 21 và một phép vị tự thuận D(k) = VOk D∆ = D∆ VOk : M → M ; N → N Trong đó tỷ số k vị tự bằng với tỷ số k đồng dạng, ∆ là đường... xung quanh một điểm 1.4.1 Định nghĩa 9 Cho một điểm O và một góc α có hướng Một phép biến hình f biến M thành M sao −−→ −−→ cho: OM = OM , (OM , OM ) = α + k2π thì f được gọi là phép quay tâm O, góc quay α, ký hiệu: QαO : M → M Đặc biệt α = 2kπ : Qk2π O ≡ E (phép đồng nhất) (2k+1)π α = (2k + 1)π : QO ≡ DO Hình 1.9 1.4.2 Tính chất 1 QαO là một phép biến hình 1-1 2 O là điểm kép 3 QαO Bảo toàn khoảng... tới M từ đó ta suy ra I không thuộc F , (điều đó vô lí vì a là trục đối xứng của F ) Do đó a, b, c phải cắt nhau tại một điểm.Vậy nếu F có quá 2 trục đối xứng trở lên thì chúng phải đồng quy 1.6 Phép vị tự 1.6.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho một điểm I cố định và một số thực k = 0 Một −−→ −−→ phép biến hình f biến M → M sao cho IM = k.IM thì f được gọi là phép vị tự tâm I, tỷ số k, ký hiệu là VIk :... biến 4 điểm không đồng phẳng thành 4 điểm không đồng phẳng, biến tứ diện ABCD thành tứ diện A B C D = ABCD 7 Phép tịnh tiến bảo toàn số đo góc + Biến góc α thành α = α + Biến góc nhị diện cạnh a thành góc nhị diện cạnh a , hai nhị diện này bằng nhau 8 * Phép tịnh tiến biến đường tròn (O, R) thành (O , R ) = (O, R) * Phép tịnh tiến biến mặt cầu (O, R) thành (O , R ) = (O, R) 2.1.3 Ví dụ áp dụng Sử dụng. .. điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng 3 Phép đồng dạng biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó 4 Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn của góc 5 Phép đồng dạng biến (O, R) → (O , R ) trong đó O → O , R = kR 1.7.3 Phân loại phép đồng dạng 1 Phép đồng dạng thuận a Định nghĩa Phép đồng dạng thuận là phép đồng dạng biến ∆ABC → ∆A B ... Phép biến hình mặt phẳng Trong Chương 1, trình bày số phép biến hình mặt phẳng 24 toán sử dụng phép biến hình để giải Chương Phép biến hình không gian .Trong Chương 2, trình bày số phép biến hình. .. trình bày số phép biến hình không gian đưa số ví dụ áp dụng Để thấy mở rộng từ phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình không gian luận văn trình bày hệ thống lại số kết phép biến hình mặt... phẳng (không gian) Nếu tồn phép biến hình g biến M thành M , ta nói g phép biến hình ngược f f phép biến hình có ngược 1.5 Định nghĩa (Tích phép biến hình) Tích hai (hoặc nhiều) phép biến hình phép