SKKN HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

=================================================================== I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG 1. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 1.1- Cơ sở lý luận: Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốt các bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh. 1.2- Cơ sở thực tiễn: Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thao tác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật phát triển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ về bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thì các bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ. Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về =================================================================== 1 =================================================================== một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêm đường phụ. 2. MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻ thêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiến thức này cho học sinh. Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phương pháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêm đường phụ. II. NỘI DUNG A. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH. 1. ĐIỀU TRA: Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau: - Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 7A, 8A trường THCS Liên Mạc A, năm học 2010-2011. - Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 15/09/2010. - Tổng số học sinh được điều tra: 78 em. =================================================================== 2 =================================================================== - Thống kê điều tra như sau: 01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 % 02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng trong giải toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%. 03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bài toán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%. 04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 % 05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 0 em chiếm 0% 2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu cầu khi vẽ (dựng) các đường phụ. 2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ. 01- Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳ tiện (cho dù là mày mò, dự đoán) vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mục đích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay. =================================================================== 3 =================================================================== 02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xác định được. 03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ là rất quan trọng. Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khác nhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau. 04. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ở chương trình THCS. a) Đường phụ là điểm: Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số thích hợp. Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn. b) Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: - Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý. - Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định. - Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác định. - Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xác định. - Dựng đường phân giác của một góc cho trước. Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước. - Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước. - Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung. =================================================================== 4 =================================================================== - Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm. Vẽ tia đối của một tia Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao) c) Đường phụ là đường tròn: - Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có - Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có - Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giác Trên cơ sở, các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ, giáo viên cần phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ. 2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ: Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì? và vẽ từ đâu? 01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán. 02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý để giải quyết bài toán. 03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quan hệ để giải quyết bài toán. 04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng. 05. Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tương đương để giải quyết bài toán. 2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ: =================================================================== 5 =================================================================== 01. Dựa vào các bài toán đã biết: Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinh nghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽ đường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc. Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD. Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ. Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD. Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong các cách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE =CM hoặc CE = DM. Chọn CE = CM. Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được: ∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh. Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.c Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: =================================================================== 6 A C M D B E =================================================================== - Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? Ví dụ 2: Bài tập 38 SGK lớp 7 tập 2 trang 73 Cho hình vẽ. a. Tính góc KOL b. Kẻ IO, hãy tính góc KIO c. Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao? Đứng trước bài toán này tôi hướng dẫn học sinh như sau: Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểm của 2 đường phân giác góc B và góc C Nên có 2 cách giải câu a) khác nhau sau: Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOL Góc 0 180 ( )KOL OKL OLK∠ = − + nhưng KO, LO lần lượt là tia phân giác góc B, góc C nên 0 0 1 180 ( ) 180 ( ) 2 KOL OKL OLK B C∠ = − + = − ∠ + ∠ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 180 (180 ) 90 90 62 121 2 2 2 A A= − − ∠ = + ∠ = + = Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nên ta kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giác LOI =================================================================== 7 62 0 L I K O D =================================================================== 1 2 KOD OKI KIO IKL KOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ 1 2 LOD OLI LIO ILK LOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ( )KOL DOK DOL OKI OLI OIK OIL∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠ 0 0 1 1 1 ( ) (180 ) 90 2 2 2 KOL K L I I I I∠ = ∠ + + ∠ = − ∠ + ∠ = + ∠ 0 0 0 90 31 121KOL∠ = + = Nội dung ở đây tôi đề cập đến vấn đề kẻ đường phụ IO Khai thác thêm a, Nếu quay OI thành qua O kẻ đường thẳng song song với KL cắt IK tại E cắt IL tại F Chứng minh rằng EF = KE + LF b, Hoặc gợi mở điểm O nằm trong tam giác thì 0 1 90 2 KOL I∠ = + ∠ còn đúng nữa không? Việc còn lại học sinh đi giải tiếp câu b, câu c Ví dụ 2: Định lí Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy. (Sách giáo khoa – Toán 8 tập 2) ở SGK người ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại E. =================================================================== 8 =================================================================== Lúc đó áp dụng dịnh lí Talet thì BE BD = (1) AC DC và chứng minh tam giác ABE cân tại B để có AB = AE(2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Mổ xẻ Câu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ như vậy? Nếu không kẻ thì có chứng minh được không? - Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì? Câu trả lời mong đợi: - Sử dụng định lí Talet (để có tỉ số bằng nhau) và tạo được hai đoạn thẳng bằng nhau (dựa vào tam giác cân) Tôi tự hỏi và cùng đưa ra cho học sinh cùng tháo gỡ Liệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh được định lí không? Có rất nhiều ý kiến Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mong đợi của tôi. Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có được 9 đến 10 cách giải khác nhau ứng với các cách kẻ của hình vẽ. Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACB Để ~AEB ADC∆ ∆ suy ra tỉ số và BED∆ cân tại B Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E =================================================================== 9 B D C E D B A C E Hình 1 =================================================================== - Khi đó phải chứng minh được Tam giác ABE cân tại A - Khi BE//AD vận dụng định lí Te lét Cách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD. - Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF - Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFC Cách 5: Dựa vào diện tích Từ D kẻ DH AB vµ DK AC⊥ ⊥ khi đó ABD ACD S BD AB S DC AC = = Cách 6: Từ D kẻ DE, DF lần lượt song song với AC và AB Cách 7: Từ A và D lần lượt kẻ Ax//BC và Dy//AB chúng cắt nhau tại E Cách 8: Từ B, và C kẻ ,BF AC CE AB ⊥ ⊥ , từ C kẻ Cx//AD cắt CF tại I =================================================================== 10 D B C A E B D C A E F B D C A E F B D C A E F y B D C A E x y I B D C A E F x [...]... cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học. .. em học sinh lớp 8A và 38 em học sinh lớp 7A trường THCS Liên Mạc A – Mê Linh đã thu được kết quả như sau: 01 Số học sinh nắm được các loại đường phụ thường sử dụng trong giải toán THCS có: 78 em chiếm 100% 02 Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử dụng trong giải toán THCS có: 70 em chiếm 89.7% 03 Số học sinh vẽ (dựng) được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài toán hình. .. LIÊN MẠC A - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC ******** Họ và tên giáo viên: Phạm Phúc Đinh Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên O =================================================================== 23 =================================================================== Năm học: 2010 - 2011 ********* ===================================================================... học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho học sinh Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn. .. =================================================================== Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinh Tìm hướng chứng minh áp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có: ∆ABC cã AB + BC > AC mµ AC < OA + OC Vậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hướng giải Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ Kẻ thế nào đây? Kẻ BO hay kéo dài CO Những câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn Từ đó ta dùng phương pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại M Giải Xét... số bài toán hình trong chương trình Toán lớp 7 và 8 có: 55 em chiếm 70,5% 04 Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bài toán tương đối khó : 2 em chiếm 26,9% Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này, tôi đã thu được nhiều kết quả tốt Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó: Với lớp 8A Tổng số Đầu năm KH I Giữa KH II Cuối KH II Học sinh Giỏi Khá TB Yếu... số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém Đầu năm 38 7 8 19 4 KH I 38 10 12 14 2 Giữa KH II 38 13 17 8 0 =================================================================== Cuối KH II 38 14 20 4 0 19 =================================================================== III KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là những bài toán khó nhưng lại là những bài toán. .. hệ để giải quyết bài toán: Đối với trường hợp này (dạng này) thường là các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tam giác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến =================================================================== 11 =================================================================== Ví dụ 3: Bài toán: ... đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học 2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4 Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A Đường cao BH 2 AB  AC  = Chứng minh rằng : ÷ 2CH  BC  Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có µ = 200 A Chứng... dạng tỷ số để gắn vào 2 2 2 tam giác đồng dạng BC = AC + AC AB ⇐ BC = AC ( AC + AB ) Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minh hệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng AB+AC - Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB một doạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB ? Nên đặt dựa trên điểm nào? . bài toán rồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể. Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giải các bài toán hình học. . cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, . Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử dụng trong giải toán THCS có: 70 em chiếm 89.7%. 03. Số học sinh vẽ (dựng) được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài toán hình