Phép biến hình với các bài toán về tam giác

PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG CHƯƠNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Phép biến hình mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình Một song ánh f : P P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình f : P P quy tắc để với điểm M thuộc P ta tìm điểm M f M hồn tồn xác định Điểm f M gọi ảnh điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm M gọi tạo ảnh điểm f M qua phép biến hình f nói Người ta nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f M ta có f M M Nếu H hình P ta xác định tập hợp f H f M , M H Khi f H gọi ảnh hình H qua phép biến hình f hình H gọi tạo ảnh hình f H qua phép biến hình f 1.1.2 Sự xác định phép biến hình Muốn xác định phép biến hình f : P P ta cần nêu rõ quy tắc f cách sau: quy tắc f xác định phép dựng hình mặt phẳng như: tìm giao điểm hai đường thẳng xác định đó, dựng đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm bán kính cho vv 1.1.3 Điểm bất động phép biến hình Một điểm M thuộc P điểm bất động (hoặc điểm kép) phép biến hình f f M M Như điểm M điểm bất động phép biến hình f điểm M biến thành qua f -1- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.1.4 Tích hai phép biến hình Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta dùng phép biến hình f : P P để biến điểm M P thành điểm M lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai g: P P để biến M thành M Ta có: M f M ,M g M Khi phép biến hình h biến M thành M gọi tích hai phép biến hình f g , kí hiệu h g o f Ta có h M go f M M g M g f M Chú ý Tích g o f tích f o g hai phép biến hình khác 1.1.5 Phép biến hình đảo ngược Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M Khi phép biến hình biến điểm M thành điểm M gọi phép biến hình đảo ngược phép biến hình f cho Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược f f ta có f M Mỗi phép biến hình f có phép biến hình đảo ngược f có f o f f of M ta e (phép đồng nhất) 1.1.6 Phép biến hình có tính chất đối hợp Cho phép biến hình f biến điểm M thành M , sau ta thực tiếp phép biến hình f điểm M giả sử f M M Nếu điểm M trùng với điểm M ta nói phép biến hình f có tính chất đối hợp Ta có f o f M M hay f e -2- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.2 Phép biến hình đẳng cự mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa phép biến hình đẳng cự Phép biến hình f : P P gọi phép biến hình đẳng cự mặt phẳng P với hai điểm M , N hai ảnh chúng M f M ,N f N ta ln có M N MN Nhận xét * Phép đồng e phép biến hình đẳng cự * Đảo ngược phép biến hình đẳng cự phép biến hình đẳng cự, nghĩa f phép biến hình đẳng cự f phép biến hình đẳng cự 1.2.2 Các tính chất phép biến hình đẳng cự 1.2.2.1 Định lí Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng Hệ Phép biến hình đẳng cự biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Hệ Phép biến hình đẳng cự biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường tròn thành đường tròn với tâm đường tròn thành tâm đường tròn 1.2.2.2 Định lí Tích hai phép biến hình đẳng cự phép biến hình đẳng cự -3- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC 1.3 Phép đối xứng trục NGUYỄN THỊ HẰNG M1 1.3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho đường M O thẳng d cố định.M Phép biến hình biến O điểm M thành điểm M cho đoạn thẳng MM d nhận đường thẳng d làm đường trung trực Phép biến hình gọi phép đối xứng trục d v M' Đường thẳng d gọi trục đối xứng Kí hiệu phép đối xứng trục Đd ta có Đd M với M M Nếu điểm M thuộc đường thẳng d ta lấy M trùng M' M 1.3.2 Định lí Phép đối xứng trục phép biến hình đẳng cự 1.3.3 Các tính chất phép đối xứng trục 1.3.3.1 Phép đối xứng trục phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự 1.3.3.2 Nếu M ảnh M qua phép đối xứng trục d M lại ảnh M qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng trục với phép đồng 1.3.3.3 Mọi điểm trục đối xứng d điểm kép 1.3.3.4 Mỗi đường thẳng a vng góc với trục đối xứng d biến thành với ý ngồi giao điểm a với d điểm khác a khơng phải điểm kép 1.3.3.5 Phép đối xứng trục hồn tồn xác định cho biết trục đối xứng d -4- M' v PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG M' M 1.4 Phép đối xứng tâm 1.4.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho O trung điểm đoạn thẳng M' O M MM gọi phép đối xứng tâm O Điểm O gọi tâm đối xứng Kí hiệu phép đối xứng tâm ĐO Nếu M trùng với tâm O ta lấy M trùng với M Ta viết ĐO M M 1.4.2 Định lí Phép đối xứng tâm O phép biến hình đẳng cự 1.4.3 Các tính chất phép đối xứng tâm 1.4.3.1 Phép đối xứng tâm phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự 1.4.3.2 Qua phép đối xứng tâm O tâm O điểm kép 1.4.3.3 Nếu M ảnh M qua phép đối xứng tâm O M lại ảnh M qua phép đối xứng Ta suy tích phép đối xứng tâm với phép đồng 1.4.3.4 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng qua tâm thành nó, biến đường thẳng khơng qua tâm thành đường thẳng song song với đường thẳng đó, biến véc tơ thành véc tơ đối 1.4.3.5 Phép đối xứng qua tâm hồn tồn xác định cho biết tâm đối xứng O -5- M' PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG O M 1.5 Phép tịnh tiến 1.5.1 Định nghĩa r Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến uuuuur r điểm M thành điểm M cho MM v gọi r phép tịnh tiến theo véc tơ v kí hiệu Tvr r Véc tơ v gọi véc tơ tịnh tiến Ta có Tvr M M v M' M 1.5.2 Định lí Phép tịnh tiến phép biến hình đẳng cự Chú ý r r Nếu véc tơ tịnh tiến v phép tịnh tiến trở thành phép đồng Ta có T0r e Hệ Nếu phép biến hình biến hai điểm A, B thành hai điểm uuur uuuur r uuur uuuur A , B cho AB A B phép tịnh tiến theo véc tơ v AB A B 1.5.3 Các tính chất phép tịnh tiến 1.5.3.1 Phép tịnh tiến phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự r r 1.5.3.2 Nếu phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm M thành điểm M ta có phép tịnh tiến biến điểm M thành điểm M với véc tơ tịnh tiến r v Như ta có: Tvr T vr Ta suy T vr oTvr e(là phép đồng nhất) r r r 1.5.3.3 Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v đường thẳng nhận v làm véc tơ phương biến thành nó, ý điểm đường thẳng khơng phải điểm kép -6- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.5.3.4 Tích hai phép tịnh tiến Tvr Tvur' phép tịnh tiến với véc r ur tơ tịnh tiến v v' 1.5.3.5 Phép tịnh tiến hồn tồn xác định ta biết véc tơ tịnh r tiến v 1.6 Phép quay 1.6.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P định hướng, cho điểm O cố định góc định hướng M' sai M1 quay tâm O với góc quay khác k2 Một phép phép biến hình biến điểm O thành nó, M O biến điểm M thành điểm M cho uuuur uuuur d OM OM OM ,OM M M O uuuur uuuur M' ,OM Trongv định nghĩa ta kí hiệu OM góc định hướng mà tia đầu OM tia cuối OM Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay QO hoặ c Q O, Ta thường chọn cho M' M Nếu Nếu phép quay phép đồng hoặ c O đólàphé p đố i xứ ng tâ m O 1.6.2 Định lí Phép quay phép biến hình đẳng cự 1.6.3 Các tính chất phép quay M' O 1.6.3.1 Phép quay phépM biến hình đẳng cự nên có đầy đủ tính chất phép biến hình đẳng cự 1.6.3.2 Trong phép quay tâm O với góc quay , có tâm O điểm kép đường thẳng a qua tâm O đường thẳng ảnh a qua tâm O -7- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.6.3.3 Nếu phép quay tâm O góc quay phép quay tâm O góc quay Nghĩa f QO f biến điểm M thành điểm M QO 1.6.3.4 Qua phép quay tâm O góc quay uuur uuuur biến điểm B thành điểm B AB, A B tương ứng góc biến điểm M thành điểm M biến điểm A thành điểm A , nghĩa góc hai véc tơ Do hai đường thẳng AB AB cắt tạo nên 1.6.3.5 Phép quay hồn tồn xác định biết tâm quay O góc quay 1.7 Phép vị tự 1.7.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm O cố định số k Phép biến hình uuuur uuuur biến điểm M mặt phẳng thành điểm M cho OM kOM gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Kí hiệu VOk Điểm O gọi tâm vị tự, số k gọi tỉ số vị tự Nếu k phép vị tự phép vị tự thuận Nếu k phép vị tự phép vị tự nghịch Nếu k phép vị tự phép đồng Nếu k phép vị tự phép đối xứng qua tâm O O điểm kép 1.7.2 Các tính chất phép vị tự 1.7.2.1 Định lí Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B thành hai điểm A , B uuuur uuur A B kAB -8- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Hệ Nếu phép vị tự biến hai điểm A, B tương ứng thành hai điểm A , B đường thẳng AB AB song song trùng A B k AB Hệ Phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với biến góc thành góc có cạnh tương ứng phương 1.7.2.2 Định lí Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng Hệ Phép vị tự biến đường thẳng a thành đường thẳng a phương với a , biến tia thành tia phương với tia 1.8 Phép đồng dạng 1.8.1 Định nghĩa Phép biến hình f : P P gọi phép đồng dạng biến hai điểm A, B mặt phẳng thành hai điểm A AB f A B f B cho kAB k số thực dương xác định Số k gọi tỉ số đồng dạng 1.8.2 Các trường hợp đặc biệt 1.8.2.1 Phép biến hình đẳng cự phép đồng dạng với tỉ số k 1.8.2.2 Phép vị tự tâm O tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số k 1.8.2.3 Phép đảo ngược phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số k 1.8.2.4 Tích phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 phép đồng dạng tỉ số k1.k2 -9- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.8.3 Định lí Mỗi phép đồng dạng xem tích phép vị tự phép biến hình đẳng cự tích phép biến hình đẳng cự phép vị tự Hệ Phép đồng dạng tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu, biến góc thành góc nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với 1.8.4 Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho nghĩa AB kAB, B C ABC A B C đồng dạng với theo tỉ số k kBC, C A kCA , tồn phép đồng dạng f biến A thành A , B thành B , C thành C 1.8.5 Khái niệm hai hình đồng dạng Hai hình H H gọi đồng dạng với có phép đồng dạng f biến hình thành hình - 10 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Biện luận Bài tốn có nghiệm d đường tròn O có điểm chung Có hai phép đồng dạng biến d thành d Z A, 2,45o Z A, 2, 45o Bài tốn có tối đa bốn nghiệm Nhận xét Trong tốn điều quan trọng ta phải tìm phép đồng dạng biến điểm B thành điểm C Từ khai thác tốn: “Cho hai đường tròn O1 ,R1 O2 ,R2 , điểm A cố định khơng thuộc hai đường tròn Hãy xác định điểm B nằm O1 ,R1 điểm C nằm O2 ,R2 cho ABC vng cân B.” Giải tốn hồn tồn tương tự, ta xét phép đồng dạng Z A, 2,45o : B a C Một tốn khác khai thác ta thay đổi phần giả thiết kết luận: “ Cho hai đường tròn O1 ,R1 O2 ,R2 , điểm A cố định khơng thuộc hai đường tròn Hãy xác định điểm B nằm O1 ,R1 điểm C nằm O2 ,R2 cho · AO1O2 = ·ABC, · AO2O1 = ·ACB ” - 36 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Lời giải Phân tích Giả sử ta dựng ABC thỏa mãn điều kiện tốn Theo giả · AOO thiết · , AO · O ABC AOO : Đặt k B ta có O1 · suy ACB ABC AO1 AO2 A AB Khi xét phép đồng dạng Z AC Z A, , k với góc quay tâm A biến tia AO1 thành tia AO2 Vì Z : B a C, O1 a C O Mà C C O2 O2 ta suy C O O nên O2 Từ có cách dựng sau: Cách dựng * Dựng đường tròn O ảnh O1 qua phép đồng dạng Z * Dựng C Z Z A, k, O O2 Z A, , k điểm B ảnh C qua phép đồng dạng Chứng minh Z k Z A, k, AO1 AO2 : C a B, O a AB nên ABC : AC O1 · BAC AO1O2 hay · AOO · AOO · , AO · O ABC Ta lại · ACB Biện luận Số nghiệm tốn số giao điểm hai đường tròn O O2 - 37 - có PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Bài tốn Dựng tam giác nội tiếp tam giác cho trước có cạnh song song với cạnh tam giác cho trước Lời giải x A A' P y C' N P' N' B' C M M' B Phân tích Giả sử dựng MNP nội tiếp ABC có cạnh song song với cạnh A B C cho trước Lấy M BC, N AC cho M N // MN Dựng qua M đường thẳng x song song với MP , dựng qua N đường thẳng y song song với NP gọi P x y Phép vị tự V C, k CM : M , N , P a M , N, P Từ suy CM cách dựng sau: Cách dựng * Dựng M BC, N AC cho M N // MN * Dựng qua M , N đường thẳng x, y tương ứng song song với AB , AC Gọi P x y, P CP AB Đặt k CP Dựng CP M N P qua VCk MNP tam giác cần dựng - 38 - MNP ảnh PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Chứng minh Dễ dàng chứng minh MNP thỏa mãn u cầu tốn Biện luận g Nếu CP // AB : Bài tốn vơ nghiệm g CP AB P : Bài tốn có nghiệm hình Bài tốn Dựng ABC biết đỉnh, trọng tâm hai đường thẳng qua hai đỉnh lại Lời giải Phân tích b Giả sử dựng c A ABC biết đỉnh A , b' trọng tâm G , hai đỉnh B vàC lầ n lượt nằm hai đường thẳng cố định b, c Gọi M G trung điểm BC ta có MB MC Vì A, G cố C B định nên M điểm cố định M Xét phép đối xứng tâm ĐM : B a C Vì B b nê nC b theo giả thiết C c nên C c b Từ suy cách dựng sau: Cách dựng * Dựng điểm M VG * Dựng b A ĐM b Và C c * Điểm B CM ĐM b Mà b b * Nối đỉnh ta ABC tam giác cần dựng Chứng minh - 39 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC b, C b , b Ta có B CM uuuur GM ĐM b NGUYỄN THỊ HẰNG ta suy MB MC Mặt khác uuur GA nên G trọng tâm ABC Mà C c b nên C c Vậy ABC thỏa mãn điều kiện tốn Biện luận R Số nghiệm tốn phụ thuộc số giao điểm hai đường thẳng b c gNếu b cắt c điểm: Bài tốn có nghiệm hình A gNếu b c nghĩa b // c b, c cách M : Bài tốn có vơ số nghiệm Q hình K gNếu b I nghĩa b // c b, c khơng cách MM : Bài tốn vơ c I1 nghiệm hình B H Bài tốn C I2 C H N Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c song song với đơi A Dựng tam giác ABC cho A a, B b, C c B C1 Lời giải Phân tích B Giả sử dựng ABC thỏa mãn điều o kiện tốn Ta có QA60 : C a B Mặt khác theo C c o QA60 c Vậy ta B c A có B c C b Từ suy cách dựng sau: a Cách dựng * Dựng điểm A a * Dựng đường thẳng c * Dựng điểm B c o QA60 c b o * Dựng C QA60 B Khi ABC tam giác cần dựng - 40 - b c PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Chứng minh Dễ dàng chứng minh ABC thỏa mãn điều kiện tốn Biện luận Vì a, b, c đơi song song nên b ln cắt c Do tốn ln có o nghiệm hình Mặt khác QA60 : c a c nên với điểm A ta có hai tam giác ABC AB1C1 Vậy với điểm A tốn ln có hai nghiệm hình Nhận xét Thay đổi phần giả thiết kết luận tốn, cách giải hồn tồn tương tự ta tốn mới: Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c đồng quy O Dựng tam giác ABC cho A a, B b, C c Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c song song với đơi Dựng tam giác ABC vng cân A cho A a, B b, C c Cho ba đường tròn phân biệt giác ABC cho A 1 ,B - 41 - , 2 , ,C đồng tâm Dựng tam 3 PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập Cho ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Dựng tam giác CBE CFA chiều theo thứ tự Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng BF , AE Chứng minh CMN tam giác Bài tập Cho ba điểm A, C, B thẳng hàng theo thứ tự Dựng hình vng ACMN, CBEF nằm phía đường thẳng AB Gọi P Q trung điểm AF, BM Chứng minh CPQ tam giác vng cân Bài tập Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh trùng tam giác tam giác cân Nếu thay giả thiết đường phân giác đường cao, nghĩa tam giác có đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh trùng tam giác có cân hay khơng? Vì sao? Bài tập Cho ABC có trọng tâm G , hai đường trung tuyến BE CF thỏa mãn · · · ABE ACF 30o Tính số đo góc BGC Bài tập Cho đường thẳng d điểm A cố định khơng thuộc d Một điểm B di µ 90o động d Dựng tam giác vng cân ABC C a Tìm tập hợp điểm C b Tìm tập hợp trung điểm cạnh ABC Bài tập Dựng tam giác nội tiếp hình vng, biết đỉnh tam giác - 42 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Bài tập Cho ba đường thẳng x, y, z đơi cắt Dựng tam giác có ba đỉnh nằm ba đường thẳng Bài tập Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c đồng quy O Dựng tam giác ABC có cạnh x x cho trước cho A a, B b, C c Bài tập Cho bốn đường thẳng d1, d2 , d3 , d4 cho d1 // d2 d3 , d4 cắt d1, d2 Dựng tam giác có ba đỉnh nằm ba đường thẳng d1, d2 , d3 có cạnh tựa d1, d2 song song với d4 Bài tập 10 Cho ABC điểm P nằm tam giác Hãy dựng tam giác cân đỉnh P có đáy song song với cạnh BC có hai đỉnh nằm hai cạnh AB, AC ABC - 43 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài tập Hướng dẫn Xét phép quay: M E o QC60 : F a A, B a E Mà M , N F E trung điểm BF , AE F C N Q 60o C nên Q P : M a N hay CMN M tam giác đpcm A B B C Bài tập Hướng dẫn Tương tự tập 1, xét phép quay N M o QC90 : A a M , F a B Từ suy o QC90 : P a Q hay E F Q CPQ vng P cân Bài tập B A d M dẫn Hướng A B C A Q Giả sử ABC có AD vừa đường trung P tuyến, vừa đường phân giác Xét phép C đối xứng tâm ĐD : A a A , C a B Theo tính chất phép đối xứng tâm ta có AC AB - 44 - D C B A' PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC Mặt NGUYỄN THỊ HẰNG ·AA B · A AC So le khác · · AAC AAB theo giả thiết ta có · · nghĩa ABA cân B AAB AAB Vậy AB AB Từ suy AB AC hay ABC cân đpcm Nhận xét Tam giác có trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh trùng tam giác tam giác cân Giả sử ABC có AH vừa đường cao, vừa trung tuyến Xét phép đối xứng trục ĐAH : B a C Theo tính chất phép đối xứng trục suy ABC cân A Bài tập Hướng dẫn · · Theo ta có: ABE hay ACF O'' A O' · · suy tứ giác BFEC nội FBE ECF tiếp Giả sử O, R đường tròn G ngoại tiếp tứ giác BFEC Xét phép đối xứng OC O A O E EO R , ĐF : O a O , B a A ta có E F tâm ĐE : O a O , C a A AO // OC hay OB O A FO C O B ta suy AO // BC Tương tự xét FO R , AO // BC Vậy OEF cân O · · Lại có EOF 2.FCE 2.30o 60o nên OEF Vì E, F trung điểm OO , OO nên O O AO AO 2R 2EF O , A, O thẳng hàng A trung điểm O O · OO O suy AEF đều, hay ABC Vậy BGC 120o - 45 - 2R Mà PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC O'' A Bài tập Hướng dẫn NGUYỄN THỊ HẰNG O' E F AC µ 90o, BAC ·G a Ta có : C 45o, ABC O B B A Xét phép đồng dạng: Z1 Z A, d C ,45o : B a C, d a d Khi B di chuyển d C di chuyển d Chú ý có hai tập hợp điểm C ảnh d qua hai phép đồng dạng O'' A Z A, O' o , 45 E F b * Tập hợpGtrung điểm M AB : Xét 2O M B B C d M phép vị tự V : B a M , d a d1 Khi B di A chuyển d M di chuyển d với Q P C A d1 V d * Tập hợp trung điểm Q BC : µ 90o, CA 2CQ nên QAC · · Trong tam giác AQC có C 30o, AQC 60o AQ AC cos30o , AC AB AQ AB 2 · · · Ta lại có QAB CAB CAQ 45o 30o 15o Xét phép đồng dạng Z A, ,15o : B a P, d a d2 Vậy có hai tập hợp điểm Q ảnh d qua hai phép đồng dạng Z A, , 15o - 46 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG * Tập hợp trung điểm P AC : Ta có AP AC AP AB 2 Phép đồng dạng Z A, 2 ,45o : B a P, d a d3 Vậy có hai tập hợp điểm P ảnh d qua hai phép đồng dạng Z A, , 45o 2 Bài tập Hướng dẫn Phân tích Giả sử dựng tam giác ABC nội tiếp hình vng MNPQ với đỉnh A cho trước nằm Q P C B cạnh MN , đỉnh B cạnh MQ đỉnh C cạnh PN Xét phép quay o QA60 : C a B, N a N , P a P Vì C PN B Từ suy B M PN QM A P N Ta có cách dựng sau: Cách dựng o * Dựng QA60 : N a N , P a P * Dựng B QM PN o * Dựng C QA60 Tam giác ABC thỏa mãn tốn Chứng minh Dễ dàng chứng minh tam giác ABC thỏa mãn tốn - 47 - N PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Biện luận Số nghiệm tốn phụ thuộc số giao điểm đoạn thẳng P N MQ Đoạn thẳng P N cắt đoạn thẳng MQ : Bài tốn có nghiệm hình Đoạn thẳng P N khơng cắt đoạn thẳng MQ : Bài tốn vơ nghiệm hình Bài tập Hướng dẫn Phân tích Giả sử tam giác ABC thỏa mãn Q A x, B P y, C z Xét phép o QA60 : C a CB, z a z Vậy B y B B y quay z Từ suy cách dựng Phần cách dựng, z x chứng minh, biện luận làm hồn tồn tương C A tự tốn trình bày khóa M A luận N Ngồi thay ba đường thẳng ba hình khác ba đường tròn, ba hình vng, ba hình bình hành, đường thẳng hai đường tròn, đường tròn hai đường thẳng ta có tốn có cách giải tương tự Bài tập Hướng dẫn c C Mọi tam giác thỏa mãn C' tốn ảnh qua phép vị tự Do ta dựng O B' tam giác sau chọn x A' phép vị tự thích hợp để tam A giác có cạnh x a - 48 - B b PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Bài tập Hướng dẫn d4 d3 A d1 A' A* C* C'' C' B' d2 C B B* Phân tích Giả sử dựng tam giác ABC có A, B, C nằm d1, d2 , d3 cạnh AB có phương đường thẳng d4 uuur uuuur uuur uuur Gọi A d1 d4 , B d2 d4 Ta có AB A B , AA BB : Aa A, B a B, C a C Xét phép tịnh tiến Tuuur AA ABC Mà ABC ta dựng A , B biết Từ suy cách dựng Bài tập 10 Hướng dẫn Phân tích Giả sử dựng tam giác cân PMN A A' thỏa mãn điều kiện tốn Ta có M N ảnh qua phép đối P xứng trục, có trục đối xứng đường M N thẳng d qua P vng góc với BC cho trước Từ suy cách dựng: C' - 49 - B d C PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC Cách dựng * Dựng đường thẳng d qua P vng góc với BC * Dựng ảnh A C Đd AC * Dựng M AC , N AB Đd M PMN tam giác cần dựng - 50 - NGUYỄN THỊ HẰNG [...]...PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH GIẢI BÀI TỐN TRONG TAM GIÁC 2.1 Ứng dụng giải bài tốn chứng minh trong tam giác 2.1.1 Bài tốn chứng minh Bài tốn chứng minh trong tam giác thường gặp là bài tốn chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều Ngồi ra u cầu chứng minh các điểm... B - 33 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 2.4 Ứng dụng giải bài tốn dựng hình trong tam giác 2.4.1 Bài tốn dựng hình Bài tốn dựng hình trong tam giác thường gặp là dựng tam giác thỏa mãn các u cầu bài tốn, có thể là tam giác cân, tam giác đều hay tam giác có các cạnh, các góc thỏa mãn u cầu đã cho Bài tốn dựng một hình thơng thường gồm bốn bước là phân tích, cách dựng, chứng... giải bài tốn quỹ tích trong tam giác 2.3.1 Bài tốn quỹ tích Bài tốn quỹ tích trong tam giác thường gặp là tìm quỹ tích đỉnh của tam giác, tìm quỹ tích trọng tâm, trực tâm, chân đường cao của tam giác khi cho các yếu tố cố định nào đó Sử dụng các phép biến hình, đó là các phép biến đổi 1-1 nên bài tốn quỹ tích khơng phải làm theo hai phần: phần thuận và phần đảo như bài tốn quỹ - 27 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI... dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài tốn với các giá trị cần tính tốn Trong một số bài tốn việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải nhanh gọn Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực - 20 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG hiện nhờ một số phép chuyển dịch, bảo tồn độ dài... 2 25 25 4 3 4 145 nên diện tích tam giác HIK là 25 174 đvdt 125 Bài tốn 2.2 Cho ABC Qua điểm D thuộc cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác tạo thành hai tam giác nhỏ có diện tích 4cm2 và 9cm2 Tính diện tích của ABC - 26 - PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Lời giải A Đặt S dt ABC Các tam giác EBD và FDC đồng dạng với BD BC ABC nên F 2 E 4 và S B... là tam A' C giác đều đpcm H1 - 17 - A B C PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG Bài tốn 4 ABC Về phía ngồi tam giác dựng ba tam giác đều Cho BCA1 , CAB1 , ABC1 có tâm lần lượt là O1 , O2 , O3 Chứng minh rằng O1O2O3 là tam giác đều Lời giải · BA Ta có O 3 Ta · BA O 1 1 xét phép o QB30 : O3 a K K A Vì 30o quay: AB O1 a H H ABC1 M'và B1 A C1 BA1 O3 O2 F K BCA1 là hai tam B giác. .. xích lại gần nhau Các bước giải: 3 bước Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính tốn Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đó lựa chọn phép biến hình phù hợp C E Bước 3: Tiến hành tính tốn theo các dữ kiện đã xác lập 2.2.2 Ứng dụng giải bài tốn tính tốn trong tam giác Bài tốn 1 (Bài tốn tính các cạnh, các góc trong tam giác) Bài tốn 1.1 µ = 90o và điểm M nằm trong tam giác Cho tam giác vng cân ABC... chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đó cũng là một dạng bài tốn chứng minh Sử dụng các phép biến hình để giải bài tốn chứng minh trong tam giác như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thơng qua phép biến hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất... bất biến qua phép biến hình hay các phép biến đổi ta có thể dựng một hình bằng cách quy về dựng một số điểm của hình đó Vậy ta thường tìm hai tập hợp điểm chứa đồng thời điểm cần dựng rồi lấy giao điểm của hai tập hợp đó Một số tập hợp đó có thể tìm được nhờ phép biến hình Ngồi ra ta có thể đề xuất bài tốn dựng hình mới, phát biểu bài tốn dựng hình mới dưới dạng tương đương thơng qua sử dụng phép biến. .. song với ba cạnh một đường tròn O , do đó các đỉnh ABC và cùng nội tiếp trong A2B2C2 trùng với các đỉnh ABC Chứng tỏ tồn tại một phép đồng dạng là tích một phép vị tự với một phép quay biến A B C thành ABC Hay hai tam giác đó đồng dạng (đpcm) Bài tốn 1.2 Cho ABC Dựng các hình chữ nhật ACMN, CBPQ về phía ngồi tam giác sao cho CC1 , BN, AP đồng quy, với CC1 là đường cao Chứng minh rằng ACM đồng dạng với ... hay f e -2- PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.2 Phép biến hình đẳng cự mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa phép biến hình đẳng cự Phép biến hình f : P P gọi phép biến hình đẳng...PHÉP BIẾN HÌNH VỚI CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC NGUYỄN THỊ HẰNG 1.1.4 Tích hai phép biến hình Trong hình học ta thường phải thực nhiều phép biến hình liên tiếp Nếu ta dùng phép biến hình f... hai phép biến hình khác 1.1.5 Phép biến hình đảo ngược Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm M Khi phép biến hình biến điểm M thành điểm M gọi phép biến hình đảo ngược phép