2.6.1. Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước : Bước 1: Tìm một phép vị tự k
O
V , biến điểm E di động thành điểm M. Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép vị tự
k O V .
2.6.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O,R) và một điểm A cố định ở trên đường tròn ; BC là một dây cung di động của đường
tròn này và BC có độ dài không đổi bằng 2d ( d < R ). Tìm tập hợp trọng tâm G của ABC.
A
O G G
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC thì OM BC. Trong OMC, ta có : 2 2 2 2 2 OM OC MC R d 2 2 OM R d ⇒ không đổi
Do đó M nằm trên đường tròn tâm O, bán kính không đổi 2 2
OM R d .
Đảo lại, lấy M’ trên (O, 2 2
R d ) khi đó kẻ dây BC OM’ tại M’ thì
ta có BC = 2 2 2
R OM = 2d.
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn ( ) tâm O, bán kính R2d2
Vì AG 2 3 AM nên 2 3 A V (M)G
⇒ tập hợp các điểm G là đường tròn ( ) với
23 3 A
( ) V ( )
Kết luận:
Tập hợp trọng tâm G của ABC là đường tròn ( ) , ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự 2 3 A V . Nhận xét :
1. Giữ nguyên giả thiết và thay đổi toàn bộ kết luận của ví dụ 3 bằng kết luận : “ Tìm quỹ tích trực tâm H của ABC ”.
Ta được bài toán mới và độ khó tăng lên. Lời giải của bài toán như sau
Giả sử A’ là điểm xuyên tâm đối của điểm A trên đường tròn (O,R) ;
H B’ B B A C O G
G là trọng tâm của ABC ; B’ là trung điểm của cạnh AC. Khi đó ta có : 1 2 1 G V V : H O B B’ 2 2 A V V : O A’ B’ C ⇒V .V : H 2 1 A’ B C
mà V .V là một phép đối xứng tâm nên tâm của nó là M vì ảnh của B là C. 2 1 Do đó ta có M là trung điểm của A’H.
Vì A’ cố định nên ta xét phép vị tự tâm A’ , tỉ số 2, ta có :
2A A
V : M H () ( ). () ( ).
Với () là đường tròn tâm O, bán kính 2 2
R d
Vì M () H ( ).
Vậy quỹ tích trực tâm H của ABC là đường tròn ( ) là ảnh của đường () qua phép vị tự 2
AV . V .
2. Thay đổi các yếu tố cố định và di động của bài toán ta cũng có bài toán như sau :
“ Cho đường tròn (O, R) và một dây cung BC cố định, A di chuyển trên cung BxC của đường tròn đó. Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của
Ta cũng dễ tìm được quỹ tích trọng tâm G của ABC là đường tròn (O’, R
3 ), ảnh của đường tròn (O,R) qua phép vị tự 13 M
V với M là trung điểm
của BC.
Quỹ tích trực tâm H của ABC là ảnh của đường tròn (O’, R
3 ) qua
phép vị tự 3 O V .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài với nhau