áp dụng phương pháp tọa độ giải các bài toán hình học không gian

Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ S GIÁO DC&ÀO TO TNH LÀO CAI TRNG THPT-DTNT LÀO CAI 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ÁP DNG PHNG PHÁP TA  VÀO GII CÁC BÀI TOÁN HÌNH HC TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên thc hin: Trn Xuân Mai T : Toán – Lý – Tin - CN Nm hc: 2010 - 2011 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ MC LC Trang PHN 1: M U 3 1. Tính cp thit ca đ tài 3 2. Tình hình nghiên cu…………………………………………………….2 3. Mc đích nghiên cu 3 4. Nhim v nghiên cu 3 5. Phng pháp nghiên cu 4 6. Phm vi và đi tng nghiên cu……………………………………… 3 PHN 2: NI DUNG 4 CHNG 1: C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN 5 1.1. Các khái nim 5 1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. 9 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ 10 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 10 CHNG 2: H THNG BÀI TP Error! Bookmark not defined. Bài toán 1 17 Bài toán 2……………………………………………………………….18 Bài toán 3……………………………………………………………….19 Bài toán 4 20 Bài toán 5……………………………………………………………….20 Bài toán 6……………………………………………………………….22 Bài toán 7……………………………………………………………….22 Bài toán 8 23 KT LUN Error! Bookmark not defined. TÀI LIU THAM KHO Error! Bookmark not defined. 2 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ PHN 1: M U 1. Tính cp thit ca đ tài: Hình hc là mt môn hc khó có tính h thng, cht ch, logic và trìu tng. c bit là phn hình hc không gian (HHKG).  gii mt bài toán HHKG đòi hi hc sinh phi có nhiu k nng, nm kin thc tht chc và vng. Vi mt bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiu cách gii khác nhau, có th là phng pháp tng hp (PPTH), phng pháp véc t hay phng pháp to đ trong đó có mt phn ln các bài toán hình hc không gian có th gii bng phng pháp to đ (PPT). Vi nhng bài toán đó thì PPT cho ta cách gii rt nhanh chóng và d dàng hn nhiu so vi PPTH. PPT cho ta li gii mt cách chính xác, tránh đc các yu t trc quan, các suy din phc tp ca PPTH và là phng tin hiu qu đ gii các bài toán hình hc. Vì vy, trong nhng nm gn đây PPT đc xem là ni dung trng tâm ca chng trình toán trung hc ph thông. Xut phát t bn thân mun hc hi, tìm tòi, nghiên cu sâu hn v gii các bài toán HHKG bng phng pháp ta đ, vi mong mun bn thân có đc kin thc vng hn v phn này đ phc v ging dy và giúp hc sinh có phng pháp ti u đ gii quyt các bài tp HHKG vn phc tp, tôi đ chn chuyên đ: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ". 2. Tình hình nghiên cu: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi là phng pháp mi, mt s bài tp trong SGK, SBT HH12 đã yêu cu hc sinh gii bng PPT, tuy nhiên vic vn dng phng pháp này đ gii các bài toán HHKG vn là vn đ khó vi các em hc sinh. Nhiu đng nghip đã nghiên cu đ tìm li gii cho bài toán này nhng cha tng hp mt cách có h thng. 3. Mc đích nghiên cu : Chuyên đ "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" đc nghiên cu vi mc đích: ̇ Cho hc sinh thy đc s tng đng gia HHKG và hình hc gii tích trong không gian. ̇ Giúp cho hc sinh có thêm phng pháp đ gii mt bài toán HHKG. ̇ Nghiên cu sâu hn v HHKG làm tài liu tham kho cho hc sinh và giáo viên. 4. Nhim v nghiên cu : Chuyên đ đc nghiên cu vi hai nhim v: a, Nghiên cu lý lun chung: 3 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ - C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian. - Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. - Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. - Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. b, H thng bài tp minh ha. 5. Phng pháp nghiên cu: Chuyên đ đc nghiên cu vi phng pháp nghiên cu lý lun các tài liu các tài liu có liên quan và các bài tp minh ha. 6. Phm vi và đi tng nghiên cu: - Các bài toán HHKG lp 11, lp 12 - i chng và thc nghim vi lp bi dng ôn thi đi hc và cao đng ca nhà trng nm hc 2010 – 2011. 4 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ PHN 2: NI DUNG CHNG I C S LÍ LUN CA KHÔNG GIAN VÀ PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN 1.1. Các khái nim 1.1.1. nh ngha Không gian clit là không gian liên kt vi không gian véc t clit hu hn chiu. Không gian clit s gi là n chiu nu không gian véct clit liên kt vi nó có s chiu bng n. Không gian clit thng đc kí hiu là E, không gian clit liên kt vi nó đc kí hiu là . E ur 1.1.2. Mc tiêu trc chun Mc tiêu afin { } ur uuruur 12 n O,e ,e , ,e ca không gian clit n chiu E n gi là mc tiêu trc chun (hay h to đ  các vuông góc), nu c s ε = { } ur uuruur 12 n e ,e , ,e ca uu là c s trc chun, tc r n E i j i j e.e δ = u urur , ij 0 nÕu i j 1 nÕu i = j δ ≠ ⎧ = ⎨ ⎩ 1.1.3. i mc tiêu trc chun Cho hai mc tiêu trc chun { } 12 n O,e ,e , ,e u ruuruur (I) và { } 12 n O ,e ,e , ,e ′′′ ur uuruur (II) ca không gian clit n chiu E n . { } 12 n e ,e , ,e u ruuruur sang c s Gi C là ma trn chuyn t c s ε = {} 12 n e ,e , ,e ′′ ′ ur uuruur ε ′ = . Các c s đó đu là c s trc chun nên C là ma trn trc giao cp n. Khi đó, công thc đi mc tiêu trc chun là : x = Cx ′ + a Vi C.C t = I n , a là ma trn ct to đ ca gc O ′ đi vi mc tiêu (I). x, x là hai ma trn ct to đ ca cùng mt đim đi vi mc tiêu th nht và th hai. ′ 1.1.4. H to đ  các vuông góc thun, nghch 5 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ Vi 2 mc tiêu trc chun (I) và (II)  trên. Ta quy đnh c s { 12 n e ,e , ,e ur uuruur } ca mc tiêu trc chun (I) là thun. ε = Khi đó nu ma trn chuyn t c s (I) sang c s (II) có đnh thc là dng thì h to đ  các vuông góc là thun, ngc li có h to đ là nghch. Trong toán hc ph thông, ta ch xét h to đ  các vuông góc Oxyz thun. 1.1.5. To đ ca véc t đi vi h to đ Trong h to đ ?các vuông góc Oxyz cho véc t tu ý . Vì 3 véc t v r i, j , k rruur không đng phng nên tn ti duy nht b s (x, y, z) sao cho vx.i yj zk=++ rrr r th (x, y, z) đc gi là to đ ca . Kí hiu: v r ( ) ( ) v x,y,z hoÆc v x,y,z= rr . 1.1.6. To đ ca đim đi vi h to đ Trong h to đ  các vuông góc Oxyz cho đim M bt kì. Khi đó: To đ ca cng là to đ ca đim M. Nh vy nu OM uuuur ( ) OM x;y;z= uuuur tc là OM x.i y j zk = ++ uuuurrr r thì b ba s (x; y; z) là to đ ca đim M. Kí hiu: ( ) ( ) Mx; y ;z hoÆc M x; y ;z= 3 1.1.7. Ta xét trong E có các tính cht 1. Cho a0, b≠ r rr a r bka = r r cùng phng sao cho . k ⇔ ∃ a,b r r 2. Cho không cùng phng, c r đng phng vi và sao cho: . a r b r k,l⇔∃ ckalb=+ rr r 3. Cho a,b,c r rr không cùng phng vi d r . Khi đó tn ti duy nht d r xa y bzc + + r rr = . (x; y; z) sao cho: 4. G là trng tâm ABC :Δ GA GB GC 0; ⇔ ++= u uur uuur uuur ur ( ) 1 OG OA OB OC 3 =++ uuur uuur uuur uuur Vi mi O thì 5. G là trng tâm t din ABCD thì: GA GB GC GD 0 + ++= uuur uuuruuuruuurr ( ) 1 OG OA OB OC OD 4 =+++ uuur uuur uuuruuuruuur Vi mi O thì 1 ≠ ) thì: 6. im M chia đon thng AB theo t s k (k MA kMB = u uuur uuur 6 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ OA kOB OM 1k − = − u uur uuur uuuur Vi mi O thì 7. Cho ( ) ux; y ;z= r ( ) v x ;y ;z ,k ′′′ = ∈ r ฀ và ta có: uv xx; yy ;z z. ′ ′′ = ⇔= = = rr ̇ ( ) uv xx; yy ;z z ′ ′′ ± =± ± ± rr . ̇ ( ) ku kx;k y ;kz .= r ̇ u.v x.x y . y z.z . ′′ =++ rr ′ 2 ̇ ̇ = 2 u uur 22 x y z.++ Do đó: 22 uxyz=++ 2 r ( ) 222 2 2 xx yy zz cos u;v xyz x y z 2 ′ ′′ + + = ′ ′′ +++ + + rr ̇ ̇ u v u.v 0 xx yy zz 0. ′′′ ⊥⇔ =⇔ + + = rr rr u,v c c v,c u ⎡⎤ = ⇒⊥ ⊥ ⎣⎦ r rrrrrr và Tích có hng ca 2 vec t y zz xx y cu;v ; ; ; y zz xx y ⎛⎞ ⎡⎤ == ⎜⎟ ⎣⎦ ′ ′′ ′′ ′ ⎝⎠ rrr cùng phng u,v rr u,v 0 ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ r r . () a,b a . b .sin a,b . ⎡⎤ = ⎣⎦ rr r r rr đng phng a,b,c rrr a,b .c 0 ⎡⎤ ⇔= ⎣⎦ r rr ABC 1 SAB,A 2 Δ ⎡⎤ = ⎣⎦ uuuruuur C h×nh hép ABCD.A B C D VAB,A ′′′′ ⎡⎤ D.AA ′ = ⎣⎦ uuur uuur uuuur 8. Trong không gian vi h to đ Oxyz nu véc t và véc t a r b r là hai véc t không cùng phng và các đng thng cha chúng song song vi (hoc nm trên) mt mt phng ( ) α thì véc t: là mt véc t pháp tuyn ca mt phng na,b ⎡ = ⎣ rrr ( ) α ⎤ ⎦ Nu là mt cp véc t ch phng ca mt phng a,b rr ( ) α thì là mt véc t pháp tuyn ca na,b ⎡ = ⎣ rrr ⎤ ⎦ ( ) α . 9. a. Phng trình tng quát ca mt phng có dng: 7 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ( ) 222 Ax B y Cz D 0 A B C 0+++= ++≠ trong đó: ( ) nA,B,C= r là véc t pháp tuyn ca nó. b. Phng tnh theo đon chn ca mt phng có dng: xyz 1 abc + += Mt phng đó ct các trc Ox, Oy, Oz ln lt ti các đim (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c). 10. a. Phng trình tng quát ca đng thng: 222 222 A:B:C A :B :C Ax By Cz D 0 víi A B C 0 Ax By Cz D 0 ABC 0 ′ ′′ ≠ ⎧ +++= ⎧ ⎪ ++≠ ⎨⎨ ′′′′ +++= ⎩ ⎪ ′′′ + +≠ ⎩ b. Phng trình tham s ca đng thng: 0 222 0 0 xx at y y bt víi a b c 0 zz ct =+ ⎧ ⎪ =+ ++≠ ⎨ ⎪ =+ ⎩ Vi (x 0 , y 0 ,z 0 ) là ta đ ca 1 đim thuc đng thng và (a; b; c) là véc t ch phng ca đng thng. u = r c. Phng trình chính tc ca đng thng: () 222 000 xx yy zz abc0 abc − −− == ++≠ 11. ( ) ( ) 0000 M x ;y ;z vµ :Ax By Cz D 0 α + ++= a. Cho () () 000 0 222 Ax B y Cz D dM, ABC α + ++ = ++ 000 xx yy zz abc − −− == b. Cho () 1 M x;y;z vµ : Δ () 01 1 MM,u dM, u ⎡⎤ ⎣⎦ Δ= u uuuuur r r ( ) ( ) 0000 u a;b;c lµ vÐct¬ chØ p h−¬n g cña ; M x ; y ;zΔ r , M 0 ∈Δ c. Cho 000 xx yy zz abc −−− == ( )( 0000 ua;b;c; M x, ) y ,z r : Δ ; 8 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ và : ′ Δ 000 xx yy zz abc ′′′ −−− == ′′′ ; () ( ) 0000 u a ;b ;c lµ vÐct¬ chØ p h−¬n g cña ; M x , y ,z ′′′′ ′ ′′′ Δ ur , M 0 ′ ∈Δ () 00 u;u .M M d; u, u ⎡⎤ ′ ′ ⎣⎦ ′ ΔΔ = ⎡⎤ ′ ⎣⎦ r ur uuuuuur rur . 12. vµ ′ Δ Δ a. Gi ϕ là góc gia hai đng thng thì: 222 2 2 u.u aa bb cc cos u.u a b c . a b c ϕ ′ ′′′ ++ == ′ 2 ′ ′′ ++ + + rur rur b. Gi θ là góc gia đng thng Δ và mt phng () α thì: 22222 2 Aa Bb Cc ABC.abc θ ++ = ++ ++ 00 090 sin . θ ≤ ≤ ( ) ; n A;B;CΔ r ( ) u a;b;c r là véct ch phng ca là véct pháp tuyn ca () α . c. Gi γ là góc gia ( ) :Ax By Cz D 0 α + ++= và () :Ax By Cz D 0 α ′′′′′ +++= , ( ) 222 ABC0 ′′′ + +≠ 222 2 2 n.n AA BB CC cos n.n A B C . A B C γ ′ ′′′ ++ == ′ 2 ′ ′′ ++ + + rur rur . th: Trong đó n và ln lt là véct pháp tuyn ca r n ′ ur ( ) α ( ) α ′ và 13. Phng trình mt cu ()() ( ) 222 2 xa y bzc−+−+−= R 0 . có tâm I (a; b; c); bán kính R. 222 ABCD0 + +−> Hoc: vi 222 x2Axy2Byz2CzD++++++= ( ) IA;B;C ′ −−− 222 ABCD + +− bán kính R = . C? tâm 1.2. Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. ) i ; j ; k rr r Trong h to đ  các vuông góc Oxyz vi c s trc chun ( Nhng bài toán hình hc không gian có phn gi thit  nhng dng sau có th dùng phng pháp ta đ đ gii. ̇ Hình đ cho có mt đnh là tam din vuông. 9 Chuyên đ: Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ̇ Hình chóp có mt cnh bên vuông góc vi đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác đu, hình vuông, hình ch nht, ̇ Hình lp phng, hình ch nht. ̇ Hình đ cho có mt đng thng vuông góc vi mt phng, trong mt phng đó có nhng đa giác đc bit: tam giác vuông, tam giác đu, hình thoi, ̇ Khi hình đu: hình chóp đu, lng tr đu, Các dng khác nhau mà có th to đc các tam din vuông chng hn: Nu hai đng thng chéo nhau mà vuông góc, hai mt phng vuông góc. Ngoài ra, vi mt s bài toán mà gi thit không cho  nhng hình không gian quen thuc nh hình chóp tam giác đu, hình lp phng, hình ch nht, thì bng cách nhn xét tính cht song song và vuông góc ca đi tng tham gia trong hình ta cng có th thit lp đc h ta đ vuông góc. 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ ̇ Bc 1: Chn h ta đ thích hp. ̇ Bc 2: Chuyn t ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ. ̇ Bc 3: Gii bài toán bng kin thc ta đ. ̇ Bc 4: Phiên dch các kt qu t ngôn ng ta đ sang ngôn ng hình hc. * Mt vài ví d v cách chuyn ngôn ng hình hc sang ngôn ng ta đ: ̇ 3 đim A, B, C phân bit thng hàng tng đng ta đ 1 đim tha mn phng trình đng thng đi qua hai đim kia hoc AB . kAC= uuuruu ur ̇ 4 đim A, B, C, D phân bit đng phng tng đng AB,AC .AD 0 ⎡⎤ = ⎣⎦ u uur uuur uuur hoc ta đ ca mt đim tha mn phng trình mt phng đi qua 3 đim kia. ̇ 3 đng thng (có phng trình di dng chính tc) đng quy tng đng h phng trình bao gm 3 phng trình ca 3 đng thng có nghim duy nht hoc giao đim ca 2 đng thng này nm trên đng thng kia. Xác đnh khong cách, góc gia các yu t trong không gian khi chuyn sang phng pháp ta đ ch yu là dùng các công thc tính khong cách, góc gia các yu t. 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình. 1.4.1. Hình chóp tam giác 1.4.1.1. Hình chóp đu Cho hình chóp đu SABC, có 3 cách chn h ta đ là: Cách 1: 10 [...]... ng pháp giúp gi i bài toán HHKG ng n, so v i ph ng pháp t ng h p Trong khuôn kh chuyên n gi n và nhanh h n này v i mong mu n góp ph n làm sáng t s c n thi t c a vi c gi i bài toán hình h c không gian b ng ph Hy v ng chuyên pháp t a này là b c ng pháp t a u giúp h c sinh làm quen v i ph ng trong ch ng minh các bài toán trong không gian, giúp các em h c sinh hình dung c ph nào thì có th áp d ng ng pháp. .. Gi i toán hình h c không gian b ng ph 0 OO1 IK IK là AB.IK 0 AB IK AB V y ta có i u ph i ch ng minh ng pháp t a ng vuông góc chung c a OO1 và K T LU N M t bài toán hình h c có th có nhi u cách gi i, m i bài toán th tìm c m t cách gi i t i u Tr gi i t i u là m t v n c m t bài toán HHKG, tìm khó Gi i bài toán HHKG b ng PPT u có c cách là m t trong Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp. .. chuyên Gi i Bài s 2 h v i l p ôn thi H,C : , ch c ch n chuyên c s góp ý, trao i c a các và a ra còn nh ng thi u sót R t mong ng nghi p chuyên c hoàn thi n h n TÀI LI U THAM KH O 1 Lê Quang Ánh, Tr n Thái Hùng (1999) - 360 bài toán ch n l c hình h c không gian - NXB ng Nai Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 2 Nguy n Ti n Quang, Ph m Kh c Ban (2002)- Toán nâng cao hình h c 11... bài toán nh th c bi t cho h c sinh th y c m i quan h gi a HHKG và hình h c gi i tích trong không gian và có h ng thú h n v i b môn hình h c * K t qu c bi t là các bài toán HHKG i ch ng và th c nghi m chuyên K t qu (Tr Bài ki m tra i ch ng K t qu th c nghi m c khi th c hi n chuyên TB ) Gi i Khá 0% Bài s 1 Y u Khá TB ) 7,6% 20,0% 71,4% Y u 15,3% 38,5% 25,7% 20,5% Do l n u h th ng các d ng toán HHKG áp. .. : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 1.4.2.2 Hình chóp SABCD có SA (ABCD) Các tr ng h p c a áy: a áy là hình ch nh t ho c là hình vuông Cách ch n h tr c t a là : O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AS z S A D B y C x z b áy là hình thang vuông t i A và B (t ng t t i C, D) Cách ch n h t a là: O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AS S A D y B C x c áy là n a l c giác u Ch n h t a nh hình v... giác cân t i A C A I B x y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph Có 2 cách ch n h t a : Cách 1: O A; tia Ox tia Ax; tia Oy Ax (ABC) và Ax AI AI, I - là trung i m BC; tia Oz C' A' B C AA'; Cách 2: BC; O B; tia Ox Ax; tia Oy BB'; Bx (ABC); Bx tia Oz BC z B' ng pháp t a y z x A' c áy là tam giác u B' Có 3 cách ch n: Cách 1 và cách 2 gi ng tr ng h p b Cách 3: O tâm áy; tia Ox OB; tia Oy tia qua... ch t c a áy thi t l p h t a thích h p 17 D C y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a CH NG 2 H TH NG BÀI T P Bài toán 1: Cho t di n OABC có góc tam di n nh O là tam di n vuông OA = OB = OC = 1 G i M, N l n l t là các trung i m các c nh AB, OA Ch ng 1 minh kho ng cách gi a OM và CN là d OM,CN 3 L i gi i Ch n h to Oxyz nh hình v , khi ó: 1 1 1 O(0, 0, 0); A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0,... 1.4.1.2 Hình chóp SABC có áy SA vuông góc v i áy ABC Các tr ng h p c a áy: 11 B Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a * Tr ng h p 1: áy là tam giác vuông t i A Cách ch n h t a là: O A; tia Ox AB; tia Oy AC; tia Oz AS z S A C B y x * Tr ng h p 2: áy là tam giác cân t i A : z S C? hai cách ch n h t a Cách 1: O A; tia Ox tia Ax; Ax (ABC) và tia Ax AC tia Oy AC; tia Oz AS Cách này c ng áp. .. ng chi u x v i tia AA' 1.4.3.2 L ng tr t giác L ng tr ng ABCD.A'B'C'D' Các tr ng h p c a áy a áy là hình ch nh t (khi ABCD.A'B'C'D' là hình ch nh t) Có hai cách ch n h t a là: Cách 1: O A; tia Ox AB; tia Oy AD; tia Oz AA' 16 C' A A C O y z A' B' D' C' A ó D B x C y z A Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a B Cách 2: O tâm áy tia Ox tia i qua O có cùng ph ng chi u v i tia D C ,... d áy là hình thoi O A; Ox Ax; Oy AC; Oz Ax (ABC) và Ax AC D AS; O A C x 14 B y Chuyên : Gi i toán hình h c không gian b ng ph ng pháp t a 1.4.2.3 Hình chóp SABCD có áy ABCD ABCD, tâm O, SO + N u ABCD là hình vuông thì có ba cách ch n to Cách 1: O tâm áy; tia Ox tia qua O có cùng ph ng chi u v i tia DC, tia Oy trùng v i tia qua O có cùng ph ng chi u v i tia BC, tia Oz OS z S A D O y B x z Cách 2: . Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ - C s ca không gian và phng pháp to đ trong không gian. - Du hiu nhn bit mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta. "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ". 2. Tình hình nghiên cu: "Gii toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ" không phi là phng pháp mi, mt s bài. mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ. 9 1.3. Các bc gii mt bài toán hình hc không gian bng phng pháp ta đ 10 1.4. Cách chn h ta đ đi vi mi loi hình.