Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học

Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————————

NGUYỄN CHÍ THANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Mục lục

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức cơ bản 5

1.1 Định nghĩa 5

1.2 Một số tính chất của phép nghịch đảo 6

Chương 2 Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo 15

2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học 15

2.2 Bài toán quỹ tích 40

2.3 Bài toán dựng hình 52

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS NguyễnVăn Minh, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tớithầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa họcđúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, côngsức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Đặc biệttôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầygiáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKHNguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái,

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa họccủa mình

Mở đầu

Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảngdạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phépđồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến Hầu như cácbài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịchđảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết Đặc biệttrong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lờigiải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịchđảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn

Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiệnnhư một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này

là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tưduy Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để pháttriển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó Điều đókhiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình họccủa mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán Vớinhững lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu

Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.Chương 1 Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức

cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vàomột số bài toán ở chương 2 Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặctrưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hìnhkhác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch

đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không

đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo vớitâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không điqua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo(tính chất 1.2.7-b)

Chương 2 Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vậndụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứngminh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng Qua đó làm nổi bật ưu việtcủa phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa

Đôi nét về định nghĩa:

Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)

và một điểmAnằm ngoài đường tròn Vẽ tiếp tuyếnAK đến(O) (K ∈ (O)).Một cát tuyến bất kỳ từA đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểmM, N Khi

đó, ta luôn có AK2 = AM.AN " Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0

bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N0 khác cũngnằm trên (O) và nằm trên AM0 sao cho AM0.AN0 = AK2

Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một

số thực k khác không

Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M0 thuộc đường thẳng

OM sao cho OM OM0 = k Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảocực O, phương tích k (hay tỉ số k)

Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I(O,k) hay

Ik

O, ta có Ik

O(M ) = M0 hoặc Ik

O : M 7→ M0, hay một số sách đưa ra ký hiệu

f (O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu IOk hoặc f (M ) = M0 sẽchỉ M0 là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k

Ta có −−→

OM −−→

OM0 = OM OM0 vì O, M, M0 thẳng hàng

Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1, M2 gọi là đối xứng với nhauqua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d (Ta quy ước:điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận).

Cho đường tròn (O, R), hai điểm M1, M2 gọi là đối xứng với nhau qua

(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích

k = R2

Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tậnbiến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).Tính chất 1.2.2 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:

Qua phép nghịch đảo, nếu điểmM biến thành điểmM0thì ngược lại, điểm

M0 biến thành điểm M (hay nếu Ik

hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bánkính√

k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo Khi đó các điểm

M mà thỏa mãn f (M ) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) củaphép nghịch đảo f (O, k) Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì

M0 nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại

Nếu k < 0 thì hai điểm M và M0 nằm về hai phía đối với O Khi đókhông có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợpnày đường tròn nghịch đảo của f (O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).Tính chất 1.2.4 a) Nếu phép nghịch đảo f (O, k) có phương tích k > 0

và M, M0 là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f (O, k), thì mọi đường trònqua hai điểm M, M0 đều trực giao với (O,√

k) (hai đường tròn (O), (O0)

được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)

và (O0) cùng vuông góc với nhau) Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M0

đều biến thành chính nó qua f (O, k) với k > 0

b) Nếu (O1) và (O2) lần lượt trực giao với (O,√

tại hai điểm N, N0, ta có ON ON0 = k, suy ra mọi điểm N thuộc đườngtròn (C) qua phép nghịch đảo f (O, k) đều có ảnh là N0 cũng thuộc đườngtròn(C) Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C)qua M, M0 đều biến thành chính

nó qua phép nghịch đảo f (O, k)

Tính chất 1.2.5 Phép nghịch đảo f (O, k), k 6= 0 Thì với hai điểm A, B

không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn cóA, B, f (A), f (B) là các điểmđồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn) Hơn nữa nếu đặt A0 = f (A)

và B0 = f (B) thì A0B0 = |k| AB

OA.OB.

OA.OB =

kOA.OB =

Tính chất 1.2.6 Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo:

a) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảobiến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Từ cực nghịch đảo O ta hạOA vuông góc với đường thẳng ∆đã cho Gọi

B là ảnh của A qua phép nghịch đảo Ik

O và A là một điểm của ∆ (hình 1.4

Vậy quỹ tích của N là đường tròn đường kính OB.

b) Qua phép nghịch đảo, một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biếnthành chính nó

Chứng minh:

Giả sử d là đường thẳng đi qua cực O của phép nghịch đảo f (O, k) Khi

đó với mọi điểm ∀M ∈ d ta có f (O, k) : M 7→ M0, theo định nghĩa phépnghịch đảo suy ra O, M, M0 thẳng hàng, chứng tỏ f (O, k) : d 7→ d

Tính chất 1.2.7 Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo:

a) Qua phép nghịch đảo, một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thànhmột đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳngnối cực nghịch đảo với tâm đường đường tròn đã cho.

Hình 1.5:

b) Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảobiến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Giả sử O là tâm nghịch đảo, M là một điểm bất kì của đường tròn (C),

p = OM ON là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C): ảnh củađường tròn (C) trong phép nghịch đảo IOp chính là đường tròn (C)

NếuM0 là ảnh củaM trong phép nghịch đảoIOk thì ta có:OM0.OM = k

Ta suy ra: OM0

ON =

kp

tức là M0 là ảnh của N trong phép vị tự tâm O, tỉ số k

p Đảo lại, nếu M

Lưu ý: Chúng tôi xin nhắc qua về kiến thức phép vị tự:

Cho O là một điểm cố định,k là một số không đổi, nếuM, N thẳng hàngvới O và ON

OM = k thì N được gọi là điểm ảnh của điểm M trong phép vị

tự tâm O, tỉ số k

"Qua phép vị tự:

1) Một đường thẳng đi qua tâm biến thành chính nó

2) Một đường thẳng không đi qua tâm biến thành một đường thẳng songsong với nó

3) Một đường tròn biến thành một đường tròn."

Tính chất 1.2.8 Tính bảo giác của phép nghịch đảo

Trước hết ta định nghĩa thế nào là góc giữa đường thẳng và đường tròn,góc giữa đường tròn và đường tròn Góc giữa đường thẳng d và đường tròn

(C) là góc giữa d và tiếp tuyến tại giao điểm của d với (C) Khi d là tiếptuyến của (C) thì góc giữa d và (C) bằng 0 Xét (C1) và (C2) thì góc giữa

(C1), (C2) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (C1) và (C2) Nếu

(C1), (C2) tiếp xúc với nhau thì góc giữa (C1) và (C2) bằng 0

Giả sử d1, d2 là hai tiếp tuyến tương ứng với mỗi đường cong (C1) và (C2)

tại giao điểm A của chúng Góc định hướng giữa hai đường thẳng d1 và d2

được gọi là góc định hướng giữa hai đường cong (C1) và (C2)

Ký hiệu: ((C1), (C2)) = (d1, d2)

Tính chất: Qua phép nghịch đảo, góc định hướng giữa hai đường congtại mỗi giao điểm của chúng không thay đổi về độ lớn nhưng thay đổi vềhướng

Chứng minh:

Trước tiên, ta xét bổ đề sau:

Bổ đề: Cho f (O, k) biến đường cong (C) thành đường cong (C0) Nếu

A, A0 là hai điểm tương ứng trên (C), (C0) và tại đó chúng có các tíếp tuyếnthì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực cuả đoạnAA0.Thật vậy, ta gọi M là một điểm nằm trên (C) và M0 là ảnh của M qua

f (O, k), suy raM0 nằm trên(C0) Ta lại có OM OM0 = OA.OA0 = k , suy

ra M, M0, A0, A nội tiếp Gọi (C1) là đường tròn đi qua M, M0, A0, A Cho

M → A, khi ấy M0 → A0 Do đó M A, M0A0 lần lượt biến thành tiếp tuyến

t và t0 tại A, A0 của các đường cong (C), (C0) tương ứng và (C1) biến thànhđường tròn (C01) tiếp xúc với đường cong (C) và (C0) lần lượt tại A và A0

Rõ ràng lúc này t và t0 sẽ là tiếp tuyến tại A và A0 của (C01) tương ứng Từ

đó suy ra t và t0 đối xứng nhau qua đường trung trực của AA0.

Chứng minh tính chất: Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong

(C1) và (C2) cắt nhau tại một điểm A biến thành đường cong(C01) và (C02)

cắt nhau tại A0 = f (A) Biến hai tiếp tuyến d1, d2 tại A với (C1) và (C2)

tương ứng thành hai tiếp tuyến d01, d02 tại A0 Theo bổ đề các tiếp tuyếnd1, d2

của (C1) và (C2) tại A và các tiếp tuyến d01, d02 của (C01) và (C02) tại A0

tương ứng đối xứng với nhau qua trung trực cuả AA0 Từ đó suy ra:

(d01, d02) = −(d1, d2) + kπ(k ∈ Z),((C01), (C02)) = −((C1), (C2)) + kπ(k ∈ Z)

Hình 1.7:

Chương 2

Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo

Với định nghĩa và các tính chất của phép nghịch đảo đã được giới thiệu

ở chương 1 Chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu với các bạn ứng dụng củaphép nghịch đảo qua một số bài toán chứng minh, quỹ tích, dựng hình tronghình học phẳng

2.1 Bài toán chứng minh tính chất hình học

Ta mở đầu bằng một bài toán quen thuộc sau đây Bài toán này là mộtdạng quen thuộc trong nhiều kỳ thi trong nước

Bài toán 2.1.1 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi B0, C0 lầnlượt là hình chiếu của B, C trên AC, AB Chứng minh rằng tiếp tuyến tại

A của đường tròn (O) song song với B0C0, từ đó suy ra AO⊥B0C0

Lời giải: (Hình 2.1)

Trước tiên ta dễ thấyB, C0, B0, Cđồng viên Do đóAB.AC0 = AC.AB0 =

k Xét phép nghịch đảo cựcA, phương tíchk, ta được IAk : B0 7→ C, C0 7→ B

Hình 2.1:

Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán thuộc dạng kinh điển và quenthuộc Nhiều bạn, thậm chí là các bạn THCS không gặp nhiều khó khăn khichứng minh bài toán trên Bài toán này trên mathlinks đưa ra và có đến

"hàng tá" cách giải Và một trong các cách chỉ là biến đổi góc thuần nhất.Riêng ý sau của bài toán trên vẫn có thể chứng minh được mà không cầndùng đến ý đầu

Thật vậy, ta đã biết qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k, Ik

Bài toán 2.1.2 (Định lý Ptolemy)

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được là

AC.BD = AB.CD + BC.AD

BDAB.AD ⇒ AC.BD = AB.CD + BC.AD.

Hình 2.2:

Trường hợp 2: Giả sử tứ giácABCDcó:AC.BD = AB.CD+BC.AD,

ta sẽ chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp

Thật vậy: Ta xét phép nghịch đảo f (A, 1) và giả sử B0, C0, D0 là ảnh của

B, C, D qua phép nghịch đảo f (A, 1)

Từ AC.BD = AB.CD + BC.AD ta suy ra BC

AB.AC +

CDAC.AD =BD

AB.AD ⇒ AC.BD = AB.CD + BC.AD

Xét tứ giác ABCD và xét phép nghịch đảo cực D, phương tích k bất

kỳ thì IDk : A 7→ A0, B 7→ B0, C 7→ C0 Như vậy ABCD là tứ giác nộitiếp khi và chỉ khi A0, B0, C0 thẳng hàng Điều này xảy ra khi và chỉ khi

A0C0 = A0B0+ B0C0 hay nói cách khác là

|k| ACDA.DC = |k|

ABDA.DB + |k|

BCDB.DC

Nhân cả hai vế của đẳng thức này với DA.DB.DC

|k| , ta thu đượcAC.BD = AD.BC + AB.CD

Định lý Ptolemy: là một bài toán quen thuộc đối với các em chuyên sâu vềtoán ở THCS và cách giải phổ biến của định lý này là cách gọi thêm điểm

D0 thỏa mãn \D0DC = BAC\, \D0CD = BCA\ để tạo cặp tam giác CD0D

và CBA đồng dạng với nhau và một cặp đồng dạng khác, xuất hiện một mâuthuẫn biến đổi góc Rõ ràng dưới quan điểm của phép nghịch đảo, định lýPtolemy trở nên nhẹ tênh không hề có một chút khó khăn biến đổi hay gọithêm yếu tố phụ gì! Lưu ý rằng bằng phương pháp dùng phép nghịch đảo,tương tự ta chứng minh được định lý mở rộng của định lý Ptolemy:

"Điều kiện cần và đủ để một đa giác lồi trên mặt phẳng A1A2 An, n ≥ 4

nội tiếp được trong một đường tròn là

Bài toán 2.1.3 Cho tam giác ABC Một đường tròn tâmO đi qua hai điểm

A, C và cắt các đoạn AB, BC theo thứ tự tại hai điểm phân biệt K, N Giả

sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng haiđiểm phân biệt B, M Chứng minh rằng \OM B = 90o

Lời giải: (Hình 2.3)

GọiRlà bán kính của đường tròn tâmOnói trên GọiP = KN ∩AC, S =

KC ∩ AN Theo một kết quả quen thuộc thì B sẽ là đối cực của P S qua

O và ngược lại P sẽ là đối cực của BS qua (O) Do đó S sẽ là đối cực của

BP qua (O) Gọi M0 = OS ∩ BP, ta có ngay OM0⊥BP Mặt khác ta lại

có BS⊥OP (do BS là đường đối cực của P qua (O)), tương tự P S⊥OB

Ta suy ra được S là trực tâm của ∆BOP Do đó nếu gọi B0 = BS ∩ OP,

ta có ngay B0 là ảnh của P qua IR2

O Ta lại có IR

O : A 7→ A, C 7→ C

Hình 2.3:

Do vậy AC 7→ (OAC), P ∈ AC, từ đó suy ra B0 7→ (OAC) và ta thuđược P O.P B0 = P A.P C Mặt khác, dễ thấy B, M0, B0, O đồng viên, do đó

P M0.P B = P O.P B0, dẫn đến P M0.P B = P A.P C, tức là M0 ∈ (ABC)

Để ý rằng P A.P C = P K.P N = P M0.P B, do đó M0 ∈ (BKN ) Hay nóicách khác M0 ≡ (BKN ) ∩ (ABC) ≡ M Suy ra \OM B = 90o

Nhận xét: Bài toán trên cũng là một dạng bài kinh điển Có tới ít nhất

ba cách chứng minh cho bài toán trên, trong đó có một cách biến đổi góc và

độ dài các cạnh khá cầu kỳ Có một cách dùng phép vị tự và cách còn lại là

vẽ thêm yếu tố phụ song cũng qua một hay hai bước biến đổi góc Một lầnnữa, với quan điểm phép nghịch đảo lại cho ta một lời giải đẹp "thuần" tính

lý thuyết, không hề một chút tính toán cho bài toán cũ mà đẹp bên trên.Cũng xin nói thêm, điểm M trong bài toán có tên là điểm Miquel đối với tứgiác toàn phần BA, BC, P K, P A

Ta tiếp tục xem xét một ứng dụng khác của phép nghịch đảo qua bài toánIMO của Bulgaria năm 1995

Bài toán 2.1.4 ChoA, B, C, D là bốn điểm phân biệt nằm trên một đườngthẳng và được sắp theo thứ tự đó Các đường tròn đường kính AC, BD cắtnhau tại các điểm X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Cho P là mộtđiểm trên đường thẳng XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đườngkính AC tại C và M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại

B và N Chứng minh rằng AM, DN, XY đồng quy

Lời giải: (Hình 2.4)

Gọi (C1) là đường tròn đường kính AC, (C2) là đường tròn đường kính

BD.P nằm trênXY là trục đẳng phương của(C1)và(C2), do đóP(P/(C1)) =

P(P/(C2)), nói cách khác ta có P C.P M = P B.P C = k

Hình 2.4:

Xét phép nghịch đảo cực P, phương tích k, ta có Ik

P : M 7→ C, A 7→ A0,suy raAM 7→ (P A0C) Tương tự, ta cũng có đượcND 7→ (P BD0), trong đó

D0 là ảnh của D qua phép nghịch đảo (Ik

là trục đẳng phương của (P A0C) và (P BD0) Suy ra (P A0C), (P BD0) và

P Z cùng qua Z hay chứng tỏ AM, XY, N D đồng quy

Nhận xét: Một lần nữa phép nghịch đảo lại cho ta thấy được sự ưu việtcủa nó trong việc chứng minh sự đồng quy Có thể thấy rằng, phép nghịchđảo đã làm giảm tối thiểu lượng đường tròn xuất hiện trong bài toán mà thayvào đó là các đường thẳng, hay các đường tròn "dễ nhìn hơn" Biến cái xalại gần, biến cái khó kiểm soát, khó nắm bắt thành cái dễ kiểm soát, dễ nắmbắt là một trong những đặc tính vô cùng ưu việt của phép biến hình đặc biệt

này Bài toán trên có thể giải bằng trục đẳng phương bằng cách gọi Q và Q0

lần lượt là giao điểm của AM, DN và XY rồi chứng minh Q ≡ Q0

Tiếp theo sẽ lại là một ứng dụng khác của phép nghịch đảo, ta tiếp tụcxét bài toán sau:

Bài toán 2.1.5 Cho đường tròn (O) đường kính BC Một điểm A nằmngoài đường tròn, gọi B0, C0 lần lượt là giao điểm của AC, AB với (O) Gọi

H là giao điểm của BB0, CC0 GọiM, N lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến

từ A đến (O) Chứng minh rằng H, M, N thẳng hàng

Lời giải: (Hình 2.5)

Hình 2.5:

Gọi A0 là hình chiếu của A lên BC Dễ thấy H là trực tâm tam giác

ABC Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích AB0.AC = AC0.AB =

"Cho đường tròn (O), từ điểm K bất kỳ nằm ngoài (O) kẻ các tiếp tuyến

KM, KN đến (O) trong đó M, N là các tiếp điểm Hai đường thẳng bất kỳ

qua K cắt (O) tại các điểm lần lượt là (A, D), (B, C) Gọi G là giao điểmcủa AC, BD Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng."

Bài toán 2.1.6 Cho ba điểm thẳng hàng O, A, A0 và (C) là một đường tròn

có đương kính OA, d là đường thẳng vuông góc với OA ở A0 Một cát tuyến

a thay đổi qua A’ cắt đường tròn ở P, Q các đường thẳng OP và OQ cắt d

lần lượt ở P0 và Q0 Chứng minh rằng A0P0.A0Q0 không đổi

Nhận xét: Bài toán trên trở nên hết sức đơn giản và nhẹ nhàng qua phépnghịch đảo cực A0, phương tích k = A0A.A0O không đổi và áp dụng tínhchất 1.2.6-a.

Bài toán 2.1.7 Cho hai đường tròn bằng nhau (C), (C0) giao nhau ở haiđiểm A, B Một đường tròn thay đổi Γ tiếp xúc với AB ở A cắt (C) và (C0)

lần lượt tại P và P0 Chứng minh P P0 luôn đi qua một điểm cố định vàđường tròn (BP P0) tiếp xúc với AB tại B

Lời giải: (Hình 2.7)

Gọi O là trung điểm của AB Một cát tuyến bất kỳ qua O cắt (C) tại L,

M, ta có phương tích của O đối với (C) là −→

OL.−−→

OM.Gọi K là điểm đối xứng qua O của M, thì K thuộc đường tròn (C0) vìhai đường tròn (C) và (C0) đối xứng với nhau qua O

OL thì f biến điểm L thuộc đường tròn (C)

thành điểm K thuộc đường tròn (C0) Mặt khác, phương tích của O đối vớiđường tròn Γ bằng k = OA2, nên phép nghịch đảo f biến đường tròn Γ

thành chính nó

Hình 2.7:

Như vậy, f biến giao điểm P của(C) và Γ thành giao điểm P0 của(C0) và

Γ, tức là ba điểm O, P, P0 thẳng hàng Nói khác đi, đường thẳng P P0 luôn

đi qua điểm cố định O là trung điểm của AB

Hơn nữa, vì OA = OB nên OB2 = OA2 = −→

OP −−→

OP0, nên đường tròn

(BP P0) tiếp xúc với AB tại B

Nhận xét: Bài toán trên đã sử dụng tính chất tâm của phép nghịchđảo là điểm cố định, chứng minh P P0 đi qua điểm cố định ta chứng minh

Ik2

O : P 7→ P0, k2 = OA2 và OB2 = OP0.OP, suy ra (BP P0) tiếp xúc với

AB tại B Giúp giải quết bài toán một cách đơn giản, dễ nhìn, một lần nữacho ta thấy sự ưu việt của phép nghịch đảo trong toán chứng minh hình họcphẳng Tiếp theo ta xét bài toán áp dụng tính chất bảo giác của phép nghịchđảo

Bài toán 2.1.8 Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc cùng một đường tròn

và không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng.Chứng minh góc giữa haiđường tròn(ACD), (CDB) bằng góc giữa hai đường tròn (ABC), (ABD).Lời giải: (Hình 2.8)

Hình 2.8:

Phép nghịch đảo bảo toàn độ lớn của góc, nên để giải bài toán ta xét mộtphép nghịch đảo thích hợp Đặt (C1), (C2),(C3),(C4) tương ứng là các đườngtròn (ABC), (ABD), (CBD) và (CAD) (Hình 2.8-h.a)

Xét phép nghịch đảo f cực A, bảo toàn đường tròn (C3).

Giả sử f biến B thành B0, C thành C0,D thành D0, thì B0, C0, D0 phảithuộc đường tròn (C3) (do f bảo toàn đường tròn (C3)) Do đó f biến haiđường tròn (C1) = (ABC),(C2) = (ABD) đi qua cực A tương ứng thànhhai đường thẳng B0C0 và B0D0 (không đi qua cực A), nên số đo góc giữa haiđường tròn (C1) và (C2) và số đo giữa hai đường thẳng B0C0 và B0D0 là đốinhau (sai khác kπ, k∈Z), (Hình 2.8-h.b)

((C1), (C2)) = −(B0C0, B0D0) + kπ, k∈Z (1)

Tương tự, f biến (ACD) = (C4) thành đường thẳng C0D0 không đi qua

A Kẻ tiếp tuyến tạiD0 của đường tròn(C3) Do đó số đo góc giữa hai đườngtròn (C3) và (C4) và số đo góc giữa đường thẳng C0D0 với tiếp tuyến D0T

tại D0 tại đường tròn (BCD) là đối nhau (sai khác kπ, k∈Z).

((C3), (C4)) = −(C0D0, D0T ) + kπ, k∈Z (2)

Xét đường tròn (BCD), số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng

(B0C0, B0D0) bằng số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng (C0D0, D0T )

Bài toán 2.1.9 Cho đường tròn(C) đường kính AB và đường thẳng ∆

vuông góc với AB tại H, một đường tròn tâm A có chung một điểm C vớiđường tròn (C) và cắt ∆ ở D Các đường thẳng AC cắt ∆ ở C0 và AD cắtđường tròn (C) ở D0 Chứng minh CC0 = DD0

Lời giải: (Hình 2.9)

Phép nghịch đảo f cựcA, phương tích k = AB.AH biến đường tròn (C)

thành đường thẳng ∆ và biến các điểm C, D0 thuộc (C) tương ứng thànhcác điểm C0 và D thuộc đường thẳng ∆

Bài toán 2.1.10 Cho đường tròn(C)tâm O, bán kínhR, một đường thẳng

∆ và điểm A trên ∆ Hãy chứng minh:

- Tồn tại hai đường tròn (C1) và (C2) cùng tiếp xúc với ∆ ở A và tiếpxúc với đường tròn (C)

- Khi cho đường thẳng ∆ quay xung quanh A, đường thẳng nối hai tiếpđiểmT1, T2 của đường tròn(C) lần lượt với hai đường tròn(C1)và (C2) luôn

đi qua một điểm cố định

Lời giải: (Hình 2.10)

Gọi f là phép nghịch đảo cực A bảo toàn đường tròn (C) Khi đó, f biếnđường tròn tiếp xúc với ∆ ở A và tiếp xúc với (C) (nếu có) thành đường

thẳng song song với ∆ và tiếp xúc với đường tròn (C) Dễ thấy tồn tại haiđường thẳng như vậy (song song với ∆ và tiếp xúc với (C)), được ký hiệu là

d1 và d2 Rõ ràng phép nghịch đảo f lại biến d1 và d2 tương ứng thành haiđường tròn, được ký hiệu là (C1) và (C2) cùng tiếp xúc với ∆ ở A và tiếpxúc với (C) lần lượt tại T1 và T2

Để chứng minh đường thẳng T1T2 đi qua một điểm cố định khi ∆ quayquanh A ta chỉ cần chứng minh ảnh của T1T2 trong phép nghịch đảo trên điqua điểm cố định

Vì f biến đường thẳng T1T2 không qua cực thành một đường tròn qua cực

A, đó là đường tròn (AT10T20), suy ra giao điểm P của đường thẳng OA vớiđường thẳng T1T2 biến thành giao điểm P0 củaOA với đường tròn (AT10T20).Xét đường tròn (AT10T20), ta có −→

OA.−−→

OP0 = −−→

OT10.−−→

OT20 = −R2

Suy ra P0 là điểm cố định, nên P là điểm cố định

Vậy đường thẳng T1T2 luôn đi qua điểm cố định P

Nhận xét: Qua phép nghịch đảo bài toán kinh điển trở nên đơn giản, ở đó

đã áp dụng tính chất qua phép nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịchđảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo và sử dụng tính chất bảo giáccủa phép nghịch đảo Ý thứ hai khá phức tạp, nhưng qua phép nghịch đảo

đã trở nên nhẹ nhàng, dễ hiểu Cụ thể để chứng minh đường thẳng đi quahai điểm cho trước luôn đi qua điểm cố định, ta chỉ việc chứng minh ảnhcủa đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định (chứng minh T1T2 đi qua điểm

cố định, ta chứng minh đường tròn (AT10T20) = f (T1T2) đi qua điểm cố định

P0)

Bài toán 2.1.11 Cho tam giác ABC đều nội tiếp vòng tròn (C) Giả sử O

là một điểm không nằm trên (C)

a, Hãy chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các cạnh làOA, OB, OC

b, Chứng minh rằng nếu O nằm trên đường tròn (C) thì tổng của haitrong ba đoạn OA, OB, OC bằng đoạn thứ ba

Lời giải:

a, (Hình 2.11) Giả sử O /∈ (C), xét phép nghịch đảo I1

O, khi đó (C) biếnthành (C0), A, B, C tương ứng biến thành A0, B0, C0 và A0, B0, C0 ∈ (C0)

Hình 2.11:

Do đó A0, B0, C0 không thẳng hàng Áp dụng tính chất của phép nghịchđảo, ta có:

C0A0 = CA

OC.OA =

OB.CAOA.OB.OC

A0B0 = AB

OA.OB =

OC.ABOA.OB.OC

(1)

suy ra: B0C0 : C0A0 : A0B0 = OA : OB : OC (do BC=CA=AB)

HayOA, OB, OC tỷ lệ với các đoạnB0C0, C0A0, A0B0 Chứng tỏOA, OB, OC

là ba cạnh của một tam giác

b, (Hình 2.12) Với O ∈ (C), chẳng hạn O ∈AC_ (cung không chứa điểmB)

Nhận xét: Với phép nghịch đảo cực O và áp dụng tính chất qua phépnghịch đảo đường tròn không qua cực biến thành đường tròn không qua cực,còn đường tròn qua cực thì biến thành đường thẳng kết hợp với tính chất1.2.5 (k=1) ta được lời giải bài toán một cách ngắn ngọn, dễ hiểu.

Bài toán 2.1.12 Giả sử N và S là hai điểm đối xứng của đường tròn (C),

l là đường thẳng tiếp xúc với (C) tại S Từ một điểm O bất kỳ nằm ngoàiđường tròn (C) và không nằm trên tiếp tuyến tại N Ta dựng các tiếp tuyến

OA, OB Gọi O0, A0, B0 là hình chiếu xuyên tâm của N lên l của các điểm

O, A, B Chứng minh rằng O0 là trung điểm của đoạn A0B0

là đường kính của đường tròn (C2) và O0 là tâm của (C2) hay O0A0 = O0B0

Nhận xét: Giải bài toán trên qua phép nghịch đảo IN S2

N và áp dụng tínhchất đường tròn đi qua cực biến thành đường thẳng, đường tròn không điqua cực biến thành đường tròn cũng không đi qua cực, kết hợp tính trực giaoqua phép nghịch đảo đã cho ta một lời giải có thể nói là rất hay và cô đọng,

dễ hiểu

Bài toán 2.1.13 (Định lý Feuerbach)

Chứng minh đường tròn Euler của tam giácABC tiếp xúc với đường tròn

(I) ((I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC) và tiếp xúc với ba đường trònbàng tiếp (Ia), (Ib), (Ic) của tam giác ABC

Lời giải: (Hình 2.14)

Hình 2.14:

Gọi R, S lần lượt là tiếp điểm của(I) và (Ia) với cạnhBC, khi đó BS =

CR = p − c, trong đó "p" là nửa chu vi, "c" là độ dài cạnh AB của tam giác

ABC

Giả sử A0, B0, C0 tương ứng là trung điểm của BC, CA, AB, ký hiệu A00

là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC, Q là giao điểm của BC vớiphân giác IIa Bốn điểm A, Q, I, Ia là hàng điểm điều hòa, suy ra bốn điểm

A00, Q, R, S cũng là hàng điểm điều hòa Điểm A0 là trung điểm của RS (vì