SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việcphát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.. Với việc phân dạng được các bài toán hình

các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc

phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

1.2- Cơ sở thực tiễn:

Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thaotác tư duy Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật pháttriển Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụngviệc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ vềbài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này Tuy nhiên trong các bàitập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thìcác bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rấtnhiều thời gian nghiên cứu Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giảibài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít Còn đối với đa số học sinh

một số loại đường phụ là còn rất hạn chế Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũngrất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.

Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên

để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêmđường phụ

2 MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻthêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiếnthức này cho học sinh Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sửdụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điềukiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phươngpháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêmđường phụ

II NỘI DUNG

A CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH.

1 ĐIỀU TRA:

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có

kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau:

- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 7A, 8A trường THCS Liên Mạc A, năm học2010-2011

- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 15/09/2010

- Tổng số học sinh được điều tra: 78 em

- Thống kê điều tra như sau:

01 Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giảiToán THCS có: 39 em chiếm 50 %

02 Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng tronggiải toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%

03 - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bàitoán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%

04 Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽthêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %

05 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bàitoán tương đối khó : 0 em chiếm 0%

02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được.

03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ:

Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ làrất quan trọng Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khácnhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau

04 Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS.

a) Đường phụ là điểm:

Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ sốthích hợp

Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn

b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng:

- Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xácđịnh

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước

Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khácmột góc bằng góc cho trước

- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước

- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung

- Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm.

Vẽ tia đối của một tia

Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao)

c) Đường phụ là đường tròn:

- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có

- Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có

- Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác

Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phân dạngđược các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ

03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan

hệ để giải quyết bài toán.

04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.

05 Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán.

2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:

01 Dựa vào các bài toán đã biết:

Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinhnghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽđường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc

Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy trên AB kéo dài một đoạn

BD = AB Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC CMR: CE = CD

Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ

Phân tích:

Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD

Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong cáccách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạnthẳng bằng nhau

Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE

=CM hoặc CE = DM Chọn CE = CM

Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được:

∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh

Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c

Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:

A

C M

D

B E

- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tamgiác nào?

- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minhđiều gì?

- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?

Ví dụ 2: Bài tập 38 SGK lớp 7 tập 2 trang 73

Cho hình vẽ

a Tính góc KOL

b Kẻ IO, hãy tính góc KIO

c Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?

Đứng trước bài toán này tôi hướng dẫn học sinh như sau:

Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểmcủa 2 đường phân giác góc B và góc C

Nên có 2 cách giải câu a) khác nhau sau:

Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOL

∠ = − + nhưng KO, LO lần lượt là tia phân giác góc B,góc C nên

Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nên

ta kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giácLOI

62 0

LI

K

O

D

1 2

1 2

thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy

(Sách giáo khoa – Toán 8 tập 2)

ở SGK người ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đường thẳng song song với ACcắt AD tại E

Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ như vậy?

Nếu không kẻ thì có chứng minh được không?

- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?

Câu trả lời mong đợi:

- Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số bằng nhau) và tạo được hai

đoạn thẳng bằng nhau (dựa vào tam giác cân)

Tôi tự hỏi và cùng đưa ra cho học sinh cùng tháo gỡ

Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh được định lí không?

Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACB

Để ∆AEB~ ∆ADC suy ra tỉ số và ∆BEDcân tại B

Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E

A

CE

Hình 1

- Khi đó phải chứng minh được

Tam giác ABE cân tại A

- Khi BE//AD vận dụng định lí Te lét

Cách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD

- Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF

- Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFC

Cách 5: Dựa vào diện tích

E

Fx

Cách 9: Tại B và C kẻ Bx⊥BA Cy, ⊥CA chúng cắt nhau tại K

Từ kẻ Bz//AD cắt Cy tại G, AD cắt Cy tại F

Với các cách giải trên tôi tìm hướng khai thác định lí này:

Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200, phân giác góc A căt BC tại D

02 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan

hệ để giải quyết bài toán:

Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh cácđường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tamgiác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến

Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD

và N là một điểm trên đường chéo AC sao cho BNM 90· = 0 Gọi F là điểm đối xứng của

Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các em

có thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy

Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC được không?

Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF điqua điểm nào đặc biệt trong tam giác?

Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC

Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E

F

C

M

D A

B E

I K

Gọi giao điểm của NE với BF là I Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI //

MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN (Vì MN⊥BN) tức CI là một đường caocủa ∆ BNC

Vậy I là trực tâm của ∆ BNC (Vì I ≡ NE ∩ CK) Do đó suy ra điều phải chứngminh là: BF ⊥ AC

Tóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF đểchứng minh I là trực tâm của ∆ BNC

Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mởcho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn có thể sử dụng những câuhỏi như:

- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gìcủa ∆ BNC?

- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có điểmnào?

- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với mộtđường

Đây là một bài toán tương đối khó với học sinh

? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả Ta chú ý đến giả thiết củabài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song Giả thiết của định lý nào gần với

nó nhất?

Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet

- Ở đây KH // BC Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ?

- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC

- Cần phải xác định thêm các điểm nào?

- Điểm P và Q là giao của KH với AB và AC

Ta có lời giải như sau

Giả sử HK cắt AB, AC tại P, Q

Ta có: Theo định lý Talét

MK MH MK

MH

CA

BA BA

CB CB

CA MQ

MP MK

MQ MP

MH

CA

BA MQ

MP

BA

BC MK

MQ

CB

CA MP

'

' ' ' '

03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó Chứng minhrằng OA + OC < AB + BC

Hướng dẫn:

- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thứccần chứng minh ?

- Bài này áp dụng bất dẳng thức của tam giác hay không?

- Nếu được ta phải bắt đầu từ đâu?

K H

M A

A'

B' C'

Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinh

Tìm hướng chứng minh

áp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có:

∆ABC cã AB BC AC mµ AC OA OC+ > < +

Vậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hướng giải

Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ Kẻ thế nào đây?

Kẻ BO hay kéo dài CO

Những câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn

Từ đó ta dùng phương pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại M

GiảiXét tam giác AOM có OA < OM + MA

Muốn có vế bên trái ta chỉ việc cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên,

ta có: OA + OC < OM + MA + OC

hay OA + OC < CM + MA (1)Xét tam giác MBC có: MC < MB + BC muốn tìm vế bên trái của (1) ta cộng hai vếcủa MC < MB + BC với MA,

OA + OB < AC +BC (b)

OB + OC < AB +AC (c)

Vì thế cộng vế với vế của (a), (b) và (c) ta được:

OA + OB + OC < AB + BC + AC

Và một điều hiển nhiên ta có bài toán sau:

Gọi điểm O là một điểm nằm trong tam giác ABC

AB BC CA+ +

A

M

Ví dụ 6: Cho ∆ABC có µA=2µB Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB

Hướng dẫn:

- Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thứccần chứng minh ?

Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,

ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo rađược các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được

- Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?

Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng

- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vàotam giác đồng dạng BC2 =AC2 +AC AB ⇐BC2 = AC AC AB( + )

Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh

hệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằngAB+AC

- Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB mộtdoạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB

? Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng được giả thiết

Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = AB

Khi đó ∆ABC cân tại A nên:

AB AC AC AD

AC AC CD AC BC

BC

AC CD

BC

)

( )

Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻthêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh màphải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toánrồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể.Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giảicác bài toán hình học

2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải

Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác

ABC và ABD lần lượt là 3 và 4

Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A Đường cao BH

− với p là nửa chu vi của tam giác ABC.

Bài 5 :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N

sao cho OM +ON = 2a không đổi

a ) Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định

b ) Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất

Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm củaBC;AC

và AB Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh các

Bài 7: Cho đường tròn (O) và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC

bất kỳ Gọi (P) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại B

(Q) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với (O) tại C

a) Tứ giác APOQ là hình gì ?

b) Gọi giao điểm thứ hai của (P) và (Q) là E; (E ≠A)

Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A

Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho

OP + OQ = 2011 Vẽ đường tròn (P; OQ) và (Q; OP)

a) Chứng minh hai đường tròn (P) và (Q) ở trên luôn cắt nhau

b) Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (P) và (Q) chứng minh đường

thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH Đường trung trức AB cắt BCtại M và cắt đường vuông góc BC ở B tại P Gọi PC cắt AH tại E

a) Chứng minh rằng: E là trung điểm của AH

b) Chứng minh AH.PM2 = 2PB.MB2

(Đề thi HSG lớp 9 Phòng GD Mê Linh năm 2008-2009)

Bài 10: Cho tam giác ABC (AB < AC) Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đườngthẳng vuông góc với tia phân giác của BAC, đường thẳng đó cắt các tia AB và ACtheo thứ tự ở M và N

a) Chứng minh tam giác AMN cân

b) Chứng minh BM = CN

c) Cho AB = c, AC = b Tính AM và BM theo c và b