Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán trong hình học phẳng.. Tính ưu việt của phép biến hình trong mặt phẳng thể

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Người hướng dẫn khoa học

T.S nguyễn năng tâm

Hà nội - 2008

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Lời cảm ơn

Khoá luận này trình bày về việc sử dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phép biến hình, khoá luận còn cố gắng khai thác, mở rộng một số bài toán

Để hoàn thành khoá luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu

Tuy có nhiều cố gắng, song năng lực bản thân còn có hạn cũng như điều kiện về tài liệu và thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô và các bạn

để khoá luận của em hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Sinh viên

Đinh Thị Len

Lời cam đoan

Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng,

nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy

cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm

Các kết quả trong bản khoá luận này không trùng với kết quả của các

tác giả khác và các kết quả đó là chân thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2008

Sinh viên

Đinh Thị Len

Chương 2 ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích 9

2.1 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 9 2.2 Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích 9

2.3 Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích 13 2.4 Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích 17

2.7 Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học sinh Bởi vì hình học có tính chặt chẽ, tính logíc và tính trừu tượng cao hơn các môn học khác của toán học Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán trong hình học phẳng

Tính ưu việt của phép biến hình trong mặt phẳng thể hiện rất rõ khi ta vận dụng nó để giải quyết các bài toán về dựng hình, quỹ tích, chứng minh và tính toán

Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học bằng phép biến hình không phải

là dễ dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh

Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ trình bày những kiến thức cơ bản về phép biến hình và ứng dụng của nó để giải bài toán quỹ tích

Đó chính là lý do em chọn đề tài :

“ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép biến hình trong việc giải bài toán quỹ tích

2.2 Xây dựng hệ thống các ví dụ minh hoạ và bài tập luyện tập thể hiện phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Các bài toán quỹ tích trong mặt phẳng giải bằng phép biến hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu SGK, các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến nội dung này

Chương 1 : Hệ thống các kiến thức cơ bản

1.1 Phép biến hình

1.1.1 Định nghĩa

Phép biến hình của một mặt phẳng là một song ánh từ mặt phẳng vào chính nó

1.1.2 Phép biến hình đảo ngược

Cho phép biến hình f : E2E2 Khi đó ánh xạ ngược f-1 của f cũng là một song ánh từ E2 vào E2 nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f ( hay

là phép nghịch đảo của phép biến hình f )

1.1.3 Phép biến hình tích

Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f và

g là một song ánh của mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích đó cũng là phép biến hình của mặt phẳng Ta nói phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và

Như vậy ứng với mọi điểm M của hình F ta có một điểm M của hình

G và chỉ một mà thôi và ngược lại, ứng với mỗi điểm M của hình G ta có một điểm M của hình F và chỉ một mà thôi

1.1.6 Các phần tử bất biến trong một phép biến hình

Cho phép biến hình f : E2E2, với mỗi điểm M E2 mà f(M) =M thì điểm M được gọi là điểm bất động (điểm kép) đối với phép biến hình f

Hình H được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình f của E2 nếu f(H)=H

Hình H được gọi là hình bất động (cố định) đối với f của E2 nếu với mỗi điểm M H mà f(M)=M

1.2 Mặt phẳng định hướng, góc định hướng

1.2.1 Mặt phẳng định hướng

Xung quanh mỗi điểm trong một mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều của kim đồng hồ và chiều ngược lại Nếu chọn một trong hai chiều quay đó là chiều dương thì chiều ngược lại gọi là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng

Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều của kim đồng

hồ làm chiều dương

1.2.2 Góc định hướng của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng P đã được định hướng, xét hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O Người ta gọi góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b lấy theo thứ tự đó là góc mà đường thẳng phải quay theo một chiều xác định để đến trùng với vị trí của đường thẳng b Góc định hướng đó kí hiệu (a,b), trong đó

a là cạnh đầu, b là cạnh cuối của góc

Số đo của góc đó là dương và âm tuỳ theo chiều quay của a xung quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm của mặt phẳng Do đó nếu (a,b)= thì (b,a)=-

Góc định hướng của hai đường thẳng a,b xác định sai khác một góc k

radian, (a,b)= +k( tính bằng radian) Kí hiệu (a,b)= ( mod)

1.3 Phép dời hình trong mặt phẳng

1.3.1 Định nghĩa

Phép biến hình của mặt phẳng E2 bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ

ý được gọi là phép dời hình, nghĩa là với mỗi M E2 ; N E2 có f(M) = M’, f(N)=N’ thì đều có M’N’=MN

- Phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một phép đồng nhất

Trong E2 cho điểm O, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ thoả mãn '

- Phép đối xứng qua tâm O có điểm bất động duy nhất là O

- Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm phân biệt là một

phép đối xứng tâm

- Tích của hai phép đối xứng tâm với hai tâm đối xứng phân biệt

là một phép tịnh tiến, với hai tâm đối xứng trùng nhau là một phép đồng nhất

1.3.3.2 Phép đối xứng trục

a Định nghĩa

Trong E2,cho đường thẳng d, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là trung trực của MM’ được gọi là phép đối xứng qua d và kí hiệu Đd hoặc Sd Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng

b Tính chất

M’

M

d

- Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy

đủ các tính chất của phép dời hình

- Phép đối xứng trục có duy nhất một đường thẳng bất động

- Cho hai đường thẳng phân biệt a , b Gọi c là ảnh của b qua phép đối xứng trục Sa Khi đó phép biến hình S = Sa .Sb Sa là phép đối xứng qua đường thẳng c

1.3.3.3 Phép tịnh tiến

a Định nghĩa

Trong E2, cho vectơ v

, phép biến hình của mặt phẳng E2 biến mỗi điểm M

thành điểm M’ thoả mãn '

MM



= v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

Kí hiệu Tv

1.3.3.4 Phép quay

a Định nghĩa

Trong mặt phẳng định hướng E2,

cho điểm O cố định và góc định

hướng , phép biến hình của mặt

phẳng E2 cho tương ứng mỗi điểm M

thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và (OM, OM) = , được gọi là phép quay quanh điểm O và góc quay là  Kí hiệu : QO hay Q(O,)

- Phép vị tự V(O,k) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

- Phép vị tự V(O,k) biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k , biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp k lần đường tròn đó

- k =-1 thì V(O,k) là phép đối xứng tâm

b Tính chất

- Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng đầu , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR

1.5 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là một hình) có tính chất  cho trước với những điều kiện nhất định

Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình ( H ) nào

đó, ta phải thực hiện hai bước :

Bước 1 : (Phần thuận) Chứng minh điểm M có tính chất  thuộc (H) Bước 2 : (Phần đảo) Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất 

Chương 2 : ứng dụng phép biến hình để giảI bài toán quỹ

tích

2.1 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình

Giả sử f : E2 E2 là một phép biến hình của mặt phẳng

MM'

Lúc đó, do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được :

Quỹ tích của điểm M là hình (H) thì ta có quỹ tích điểm M’ là hình f(H)

Ngược lại, nếu quỹ tích của các điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích những điểm M là hình f -1(H’)

Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết

Như vậy để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm M’ sao cho quỹ tích những điểm M’ tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn tính chất  nào đó : nếu ta chứng minh được mỗi điểm M’ là ảnh của một điểm M qua một phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm

M là hình ( H ) thì tập hợp các điểm M’ là hình ( H’) = f( H )

2.2 Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích

2.2.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1 : Tìm một phép đối xứng tâm Đo biến mỗi điểm M di động thành điểm M’

Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) các điểm M

Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M’ là ảnh của ( H ) trong phép đối xứng tâm Đo

2.2.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm

di động trên (O), M khác A, B Hai đường tròn (O1) và (O2) qua M theo thứ

tự tiếp xúc với AB tại A và B Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) Tìm tập hợp N khi M di động trên (O)

Lời giải

Gọi I là giao điểm của MN và AB

P là giao điểm của MN với (O)

M

P

Ví dụ 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), bán kính R cố định Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC khi A chuyển động trên ( O)

Lời giải

Giả sử AA1 là đường kính của (O;R)

Gọi I là trung điểm của BC  I cố định

Do điểm A thay đổi trên đường tròn (O;R) nên A1 thay đổi trên (O;R)

Do đó quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I

Kết luận : quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua ĐI

Ví dụ 3 Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB , ĐC Với M là điểm bất kì, gọi M1 là ảnh của M qua ĐA; gọi M2 là ảnh của M qua ĐB ; gọi M3 là ảnh của

M qua ĐC Tìm quỹ tích điểm M3 khi M chạy trên (O) hay đường thẳng d

A 1

I

H

C B

A

O

Do đó, tứ giác AB M1 M2 là hình chữ nhật và CM  AB

Tương tự ta có : BM  AC

 M là giao điểm ba đường cao của ABC

Nếu ABC nhọn thì tập hợp điểm M gồm một điểm là trực tâm của

ABC

Tập hợp điểm M là tập rỗng nếu ABC không nhọn

2.3 Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích

2.3.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước :

Bước 1 : Tìm một phép đối xứng trục Đd, biến điểm E di động thành điểm M

Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) của các điểm E

Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của ( H ) trong phép đối xứng trục Đd

2.3.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Cho ( O;R ) trên đó có hai điểm A,B Một đường tròn (O1;R1) tiếp xúc ngoài (O) tại A Một điểm M di động trên ( O ), tia MA cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A1 Qua A1 vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia MB tại B1 Tìm tập hợp điểm B1

M 1

Gọi giao điểm thứ hai của B1 A1 với đường tròn ( O1 ) là A2 Kẻ tiếp tuyến chung xx’ của (O) và (O1) tại A, ta có :

A B BABMx AM xAA AA A

 hình thang AB B1A2 là hình thang cân

A2 và B1 đối xứng với nhau qua đường trung trực ( d ) của AB

Mặt khác, khi M di động trên (O) thì A2 di động trên (O1)

 Tập hợp các điểm A2 là đường tròn( O1 )

Ta lại có , B1 = Đd(A2 ) nên tập hợp các điểm B1 là đường tròn ảnh của đường tròn ( O1 ) qua phép đối xứng trục d

Kết luận : Tập hợp các điểm B1 là đường tròn (O2) với (O2) =Sd(O1)

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau ở O

và một điểm P cố định nằm ngoài d1 , d2 Một đường thẳng  quay xung quanh P cắt d1 ở A , d2 ỏ B Các đường thẳng 1 và 2 đối xứng với  lần lượt qua d1 và d2 cắt nhau ở M Tìm

quỹ tích của điểm M

M

B d

Gọi Pi là điểm đối xứng với P qua di ,i=1,2 Vì P   nên suy ra :

(OP1, OP) = 2(OP1 , d1) = 2(d1,OP) (mod ) (4)

(OP , O P2) =2(d2,OP2) = 2( OP,d2) (mod ) (5)

Theo hệ thức Chasles,

từ (4), (5) (OP1,OP2) = 2(d1 ,d2 ) (mod ) (ii)

Từ (i) , (ii) ⇒(MP1,MP2) = (OP1,OP2) (mod ) (iii)

Đẳng thức (iii) chứng tỏ, bốn điểm O, P1, P2, và M   1 2cùng thuộc một đường tròn với mọi vị trí của đường  quay quanh điểm P cố định

Ví dụ 3 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) , bán kính R cố định Tìm

quỹ tích trực tâm H của ABC khi A di động trên (O)

Khi A thay đổi trên (O,R) thì Acũng thay đổi trên (O,R)

Do đó, quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng trục BC

Kết luận : Quỹ tích trực tâm H là đường tròn (O,R), ảnh của đường

tròn (O,R) qua ĐBC

Ví dụ 4 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn Gọi M là điểm di

động trên đường tròn ấy và M1, M2 M3 theo thứ tự là các điểm đối xứng của

M qua BC, CA và AB

Tìm tập hợp các điểm M1, M2 M3 khi M di động trên đường tròn ấy

Lời giải

Ta có M và M1 đối xứng nhau qua BC

Do đó khi M di động trên đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC thì M1 di động trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) đã cho qua phép đối xứng trục BC Ta kí hiệu đường tròn chứa M1 là (O1)

I

H

C B

A

O 1

2 1

1 A’ O’

Đảo lại, lấy một điểm M1 tuỳ ý trên đường tròn (O1) và dựng M đối xứng với M1 qua BC Ta chứng minh được M thuộc vào đường tròn (O)

Vậy tập hợp điểm M1 là đường tròn (O1) đối xứng với đường tròn (O) qua BC

Tương tự ta chứng minh được tập hợp các điểm M2 là đường tròn (O2) đối xứng với đường tròn (O) qua trục CA và tập hợp các điểm M3 là đường tròn (O3) đối xứng với đường tròn (O) qua trục AB

2.4 Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích

2.4.1 Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép tịnh tiến Tv biến điểm di động E thành điểm

M

Bước 2: Tìm tập hợp (H ) của các điểm E

Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh tiếnTv

2.4.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Cho hai vòng tròn bằng nhau (O) và (O’) ; A và A’ là hai điểm

cố định thứ tự trên chúng Các điểm M, M’ di động trên các vòng tròn tương

ứng (O) và (O’) sao cho AM và A M  bằng nhau và cùng hướng (ngược hướng) Tìm tập hợp các trung điểm của MM’

Do BA không đổi nên NM có độ dài và hướng không đổi

Gọi J là trung điểm của NM’ thì ta có :

Vậy khi M và M’ di động thì tập hợp điểm J là vòng tròn (O’,r)

Mặt khác, xét tam giác MM’N có IJ là đường trung bình

Do đó I là ảnh của J qua phép tịnh tiến 

' 1

O O 2T

Vậy khi J chạy trên (O’,r) thì I chạy trên (O’’,r), ảnh của (O’,r) qua

,

Vậy quỹ tích trung điểm I của đoạn MM’ là 1 đoạn thẳng, ảnh của đường kính của đường tròn (O’) đi qua trung điểm của BA’ qua phép tịnh tiến

Dựng OE và O1F cùng vuông góc với đường thẳng d

Ta có E, F lần lượt là trung điểm của AM và AN