V O O’ (O) (O’)
Bài tập luyện tập
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Giả sử O là điểm cố định nằm trong hình bình hành và không thuộc MN và PQ. Tìn tập hợp các điểm X và Y thuộc các cạnh của hình bình hành sao cho O là trung điểm của đoạn XY.
Bài 2. Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C phân biệt. Với mỗi điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 là ảnh của P trong phép đối xứng ZA, P2 là ảnh của P1 trong phép đối xứng ZB, P’ là ảnh của P2 trong phép đối xứng ZC. Tìm tập hợp P’ khi P biến thiên trên đường tròn (O).
Bài 3. Cho hai điểm cố định A và B. Với mỗi đường thẳng x đi qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua x. Tìm tập hợp A’ khi x quay quanh B.
Bài 4. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có cạnh BC<AB. Với mỗi điểm M trên cạnh BC ta dựng hình bình hành APMQ (PAB, QAC). Tìm tập hợp ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua đường thẳng PQ.
Bài 5. Cho đường tròn (O) cố định và một đoạn thẳng MN cố định. Trên (O) lấy một điểm A và kẻ đoạn thẳng AI song song và bằng MN. Tìm tập hợp các điểm I khi A di động trên (O) .
Bài 6. Cho tam giác ABC cố định, trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Kẻ DD’AB, EE’AC, DD’ và EE’ cắt nhau tại M. Tìm tập hợp điểm M khi hình thoi BCDE thay đổi.
Bài 7. Một tam giác đều ABC có đỉnh A cố định, đỉnh B chạy trên một đường tròn (O;R) không đi qua A. Tìm quỹ tích các đỉnh C.
Bài 8. Cho phép quay tâm O góc quay và điểm S cố định, S khác O. Với mỗi điểm A, phép quay biến A thành '
A sao cho AA đi qua S. Tìm tập ' hợp điểm A.
Bài 9. Cho đường tròn (O;R)và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm S cố định (khác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đường tròn, ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm quỹ tích trung điểm C của đoạn AB khi điểm A di động trên đường tròn (O;R).
Bài 10. Cho đường tròn (O) và đoạn AB cố định. Trên đường tròn (O) ta lấy hai điểm C và D sao cho CD có độ dài không đổi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN khi C và D thay đổi.
Bài 11. Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d. Với mỗi điểm A thuộc (O) và điểm B thuộc d, ta dựng tam giác vuông cân ABC (A =90 0). Tìm tập hợp đỉnh C khi các đỉnh A và B cùng thay đổi.
Bài 12. Tam giác ABC biến đổi, luôn luôn đồng dạng và cùng hướng với chính nó sao cho trực tâm K cố định và đỉnh A di động trên đường thẳng d đã cho. Tìm quỹ tích các điểm B và C.
Hướng dẫn
Bài 1. Gọi H là giao điểm của PQ và MN . Ta coi O là điểm trong của hình bình hành DNHP.
Nếu X, Y là các điểm trên các cạnh của hình bình hành ABCD sao cho O là trung điểm của XY thì phép đối xứng ZO: XY, DD và tứ giác DXYD’ là hình bình hành. Vì O thuộc hình bình hành DNHP nên X, Y thuộc các cạnh DA và DC. Tập hợp điểm X và Y là một điểm thuộc DA và BC.
Bài 2. Theo giả thiết ZA: PP1; ZB: P1P2; ZC: P2P’. Như vậy ZD: PP’, trong đó D được xác định bởi hệ thức BD
=BA + BC
và D là điểm cố định. Tập hợp P’ là đường tròn (O’) ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng ZD .
Bài 3. Gọi H là trung điểm của AA’. Khi đó AHB = 90o. Kẻ qua A’ đường thẳng d//x, cắt AB tại C, khi đó C là ảnh của A trong phép đối xứng qua B, vì vậy C là điểm cố định. Ta thấy điểm A’ luôn nhìn đoạn AC cố định dưới góc vuông. Tập hợp A’ là đường tròn đường kính AC, trừ điểm C.
Bài 4. Gọi M’ là ảnh của M, khi đó các điểm B, M, M’ cùng nằm trên một đường tròn tâm P và có BM'M = 1 2 BPM =1 2 A .
Các điểm M, C, M’ cùng nằm trên một đường tròn tâm Q, do đó
MM 'C =1 2 CQM=1 2
A . Từ các kết quả trên suy ra BM 'C =A .
Do đó tập hợp điểm M’ nằm trên cung BAC . Bài 5. Ta có AI=MN và AI// MN AI
= MN
hoặc AI
= NM
I là ảnh của A qua phép tịnh tiến
MN
Do đó khi A chuyển động trên đường tròn (O) thì I chuyển động trên đường tròn (O'), ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến
MN
T hoặc I chuyển động trên đường tròn ( "
O ), ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến
NM
T
Bài 6. Ta chứng minh: DM = CH
Từ đó, suy ra M là ảnh của D trong phép tịnh tiến
CH
T.
Mặt khác, có: CD=BC=a không đổi nên tập hợp các điểm D là đường tròn (C,a). Do đó tập hợp các điểm M là ảnh của đường tròn (C,a) qua phép tịnh tiến
CH
T. Đó là đường tròn (H,HM).
Bài 7. Khi B chạy trên đường tròn (O,R) thì tập hợp các điểm C chạy trên đường tròn (O’,R), ảnh của đường tròn (O,R) qua phép quay 60o
A
Q .
Bài 8. Phép quay Qo : AA’ ; SS’. Do đó, (SA,S'A ' )=. Mặt khác: (OS, OS' )= (SA ,S'A ' )=( OS , OS' ).
Tứ giác OSA’S’ nội tiếp đường tròn () và đường tròn này cố định. Vì nó chứa các điểm cố định O, S, S’. Tập hợp A’ thuộc ()
Qo: A’A () (’)
Vậy tập hợp các điểm A là đường tròn (’), ảnh của đường tròn () qua phép quay Qo.
Bài 9. Xét phép vị tự tâm S, biến Q thành P thì biến A thành B và đường tròn (O) thành đường tròn (O’) chứa B. Điểm C thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của đoạn O '
O và bán kính bằng trung bình cộng hai bán kính đường tròn (O) và (O’).
Bài 10. Ta chứng minh được ba trung điểm của ba đoạn thẳng AB, MN, CD thẳng hàng và trung điểm của MN cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AB và CD.
Bài 11. Xem B là điểm cố định Ta thực hiện phép đồng dạng Z=
(B, 2 )
V .Q(B,45 )o biến A thành C, do đó đường tròn (O) biến thành đường tròn (O’) chứa C.
OBO' vuông cân tại O, bởi vậy phép quay tâm O góc quay 90o biến B thành O’ , thì biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ vuông góc với d và đi qua O’. Khi B thay đổi trên d, thì O’ thay đổi trên d’. Tập hợp điểm C là hợp các đường tròn (O’) với tâm O’ thuộc d’ vuông góc với d. Có hai tập hợp như vậy.
Bài 12. Gọi A1B1C1 là một vị trí của ABC, khi A1Kd. Xét phép đồng dạng Z(K,K,-): A1 B1 Với = 1 1 A KB ; k= 1 1 KB KA
Do A1 d , KAd nên ảnh d1 của d phải qua B1 và vuông góc với KB1
Ta có ABC A1B1C1 và hai tam giác đó cùng hướng nên
Z(K,k,-):A B mà tập hợp các điểm A là đường thẳng d nên tập hợp các điểm B là đường thẳng d1.