skkn ứng dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian tổng hợp

-Phương pháp vectơ, tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian là một công cụ có ứng dụng khá rộng rãi: giải phương trình, hệ phương trình, giải và biện luận phươngtrình, hệ phương trình

Mục Lục

I.Đặt vấn đề 2

1.Lý do chọn đề tài 2

2.Mục đích nghiên cứu 3

3.Phạm vi đề tài 3

II.Giải quyết vấn đề 3

1.Cơ sở lý thuyết 3

2.Vận dụng giải các bài toán 6

Ví dụ 1 6

Ví dụ 2 8

Ví dụ 3 10

Ví dụ 4 12

Bài 1 14

Bài 2 14

Bài 3 17

Bài 4 19

Bài 5 20

Bài 6 21

MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG 23

III KẾT LUẬN 24

Tài liệu tham khảo 25

NỘI DUNG SÁNG KIẾN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI CÁC BÀI TOÁN

-Trong các đề thi chọn học sinh giỏi, Cao đẳng, Đại học thường xuất hiện bài toánhình học không gian và nếu các em biết ứng dụng phương pháp tọa độ thì các em sẽ tự tinhơn trong việc giải bài toán đó và giải một cách dễ dàng hơn, chắc chắn hơn

-Phương pháp vectơ, tọa độ (trong mặt phẳng và trong không gian) là một công cụ

có ứng dụng khá rộng rãi: giải phương trình, hệ phương trình, giải và biện luận phươngtrình, hệ phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; chứng minh các quan hệhình học và tính toán các đại lượng hình học

Với những lí do như trên, từ thực tế học tập và giảng dạy đã nghiên cứu vận dụng,

với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến: Ứng dụng phương

pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian tổng hợp.

Để thấy được rõ về những ứng dụng mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp này,tôi đã trình bày các bước cơ bản để giải bài toán hình học không gian tổng hợp thông quacác ví dụ, sau đó là ứng dụng vào giải một số bài toán trong đó có các bài toán trong các

đề thi Đại học, Cao đẳng các năm gần đây

2 Mục đích nghiên cứu

- Tạo cho học sinh sự hứng thú, tự tin khi giải các bài toán hình học không gian

- Thay thế cho việc trình bày những lí luận, những bước dựng hình khá phức tạp

mà đòi hỏi người học phải nắm rất vững cơ sở lý thuyết, tư duy logic và trí tưởng tượngphong phú bằng những tính toán rất rõ ràng mà vẫn giải quyết được vấn đề một cách dễdàng

- Nâng cao thành tích trong các kì thi học sinh giỏi, cao đẳng, đại học,…

 Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông

 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giácvuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật…

 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đều

 Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặtphẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi

 Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diệnvuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hay mặt phẳngvuông góc Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quenthuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của cácđoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ

b Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

 Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

 Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán

 Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ

 Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thông thường

 Ví dụ về một vài cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ:

 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ một điểm thỏamãn phương trình đường thẳng đi qua hai điểm kia hoặc

 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương

hoặc tọa độ của một điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm kia

 3 đường thẳng (có phương trình dạng chính tắc) đồng quy tương đương hệphương trình bao gồm 3 phương trình của 3 đường thẳng trên có nghiệm duynhất hoặc giao điểm của 2 đường thẳng này nằm trên đường thẳng kia

c Các ký hiệu thường dùng trong sáng kiến

+ VTPT: vectơ pháp tuyến, VTCP: vectơ chỉ phương

+ ( , ) : góc giữa hai vectơ và

+ (XYZ): mặt phẳng qua 3 điểm X, Y, Z

+ d(X, (P)): khoảng cách từ điểm X đến mặt phẳng (P)

+ d((P),(Q)): khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q)

+ d(a,b): khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

+ (d1;d2): góc giữa hai đường thẳng d1 và d2

d Các công thức thường dùng trong sáng kiến

+ Tích có hướng của hai vectơ:

Cho hai vectơ không cùng phương , Khi đó:

+ Góc giữa hai vectơ:

Nếu là góc giữa hai vectơ , với và khác thì

Cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M (x0 ; y0 ; z0)

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Nếu , lần lượt là VTCP của đường thẳng d1, d2 và điểmA(x1 ;y1 ;z1) d1 , điểm B(x2 ;y2 ;z2) d2

Khi đó :

+ Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d1 có VTCP và đường thẳng d2 có VTCP

3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1 2

1

;cos

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a d d

Ta có :

2 Vận dụng giải các bài toán

Trước hết, để làm quen với việc tọa độ hóa các bài toán hình học không gian tổnghợp, ta bắt đầu bằng ví dụ đối với một hình đa diện có thể tọa độ hóa dễ dàng nhất, đó là

hình lập phương Có thể khẳng định chắc chắn rằng mọi bài toán yêu cầu chứng minh các quan hệ hình học hoặc tính toán đối với hình lập phương đều có thể giải một cách ngắn gọn bằng phương pháp tọa độ

Ví dụ 1 Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng

(A’BC’) và (ACD’) song song với nhau Tính

khoảng cách giữa hai mặt phẳng này

b) Chứng minh B’D vuông góc với mặt

phẳng (A’BC’)

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BC Chứng minh B’Dvuông góc với IJ.

d) Gọi K là trung điểm của cạnh DD’ Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB’C) và(KAC) vuông góc nhau

Do đó (A’BC’) // (ACD’) và d((A’BC’),(ACD’)) = d(A,(A’BC’)) =

b) Chứng minh B’D vuông góc với mặt phẳng (A’BC’).

Ta có = (1;-1;1) chính là một vectơ pháp tuyến của (A’BC’): ,

do đó B’D (A’BC’)

c) Chứng minh B’D vuông góc với IJ.

I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BC nên I(0;0; ), J(1; ;0)

d) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’C) và (KAC) vuông góc nhau

Ta thấy

Trên đây ta nhận thấy với phương pháp tọa độ, các chứng minh về quan hệ songsong và vuông góc được thực hiện khá dễ dàng bằng các phép tính đại số mà không phụthuộc vào hình vẽ hoặc các suy luận hình học thường rất khó trình bày đối với học sinh.Qua ví dụ ta rút ra các nhận xét quan trọng sau đây:

+ Chứng minh hai mặt phẳng song song: viết phương trình của chúng và so sánh các hệ số.

+ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 + Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: chứng tỏ tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.

+ Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng tỏ VTCP của đường thẳng chính là một VTPT của mặt phẳng.

Tiếp theo, ta xét ví dụ về việc tọa độ hóa bài toán tính góc và khoảng cách trongkhông gian

Tương tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz sao cho: O A, tia AB tia Ox,

tia AD tia Oy, tia AS tia Oz.

BD SC

BC BD SC BD

SC

c) Tính góc giữa hai đường thẳng SB, AP và góc giữa hai mặt phẳng ,

Góc giữa hai đường thẳng SB, AP

Nhận xét: Đối với bài toán tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt

phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau khi giải bằng phương pháp cổ điển thì rõ ràng khâu khó khăn nhất chính là dựng hình (trực tiếp hoặc gián tiếp) vốn đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững về phương pháp cũng như phải có sự suy nghĩ khá sâu sắc; trong khi đó, nếu ta có thể tọa độ hóa để giải thì phương pháp tiếp cận rất rõ ràng vì tất cả các yêu cầu trên đều đã có công thức, do đó còn lại là yêu cầu học sinh thực hiện cẩn thận một số bước tính toán cơ bản để áp dụng được công thức đã có.

Ví dụ kế tiếp ta chuyển sang một đối tượng hình không gian khác, đó hình tứ diện

có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc nhau (gọi tắt là tam diện vuông).Phương án tọa độ hóa đối với hình đa diện này và hình hộp chữ nhật là như nhau

Ví dụ 3 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau,

OA=a, OB = b, OC = c.

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O;

b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn;

c) Gọi lần lượt là góc giữa

(ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).

d) Xác định tâm I và tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

e) Chứng minh O, I và trọng tâm tam

giác ABC là ba điểm thẳng hàng

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia OA

tia Ox, tia OB tia Oy, tia OC tia Oz.

Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O.

Độ dài h của đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh O là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC):

b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc đều nhọn.

Với lần lượt là góc giữa (ABC)

và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB).

Dễ thấy các mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA),

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có tâm I và bán kính R

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có G

Dễ thấy O, I, G là ba điểm thẳng hàng

Qua ba ví dụ đã trình bày, ta nhận thấy một yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa là điều kiện đôi một vuông góc của ba cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của đa diện, thông thường điều kiện này được ẩn chứa ngay trong các giả thiết cho trước Tuy vậy, không phải lúc nào điều kiện trên cũng được thỏa mãn nên trong một số trường hợp ta cần phải

có cách xây dựng hệ trục tọa độ một cách khéo léo hơn Ta xét ví dụ sau đây.

Ví dụ 4(CĐ khối A-2013): Cho lăng trụ đều

ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo với

đáy một góc bằng 60 Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AC và B’C’.Tính theo a thể tích

của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và độ dài đoạn thẳng

MN

Giải:

Ta có AA’ (ABC) là góc giữa A’B

với đáy = 60

AA’ = AB.tan = a Do đó V

Bây giờ ta tính độ dài đoạn thẳng MN bằng phương pháp tọa độ:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A’B’ Khi đó chọn hệ trục tọa độOxyz với I là gốc tọa độ, tia IB tia Ox, tia IC tia Oy, tia IJ tia Oz Khi đó:

M là trung điểm của cạnh AC , N là trung điểm của cạnh B’C’

Để rõ hơn về những ứng dụng mạnh mẽ và hiệu quả của phương pháp này, ta sẽgiải một số bài toán hình học không gian tổng hợp trong đó có các đề thi Đại học, Caođẳng trong các năm gần đây (các đáp án chính thức đã được Bộ Giáo dục và Đào tạocông bố rộng rãi và có thể được tìm thấy từ các sách tham khảo hoặc mạng Internet) Lời

giải được trình bày dưới đây là hoàn toàn mới mẻ và của chính người viết sáng kiến này.

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD);

AB = SA = 1; Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểmcủa BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Do đó: Vậy

Nhận xét: Bài toán 1 có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy(dựng đường thẳng qua đỉnh, song song với SA) ta tính thể tích khối tứ diện ANIB mộtcách trực tiếp, rõ ràng, đơn giản hơn nhiều so với phương pháp cổ điển (tính gián tiếp,trừu tượng, khó khăn và phức tạp hơn)

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao

SO Mặt bên tạo với đáy góc Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy góc cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của

AB, CD Khi đó góc giữa (SAB) và

(ABCD) là bằng 60 , suy ra SHK là

tam giác đều cạnh a, suy ra SO=

Gọi I là trung điểm của cạnh SK, suy ra góc giữa (P) và (ABCD) là bằng 30 ,suy ra IH nằm trong mặt phẳng (P)

M, N, I thẳng hàng ( M, N, I cùng thuộc (P) và (SCD) )

Ta lại có:

M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD

Bây giờ ta sẽ thực hiện các yêu cầu của bài toán bằng phương pháp tọa độ:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là gốc tọa độ, tia OC tia Ox, tia OD tia Oy,

tia OS tia Oz Khi đó: O , A , C , B ,

a) Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD

Tính góc giữa AN với (ABCD):

Nhận xét: Bài toán 2 có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy

(vẽ đường thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đôi một vuông góc tại đỉnh đó)

Bài 3: Cho tứ diện SABC có đáy là ABC vuông cân tại B, AB = a,

và SA= a tại H, tại

Ta có  nên qua B vẽ đường thẳng

vuông góc với (ABC) (đường thẳng này

song song với SA)

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với , , , ,

Ta có tam giác ABS cân tại A và AH vuông góc với SB tại H H làtrung điểm của cạnh SB

b) Gọi I = HK Chứng minh B là trung điểm của CI

Ta có : Phương trình của BC là và phương trình của HK là

Thay x, y, z ở phương trình của HK vào phương trình của BC ta được t =

là trung điểm của đoạn CI

c) Tính sin của góc giữa SB và (AHK)

SB có VTCP là và (AHK) có VTPT là

Gọi là góc giữa SB và (AHK) Ta có :

d) Giả sử mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có phương trình :

Thay lần lượt tọa độ các điểm S, A, B, C vào phương trình trên

ta có :

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có tâm I và bán kính R =

Bài 4 (ĐH khối A-2012) : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.

Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao choHA=2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính thể tích củakhối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Giải :

Ta có là góc giữa SC và (ABC), suy ra = 60

Gọi D là trung điểm của cạnh AB

Nhận thấy : DC tại D nên ta dựng

đường thẳng qua D và vuông góc với mặt

phẳng (ABC), đường thẳng này song song

với SH Khi đó : chọn hệ trục tọa độ Oxyz

Nhận xét : So với đáp án chính thức khi tính d(SA,BC) phải vẽ thêm các yếu tốvào hình với những lí luận về quan hệ song song, vuông góc thì lời giải bằng phươngpháp tọa độ dễ định hướng hơn, đơn giản hơn với mọi tính toán chỉ bằng công thức.

Bài 5 (ĐH khối A-2013): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông

tại A, = 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tínhtheo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Giải :

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH

Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH

Ta có :

Do đó V

Nhận thấy nên qua A vẽ

đường thẳng vuông góc với (ABC)

(đường thẳng này song song với SH)

Khi đó :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ,

ta có :

Nhận xét : Nếu so với đáp án chính thức trong việc tính thì lời giải nàytrực tiếp hơn, rõ ràng hơn, dễ định hướng hơn (đáp án chính thức tính thôngqua việc tính tỉ số ).

Bài 6 (ĐH khối B-2013): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SCD)

Giải :

Gọi H là trung điểm của AB

và

Mà (SAB) vuông góc với (ABCD)

theo giao tuyến AB, nên SH

Do đó V

Bây giờ ta tính khoảng cách từ điểm A

đến mặt phẳng (SCD) bằng phương

pháp tọa độ :

Gọi K là trung điểm của cạnh CD Chọn

hệ trục tọa độ Oxyz với H là gốc tọa độ,

tia HB tia Ox, tia HK tia Oy,

tia HS tia Oz Khi đó :

, B

có phương trình :

Vậy

Nhận xét : Bài toán 6 có thể được tọa độ hóa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy (dựngđường thẳng qua đỉnh, song song với SH).

MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG

1. Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có = 2

và các đường trung tuyến BB’, phân giác trong CC’ Các mặt phẳng (SBB’), (SCC’) cùngvuông góc với mặt đáy Góc giữa (SB’C’) và mặt đáy là 600 và B’C’ = a Tính thể tích khốichóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SBC đến đường thẳng B’C’ theo a

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O Các mặtbên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) Cho AB = a, SA = a Gọi H, K lầnlượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính thể tích khối chóp O.AHK