Ứng dụng các phép biến hình trong không gian giải bài toán tìm tập hợp điểm

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH .... Trong các dạng toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình và tính toán của hình học k

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình Học

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã

nhận được sự chỉ bảo, góp ý và hướng dẫn giúp đỡ hết sức tận tình của ThS,

GVC Phan Hồng Trường Bên cạnh đó, em cũng nhận được sự góp ý chân

thành của các thầy cô giáo trong khoa Toán nói chung và các thầy cô trong tổ

Hình Học nói riêng, cùng các bạn sinh viên K36A_SP Toán Em xin bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em bước đầu làm quen

với việc nghiên cứu khoa học, chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con

đường học tập và công tác sau này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Th.S, GVC

Phan Hồng Trường cùng với sự cố gắng nỗ lực của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác

giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên

cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả nào khác Nếu sai em

xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Phương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN 3

1.1 Các phép biến hình trong không gian 3

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình 3

1.1.2 Phép biến đổi 1-1 3

1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất 3

1.1.4 Phép biến đổi ngược 3

1.2 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi 3

1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi 4

1.4 Ảnh của một hình qua một phép biến đổi 4

1.5 Phép dời hình trong không gian 4

1.5.1 Định nghĩa 4

1.5.2 Tính chất 5

1.5.3 Một số phép dời hình cơ bản 5

1.6 Phép đồng dạng trong không gian 11

1.6.1 Phép vị tự trong không gian 11

1.6.2 Phép đồng dạng trong không gian 11

1.7 Bài toán quỹ tích 12

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (BÀI TOÁN TÌM

QUỸ TÍCH) 13

2.1 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình trong không gian 13

2.2 Phép đối xứng qua tâm với bài toán quỹ tích 13

2.2.1 Phương pháp chung 13

2.2.2 Ví dụ 14

2.2.3: Bài tập đề nghị 16

2.3 Phép đối xứng qua trục với bài toán quỹ tích 16

2.3.1 Phương pháp chung 16

2.3.2 Ví dụ 17

2.3.3 Bài tập đề nghị 22

2.4 Phép đối xứng qua một mặt phẳng với bài toán quỹ tích 23

2.4.1 Phương pháp chung 23

2.4.2 Ví dụ 23

2.4.3 Bài tập đề nghị 24

2.5 Phép tịnh tiến trong không gian với bài toán quỹ tích 25

2.5.1 Phương pháp chung 25

2.5.2 Ví dụ 25

2.5.3 Bài tập đề nghị 29

2.6 Phép đối xứng - trượt trong không gian với bài toán quỹ tích 29

2.6.1 Phương pháp chung 29

2.6.2 Ví dụ 30

2.6.3 Bài tập đề nghị 30

2.7 Phép quay quanh trục với bài toán quỹ tích 30

2.7.1 Phương pháp chung 30

2.7.2 Ví dụ 31

2.8 Phép vị tự trong không gian với bài toán quỹ tích 31

2.8.1 Phương pháp chung 31

2.8.2 Ví dụ 31

2.8.3 Bài tập đề nghị 34

2.9 Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích 36

2.9.1 Phương pháp chung 36

2.9.2 Ví dụ 36

2.9.3 Bài tập đề nghị 41

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 42

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

Các khái niệm, các định nghĩa, các định lí về phép biến hình trong không gian được đề cập trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp mới để giải quyết một lớp bài toán trong hình học Tuy nhiên việc giải bài toán bằng phép biến hình trong không gian còn ít được sử dụng Trên thực tế, việc vận dụng các phép biến hình để giải quyết các bài toán trong không gian nhiều khi đem lại hiệu quả cao, giúp học sinh tránh được những sai lầm khi giải toán bằng phương pháp thông thường, qua đó nâng cao năng lực tư duy, đem lại hứng thú học tập, tìm tòi, nghiên cứu cho học sinh

Trong các dạng toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình và tính toán của hình học không gian, dạng toán quỹ tích (tìm tập hợp điểm) là một dạng toán rất hay Tuy nhiên, đây lại là một dạng toán khó đối với cả giáo viên và học sinh

Với tất cả lí do trên, cùng với niềm say mê toán học, đặc biệt là hình

học, em quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng các phép biến hình trong không

gian giải bài toán tìm tập hợp điểm” để trình bày trong khoá luận tốt nghiệp

này với hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho toàn thể bạn đọc

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của các phép biến hình trong không gian trong việc giải bài toán quỹ tích

 Xây dựng hệ thống các ví dụ minh hoạ và bài tập luyện tập thể hiện phương pháp sử dụng các phép biến hình trong không gian vào giải các bài toán quỹ tích

2

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về các phép biến hình trong không gian

 Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các bài toán quỹ tích trong không gian bằng phép biến hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, các sách tham khảo, các tài liệu liên quan đến nội dung này

3

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

1.1 Các phép biến hình trong không gian

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình

Trong không gian cho một quy tắc f Với mỗi điểm M bất kì theo quy tắc

f ta xác định được duy nhất điểm Khi đó ta nói là ảnh của M qua phép biến đổi f và được kí hiệu f: M (đọc là f biến M thành ) Điểm M được gọi là tạo ảnh của , f là một phép biến đổi hình học hay nói ngắn gọn hơn là một phép biến hình

1.1.2 Phép biến đổi 1-1

Định nghĩa: Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh khác M Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó thì ta nói f là một phép biến đổi một đối một (song ánh) hay vắn

tắt là 1-1

1.1.3 Phép biến đổi đồng nhất

Định nghĩa: Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất nếu f biến mọi điểm M

trong không gian thành chính nó, và kí hiệu phép đồng nhất là Id

Như vậy: Id(M) = M, M

1.1.4 Phép biến đổi ngược

Định nghĩa: Giả sử f: M với mọi điểm M trong không gian Nếu tồn tại một phép biến đổi g biến thành M thì ta nói g là phép biến đổi ngược, và kí hiệu: g = f -1

Như vậy: Nếu '

f f f f Id

1.2 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi

Định nghĩa: Cho hai phép biến đổi f và g Với mỗi điểm M bất kì f: M

và g: Phép biến đổi biến M thành được gọi là tích của hai phép

4

biến đổi f và g và ta kí hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g o f: M hoặc g(f): M

Định nghĩa hai phép biến đổi trùng nhau: Cho hai phép biến đổi f và g

Ta nói f và g trùng nhau và kí hiệu là f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của hai phép biến đổi đó trùng nhau

Nghĩa là với mọi điểm M, f: M và g: M

1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép biến đổi

(iii) Ta nói mặt phẳng (P) là mặt phẳng bất động của một phép biến đổi

f, nếu mọi điểm của (P) là điểm bất động của f

(iv) Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P)) là đường thẳng (mặt phẳng) bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) thành chính nó

1.4 Ảnh của một hình qua một phép biến đổi

Cũng như trong hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hình không gian là một tập hợp điểm Cho một hình không gian F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình được gọi là ảnh của F qua phép biến đổi đó, và kí hiệu: = f(F) nếu f có phép biến đổi ngược

1.5 Phép dời hình trong không gian

1.5.1 Định nghĩa

Phép dời hình (trong không gian) là một phép biến hình không làm thay

đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì

có cùng số đo, biến tam giác thành tam giác bằng nó

 Phép dời hình biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng, biến góc nhị diện thành góc nhị diện có cùng số

đo Biến một tứ diện thành một tứ diện bằng nó

và được kí hiệu là ĐO : M Điểm O được gọi là tâm đối xứng

b Tính chất

 ĐO có một điểm bất động duy nhất là điểm O

 ĐO là phép biến đổi 1-1 và có phép biến đổi ngược chính là ĐO

 Nếu , lần lượt là ảnh của A, B trong phép biến đổi ĐO thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

 Nếu A, B, C, D là bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng và

là các ảnh tương ứng của các điểm đó trong phép biến đổi

ĐO, thì bốn điểm cũng nằm trong một mặt phẳng

Hệ quả: Phép biến đổi ĐO biến:

6

(i) Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng ( ) và ( ) song song hoặc trùng với (P) Nếu O thuộc (P) thì ĐO là phép đối xứng qua tâm O xác định trong (P)

(ii) Nửa mặt phẳng (P) thành nửa mặt phẳng ( ) và ( ) song song với (P) hoặc ( ) và (P) lập thành một mặt phẳng

 Tích của ba phép đối xứng qua ba tâm phân biệt A, B, C là một phép đối xứng tâm O với tâm O được xác định bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

1.5.3.2 Phép đối xứng qua trục

a Định nghĩa

Cho trước một đường thẳng d Với mỗi điểm M không thuộc d ta xác định điểm sao cho d là đường trung trực của đoạn của đoạn M Nếu M thuộc d, thì trùng với M Khi đó, ta nói là điểm đối xứng với M qua d hoặc là ảnh của M qua phép đối xứng đó và được kí hiệu là Đd: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng Nếu quy tắc đó được xác định cho mọi điểm M trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua một đường thẳng d trong không gian, hay nói ngắn gọn là một phép đối xứng - trục

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc một hình H qua phép biến đổi Đd lập thành một hình được gọi là hình đối xứng với H qua d hoặc ảnh của H trong phép biến đổi đó Nếu H và trùng nhau, thì ta nói H là hình có trục đối xứng

Hệ quả : Phép biến đổi Đd biến:

(i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

7

(ii) Đường thẳng d thành đường thẳng ; tia Ox thành tia ; đoạn AB thành đoạn và ; góc xOy thành góc và xOy bằng 

(iii) Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu ( )

 Phép biến đổi Đd biến bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

Hệ quả:

(i) Phép đối xứng Đd biến một mặt phẳng (P) thành mặt phẳng ( ) và (P) trùng với ( ), khi d thuộc (P); (P) song song với ( ), khi d song song với (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; miền đa giác lồi thành miền đa giác lồi; hình tròn (I, r) thành hình tròn )

(ii) Phép đối xứng Đd biến góc nhị diện thành một góc nhị diện và số đo các góc phẳng của hai nhị diện đó bằng nhau

(iii) Phép đối xứng Đd biến hình nón N thành hình nón và hai hình nón

đó có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau; hình trụ T thành hình trụ có độ dài đường sinh bằng nhau, bán kính đáy bằng nhau

1.5.3.3 Phép đối xứng qua một mặt phẳng

a Định nghĩa

Cho trước một mặt phẳng (P) Với mỗi điểm M không thuộc (P) ta xác định điểm sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn M Nếu M thuộc (P) thì chính là M Khi đó ta nói là điểm đối xứng của M trong (P) hay là ảnh của M qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P) và được kí hiệu Đ(P): M Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng

Nếu quy tắc đó xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta có một phép đối xứng qua mặt phẳng, hay nói ngắn gọn là phép đối xứng - mặt

8

Cho một hình F Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc F qua phép biến đổi Đ(P)lập thành một hình được gọi là hình đối xứng của F qua (P) hay là ảnh của hình F Nếu F và trùng nhau, thì ta nói F là hình có mặt phẳng đối xứng

b.Tính chất

 Phép biến đổi Đ(P) có một mặt phẳng bất động duy nhất là (P)

 Phép biến đổi Đ(P) là phép biến đổi 1-1 và có phép biến đổi ngược Phép biến đổi ngược chính là Đ(P)

 Nếu lần lượt là ảnh của hai điểm A, B qua phép biến đổi Đ(P) thì

Hệ quả: Phép biến đổi Đ(P) biến :

(i) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của ba điểm đó

(ii) Đường thẳng d không thuộc (P) thành đường thẳng hoặc song song với nhau hoặc cắt nhau trên (P) Tia Ox thành Góc xOy thành

và hai góc bằng nhau

(iii) Mặt cầu (I, r) thành mặt cầu

 Phép biến đổi Đ(P) biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm cũng đồng phẳng

Hệ quả: Phép biến đổi Đ(P) biến:

 Mặt phẳng (Q) khác (P) thành mặt phẳng ( và hai mặt phẳng đó hoặc song song hoặc cắt nhau theo một giao tuyến trên (P); nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng; miền đa giác phẳng thành miền đa giác phẳng; nhị diện thành một nhị diện và số đo các góc phẳng của chúng bằng nhau

 Hình tròn (w, R) thành hình tròn (

 Hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay ( Hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn xoay ( ; các cặp hình đó có bán kính đáy bằng nhau và đường sinh bằng nhau

 Đường thẳng d thành đường thẳng và hoặc d trùng với ; tia

Ox thành tia và hai tia cùng chiều; đoạn AB thành đoạn và ; Một đa giác phẳng thành một đa giác phẳng có các góc và các cạnh tương ứng bằng nhau

 Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (

 Phép biến đổi biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến:

 Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng ( và ( song song hoặc trùng với (P); nửa mặt phẳng thành nửa ( ; mặt phẳng; góc nhị diện thành góc nhị diện và số đo hai góc phẳng nhị diện bằng nhau

 Cho hai phép tịnh tiến và Ta đặt T = o , khi đó T là một

phép tịnh tiến và véctơ tịnh tiến là ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗

 Cho hai phép biến đổi ĐA và ĐB với A khác B Ta đặt Đ = ĐA o ĐB, khi

đó Đ là một phép tịnh tiến ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

 Cho phép tịnh tiến ( ⃗ ⃗ và phép đối xứng qua tâm ĐO Ta đặt

Đ1 = o ĐO và Đ2 = ĐO o Khi đó Đ1 và Đ2 là các phép đối xứng qua

tâm

1.5.3.4 Phép đối xứng trƣợt trong không gian

a Định nghĩa

Cho mặt phẳng (P) và véctơ ⃗ khác ⃗ cùng phương với (P) Ta nói phép

biến đổi T1 = Đ(P) o hoặc T2 = o Đ(P) là phép đối xứng - trượt qua mặt

Cho đường thẳng d và góc  (0 Với mỗi điểm M không

thuộc d ta xác định điểm sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:

 Các điểm M và cùng nằm trong một mặt phẳng (P) vuông góc với d

tại O

 Phép quay tâm O với góc quay trong (P) biến M thành

b.Tính chất

 Trục quay d là đường thẳng bất động của phép quay

 Nếu là ảnh của hai điểm M, N trong phép biến đổi Q(d, , thì

1.6 Phép đồng dạng trong không gian

1.6.1 Phép vị tự trong không gian

a Định nghĩa

Cho điểm O cố định và một số k Phép biến hình V biến mỗi điểm

M thành điểm sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu

b Tính chất

 Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ sốk nên có đầy đủ tính chất của phép đồng dạng

 Phép vị tự với k có một điểm bất động duy nhất là O

 Nếu k = -1 thì là phép đối xứng tâm

12

trong đó k là một số dương cho trước, được gọi là tỉ số của phép đồng dạng F

Từ định nghĩa đó ta suy ra: các phép dời hình đều là phép đồng dạng với tỉ số

k =1 Người ta thường kí hiệu phép đồng dạng là Z

số đo

1.7 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là

hình) có tính chất α cho trước với những điều kiện nhất định

Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất α là hình (H) nào đó,

ta phải thực hiện hai bước:

 Bước 1(Phần thuận): Chứng minh điểm M có tính chất α thuộc hình (H)

 Bước 2(phần đảo): Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α

13

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH)

2.1 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình trong không gian

Giả sử f: En En là một phép biến hình trong không gian

Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng lúc

cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết

Như vậy, để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm sao cho quỹ tích những điểm tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải bài toán tìm tập hợp điểm

M thoả mãn tính chất α nào đó: Nếu ta chứng minh được mỗi điểm là ảnh của điểm M qua phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm M là hình (H) thì tập hợp các điểm là hình (H ) f (H)'  1

2.2 Phép đối xứng qua tâm với bài toán quỹ tích

2.2.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Tìm một phép đối xứng tâm ĐO biến mỗi điểm M di động thành điểm

 Bước 2: Tìm tập hợp (H) các điểm M

 Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm là ảnh của (H) trong phép đối xứng qua tâm ĐO

Giải:

Gọi là ảnh của (P) qua phép đối xứng tâm A, thì M là ảnh của qua phép biến đổi ĐA Mà A thuộc mặt cầu nên A thuộc giao của mặt cầu và mặt phẳng Khi đó ta có các khả năng sau xảy ra:

 Nếu mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì tập hợp các điểm M chỉ là một điểm chính là tiếp điểm của mặt cầu và mặt phẳng

 Nếu mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn (I, R) thì tập hợp các điểm M chính là (I, R)

 Nếu mặt phẳng không cắt mặt cầu thì tập hợp các điểm M là tập rỗng

b Ví dụ 2

Cho mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D Với mỗi điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Tìm tập hợp điểm N, khi M biến thiên trong (P)

 N đối xứng với M qua G

Do M biến thiên trong (P) nên tập hợp các điểm N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

 N đối xứng với M qua G Mà M biến thiên trên mặt cầu (O)

 Tập hợp các điểm N là mặt cầu đối xứng với (O) qua G

d.Ví dụ 4: Cho nhị diện (P, Q) và điểm O cố định nằm trong nhị diện Tìm

tập hợp điểm M trong (P) sao cho tồn tại trong (Q) điểm mà O là trung điểm của đoạn

Giải

Gọi là ảnh của (Q) qua phép biến đổi ĐO, khi đó M là ảnh của qua phép biến đổi ĐO Mặt khác M lại thuộc (P) nên M thuộc giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng (P) Khi đó có các khả năng sau xảy ra:

 Nếu (P) không cắt thì tập hợp các điểm M là tập rỗng

 Nếu (P) cắt thì tập hợp các điểm M là giao tuyến d của (P) và

16

2.2.3: Bài tập đề nghị

Bài 2.2.3.1: Cho mặt phẳng (P) và tam giác ABC Với mỗi điểm M thuộc (P)

ta dựng điểm M1 đối xứng với M qua A; M2 đối xứng với M1 qua B và M3 đối xứng với M2 qua C Tìm tập hợp điểm M3, khi M biến thiên trong (P)

Bài 2.2.3.2: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) và điểm O không nằm trên cả hai mặt

phẳng đó Tìm điểm M thuộc (P) và N thuộc (Q) sao cho O là trung điểm của đoạn MN

Bài 2.2.3.3: Cho điểm I(a, b, c) và đường thẳng (d) có phương trình tham số:

M là điểm bất kì thuộc (d) Tìm quỹ tích điểm đối xứng với M qua I

Bài 2.2.3.4: Cho mặt cầu (O) và ba điểm A, B, C phân biệt Với mỗi điểm P

thuộc mặt cầu ta xác định P1 là ảnh của P trong phép đối xứng ĐA, P2 là ảnh của P1 qua phép đối xứng ĐB, P3 là ảnh của P2 qua phép đối xứng ĐC Tìm tập hợp P3 khi P biến thiên trên mặt cầu (O)

Bài 2.2.3.5: Hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau theo đường thẳng d Một điểm A

trên (P) và một điểm B trên (Q) sao cho A, B đều không thuộc d Điểm M di động trên mặt phẳng (AMB), dựng hình bình hành AMBN Tìm tập hợp điểm N

2.3 Phép đối xứng qua trục với bài toán quỹ tích

2.3.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép đối xứng trục Đd, biến điểm E di động thành điểm M

Bước 2: Tìm tập hợp (H) các điểm E

Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép đối xứng trục Đd

Giải

Phần thuận:

Theo giả thiết ta có điểm B là ảnh của điểm A qua phép đối xứng trục

d Mà A nằm trên (O) nên B nằm trên đường tròn ( ) là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục d

Phần đảo:

Lấy B bất kì thuộc đường tròn ( ) Vì B = nên ta cũng có

A = hay A là ảnh của B qua phép đối xứng trục d Mà B ( ) nên A

sẽ thuộc vào đường tròn là ảnh của ( ) qua phép đối xứng trục d Đó chính là đường tròn (O)

Vậy tập hợp điểm B chính là đường tròn ( ) đối xứng với (O) qua phép đối xứng trục d

A

d

O

B

18

b.Ví dụ 2

Cho hình hộp chữ nhật Gọi M, N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai đoạn thẳng AC và sao cho Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN

Do M nằm giữa A và C nên N nằm giữa và và ta có

Vậy quỹ tích trung điểm đoạn MN chính là HK

c Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và các cạnh bên

SA = SC, SB = SD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC Trên các đoạn BM và DN ta lấy các điểm tương ứng K, H sao cho

Tìm tập hợp trung điểm của đoạn KH

Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn HK chính là đoạn O

d Ví dụ 4

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 và một số a > 0 Trên d1 lấy điểm

A, phép đối xứng qua d2 biến A thành A1 Tìm tập hợp các điểm A sao cho

AA1 = 2a

Giải

21

Phần thuận:

Gọi là đường vuông chung của d1 và d2 (B d1, d2)

Đặt = b, BA = x  α là số đo của góc tạo bởi d1 và d2

Ta cũng có  chính là góc tạo bởi d1 và d2 nên  = α

Xét tam giác vuông ta có:

22

Đó là một số không đổi vì a, b, α không đổi

Vậy điểm A thoả mãn yêu cầu bài toán nằm trên đường thẳng d1 và cách B

Bài 2.3.3.1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB và CD K và L lần lượt là hai điểm di động

trên AC và BD sao cho

Tìm quỹ tích trung điểm của KL

Bài 2.3.3.2: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân ABC (AB = AC) Trên các cạnh AC và ta lấy các điểm tương ứng M và

sao cho AM = Tìm tập hợp trung điểm của đoạn

23

2.4 Phép đối xứng qua một mặt phẳng với bài toán quỹ tích

2.4.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước:

 Tìm một phép đối xứng qua một mặt phẳng Đ(P) biến điểm M di động thành điểm

 Nếu cắt (P) thì tập hợp các điểm A là giao điểm của với (P)

 Nếu thuộc (P) thì tập hợp các điểm A là

 Nếu song song với (P) thì tập hợp các điểm A là rỗng

c Ví dụ 3

Cho đường tròn (O) và mặt phẳng (P) không chứa (O) Với mỗi điểm A thuộc (O) ta dựng điểm B sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Tìm tập hợp điểm B khi A thay đổi

Đ(P) Vậy B sẽ là ảnh của A qua phép đối xứng qua mặt phẳng (P)

Tóm lại, quỹ tích điểm B khi A thay đổi là đường tròn ( là ảnh của đường tròn (O) qua Đ(P)

2.4.3 Bài tập đề nghị

Bài 2.4.3.1: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d không thuộc (P) Với mỗi

điểm M bất kì trong không gian ta gọi M1 là điểm đối xứng với M qua (P); M2đối xứng với M1 qua d và M3 đối xứng với M2 qua (P) Tìm tập hợp trung điểm của MM3

Bài 2.4.3.2: Cho xOy Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho tia

OM hợp với các tia Ox, Oy những góc bằng nhau

25

Bài 2.4.3.3: Cho mặt cầu (O) và mặt phẳng (P) Với mỗi điểm M thuộc (O) ta

gọi M1 là điểm đối xứng của M qua (P); M2 là điểm đối xứng của M1 qua tâm

O và M3 là điểm đối xứng của M2 qua (P) Tìm tập hợp M3, khi M biến thiên

2.5 Phép tịnh tiến trong không gian với bài toán quỹ tích

2.5.1 Phương pháp chung

 Bước 1: Tìm một phép tịnh tiến biến điểm E di động thành điểm M

 Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E

 Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh tiến

2.5.2 Ví dụ

a Ví dụ 1:

Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By nhận AB là đường vuông góc chung M, N thứ tự chạy trên Ax, By; AM = BN Tìm quỹ tích trung điểm I của MN