hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải toán hình học giúp học sinh giải đúng một số bài toán hình học liên quan

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS.. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thứ

PHẦN I MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ,giúp học sinh hoạt động

có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất

Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm, mà cả phương pháp suy diễn lôgic Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh Toán học ra đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn Toán học còn hình thành và hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,… Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện toàn diện hơn Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ năng:

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán để giải các bài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đơì sống, kỹ năng đo đạc, tính toán,sử dụng biểu đồ, sử dụng máy tính…

Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau Kỹ năng thứ nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh Trong đó việc trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên để có một lời giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán

Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ, là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát triển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này

và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với

đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế.Vì vậy với trình

bày của đề tài “Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải toán hình học

giúp học sinh giải đúng một số bài toán hình học liên quan” là một nội dung

tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ

II Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu mong muôn sẽ giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm

đã nêu về toán học từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối

ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em

Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ thêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến thức này cho học sinh Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phương pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ

III Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

- Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?

- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết

những vấn đề liên quan

- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan, học sinh thường gặp những

khó khăn và sai lầm nào?

- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ

năng giải quyết các vấn đề liên quan?

- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?

IV Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:

- Các dạng toán về và phương pháp giảng dạy toán để giúp nâng cao hứng thú

và kết quả học tập của học sinh

- Học sinh lớp trường THCS XXX

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…) Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và

đi đến kết luận

Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán

PHẦN II NỘI DUNG

A Các bước tiến hành.

1 Điều tra:

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau:

- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 8B trường THCS Vân Đồn, năm học 2010-2011

- Tổng số học sinh được điều tra: 25 em

- Thống kê điều tra như sau:

01 Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải Toán THCS có: 10 em chiếm 40 %

02 Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong giải toán THCS có: 6 em chiếm 24%

03 - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một

số bài toán trong chương trình toán lớp 8 gồm có: 4 em chiếm 16%

04 Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có

vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 16 em chiếm 64 %

05 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 0 em chiếm 0%

2 Quá trình thực hiện:

2.1 Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.

01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:

Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán Muốn vậy

nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời

câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?" Nếu

"không" nên loại bỏ ngay

02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:

Đường phụ thườngthỏa mãn các tính chất nào đó , việc lựa chọn đường phụ là rất quan trọng.Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

04.Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.

- Đường phụ là điểm:

- Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:

- Đường phụ là đường tròn:

2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ :

Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì ? và vẽ từ đâu ?

01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán

02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định

lý để giải quyết bài toán

03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán

04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

05 Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán

2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:

01 Dựa vào các bài toán đã biết:

Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học , học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng

rồi từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc

Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài một đoạn

BD = AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC CMR: CE = CD

Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ

Phân tích:

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE=CM hoặc CE=DM Chọn CE = CM

Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được

 EBC =  MBC thì ta có được CE=CM là điều phải chứng minh

Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh  EBC =  MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c

Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta

có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:

- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào?

- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh điều gì?

A

C

M D

B E

- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?

02 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan

hệ để giải quyết bài toán:

Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến

Ví dụ2: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh

CD và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho BNM 90   0 Gọi F là điểm đối xứng của A qua N, chứng minh:FB  AC

Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh

Phân tích:

Ta thấy BFClà một góc của BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180O thì có FBC BCF BFC 180       0 , nhưng ta chưa thể tính được FBC BCF    bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc BFC Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh

- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểm của đoạn thẳng , ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toán này bằng cách nào?

Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các

em có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy

Liệu BF có là đường cao của  BNC được không?

Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh

BF đi qua điểm nào đặc biệt trong tam giác?

C

M

D A

I K

F N

Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của BNC

Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE  BC tại E

Gọi giao điểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh được

CI // MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MNBN) tức CI là một đường cao của  BNC Vậy I là trực tâm của  BNC (Vì I  NE  CK) Do đó suy ra điều phải chứng minh là: BF  AC

Tóm lại việc kể thêm NE BC tại E là nhằm tạo ra điểm I  NE  BF

để chứng minh I là trực tâm của  BNC

Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi

mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụng những câu hỏi như:

- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gì của  BNC?

- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của BCN thì ta phải có điểm nào?

- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với một đường cao của  BNC?

- Với NE là đường cao của  BNC và NE  BF tại I, ta phải chứng minh

I là điểm có tính chất gì?

Ví dụ3: Cho ABC M là 1 điểm bất kỳ trong  Nối M với các đỉnh A, B,

C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ tại K và H

Chứng minh rằng: MK = MH

Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả Ta chú ý đến giả thiết của bài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết của định lý nào gần với nó nhất?

Câu trả lời mong đội ở đâylà định lý Talet

- Ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ ?

- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’,BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải như sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q Theo định lý Talét

MH CA MQ BC MP BA

MP CB MK BA MQ CA

' '

MH MQ MP CA CB BA

MP MK MQ CB BA CA

03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ

Ví dụ 4: Cho ABC có A 2 B Chứng minh rằng:

BC2 = AC2 + AC.AB

Hướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ?

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này , ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo ra được các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được

- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng

- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng

K H

M A

A'

B' C'

BC AC AC AB BC AC AC AB

Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB+AC

-Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB

? Nên đặt dựa trên điểm nào ? Chọn đặt kề cạnh nào để vận dụng được giả thiết A 2B ?

Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng AB

Từ đó ta có lời giải

Giải:

Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB

Khi đó ABC cân tại A nên:

 2  2 

BAC  ABD ADB

Xét ABC và BDC có:  1 

2

BDC ABC BAC

C chung nên ABC đồng dạng với BDV (g.g)

AB AC AC

AB AC AC AD AC AC CD AC BC

BC

AC

CD

BC

)

( )

(

2





















Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh

mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học

2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải

Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac

tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4

Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A Đường cao BH

D

A