Phép biến hình và ứng dụng giải toán dựng hình trong e2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ TUYẾT CHINH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN DỰNG HÌNH TRONG E2 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* PHẠM THỊ TUYẾT CHINH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN DỰNG HÌNH TRONG E2 KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Thị Trà HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn iv Lời cam đoan v Lời mở đầu 1 Kiến thức tổng quan phép biến hình 1.1 1.2 1.3 1.4 Phép biến hình - Phép afin 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất Phép dời hình 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất Phép tịnh tiến 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Tính chất 1.3.3 Ví dụ minh họa Phép quay 10 1.4.1 Định nghĩa 10 1.4.2 Tính chất 10 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4.3 1.5 1.6 1.7 1.8 Phạm Thị Tuyết Chinh Ví dụ minh họa 11 Phép đối xứng trục 12 1.5.1 Định nghĩa 12 1.5.2 Tính chất 13 1.5.3 Ví dụ minh họa 13 Phép đối xứng tâm 15 1.6.1 Định nghĩa 15 1.6.2 Tính chất 15 1.6.3 Ví dụ minh họa 16 Phép vị tự 18 1.7.1 Định nghĩa 18 1.7.2 Tính chất 18 1.7.3 Ví dụ minh họa 19 Phép nghịch đảo 20 1.8.1 Định nghĩa 20 1.8.2 Tính chất 21 1.8.3 Ví dụ minh họa 22 Ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình E2 26 2.1 Phép tịnh tiến với tốn dựng hình 26 2.2 Phép quay với tốn dựng hình 30 2.3 Phép đối xứng trục với tốn dựng hình 32 2.4 Phép đối xứng tâm với tốn dựng hình 35 2.5 Phép vị tự với tốn dựng hình 37 2.6 Phép nghịch đảo với tốn dựng hình 39 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy tổ mơn Hình học thầy tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Trà, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Tuyết Chinh iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Lời cam đoan Em xin cam đoan đề tài em thực hiện, kết trình nghiên cứu em hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Trà đề tài khơng trùng với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Tuyết Chinh v Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong hình học phẳng, phép biến hình ln giữ vai trị vơ quan trọng khơng nét đẹp riêng mà ứng dụng rộng rãi Có thể nói với phép biến hình tốn hình học phẳng thường có lời giải độc đáo, sáng tạo đơi ngắn gọn ngồi sức tưởng tượng Bởi mà từ lớp 11 học sinh học phép biến phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép vị tự Ở Đại học sinh viên nghiên cứu sâu phép biến hình đặc biệt giới thiệu thêm phép biến hình phép nghịch đảo Nội dung phép biến hình đưa vào chương trình khơng cơng cụ để giải tốn mà cịn giúp em làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn vật tượng xung quanh với quan điểm vận động biến đổi, góp phần rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo học tập Hình học phẳng có nhiều dạng tốn khó, số tốn dựng hình Phần lớn tốn dựng hình học phẳng dành cho học sinh khá, giỏi dùng kì thi Olympic thi học sinh giỏi Toán Đối với dạng toán này, q trình từ bước "Phân tích" đến "Dựng hình" thường khơng đơn giản dễ gây nhầm lẫn Lời giải tốn dựng hình học phẳng thường dài phức tạp, nhiên biết cách áp dụng phép biến hình cách linh hoạt vào lời giải chúng trở nên ngắn gọn dễ hiểu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh nhiều Bên cạnh đó, việc sử dụng cơng cụ phép biến hình vào tốn dựng hình cho thấy cách giải độc đáo mà nhiều đối tượng học sinh tư tiếp cận Với nét đẹp phép biến hình hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Trà, em mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phép biến hình ứng dụng giải tốn dựng hình E2 " Trong khóa luận này, em nghiên cứu, tìm hiểu trình bày kiến thức phép biến hình Bên cạnh đó, em đưa số ví dụ, tập liên quan đến tốn dựng hình mà ứng dụng phép biến hình để giải Thơng qua tốn dựng hình, ta thấy vạn phép biến hình Từ đó, em mong muốn người đọc, bạn sinh viên, học sinh u thích mơn Tốn có thêm hứng thú với tốn hình học Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phép biến hình ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình mặt phẳng Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép biến hình ứng dụng giải tốn dựng hình E2 Phạm vi nghiên cứu: Trong E2 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất ví dụ phép biến hình khơng gian E2 Tìm hiểu cách giải số tốn dựng hình E2 ứng dụng phép biến hình Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Đưa số tập dựng hình chọn lọc giải cách sử dụng phép biến hình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến vấn đề Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương Chương 1: Kiến thức tổng quan phép biến hình Chương 2: Ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình E2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh ra: −→ : Y → Y T− CB Do CY = BY mà CY = BX nên suy BX = BY XBY = 90o Suy Y giao điểm đường tròn (O2 ) đường tròn (O1 ) o (O1 ) ảnh đường trịn (O1 ) qua phép quay Q90 B Dựng hình: Dựng đường trịn (O1 ), (O2 ) đường kính AB, CD o Dựng đường tròn (O1 ) ảnh (O1 ) qua phép quay Q90 B −→ Dựng đường tròn (O2 ) ảnh (O2 ) qua phép tịnh tiến T− CB Dựng Y giao điểm (O1 ) (O2 ) o Q90 B :Y →X −→ : Y → Y T− CB Nối AX, DY cắt Q Qua B dựng đường thẳng song song CY cắt QD R Qua C dựng đường thẳng song song BX cắt QA P Dựng S giao điểm CP BR Thật dễ dàng chứng minh P QRS hình vng cần dựng Ngồi qua trục đối xứng AD ta có hình vng P Q R S thỏa mãn điều kiện đầu hay tốn có hai nghiệm hình 2.3 Phép đối xứng trục với tốn dựng hình Bài tốn 1: Dựng tứ giác ngoại tiếp ABCD đường tròn biết độ dài hai cạnh kề AB AD, góc thuộc đỉnh B D Lời giải 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Phân tích: Giả sử tứ giác ABCD dựng Khơng tính tổng quát giả sử AD > AB Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD Qua phép đối xứng trục AO điểm D biến thành điểm D A giao điểm AO DC Trong BC D ta biết cạnh BD = AD − AB góc kề với D BC = 180o − B; Dựng BD C = D BC D có AD = AD ta dựng điểm A Sau dựng điểm O giao điểm đường phân giác góc ABC BD C Từ dễ dàng dựng D, đường tròn nội tiếp tứ giác Điểm C giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh đường tròn kẻ từ D Dựng hình: Dựng BC D biết BD = AD −AB; D BC = 180o − B; BD C = D Dựng A nằm BD cho AD = AD Dựng O giao điểm hai đường phân giác góc ABC BD C Dựng đường thẳng d qua A, O Dựng D ảnh D qua phép đối xứng trục AO: Đ AO : D → D Dựng đường trịn tâm O có AD , AD, BC tiếp tuyến Dựng điểm C giao điểm BC với tiếp tuyến qua D đường trịn Nối A, B, C, D ta dễ dàng có tứ giác ABCD tứ giác thỏa mãn đầu Bài toán 2: Dựng tam giác theo trung điểm cho trước hai cạnh đường thẳng chứa phân giác kẻ tới cạnh Lời giải Phân tích: 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh ABC dựng với N trung điểm cạnh AC, M trung Giả sử điểm cạnh BC đường phân giác góc A nằm đường thẳng d cho trước Qua phép đối xứng trục d dựng điểm N ảnh điểm N Mà đường thẳng BA qua N song song với M N nên dựng điểm A Biết N trung điểm AC suy dựng điểm C Biết M trung điểm BC suy dựng điểm B Dựng hình: Dựng đoạn M N đường thẳng d Dựng N ảnh N qua phép đối xứng trục d Qua N dựng đường thẳng song song với M N cắt d điểm A Dựng C ảnh A qua phép đối xứng tâm N Dựng B ảnh C qua phép đối xứng tâm M Nối A, B, C hiển nhiên ta có tam giác ABC tam giác thỏa mãn điều kiện đầu 2.4 Phép đối xứng tâm với tốn dựng hình Bài tốn 1: Qua giao điểm A hai đường trịn (S1 ) (S2 ) kẻ đường thẳng cho cắt đường trịn theo dây cung Lời giải Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng qua A thỏa mãn điều kiện đầu Giả sử E, F giao điểm đường thẳng với (S1 ) (S2 ) 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Khi AE = AF Ta dựng đường tròn (S1 ) ảnh (S1 ) qua phép đối xứng tâm A Khi dựng điểm F = (S1 ) ∩ (S2 ) suy dựng E = Đ A (F ) Dựng hình: Dựng đường tròn (S1 ) ảnh (S1 ) qua phép đối xứng tâm A Gọi giao điểm (S1 ) (S2 ) F Dựng đường thẳng d qua A, F cắt (S1 ) E Ta có d đường thẳng cần tìm Nếu (S1 ) ∩ (S2 ) = A khơng có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đầu Nếu (S1 ) ∩ (S2 ) = A, A tốn có hai nghiệm hình đối xứng qua trục O1 O2 Bài tốn 2: Cho góc ABC điểm D nằm góc Hãy dựng đoạn thẳng có hai đầu nằm hai cạnh góc nhận điểm D trung điểm Lời giải Dựng hình: Dựng điểm A C giao điểm đường thẳng đối xứng với đường thẳng BC AB qua điểm D với đường thẳng AB 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh BC tương ứng Rõ ràng D trung điểm đoạn thẳng A C vừa dựng Vì A C đối xứng qua D 2.5 Phép vị tự với tốn dựng hình Bài tốn 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường trịn, hai đỉnh cịn lại nằm đường kính AB nửa đường trịn Lời giải Phân tích: Gọi O trung điểm AB Giả sử dựng hình vng M N P Q 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh có M, N thuộc đường kính AB; P, Q thuộc nửa đường trịn Khi O phải trung điểm M N Nếu lấy hình vng M N P Q cho M , N thuộc AB, O trung điểm M N dễ thấy OM ON OP OQ = = = OM ON OP OQ Từ suy hình vng M N P Q ảnh hình vng M N P Q qua phép vị tự tâm O tỉ số k, suy O, P, P O, Q, Q thẳng hàng Dựng hình: Dựng hình vng M N P Q nằm nửa hình trịn cho cho M N thuộc AB O trung điểm M N Tia OP cắt nửa đường tròn P ; tia OQ cắt nửa đường trịn Q Khi dễ thấy tứ giác M N P Q hình vng cần dựng Bài toán 2: Trên cạnh AB tam giác nội tiếp ABC cho điểm P Hãy ABC tam giác P XY đồng dạng với tam giác LM N cho trước Lời giải Phân tích: 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Giả sử ta dựng tam Phạm Thị Tuyết Chinh P XY có điểm X Y nằm cạnh AC BC tương ứng Ta biết phép biến hình biến điểm X PY LN thành điểm Y tích phép vị tự tâm P tỉ số vị tự k = = PX LM phép quay tâm P góc quay ϕ = XP Y = M LN Như điểm Y cần tìm giao điểm đoạn thẳng BC ảnh đoạn thẳng AC qua phép biến hình tích Dựng hình: Dựng ảnh d AC qua phép biến hình tích f = QϕP VPk với ϕ = M LN LN k = LM Dựng Y giao điểm d BC Qua phép biến hình f −1 (Y ) ta dựng ảnh X Nối P, X, Y ta tam giác đồng dạng với tam giác LM N 2.6 Phép nghịch đảo với tốn dựng hình Bài tốn 1: Cho điểm P nằm trục đẳng phương hai đường tròn (O), (O ) Hãy dựng qua P đường trịn tiếp xúc với hai đường trịn Lời giải Phân tích: Giả sử dựng đường trịn qua P thỏa mãn điều kiện đầu Gọi CC tiếp tuyến chung (O) (O ) Điểm P nằm trục đẳng phương hai đường tròn (O) (O ) nên ta có −→ −−→ −−→ −−→ P C.P D = P C P D Suy tứ giác CDD C nội tiếp Phép nghịch đảo cực P , phương tích −→ −−→ k = P A.P B biến đường trịn (O) thành nó, đường trịn (O ) thành nó, hai điểm C C tương ứng thành D D 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Do phép nghịch đảo biến đường thẳng CC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác P DD tiếp xúc với hai đường trịn (O) (O ) Dựng hình: Dựng tiếp tuyến chung CC với hai đường tròn (O) (O ) Dựng điểm D = P C ∩ (O); D = P C ∩ (O ) Dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác P DD Đó đường tròn cần dựng −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ Theo cách dựng ta có: P C.P D = P C P D = P A.P B Suy phép nghịch đảo cực P biến tiếp tuyến CC thành đường tròn ngoại tiếp P DD Mặt khác: phép nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao đường thẳng đường tròn Nên đường tròn ngoại tiếp P DD tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O ) Bài tốn có nhiều hai nghiệm hình Bài toán 2: Qua điểm A cho trước, dựng đường tròn trực giao với hai đường tròn cho trước Lời giải Phân tích: 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Giả sử dựng đường tròn O qua A trực giao với hai đường tròn cho trước (O1 ; R1 ), (O2 ; R2 ) −−→2 Phép nghịch đảo cực A, phương tích k = AO1 − R12 bảo tồn đường trịn (O1 ) k phương tích A đường tròn (O1 ; R1 ) NAk : (O1 ; R1 ) → (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) → (O2 ; R2 ) Vì (O) đường trịn qua cực A nên có ảnh đường thẳng d khơng qua A Vì (O) ⊥ (O1 ), (O) ⊥ (O2 ), nên d ⊥ (O1 ), d ⊥ (O2 ), d qua tâm O1 tâm O2 Vậy d dựng Dựng hình: −−→2 Dựng đường trịn (O2 ) = NAk (O2 ) với k = AO1 − R12 Dựng đường thẳng d qua O1 O2 Đường tròn (C) = NAk (d) đường trịn cần dựng Thật vậy, dựa vào tính chất bảo giác phép nghịch đảo ta có C thỏa mãn điều kiện đầu 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Với tập lời giải cụ thể trên, mong quý thầy cô bạn có thêm nhiều u thích hứng thú với phép biến hình Sau em xin đưa số toán để người đọc tự tìm hiểu tự giải Bài 1: Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt hai điểm A B Hãy kẻ qua A đường thẳng d cho đoạn thẳng đường thẳng nằm đường trịn (O1 ), (O2 ) có độ dài cho trước Bài 2: Cho hai dây cung không cắt AB CD đường trịn Tìm đường trịn điểm X cho dây cung AX BX định dây cung CD đoạn EF có độ dài cho trước Bài 3: Cho tam giác ABC Tìm điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho M N song song với cạnh BC AM = CN Bài 4: Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) đường thẳng d Hãy dựng đường thẳng d1 song song với đường thẳng d cho: khoảng cách giao điểm đường thẳng d1 với đường tròn (O1 ) (O2 ) đại lượng a cho trước Bài 5: Cho ba đường thẳng x, y, z đôi cắt Hãy dựng tam giác có đỉnh nằm ba đường thẳng cho Bài 6: Trên cạnh tam giác nhọn ABC phía ngồi dựng tam giác A1 BC, AB1 C, ABC1 Hãy khôi phục tam giác ABC biết đỉnh A1 , B1 , C1 tam giác Bài 7: Dựng ABC cho điểm A, B đường thẳng chứa phân giác góc C 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Bài 8: Cho đường thẳng M N hai điểm A B nằm phía so với Dựng đường thẳng M N điểm X cho AXM = 2BXN Bài 9: Cho góc nhọn M ON điểm A B nằm góc Hãy tìm cạnh OM điểm X cho XY Z cân X, Y, Z giao điểm đường thẳng XA, XB với ON Bài 10: Dựng tứ giác ABCD có đường chéo AC đường phân giác góc A biết độ dài cạnh Bài 11: Qua điểm A cho trước kẻ đường thẳng cho đoạn thẳng xác định giao điểm với mơt đường thẳng cho trước đường trịn cho trước nhận điểm A làm trung điểm Bài 12: Cho góc góc cho hai điểm A B Hãy dựng hình bình hành nhận A B làm hai đỉnh đối nhau, hai đỉnh nằm cạnh góc Bài 13: Cho đường thẳng đôi không song song với điểm O không nằm đường thẳng Hãy dựng hình bình hành với tâm O đỉnh nằm tương ứng đường thẳng cho Bài 14: Cho hai dây cung không cắt AB CD đường tròn điểm J dây CD Hãy dựng điểm X đường tròn cho dây cung AX BX định dây cung CD đoạn thẳng EF nhận J làm trung điểm Bài 15: Cho góc xOy điểm A nằm góc Hãy dựng đường trịn qua A đồng thời tiếp xúc với hai cạnh Ox Oy Bài 16: Dựng tam giác ABC cho biết trung tuyến AM độ dài 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh cạnh AB = c, AC = b Bài 17: Dựng đường trịn tiếp xúc với hai cạnh góc xOy tiếp xúc với đường tròn (C) cho trước Bài 18: Dựng tam giác cân biết góc đỉnh ϕ (ϕ < 180o ) tổng đáy với đường cao thuộc đáy a cho trước Bài 19: Dựng đường tròn qua hai điểm A, B cho trước tiếp xúc với đường thẳng d cho trước Bài 20: Qua điểm A dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d đường trịn (O) cho 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Tuyết Chinh Kết luận Xuyên suốt khoá luận "Phép biến hình ứng dụng giải tốn dựng hình E2 ", em tập trung nghiên cứu phép biến hình ứng dụng giải tốn dựng hình E2 Các kết mà em đạt khóa luận là: (1) Trình bày kiến thức tổng quan phép biến hình hình học phẳng (2) Trình bày ví dụ minh họa phép biến hình (3) Trình bày ứng dụng phép biến hình giải tốn dựng hình thơng qua tốn chọn lọc, đặc biệt bước Phân tích Dựng hình (4) Xây dựng hệ thống tập dựng hình E2 giải nhờ cơng cụ phép biến hình Do hạn chế thời gian kinh nghiệm làm tập nghiên cứu chưa nhiều nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong thầy giáo, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, 1996 [2] Nguyễn Minh Chương - Lê Đình Phi - Nguyễn Cơng Quỳ, Hình học sơ cấp, NXB Giáo đục, 1963 [3] Trần Việt Cường - Nguyễn Danh Nam, Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Giáo dục, 2013 [4] Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn, Hình học sơ cấp tập 1, 2, NXB Giáo dục, 1993 [5] V.V Praxolov, Các tốn hình học phẳng tập 1, NXB Hải phịng, 1994 [6] Bùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn, Bài tập Hình học sơ cấp tập 1, NXB Giáo dục, 1993 46 ... hiểu phép biến hình ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình mặt phẳng Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phép biến hình ứng dụng giải tốn dựng hình E2 Phạm... 22 Ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình E2 26 2.1 Phép tịnh tiến với tốn dựng hình 26 2.2 Phép quay với tốn dựng hình 30 2.3 Phép đối xứng trục với tốn dựng hình. .. tổng quan phép biến hình Chương 2: Ứng dụng phép biến hình vào giải số tốn dựng hình E2 Chương Kiến thức tổng quan phép biến hình Trong chương em đưa định nghĩa, tính chất ví dụ phép biến hình mặt