Vectơ trong phép biến hình

Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Tr-ờng đại học s- phạm hà nội Khoa toán Trần Hiền Ngân K33 Toán Vectơ phép biến hình Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học Gv Bùi văn bình Hà nội, 2011 Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Mở Đầu Lý chọn đề tài Trong giải loại toán toán hình học, lựa chọn công cụ thích hợp việc làm cần thiết giúp tiết kiệm đ-ợc thời gian công sức Hiện nay, ch-ơng trình Toán học THPT, vai trò tầm quan trọng phép biến hình ngày đ-ợc thể rõ ràng sâu sắc, không lý thuyết mà thực hành giải tập Đặc biệt, biến đổi vectơ phép biến hình giúp cho việc giải số lớp toán trở nên đơn giản Tuy nhiên, việc giải toán hình học thông qua biến đổi vectơ dễ dàng, thực tế, phần khó giáo viên trình dạy học sinh trình học Trong khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, em tập trung trình bày cách khái quát biến đổi vectơ qua phép biến hình; xem xét việc áp dụng biến đổi số toán Qua đó, phần giúp ng-ời đọc thấy tính -u việt phép biến hình nói chung kết hợp vectơ phép biến hình nói riêng Đó lý em chọn đề tài: Vectơ phép biến hình Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng đ-a sở lý thuyết phép biến hình; biến đổi vectơ qua số phép biến hình mặt phẳng Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập thể ph-ơng pháp sử dụng vectơ phép biến hình Đề tài nghiên cứu với hai nhiệm vụ: a/ Nghiên cứu lý luận chung: Các khái niệm phép biến hình vectơ phép biến hình b/ Hệ thống tập Ph-ơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, giáo trình hình học, giảng chuyên đề, tài liệu liên quan đến đề tài Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Cấu trúc khóa luận: Khóa luận gồm ba phần: Mở đầu Nội dung: gồm ch-ơng Ch-ơng I: Cơ sở lý thuyết Ch-ơng II: ứng dụng giải số tập hình học phẳng Ch-ơng III: Một số tập đề nghị tóm tắt lời giải Kết luận Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Ch-ơng I: sở lý thuyết Đ Định h-ớng 1.1 Định h-ớng mặt phẳng Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay, ta chọn chiều làm chiều d-ơng chiều lại làm chiều âm ta nói định h-ớng đ-ợc mặt phẳng Thông th-ờng ta chọn chiều quay xung quanh O, ng-ợc chiều kim đồng hồ làm chiều d-ơng, chiều ng-ợc lại làm chiều âm 1.2 Góc định h-ớng hai tia chung gốc a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng định h-ớng cho hai tia chung gốc O: Ox, Oy, góc định h-ớng co tia đầu Ox, tia cuối Oy Kí hiệu: X góc thu đ-ợc ta quay tia đầu Ox tới trùng với tia cuối Oy + O _ Y Nhận xét + Giá trị góc định h-ớng mặt phẳng Ta quy -ớc giá trị âm hay d-ơng tuỳ theo chiều quay chiều âm hay chiều d-ơng mặt phẳng + Ta gọi giá trị đầu góc định h-ớng, giá trị thu đ-ợc quay Ox trùng Oy theo góc hình học nhỏ Nếu giá trị góc định h-ớng hai tia Ox Oy thì: b/ Hệ thức Chales Trong mặt phẳng định h-ớng cho tia Ox, Oy, Oz Ta có: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp 1.3 Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Góc định h-ớng hai đ-ờng thẳng 1.3.1 Góc định h-ớng hai đ-ờng thẳng cắt a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng định h-ớng cho hai đ-ờng thẳng a, b cắt O Ta gọi định h-ớng tạo hai đ-ờng thẳng a b theo thứ tự góc mà đ-ờng thẳng a phải quay theo chiều định qua điểm O để đến vị trí trùng với đ-ờng thẳng b Kí hiệu: , a đ-ờng thẳng đầu, b đ-ờng thẳng cuối Nhận xét: + Góc định h-ớng hai đ-ờng thẳng nh- không Cách xem xét góc hai đ-ờng thẳng a, b giống nh- cách xem xét hai tia + Giá trị giá trị đầu (chính) góc định h-ớng thu đ-ợc góc quay giá trị giá trị xung quanh O theo chiều định tới trùng b theo góc hình học nhỏ Khi đó: b/ Hệ thức Chales Trong mặt phẳng định h-ớng cho ba đ-ờng thẳng a, b, c Khi đó: 1.3.2 Góc định h-ớng hai đ-ờng thẳng song song trùng Quy -ớc: Cho hai đ-ờng thẳng a, b song song trùng Khi ta quy -ớc: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Nhận xét: Hệ thức Chales với đ-ờng thẳng tr-ờng hợp ba đ-ờng thẳng đôi song song đồng quy Đ2 Đại c-ơng phép biến hình mặt phẳng 2.1 Phép biến hình Định nghĩa: Ta ký hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P Khi hình H mặt phẳng tập P đ-ợc ký hiệu Một song ánh từ tập điểm P lên đ-ợc gọi phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình đảo ng-ợc: Cho phép biến hình Khi ánh xạ ng-ợc ánh xạ từ P lên P nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình phép biến hình nghịch đảo phép biến hình Phép biến hình tích: Cho f g hai phép biến hình mặt phẳng Khi ánh xạ tích f g song ánh mặt phẳng nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình tích f g Ký hiệu g.f Phép biến hình đối hợp Phép biến hình (tức đ-ợc gọi phép biến hình đối hợp ) Điểm bất động, hình kép, hình bất động Cho phép biến hình + Điểm M mặt phẳng đ-ợc gọi điểm bất động f Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội + Hình H đ-ợc gọi hình kép f + Hình H đ-ợc gọi hình bất động f điểm H bất động f, tức 2.2 Phép biến hình Afin 2.2.1 Định nghĩa Phép biến hình mặt phẳng biến đ-ờng thẳng thành đ-ờng thẳng đ-ợc gọi phép biến hình Afin (gọi tắt phép Afin) 2.2.2 Tính chất a, Phép Afin bảo tồn tính song song đ-ờng thẳng b, Phép Afin bảo tồn đoạn thẳng định h-ớng c, Phép Afin biến vectơ thành tổng vectơ t-ơng ứng d, Phép Afin bảo tồn tỉ số đơn điểm thẳng hàng Định lý: Trong E2 cho tam giác Khi tồn phép Afin E2 biến A,B,C t-ơng ứng thành Hay ng-ời ta nói: Phép Afin mặt phẳng đ-ợc xác định hai tam giác t-ơng ứng Khái niệm hai tam giác chiều, hai tam giác ng-ợc chiều Trong E2, hai tam giác ABC đ-ợc gọi chiều (ng-ợc chiều) đ-ờng tròn ngoại tiếp chúng từ chiều (ng-ợc chiều) với chiều 2.2.4 Phân loại Phép Afin E2 đ-ợc gọi phép Afin loại hai tam giác xác định chiều Ng-ợc lại ta có phép Afin loại hai Đ3 Sự biến đổi vectơ qua số phép biến hình 3.1 Phép đẳng cự 3.1.1 Định nghĩa Trần Hiền Ngân K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Phép biến hình mặt phẳng bảo tồn khoảng cách hai điểm đ-ợc gọi phép đẳng cự 3.1.2 Tính chất + Phép đẳng cự phép Affin + Phép đẳng cự biến tam giác thành tam giác nó, biến đ-ờng đặc biệt, điểm đặc biệt tam giác t-ơng ứng thành đ-ờng đặc biệt, điểm đặc biệt tam giác + Phép đẳng cự biến đ-ờng tròn thành đ-ờng tròn 3.1.3 Phân loại - Phép đẳng cự đ-ợc gọi phép dời hình xác định hai tam giác chiều - Phép đẳng cự đ-ợc gọi phép phản chiếu xác định hai tam giác ng-ợc chiều 3.1.4 Một số phép đẳng cự đặc biệt 3.1.4.1 Phép tịnh tiến a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ Phép biến hình điểm M thành điểm theo vectơ Ký hiệu: cho M M đ-ợc gọi phép tịnh tiến Nh- vậy: Nhận xét: + Phép tịnh tiến phép dời hình + Phép tịnh tiến điểm bất động, phép đối hợp + Phép tịnh tiến theo vectơ - không phép đồng b/ Vectơ phép tịnh tiến Giả sử phép tịnh tiến theo vectơ Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Khi đó: mà Nhận xét: Nh- vậy: Phép tịnh tiến biến vectơ thành vectơ 3.1.4.2 Phép đối xứng tâm a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm I cố định Phép biến hình biến hình I thành nó; biến điểm M khác I thành thẳng cho I trung điểm đoạn đ-ợc gọi phép đối xứng tâm I Ký hiệu: ĐI Nh- vậy: M I * Nhận xét: + Phép đối xứng tâm phép dời hình, phép đối hợp có điểm bất động I b/ Vectơ phép đối xứng tâm Giả sử ĐI phép đối xứng qua tâm I Khi đó: mà Nhận xét: Phép đối xứng tâm biến vectơ thành vectơ vectơ đối 3.1.4.3 Phép quay M a/ Định nghĩa: O Trần Hiền Ngân 11 K33A SP ToánM M Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Cho điểm O cố định góc l-ợng giác không đổi Phép biến hình biến điểm O thành O, biến điểm M khác O thành cho đ-ợc gọi phép quay tâm O, góc quay Điểm O đ-ợc gọi tâm quay , đ-ợc gọi góc quay Ký hiệu: *Nhận xét: - Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, phép đối xứng tâm O - Phép quay tâm O, góc quay với k nguyên, phép đồng b/ Vectơ phép quay Giả sử phép quay tâm O, góc quay Khi đó: mà Nhận xét: + Phép quay vectơ biến vectơ thành vectơ có độ dài góc hai vectơ góc quay + Để xác định phép quay ta cần phải biết tâm quay góc quay Tuy nhiên, nhiều toán việc xác định tâm quay khó Để khắc phục điều này, từ biểu thức ta có khái niệm Đó phép quay vectơ (ta cần biết góc quay mà tâm quay) c/ Phép quay vectơ * Định nghĩa: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 12 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Khai thác sâu toán Giải thiết toán dựng phía tam giác ba tam giác nên toán đ-ợc gọi toán tam giác Napoléon Nếu thay cho việc dựng tam giác dựng tam giác tam giác kết Khi toán gọi là: Bài toán tam giác Napoléon Thật vậy, với điểm M, A1 N, P, Q dựng t-ơng ứng nh- cách toán A Khi đó, ta có: O1 O3 ( O2 C B C1 B1 (đpcm) Ví dụ 11: (Định lý nhím) Giả sử: vị trí khác tam giác Chứng minh rằng: Nếu P, R, S điểm đoạn BC, DE, FA tam giác PRS đều? Lời giải Dựng đ-ờng tròn tâm O bán kính OA = R Trần Hiền Ngân 34 K33A SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Bài toán trở ví dụ * Khai thác sâu toán: Nếu nh-ng kích th-ớc khác kết không? Kết đúng, nh-ng khó chứng minh đ-ợc phép quay mà lại chứng minh phép quay vectơ dễ dàng Thật vây, gọi lần l-ợt trung điểm OA, OB, OC, OD, OE, OF F Ta có: S A F1 A1 Vì: E1 E O B1 B D1 R C1 P Từ đó, ta có: D C (đpcm) Ví dụ 12: Cho tam giác ABC đ-ờng thẳng d di chuyển song song với BC lần l-ợt cắt cạnh AB AC D E Hình chiếu D E lên BC lần l-ợt Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 35 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội H K Tìm ảnh hình chữ nhật DEKH qua phép vị tự Từ suy Lời giải: Vì (định lý Talet) Xét phép vị tự: A E D B d C H K ảnh DEHK hình chữ nhật Vì: Mà Do (BCHK hình chữ nhật): ph-ơng nên: Từ suy ra: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 36 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội (đpcm) Ví dụ 13: Cho tam giác ABC Kẻ hình chữ nhật ACMN, CBPQ cho M, B nằm khác phía AC; P, A nằm khác phía CB, Giả thiết Chứng minh , đ-ờng cao kẻ từ C R Q Lời giải: Kẻ Đặt M Trong tam giác vuông BCP C có: N P I H A C1 B Xét phép đồng dạng: Trên tia đối lấy điểm R cho: Vì: Và: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 37 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Vậy: Vì: Vậy: Lý luận t-ơng tự ta có: Từ (1) (2) giao điểm H AP BN trực tâm Vì Mà (vì RC,CC1 đối nhau) (đpcm) Ví dụ 14: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB Một đường tròn (O) tiếp xúc với (O) đoạn AB lần l-ợt C D Đ-ờng thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh cung AI cung BI? Lời giải: C Cách (phép vị tự) O' Ta có ba điểm thẳng hàng A Khi đó, thực phép vị tự tâm C, tỷ số O D B (R bán kính (O)) I Ta có: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 38 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội trung điểm cung AB cung AI cung BI Cách 2: (ph-ơng pháp thông th-ờng) Ta có: đường tròn (O) tiếp xúc với AB D Xét có OD chia CO, CI, OI theo tỉ lệ: Theo định lý Talet đảo ta có: Từ (1);(2) Mặt khác Từ (3); (4) tam giác vuông (4) tam giác vuông cân Vậy cung IA cung IB Ví dụ 15: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F trung điểm AB, BC, CA K điểm M đối xứng với K qua D; N đối xứng với M qua E; D đối xứng với N qua F Chứng minh rằng: A trung điểm KP? Lời giải Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 39 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội P Xét phép đối xứng tâm sau: A M D Từ (1),(2),(3): B trung F K C E điểm KP Khai thác sâu toán: 1, Khai thác 1: Thay giả thiết N tam giác với tứ giác ta có kết toán sau: Bài toán 15.1: Cho tứ giác lồi Gọi lần l-ợt trung điểm Lấy K điểm Gọi E1 đối xứng với K qua K1, E1 A2 E2 đối xứng với E1 qua K2, E3 đối xứng với E2 qua K3, E4 K2 K1 A1 K E2 đối xứng với E3 qua K4 Chứng minh rằng: E4 K? A3 E3 K3 A3 Thật vậy, chứng minh t-ơng tự nh- ví dụ 15 ta có kết quả: (đ pcm) Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 40 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2, Khai thác 2: Từ kết ví dụ 15 15.1 ta khái quát thành toán tổng quát nh- sau: Bài toán 15.2: Cho đa giác lồi ; gọi cạnh lần l-ợt trung điểm điểm Lấy E1 đối xứng với K qua K1 E2 đối xứng với E1 qua K2 En đối xứng với En-1qua Kn Chứng minh rằng: Nếu n lẻ A1 trung điểm EnK Nếu n chẵn ? Thật vậy, ph-ơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đ-ợc rằng: + n lẻ từ trung điểm KEn + n chẵn từ Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 41 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Ch-ơng iii: số toán đề nghị tóm tắt lời giải Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng ảnh đ-ờng thẳng đ-ờng tròn ( ) ảnh đ-ờng tròn qua phép vị tự tâm ; tỉ số Bài Cho hai đường tròn (O,R) (O,R) tiếp xúc A Qua A vẽ hai cát tuyến tuỳ ý AMM ANN Chứng minh rằng: Bài Cho tam giác ABC có , vẽ hai đ-ờng tròn có tâm B tâm C; AB cắt (B) M, N (N nằm A B); AC cắt (C) E, F (F nằm A C) Chứng minh rằng: đ-ờng trung trực ME NF qua điểm cố định với B, C cố định A thay đổi nh-ng Bài Cho tam giác ABC cố định; D di động cho AD = h số Tìm tập hợp trung điểm I BD? Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N hai điểm lần l-ợt di động cạnh AB AC cho AM = CN Tìm phép quay biến vectơ vectơ thành Từ suy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn qua điểm cố định khác A? Bài Cho hình thoi ABCD có tâm O, góc Gọi E trung điểm canh AD, I, J lần l-ợt trung điểm OB CE Chứng minh tam giác AIJ đều? Bài Trong mặt phẳng cho hai trục toạ độ vuông góc hai điểm A, M; lấy Lấy hai điểm B, N thoả mãn điều kiện độ dài cho tr-ớc) a/ Chứng minh AM = BN? Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 42 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội b/ Chứng minh đ-ờng trung trực đoạn MN luôn qua điểm I cố định mà OAIB hình vuông? c/ Tìm quỹ tích trung điểm E đoạn MN Bài Cho tam giác ABC Về phía tam giác dựng ba tam giác BCA1, ACB1, ABC1 Chứng minh rằng: AA1, BB1, CC1 đồng quy? Bài Cho tam giác O tâm đ-ờng tròn nội tiếp; M N tiếp điểm cạnh AB, AC với đ-ờng tròn Gọi P chân đ-ờng vuông góc hạ từ C xuống OA Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng? Bài 10 Cho tam giác ABC, CDE, EHK (cùng h-ớng với nhau) cho Chứng minh tam giác BHD đều? H-ớng dẫn đáp số Bài Ph-ơng trình đ-ờng thẳng Đ-ờng tròn Bài Gợi ý: Xét hai đường trường hợp (O) (O) tiếp xúc (O); (O) tiếp xúc M M N O M O O O A A M N N N Khi đó, lần l-ợt xét hai phép vị tự: Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 43 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Hoặc: Từ ta có kết Bài Gợi ý: Xét phép quay: Với I thuộc giao điểm đ-ờng trung trực đoạn BC cung chứa góc 60o qua BC Khi đó, đ-ờng trung trực NF qua I; I cố định Bài Gợi ý: Gọi E trung điểm AB Ta có: nên tập hợp điểm I đ-ờng tròn Bài Gợi ý: Giả sử tam giác ABC có đỉnh đ-ợc ký hiệu theo chiều quay d-ơng nh- hình vẽ Gọi I tâm tam giác điều ABC Phép quay biến hình B thành A, A thành C Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 44 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Do đó: Vì nên AMIN tứ giác nội tiếp Suy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm I Bài Gợi ý: Xét phép quay Bài Gợi ý: a/ Vẽ hình vuông OAIB b/ Xét phép quay nên đ-ờng trung trực đoạn MN qua I c/ Quỹ tích điểm E đ-ờng thẳng AB Bài Gợi ý: B Gọi C A o Xét phép quay vectơ góc quay 60 : E Lấy E CC1 cho IE = IA I C B Xét phép quay Do tính thẳng hàng E, C1, C từ dễ A dàng suy AA1, CC1 ,BB1 đồng quy Bài Gợi ý: Giả sử A Đặt Xét phép biến hình tích: O M O Khi chứng minh đ-ợc rằng: Trần Hiền Ngân B 45 C K33A SP Toán N P ' Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Từ suy ra: Vì nên suy hay M, N, P thẳng hàng (đpcm) Bài 10 Gợi ý Sử dụng phép quay phép quay vectơ góc quay 60o Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 46 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Kết luận Việc đ-a phép biến hình vào ch-ơng trình phổ thông giúp học sinh nhận biết đ-ợc mối quan hệ hình hình học thông qua ánh xạ tập hợp điểm mặt phẳng Việc kết hợp nghiên cứu biến đổi vectơ phép biến hình cung cấp công cụ hữu hiệu việc giải số lớp toán hình học phẳng nh- hình học không gian; phát triển t- hình học cho học sinh Tuy nhiên, phép biến hình vấn đề khó học sinh phổ thông Sử dụng biến đổi vectơ toán hình học việc làm khó, có -u điểm đáng kể Do đó, vấn đề cần tiếp tục có nghiên cứu, tìm hiểu Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Văn Bình h-ớng dẫn tạo điều kiện để em hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Trần Hiền Ngân Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 47 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp (tập 1,2), Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Bùi Văn Bình (1994), Bài tập hình học sơ cấp, Tr-ờng ĐHSP Hà Nội Đậu Thế Cấp, Tuyển chọn ph-ơng pháp giải toán (tập 3), NXB GD Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Ph-ơng pháp giải vectơ, NXB Hà Nội Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB GD Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh hình học 10, NXB QG Hà Nội Phan Huy Khải, Hình học nâng cao 11, NXB QG Hà Nội Trần Thành Minh, Giải toán hình học lớp 10, 11, NXB GD Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXB GD 10 Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, NXB GD Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 48 [...]... tự là phép đồng nhất phép vị tự là phép đối xứng tâm O b/ Vectơ trong phép vị tự Giả sử là phép vị tự tâm O, tỉ số k Khi đó: mà *Nhận xét: Phép vị tự biến vectơ thành 3.2.2 Phép đồng dạng a/ Định nghĩa: Phép biến hình của E2 thoả mãn: với hai điểm bất kỳ M, N có ảnh tương ứng M, N ta luôn có: cho tr-ớc) đ-ợc gọi là phép đồng dạng tỉ số k Ký hiệu: b/ Tính chất: + Phép đồng dạng là phép Afin + Phép đồng... của một vectơ qua phép quay vectơ với góc quay khác 0 bằng chính nó khi vectơ bằng 0 Cho 3.2 Phép đồng dạng Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 13 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 3.2.1 Phép vị tự a/ Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm O và số thực Phép biến hình của mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M thoả mãn hệ thức gọi là phép vị tự O, tỉ số k Ký hiệu: hoặc *Nhận xét: +) Nếu +) Nếu phép vị... (Dùng phép quay vectơ) Ta có: Xét phép quay vectơ với góc quay Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 24 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 vuông cân tại B Cách 2: (Sử dụng phép quay) Xét phép quay Phép quay này biến B thành A, C thành D Vậy trung điểm của BC thành trung điểm I của AD vuông cân tại B * Nhận xét: Qua ví dụ 5 và ví dụ 6 ta nhận thấy: Nếu bài toán giải đ-ợc bằng phép quay thì giải đ-ợc bằng phép. ..Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Trong mặt phẳng định h-ớng, cho góc định h-ớng tắc t-ơng ứng với mỗi vectơ của mặt phẳng vectơ quy xác định sao cho thoả mãn: Gọi là phép quay vectơ của mặt phẳng theo góc quay Ký hiệu: * Tính chất 1, Phép quay vectơ bảo toàn tổng Định lý 1: Cho Khi đó: * Hệ quả: Cho thì: 2, Định lý 2: Một số thực nhân với vectơ qua phép quay bằng số thực đó nhân với ảnh của... Nội 2 Ch-ơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng Trong ch-ơng này, nhờ việc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các đ-ờng đã cho trong giả thiết với các điểm hay các đ-ờng trong kết luận thông qua sự biến đổi của vectơ trong phép biến hình ta sẽ nhận đ-ợc các kết quả về tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc các đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng tỉ... thay điều kiện: Vẽ các hình vuông ở phía ngoài các cạnh AB, AC bằng điều kiện: Vẽ các hình vuông ở phía trong các cạnh AB, AC thì kết quả không đổi A Thật vậy, ta có: I D B Lại có: J O2 O1 (cùng C T-ơng tự, ta có: (đpcm) * Nhận xét: ở ví dụ 7 ta có thể giải bằng phép quay vectơ hoặc phép quay quanh điểm Tuy nhiên, việc giải bằng phép quay quanh điểm phải sử dụng đến tích của hai phép quay là một khái... ví dụ 6 ta nhận thấy: Nếu bài toán giải đ-ợc bằng phép quay thì giải đ-ợc bằng phép quay vectơ Đặc biệt, khi sử dụng phép quay vectơ ta không cần xác định tâm quay - đó chính là -u điểm nổi bật của phép quay vectơ với phép quay quanh điểm (cần biết cả tâm quay và góc quay) Ví dụ 7 Cho tam giác ABC Gọi là tâm các hình vuông vẽ ở phía ngoài các cạnh AB, AC của tam giác ABC Chứng minh rằng: Nếu D là điểm... ĐHSP Hà Nội 2 + Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng, biến đ-ờng đặc biệt thành điểm đặc biệt của tam giác này thành đ-ờng đặc biệt, điểm đặc biệt của tam giác kia + Phép đồng dạng biến đ-ờng tròn bán kính R thành đ-ờng tròn bán kính k.R Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 15 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Ch-ơng II: ứng dụng giải một số bài toán của hình học phẳng Trong ch-ơng này,... ba tam giác ấy đều? Lời giải Cách 1: (Sử dụng phép quay) Xét phép quay: B1 C1 A P là phép quay với góc quay O2 O3 Xét phép quay: N M Q C B nh-ng phép quay: O1 Do đó A1 K33A Trần Hiền Ngân 31 SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Theo cách xác định tâm của phép quay tích ta có: Vậy tam giác O1O2O3 đều Cách 2: (Sử dụng phép quay vectơ) Qua O3 kẻ các đ-ờng thẳng lần l-ợt song song với AC1... lượt là trung điểm của AA và CC Chứng minh rằng: tam giác BIJ đều? C Lời giải * Cách 1:(Sử dụng phép J quay) A' I Xét phép quay: A B C' lần lượt là trung điểm của AA và CC) đều * Cách 2: (sử dụng phép quay vectơ) Trần Hiền Ngân K33A SP Toán 22 Khoá luận tốt nghiệp Tr-ờng ĐHSP Hà Nội 2 Ta có: Xét phép quay vectơ góc quay có: đều * Khai thác sâu bài toán: 1, Khai thác 1: Giả thiết bài toán A, B, C thẳng ... phẳng Phép biến hình đảo ng-ợc: Cho phép biến hình Khi ánh xạ ng-ợc ánh xạ từ P lên P nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình phép biến hình nghịch đảo phép biến hình Phép biến hình. .. hai phép biến hình mặt phẳng Khi ánh xạ tích f g song ánh mặt phẳng nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình tích f g Ký hiệu g.f Phép biến hình đối hợp Phép biến hình (tức đ-ợc gọi phép. .. việc áp dụng biến đổi số toán Qua đó, phần giúp ng-ời đọc thấy tính -u việt phép biến hình nói chung kết hợp vectơ phép biến hình nói riêng Đó lý em chọn đề tài: Vectơ phép biến hình Mục đích