Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG THỊ NGA ỨNG DỤNG CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 2: GS.TS.LÊ VĂN THUYẾT Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sỹ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phép biến hình sơ cấp chiếm vị trí đặc biệt quan trọng hình học Trung học phổ thông Quan điểm “Nhóm phép biến hình” Cayley Félix Klein mở đường cho đời nhiều phân môn hình học khác nằm hệ thống lý thuyết (gọi lược đồ xạ ảnh Cayley – Klein) Sau “Phương pháp tiên đề” Euclid khởi xướng quan điểm “Nhóm biến hình” Cayley – Klein xem sợi đỏ xuyên suốt trình hình thành lý thuyết hình học; số đó, có hình học Euclid sơ cấp giảng dạy Trung học phổ thông Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp khó khăn tiếp cận phép biến hình (được trình bày theo kiểu “tân toán học”), đặc biệt khâu ứng dụng (sử dụng phép biến hình để giải toán) Quả thật, làm quen khái niệm phép biến hình, người ta thường chưa hiểu tường tận tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết Trong kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế khu vực, hay kì thi giải toán nhiều tạp chí toán học toán hình học liên quan đến phép biến hình xuất nhiều xem dạng toán loại khó (hoặc khó) bậc Trung học phổ thông Hiện có số tài liệu tiếng Việt đề cập đến khía cạnh khác phép biến hình Tuy nhiên, tài liệu hệ thống theo dạng toán phương pháp giải chưa có nhiều mong muốn cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi yêu thích toán, thêm tài liệu tham khảo phép biến hình Với lý qua khả tìm hiểu, nghiên cứu, chọn “Ứng dụng phép biến hình giải toán hình học phẳng” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm hệ thống lại số kiến thức bản, bổ sung (so với nội dung có sách giáo khoa THPT) nâng cao phép biến hình phẳng Chúng cố gắng phân loại dạng toán ứng dụng, tổng hợp số phương pháp cụ thể, đưa vào nhiều ví dụ để minh họa cho phương pháp trình bày; được, tìm cách nhận xét phân tích lí dẫn đến việc sử dụng phép biến hình cụ thể 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các phép biến hình mặt phẳng Ngoài lý thuyết tổng quan có nhận xét, phân loại, giúp cải thiện khả giải toán học sinh THPT 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu đề cập đến phép biến hình phẳng ứng dụng giải toán THPT Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu tiếng Việt xuất nước tài liệu nước tìm mạng internet Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để trình bày nội dung vấn đề luận văn cách phù hợp Giả thuyết khoa học Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy với thời lượng chấp nhận cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông cho sinh viên toán trường đại học Xây dựng hệ thống toán (cũ mới) với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương, cụ thể sau: Chương 1: Đại cương phép biến hình Chương 2: Các phép dời hình phẳng Chương 3: Một số phép biến hình đặc biệt CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH Trong chương trình bày kiến thức mở đầu phép biến hình phẳng số ví dụ minh họa 1.1 ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng, có quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định điểm M ′ thuộc mặt phẳng quy tắc gọi Phép biến hình M ’ gọi ảnh M qua phép biến hình • Nếu gọi phép biến hình F M ′ ảnh M qua F ta viết M ′ = F (M ) F (M ) = M ′ Khi ta nói: Phép biến hình F biến điểm M thành điểm M ′ • Xét hình H, ta gọi H ′ gồm điểm: M ′ = F (M ) với M ∈ H Ta nói H ′ ảnh H qua phép biến hình F Kí hiệu: H ′ = F (H) 1.2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT PHÉP BIẾN HÌNH 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho điểm M nằm mặt phẳng Một phép biến hình F biến M thành M gọi điểm bất động phép biến hình F Kí hiệu: M = F (M ) 1.2.2 Ví dụ 1.3 TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Trong mặt phẳng cho hai phép biến hình f g Với điểm M , qua phép biến hình f : M −→ M ′ g : M ′ −→ M ′′ Phép biến trực tiếp điểm M −→ M ′′ phép biến hình mặt phẳng, lúc ta gọi phép biến hình tích hai phép biến hình cho Kí hiệu : g ◦ f : M −→ M ′′ g(f ) : M −→ M ′′ Gọi phép biến hình h biến điểm M thành M ′′ , tích hai phép biến hình f g Vậy ta có: M ′′ = h(M ′′ ) = g[f (M )], ∀ M ⇐⇒ M ′′ = g ◦ f (M ) 1.3.2 Tính chất tích phép biến hình i Kết hợp, tức là: f3 ◦ (f2 ◦ f1 )= (f3 ◦ f2 ) ◦ f1 = f3 ◦ f2 ◦ f1 ii Tích phép biến hình không giao hoán Tức f2 ◦ f1 = f1 ◦ f2 iii Tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = Id 1.4 XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA HÌNH 1.4.1 Định nghĩa • Hình tập hợp điểm mà điểm xếp theo quy định • Định nghĩa ảnh hình qua phép biến đổi hình học: Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc H phép biến đổi lập thành hình H ′ , gọi ảnh hình H Và kí hiệu là: f : H −→ H ′ (đọc f biến H thành H ′ ) 1.4.2 Ví dụ i Một điểm tập hợp gồm n điểm xếp theo quy tắc hình ii Một đa giác hình gồm nhiều đoạn thẳng xếp theo quy tắc xác định iii Tia nửa đường thẳng có chiều xác định hình Ngoài ra: đường tròn, đường cong miền phẳng bao bọc đường cong kín hình Hoặc tập hợp rỗng xem hình 10 ii Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng f phép đồng 2.2 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.2.1 Cho điểm O Một phép biến đổi biến O thành nó, biến điểm M = O thành điểm M ′ , −−−→ −−→ cho: OM ′ = −OM gọi phép đối xứng qua tâm O Điểm O gọi tâm đối xứng Kí hiệu: DO 2.2.2 Tính chất i Phép biến đổi DO có điểm bất động ii Nếu A′ B ′ ảnh hai điểm A B phép −−→ −− → biến đổi DO , A′ B ′ = −AB iii Phép biến đổi DO phép biến đổi - iv Phép biến đổi DO biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng 11 2.2.3 Phép đối xứng qua tâm hệ tọa độ ĐỀ CÁC Giả sử DO phép đối xứng qua tâm O, với O gốc tọa độ hệ trục toạn độ Oxy Một điểm M (x0 , y0 ) ∈ Oxy Gọi M ′ ảnh M qua phép đối xứng DO =⇒ Tọa độ M ′ (−x0 , −y0 ) Nếu tâm đối xứng gốc tọa độ O, mà điểm I(a, b) Thì với M (x0 , y0 ) ∈ Oxy, ta goi M ′ ảnh M qua phép đối xứng tâm I, với M ′ (x′ , y ′ ) Tọa độ M ′ xác định hệ phương trình sau:   x′ = 2a − x0  y ′ = 2b − y 2.2.4 Ứng dụng phép đối xứng tâm 2.3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Cho đường thẳng △ Một phép biến đổi biến điểm X ∈ △ thành nó, biến điểm M ∈ △ thành điểm M’ cho △ đường trung trực đoạn MM’ Phép biến đổi gọi phép đối xứng trục △’ Kí hiệu là: Đ△ △ gọi trục đối xứng đường thẳng bất động phép biến đổi 12 2.3.2 Tính chất 2.3.3 Phép đối xứng qua đường thẳng hệ tọa độ ĐỀ - CÁC Xét phép biến đổi Đ△ hệ tọa độ Oxy cho: ∗ Trường hợp △ trùng với trục Oy Với điểm M(x0 ; y0 ) ảnh M’ M có tọa độ:   x′ = −x0  y ′ = −y0 ∗ Trường hợp △ trùng với trục Ox, ảnh M’(x’;y’) M có tọa độ là:    x′  y ′ = x0 = −y0 2.3.4 Ứng dụng phép đối xứng qua đường thẳng 2.4 PHÉP TỊNH TIẾN 2.4.1 Định nghĩa − → − Định nghĩa 2.4.1 Cho véc tơ → u = Với điểm M −−−→ → mặt phẳng ta dựng điểm M’ cho: M M ′ = − u Khi → ta nói M’ ảnh M qua phép tịnh tiến theo véc tơ − u − ′ → → Kí hiệu: T− u : M −→ M , u gọi véc tơ tịnh tiến 13 2.4.2 Tính chất − → − → → ∗ Tính chất Phép biến đổi T− u với u = điểm bất động → ∗ Tính chất Phép biến đổi T− u phép biến đổi 1-1 → có phép biến đổi ngược Dó phép tịnh tiến T(−− u ) ∗ Tính chất Nếu A’, B’ ảnh hai điểm A B −− → − − → ′ ′ → phép tịnh tiến T− u A B = AB → ∗ Tính chất Phép biến đổi T− u biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng → → ∗ Tính chất Tích hai phép biến đổi T− u T− v với → − → − → u − v khác phép tịnh tiến mà véc tơ tịnh tiến − → → u +− v ∗ Tính chất Tích hai phép đối xứng tâm với hai tâm phân biệt phép tịnh tiến ∗ Tính chất Tích phép đối xứng tâm DA → − → → (− u = )là phép đối xứng phép tịnh tiến T− u tâm tâm O phép biến đổi xác định hệ −→ → thức:2AO = −− u 14 2.4.3 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến hệ trục tọa độ ĐỀ - CÁC 2.4.4 Ứng dụng phép tịnh tiến 2.5 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 2.5.1 Cung góc định hướng 2.5.2 Phép quay quanh điểm Định nghĩa: Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng ϕ, xác định sai khác 2kπ(k∈Z) Một phép quay Q tâm O, góc quay ϕ, kí hiệu Q(O,ϕ) phép biến hình biến điểm O thành biến điểm M = O thuộc mặt phẳng thành điểm M’ thuộc mặt phẳng, cho: → −−→ −−− (OM , OM ′ )=ϕ OM’=OM 2.5.3 Tính chất phép quay quanh điểm 2.5.4 Biểu thức tọa độ phép quay hệ trục tọa độ ĐỀ - CÁC 2.5.5 Ứng dụng phép quay 15 CHƯƠNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH ĐẶC BIỆT Khảo sát số phép biến hình phẳng khác, làm thay đổi khoảng cách hai điểm Tiếp theo phần lý thuyết ứng dụng, thể qua toán ví dụ 3.1 PHÉP VỊ TỰ 3.1.1 Định nghĩa phép vị tự Cho trước điểm O số thực k = Phép biến đổi biến −−−→ −−→ điểm M thành điểm M’ cho OM ′ = kOM goi phép vị tự tâm O hệ số k kí hiệu V(O,k) Diểm M’ gọi ảnh M, M gọi tạo ảnh M’, O tâm phép vị tự, k hệ số vị tự * Nếu k>0 V(O,k) gọi phép vị tự dương * Nếu k0 Với điểm M bất −−−→ −−→ kì không thuộc d ta dựng điểm M’ cho: HM ′ = kHM , H chân đường vuông góc kẻ từ M xuống d M’ gọi ảnh M phép co(dãn) trục d với hệ số k Kí hiệu là: Γ(d,k) : M −→ M’ Đường thẳng d gọi trục co, số k>0 gọi hệ số co (dãn) 19 3.4.2 Tính chất ∗ Tính chất Phép biến đổi Γ(d,k) - ∗ Tính chất Phép biến đổi Γ = Γ (d, đồng ◦ Γ(d,k) phép ) k ∗ Tính chất Phép biến đổi Γ(d,k) biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng ∗ Tính chất Nếu △ABC tam giác có diện tích S, ảnh tam giác △A’B’C’ có diện tích S’=kS ∗ Tính chất Nếu trục d phép biến đổi Γ(d,k) qua tâm đường tròn, ảnh đường tròn phép biến đổi elip ∗ Tính chất Nếu trục d phép biến đổi Γ(d,k) trùng với trục đối xứng elip k tỉ số hai trục elip, ảnh elip đường tròn ⋆HỆ QUẢ Phép biến đổi Γ(d,k) biến: i Đường thẳng d thành đường thẳng d’ ii Hai véc tơ phương thành hai véc tơ phương tỉ số độ dài hai véc tơ ảnh tỉ số độ dài hai véc tơ tạo ảnh tương ứng 20 3.4.3 Ứng dụng phép co - dãn 3.5 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 3.5.1 Định nghĩa Giả sử F phép biến đổi - mặt phẳng biến điểm A thành A’, B thành B’ Ta viết F(A)=A’, F(B)=B’ → − −− → −−→ → F(AB)=A′ B ′ viết F(− u )= u′ Trong mặt phẳng cho phép biến đổi F thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i F phép biến đổi - − → → − → − − → → ii Với véc tơ → a b , F(− a + b )=F(− a )+F( b ) − → → iii Với véc tơ → a số thực k bất kì, F(k− a )=kF(− a) Khi ta nói F phép biến đổi tuyến tính mặt phẳng 3.5.2 Tính chất → − → − • Tính chất F( ) = → → • Tính chất F(−− a )=-F(− a ) → − → − − → • Tính chất Nếu → a = b , F(− a )=F( b ) • Tính chất Nếu A, B, C điểm thẳng hàng B nằm A, C F(A)=A’, F(B)=B’, F(C)=C’ thẳng 21 hàng B’ nằm A’, C’ ⋆Hệ i Phép biến đổi F biến đường thẳng thành đường thẳng ii Nếu d1 //d2 , d′1 d′2 ảnh d1 d2 phép biến đổi tuyến tính F, d′1 //d′2 −− → AB iii Nếu B chia đoạn thẳng AC theo tỉ số k cho −−→ = BC k, B’ chia đoạn A’C’ theo tỉ số k, nghĩa −− → A′ B ′ −− → = k B ′C ′ • Tính chất Cho hai tam giác ABC A’B’C’ Tồn phép biến đổi tuyến tính F biến A thành A’, B thành B’, C thành C’ ⋆Hệ Tồn phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác thành tam giác tam giác vuông • Tính chất Tích hai(hoặc nhiều) phép biến đổi tuyến tính phép biến đổi tuyến tính • Tính chất Cho tam giác ABC tam giác vuông cân A’B’C’(tam giác A’B’C’), tồn phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABC thành tam giác 22 A’B’C’ F tích hai phép co(dãn) biến tam giác ABC thành tam giác đồng dạng với A’B’C’ phép biến đổi tuyến tính F’ Nghĩa là: F=F’◦F2 ◦F1 : A −→ A′ , B −→ B ′ , C −→ C ′ , F2 ◦ F1 biến tam giác ABC thành tam giác vuông cân (tam giác đều) A”B”C” Hệ Cho tam giác ABC F phép biến đổi tuyến tính biến tam giác thành tam giác A’B’C’, F biểu diễn dạng F = V ◦ Γ2 ◦ Γ1 , Γ2 ◦ Γ1 tích hai phép co (dãn) biến tam giác ABC thành tam giác A1 B1 C1 đồng dạng với tam giác A’B’C’ phép đồng dạng V biến tam giác A1 B1 C1 thành tam giác A’B’C’ • Tính chất 8.Cho tam giác A1 B1 C1 A2 B2 C2 có diện tích tương ứng S1 , S2 Phép biến đổi tuyến tính F biến A1 B1 C1 thành A′1 B1′ C1′ , A2 B2 C2 thành A′2 B2′ C2′ có diện S′ S1 = 1′ tích tương ứng S1′ S2′ , : S2 S2 3.5.3 Ứng dụng phép biến đổi tuyến tính • Bài toán 1: Bên tam giác ABc ta lấy điểm P Qua P kẻ đường thẳng x song song với AB cắt BC A1 ; đường thẳng y song song với BC cắt AC B1 ; đường thẳng z song song với AC cắt AB C1 Chứng minh rằng: 23 P B1 P A1 P C1 + + =1 AB BC CA • Bài toán 2: Cho tam giác ABC có diện tích S Trên BA1 cạnh Bc ta lấy điểm A1 cho = 2, CA A1 C CB1 lấy điểm B1 cho = 2, AB lấy điểm C1 B1 A AC1 = Gọi A1 , B2 , C2 giao điểm cho C1 B đoạn BB1 CC1 , CC1 AA1 ,AA1 BB1 Tính diện tích tam giác A2 B2 C2 24 KẾT LUẬN Luận văn đề cập giải vấn đề sau: Khái quát lại khái niệm phép biến hình phép dời hình hình học phẳng Trình bày giải số tập cách vận dụng phép dời hình biến hình vào trình giải toán Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tòi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ phía thầy cô giáo bạn học viên để đề tài hoàn thiện ... cương phép biến hình Chương 2: Các phép dời hình phẳng Chương 3: Một số phép biến hình đặc biệt 5 CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC PHÉP BIẾN HÌNH Trong chương trình bày kiến thức mở đầu phép biến hình phẳng. .. Luận văn đề cập giải vấn đề sau: Khái quát lại khái niệm phép biến hình phép dời hình hình học phẳng Trình bày giải số tập cách vận dụng phép dời hình biến hình vào trình giải toán Mặc dù có nhiều... khó khăn tiếp cận phép biến hình (được trình bày theo kiểu “tân toán học ), đặc biệt khâu ứng dụng (sử dụng phép biến hình để giải toán) Quả thật, làm quen khái niệm phép biến hình, người ta thường