Ứng dụng các phép biến hình trong giải bài toán quỹ tích ở trường THPT

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Khoa khoa học Tự nhiên nói chung Bộ môn Hình học Phương pháp giảng dạy Toán nói riêng giúp đỡ em trình học tập trường Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên môn –ThS Nguyễn Thị Xuân tạo hội điều kiện tốt để em làm tập này, cảm ơn cô giảng dạy bảo tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt thời gian qua Cảm ơn tập thể lớp K17b Đại học Sư phạm Toán tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho hoàn thành đề tài này, cảm ơn bạn lớp giúp đỡ trình học tập hoàn thành tiểu luận Bước đầu vào thực tập lớn, kiến thức em hạn chế không tránh khỏi thiếu sót chỗ chưa chuẩn xác, kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý Thầy Cô anh chị, bạn học để em hoàn thiện tiểu luận Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng năm Sinh viên Lê Thị Bích Hường MỤC LỤC Mục Tên chương, phần, mục tiểu mục Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5 Khái niệm quỹ tích Dạng chứng minh toán quỹ tích Các phép biến hình mặt phẳng ỨNG DỤNG: Sử dụng phép biến hình giải toán quỹ tích Phương pháp giải toán quỹ tích Sử dụng phép biến hình giải toán quỹ tích 10 11 2.1 12 • 13 2.2 14 • 15 2.3 16 • 17 2.4 18 • Phép biến hình – Phép tịnh tiến Bài tập tự luyện 9 15 Phép đối xứng trục 16 Bài tập tự luyện 18 Phép quay phép đối xứng tâm 19 Bài tập tự luyện 23 Phép vị tự 23 Bài tập tự luyện 28 19 PHẦN KẾT LUẬN 29 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu đào tạo nhà trường phổ thông Việt Nam hình thành sở ban đầu trọng yếu người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu điều kiện hoàn cảnh đất nước người Việt Nam Môn Toán trường phổ thông giữ vai trò, vị trí quan trọng môn học công cụ học tốt môn Toán tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ Toán học cần thiết, môn Toán rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong chương I - Hình học 11, phép biến hình công cụ hữu hiệu để giải toán quỹ tích, dựng hình,… Đây vấn đề khó khăn học sinh lần làm quen với khái niệm biến hình hầu hết em “ngại” làm toán liên quan đến quỹ tích Nhưng nội dung phép biến hình đưa vào chương trình không công cụ để giải toán mà giúp em làm quen với phương pháp tư suy luận biết nhìn vật tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo học tập Do em xin chọn đề tài: “ Ứng dụng phép biến hình giải toán quỹ tích trường THPT” Với đặc điểm chương trình là: kiến thức mới, học sinh tiếp cận khó khăn chất lượng học sinh không đồng Mặc dù chương trình giảm tải mặt lý thuyết nhiều Nhiều học sinh học phép biến hình nghĩ đơn nắm định nghĩa tính chất để áp dụng lý thuyết để giải số toán quỹ tích thực vấn đề khó khăn nhiều học sinh Vì tiểu luận phần giúp người học nắm rõ khái quát khái niệm, tính chất phép biến hình phân biệt khác toán tìm quỹ tích phép biến hình Phạm vi nghiên cứu: - Một số tập quỹ tích chương biến hình - Để thực đề tài này, dựa sở kiến thức môn Toán Trung học phổ thông, tài liệu phương pháp giảng dạy, tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học, cao đẳng học sinh giỏi Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách - tham khảo, tài liệu liên quan khác, Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học giáo viên - học sinh Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm quỹ tích: Ta biết hình tập hợp điểm Để cho tập hợp, ta có nhiều cách Một cách tập hợp gồm điểm Chẳng hạn nói tập hợp đỉnh đa giác cho Hoặc cho tập hợp điểm cách tính chất đặc trưng cho điểm Chẳng hạn ta nói tập hợp điểm cách hai điểm A B cho trước Khi hình X xác định tập hợp tất điểm có tính chất ta nói “X quỹ tích điểm có tính chất điểm có tính chất α α α , ” hay “Quỹ tích hình X” Theo lý thuyết tập hợp điều có nghĩa là: -Nếu điểm M có tính chất -Nếu M ∈ α M X M có tính chất α ∈ X Dạng chứng minh toán quỹ tích: - Bài toán loại phát biểu dạng: “Chứng minh quỹ tích điểm M có tính chất α hình X” Để giải toán này, nói ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận phần ảo a) b) α ∈ Nếu điểm M có tính chất M X (phần thuận) α ∈ Nếu M X M có tính chất Có thể hay phần thuận a) phần đảo b) mệnh đề tương đương: a’) Nếu M ∉ X M tính chất b’) Nếu M tính chất α M ∉ α X Ví dụ: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1; R) (O2: R) trung điểm đoạn thẳng O1O2 O1 ≠ O2 Gọi C Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B gọi M trung điểm AB Chứng minh quỹ tích điểm M A, B thay đổi hình tròn tâm C bán kính R Lời giải: Phần thuận: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Ta phải chứng minh Thật ta gọi N trung điểm R CN = O1 A = 2 Từ suy ra: O2 A CM ≤ MN + CN = R CM ≤ R R MN = O2 B = 2 , Phần đảo: Giả sử M điểm thuộc đường tròn tâm C bán kính R Ta phải chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB đó, với A, B nằm hai đường tròn cho Ta gọi tròn (O2 ; R ) (O3 ; R) đường tròn đối xứng với (O3 ; R ) cắt (O1 ; R ) O2O3 = 2CM ≤ R qua điểm M Hai đường Nếu gọi B điểm chung chúng A điểm đối xứng B qua M rõ ràng M trung điểm A ∈ (O1; R) AB B ∈ (O2 ; R ) - Phần thuận phần đảo nhiều trình bày gộp lại thành phần dùng phép lập luận tương đương Các phép biến hình mặt phẳng: 3.1 Phép biến hình - Phép tịnh tiến: - Định nghĩa: a Phép biến hình quy tắc để vớii điểm M mặt phẳng xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng b Phép tịnh tiến theo vectơ r v phép biến hình biến điểm M uuuuu r r MM ' = v - thành điểm M’ cho Tính chất: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai chất điểm 3.2 Phép đối xứng trục: - Định nghĩa: M’ ảnh M qua phép đối xứng trục d d đường trung trực MM’ 3.3 Phép quay phép đối xứng tâm: Q( O ;R ) - Định nghĩa phép quay: Điểm M’ ảnh M qua phép quay OM=OM’ ( OM ; OM ’) = µ - Định nghĩa phép đối xứng tâm: M’ ảnh M qua phép đối xứng tâm O uuuu r uuuur r OM + OM ' = 3.4 Phép vị tự: - Định nghĩa: Cho trước điểm O số thực điểm M thành điểm M’ cho uuuur uuuu r OM ' = kOM k ≠0 Phép biến đổi biến gọi phép vị tự tâm O H ( O:k ) hệ số k ký hiệu Điểm M’ gọi ảnh điểm M, M gọi tạo ảnh M’, O tâm phép vị tự, K hệ số vị tự H ( O:k ) Nếu k>0, gọi phép vị tự dương H ( O:k ) Nếu k