Phép vị tự với bài toán quỹ tích 1 Phương pháp chung

2.6.1. Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước : Bước 1: Tìm một phép vị tự k

O

V , biến điểm E di động thành điểm M. Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.

Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép vị tự

k O V .

2.6.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố định ở trên đường tròn ; BC là một dây cung di động của đường

tròn này và BC có độ dài không đổi bằng 2d ( d < R ). Tìm tập hợp trọng tâm G của ABC.

A

O G G

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC thì OM  BC. Trong OMC, ta có : 2 2 2 2 2 OM OC MC R d     2 2 OM R d ⇒ không đổi

Do đó M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính không đổi 2 2

OM R d .

Đảo lại, lấy M’ trên (O, 2 2

R d ) khi đó kẻ dây BC  OM’ tại M’ thì

ta có BC = 2 2 2

R OM = 2d.

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn ( ) tâm O, bán kính R2d2

Vì AG 2 3 AM    nên 2 3 A V (M)G

⇒ tập hợp các điểm G là đường tròn ( ) với

23 3 A

( )  V ( )

Kết luận:

Tập hợp trọng tâm G của ABC là đường tròn ( ) , ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự 2 3 A V . Nhận xét :

1. Giữ nguyên giả thiết và thay đổi toàn bộ kết luận của ví dụ 3 bằng kết luận : “ Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC ”.

Ta được bài toán mới và độ khó tăng lên. Lời giải của bài toán như sau

Giả sử A’ là điểm xuyên tâm đối của điểm A trên đường tròn (O,R) ;

H B’ B B A C O G

G là trọng tâm của ABC ; B’ là trung điểm của cạnh AC. Khi đó ta có : 1 2 1 G V V : H  O B  B’ 2 2 A V V : O  A’ B’  C ⇒V .V : H 2 1  A’ B  C (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

mà V .V là một phép đối xứng tâm nên tâm của nó là M vì ảnh của B là C. 2 1 Do đó ta có M là trung điểm của A’H.

Vì A’ cố định nên ta xét phép vị tự tâm A’ , tỉ số 2, ta có :

2A A

V  : M  H ()  ( ). ()  ( ).

Với () là đường tròn tâm O, bán kính 2 2

R d

Vì M ()  H  ( ).

Vậy quỹ tích trực tâm H của ABC là đường tròn ( ) là ảnh của đường () qua phép vị tự 2

AV  . V  .

2. Thay đổi các yếu tố cố định và di động của bài toán ta cũng có bài toán như sau :

“ Cho đường tròn (O, R) và một dây cung BC cố định, A di chuyển trên cung BxC của đường tròn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của

Ta cũng dễ tìm được quỹ tích trọng tâm G của ABC là đường tròn (O’, R

3 ), ảnh của đường tròn (O,R) qua phép vị tự 13 M

V với M là trung điểm

của BC.

Quỹ tích trực tâm H của ABC là ảnh của đường tròn (O’, R

3 ) qua

phép vị tự 3 O V .

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài với nhau