SKKN Hướng dẫn học sinh giải bài tập về căn bậc hai

Trờng THCS-Lê Hồng phong-TP.Lào Cai NI DUNG SNG KIN KINH NGHIM HNG DN HC SINH GII BI TP V CN BC HAI I. t vn . Toỏn hc l mụn hc c bn trong nh trng ph thụng, i vi hc sinh mụn toỏn núi chung v mụn i s núi riờng l mt mụn hc khú. Bi vy, khụng ớt hc sinh dự ó cú nhiu c gng xong kt qu mụn toỏn núi chung v phõn mụn i s núi riờng cũn thp so vi yờu cu. nõng cao cht lng giỏo dc ton din cỏc nh trng núi chung, cỏc giỏo viờn trc tip ging dy mụn toỏn núi riờng cn phi cú gii phỏp tớch cc nõng cao cht lng mụn i s ca hc sinh trung hc c s. Vi lý do trờn tụi chn sỏng kin kinh nghim: Hng dn hc sinh gii bi tp v cn bc hai. II. Ni Dung. Trong k thi tuyn sinh vo lp 10 va qua, nm hc 2004 2005. Ti trng trung hc ph thụng thnh ph Lo Cai cú rt nhiu em b im 1; 2 vỡ mụn toỏn. Quan nghiờn cu thc t, tụi nhn thy phn ụng cỏc em b im thp v mụn toỏn vỡ hai lý do sau: + Khụng thuc kin thc hoc khụng nm vng kin thc. + Lý do quan trng nht l cỏc em cha bit cỏch lm toỏn m ta gi l phng phỏp. Nht l cỏc phng phỏp c trng cho tng dng bi, tng loi toỏn: Mun rỳt gn mt biu thc, hay chng minh mt ng thc phi lm th no? Cỏc em u khụng bit. Qua nhiu nm dy lp 9 bn thõn tụi rỳt ra c kinh nghim: Hng dn hc sinh gii bi tp v cn bc hai cn phi nm c phng phỏp gii v cỏc dng bi. 1) Bi toỏn : Rỳt gn biu thc A: Phng phỏp gii: rỳt gn biu thc A, ta thc hin cỏc bc sau: Giáo viên: Đỗ Mạnh Thắng Tổ : Toán - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai - Qui đồng mẫu số chung (nếu có). - Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn. - Trục căn thức ở mẫu (nếu có). - Thực hiện các phép tính, luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ các số hạng đồng dạng. Ví dụ1: Rút gọn. a) 2 75 - 3 12 + 27 b) x + 2y - yxyx 44  • Nhận xét về câu a) rõ ràng ta phải biến đổi các căn thức thành căn thức đồng dạng thì mới rút gọn biểu thức đã cho được. • Ta có : 2 75 = 2 3.25 =2.5 3 =10 3 3 12 =3 3.4 =3.2 3 =6. 3 27 = 3.9 =3 3 Suy ra: 2 75 -3 12 + 27 = 10 3 - 6 3 +3 3 =(10 –6 +3). 3 = 7 3 Vậy : 2 75 -3 12 + 27 = 7 3 • Nhận xét về câu b) biểu thức trong căn là một bình phương: x 2 – 4xy +4y 2 =(x-2y) 2 Các học sinh cần lưu ý một điều là: Căn bậc hai của bình phương hiệu hai số bằng số lớn trừ đi số nhỏ. )( BA − 2 =|A-B|= Do đó: )2( yx − 2 = | x-2y|= suy ra cách giải câu b) như sau: Ta có: Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 2 2 A-B nếu A ≥ B -(A-B)=B-A nếu A<B x-2y nếu x ≥ 2y -(x-2y)=x+2y nếu x<2y 2 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai P=x+2y- yxyx 44 +− = x + 2y - )2( yx − 2 = x + 2y –|x – 2y| - Nếu x ≥ 2y thì |x- 2y| = x-2y. ⇒ P= x+2y-(x-2y) – 4y. - Nếu x<2y thì |x-2y| = 2y-x ⇒ P= x+2y-(2y-x) = 2x. Vậy : x+ 2y - yxyx 44 +− 2 = Ví dụ 2: Cho biểu thức M = Rút gọn rồi tính giá trị của x để M có giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó. + Nhận xét: Ta phải phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn biểu thức đã cho. x 4 +( 3 - 2 )x 2 - 6 = = x 4 + 3 x 2 - 2 x 2 - 6 = x 2 (x 2 + 3 )- 2 (x 2 + 3 ) = (x 2 + 3 )(x 2 - 2 ). Vậy : M= = = (Với x 2±≠ Vì x 2 + 3 ≥ 3 với mọi x nên ≤ Vậy Max M= khi x=0. Ví dụ 3: Cho biểu thức. C= - + a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa.b) Rút gọn biểu thức C.Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên. Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 2 2 4y nếu x ≥ 2y 2x nếu x<2y x 2 - 2 x 4 +( 3 - 2 )x 2 - 6 x 2 - 2 x 2 (x 2 + 3 )- 2 (x 2 + 3 ) x 2 - 2 (x 2 + 3 )(x 2 - 2 ) 1 x 2 + 3 1 x 2 + 3 1 3 1 3 3x+ x9 -3 x+ x -2 x +1 x +2 x +2 1- x Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai Giải a) x ≥ 0 x ≥ 0 1- x ≠ 0 x ≠ ± 1 x ≥ 0 x +2 ≠ 0 x +2 ≠ 0 , ∀ x ≥ 0 x ≠ 1 x+ x -2 ≠ 0 ( x +2)( x -1) ≠ 0 b) C= - - = = = = = = Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 ⇔ ⇔ 3x+ x9 -3 ( x +2)( x -1) x +1 x +2 x +2 x -1 3x+ x3 -3-( x +1)( x -1)-( x +2)( x +2) ( x +2)( x -1) 3x+ x3 -3- x+1-x- 4 x -4 ( x +2)( x -1) x- x -6 ( x +2)( x -1) x ( x +2)-3( x +2) ( x +2)( x -1) ( x +2)( x -3) ( x +2)( x -1) x -3 x -1 2 x -1 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai 1 3 )1)(2( )3)(2( )1)(2( )2(3)2( )1)(2( 6 − − = −+ −+ = −+ +−+ = −+ −− = x x xx xx xx xxx xx xx c) 1 2 1 1 21 1 3 − −= − −− = − − = xx x x x C Với x ∈ Z để C ∈ Z thì x -1 phải là ước của 2 vì x ≥ 0 nên x -1 ≥ -1, do đó: - Nếu x -1=-1 thì x = 0 nên x= 0 khi đó 3 1 2 1 = − −=C - Nếu x -1=1 thì x =2 nên x=4 khi đó 1 1 2 1 −=−= C - Nếu x -1=2 thì x =3 nên x=9 khi đó 0 2 2 1 =−= C Vậy với x= 0, x= 4, x=9 thì giá trị của biểu thức C là một số nguyên. • Nhận xét về phương pháp giải. a) C có nghĩa khi x ≥ 0 và mẫu thức khác 0. b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi quy đồng mẫu các phân thức, phân tích tử thành nhân tử, rút gọn biểu thức. c) Tìm x ∈ Z khi thay vào C thì C ∈ Z 2) Bài toán : Tính toán. a) Tính A. b) Tính giá trị của biểu thức A (x) biết rằng x =a. (*) Phương pháp giải: a, Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán “Rút gọn biểu thức A”. Ví dụ1: Tính 1528 − + 1528 + * Nhận xét: Các biểu thức trong căn bậc hai thường là một bình phương của tổng hoặc của một hiệu hai số. (a-b) 2 = 8-2 15 ⇔ a 2 +b 2 -2ab = 8- 2 15 rõ ràng ab= 15 , a 2 +b 2 =8. ⇒ a chỉ có thể là 5 và b= 3 hoặc ngược lại. Do đó ta giải quyết bài toán trên như sau: 1528 − = ( ) ( ) 35235 22 −+ = 2 )3)5( − =| 5 - 3 |= 5 - 3 Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai Tương tự: 1528 + = 5 + 3 Do đó: 1528 − + 1528 + = )35()35( +−− = 323535 =−−− Vậy 1528 − + 1528 + =-2 3 . b, Biết x=a tính A (x) - Trước hết ta rút gọn A (x) - Cuối cùng ta mới thay x=a vào biểu thức thu gọn. Ví dụ 1: Tính : 1615815 2 +− aa với a= 3 5 5 3 + Ta rút gọn biểu thức A (x) = 1615815 2 +− aa = ( ) 2 2 44.15215 +− aa = ( ) 2 415 − a =a 15 -4 (*) - Các học sinh giỏi có thể thấy ngay rằng: a= 3 5 5 3 + ≥ 2 Với b> 0 ta có: 22 111 22 +− + = + =+ b b b b b b = b bb 21 2 −+ +2= b b 2 )1( + +2 ≥ 2 Suy ra : a 15 ≥ 2 15 = 60 > 16 =4 Do đó : A (a) = a 15 -4 Với a= 3 5 5 3 + = 15 8 15 53 3 5 5 3 = + =+ ⇒ 448415. 15 )( =−=−= a A x Vậy 41615815 2 =+− aa khi a= 3 5 5 3 + Có nhiều học sinh tính 15 8 = a và thay trực tiếp 15 8 = a vào biểu thức nằm trong căn thức. Làm như vậy sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai • Ghi nhớ: Rút gọn biểu thức trước khi thay thế giá trị của chữ vào biểu thức. + Các học sinh khác có thể thay 15 8 = a vào (*) A (a) = 4|4||48||415. 15 8 | ==−=− Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:         + − − + + + + = nmn m mnm n mn nm nm nm B : Với 32,32 −=+= nm Ta rút gọn phần nằm trong ngoặc đơn. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 13 2 13 2 324 2 324 3232 : − − + = − − + =−−+= −= + − = − + + + =⇒ − + = − + = − + = − −+++−+ = + − − + + = + − − + + nm nm nm nm nm nm nm B nm nm nmmn nmmn nmmn mnmmnn nmmn nmmmnmnnnmnm nmn m nmm n mn nm nmn m mnm n mn nm Vậy B= 2 . Ví dụ 3:Tính giá trị của biểu thức tại x=3. 824 22 824 22 22 ++ + − +− − = xx x xx x M Giải Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai 22 22 )22( 22 )22( 22 824 22 824 22 + + − − − = ++ + − +− − = x x x x xx x xx x M Với 223 >= x nên các căn thức bậc hai đều xác định và các mẫu thức đều dương, ta có: 8 2222 22 1 22 1 )22( 22 )22( 22 2 22 − −−+ = + − − = + + − − − = x xx xx x x x x M Tại x=3 ta có : 21313)13()13( 89 223223 22 =+−+=−−+= − −−+ =M 3) Bài toán giải phương trình vô tỉ: Dạng 1: ( ) ( ) xgxf = (1) Đây là dạng đơn giản nhất của phương trình vô tỉ. Sơ đồ cách giải: ( ) 0 ≥ xg (2) ( ) ( ) ⇔= xgxf ( ) ( ) [ ] 2 xgxf = (3) Giải phương trình (3) đối chiếu điều kiện (2), chọn nghiệm thích hợp ⇒ nghiệm của (1). Ví dụ1: Giải phương trình. 11 −=+ xx (1) Giải: Ta có: 01 ≥− x 1 ≥ x ⇔ )1( ⇔ 2 )1(1 −=+ xx 03 2 =− xx 1 ≥ x ⇔ 3 =⇒ x 30 =∨= xx Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 3 = x Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai Dạng 2: )()()( xgxhxf =+ (1) Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình: 0)( ≥ xf 0)( ≥ xh ⇔ (*) 0)( ≥ xg Với điều kiện (*) hai vế của (1) không âm, bình phương của 2 vế ta có: [ ] [ ] ( ) )()()( 2 1 )()( )()()(2)()( 2 2 xhxfxgxhxf xgxhxfxhxf −−=⇔ =++ (2) Phương trình (2) có dạng 1. Buộc điều kiện mới: [ ] 0)()()( 2 ≥−− xhxfxg (**) Bình phương 2 vế của (2) ta được một bình phương (3) mà cách giải đã biết. Giải (3) chọn nghiệm thoả mãn các điều kiện (*) và (**) đó là nghiệm của (1) Ví dụ2: Giải phương trình sau: 253 −−=+ xx (1) Giải: Ta có : 523)1( =−++⇔ xx (1’) Điều kiện: 03 ≥+ x ⇔ 3 −≥ x 02 ≥− x 2 ≥ x ⇔ 2 ≥ x (*) Với điều kiện (*) hai vế cuả (1’) không âm. Bình phương 2 vế ta có: xxx xxx xxxx −=−+⇔ −=−+⇔ =−++−++ 126 22462 25)2)(3(223 2 2 (2) Điều kiện để (2) có nghĩa là: 12012 ≤⇔≥− xx (**) Bình phương hai vế của (2) ta có: Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai 615025 241446 22 =⇔=⇔ +−=−+ xx xxxx thoả mãn (*) và (**) Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là: 6 = x . Dạng 3: ( ) ( ) ( ) xgxhxf =+ (1) Cách giải tương tự Ví dụ 3: Giải phương trình: xxx −=−−+ 1271 Giải: Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 7121 −+−=+ xxx (1) Điều kiện: 01 ≥+ x 1 −≥ x 07 ≥− x ⇔ 7 ≥ x 127 ≤≤⇔ x (*) 012 ≥− x 12 ≤ x Với điều kiện (*) hai vế của (1) không âm. Bình phương hai vế của (1) ta có: 484192 )7)(12(27121 2 −=−+−⇔ −−+−+−=+ xxx xxxxx (2) Với (*) hai vế của (2) không âm. Bình phương hai vế ta có: 2417601764 0352845x 16 -8x - x2 84)19x4(-x2 '' 2 =∆⇒=−=∆ =+−⇔ =++ x Phương trình (3) có hai nghiệm là: 8; 5 44 21 == xx thoả mãn (*) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: 8; 5 44 21 == xx Dạng 4: ( ) ( ) ( ) ( ) xkxgxhxf +=+ (1) Phương trình này quá trình độ đối với học sinh phổ thông. Tuy nhiên cách giải cũng tương tự như dạng 3. Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 [...]... sinh giải bài tập về căn bậc hai Tôi thu nhận được kết quả tương đối tốt, học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng bài tập và vận dụng giải bài tập tương đối tốt Bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm trong các giờ luyện tập giáo viên chọn các dạng bài tập hay thi vào cấp III để học sinh được rèn kỹ năng giải bài tập, nhằm gây hứng thú học Toán của học sinh và học sinh thích những giờ luyện tập. .. cách giải: | f ( x ) |= g ( x ) Ví dụ: g ( x ) ≥0 g ( x ) ≥0 ⇔ f ( x) = g ( x) ∨ f ( x ) =− ( x ) g Giải phương trình : | x-2 | = x + 2 Ta dùng cách 1: Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai Ta có : | x-2 | = x+ 2 x +2 ≥0 ⇔ ⇔ ( x −2) 2 =( x +2) 2 ⇔ ⇔ x ≥− 2 8 x =0 ⇔ ⇔ ⇔ x ≥− 2 x 2 −4 x +4 = x 2 +4 x +4 x=0 III Kết luận: Qua quá trình giảng dạy: Hướng dẫn học sinh. .. nên ta chọn t=3 Ta giải phương trình Gi¸o viªn: §ç M¹nh Th¾ng Tæ : To¸n - Lý 14 Trêng THCS-Lª Hång phong-TP.Lµo Cai 2 x 2 − x − 2 = 9 − 2 x + 1 = 10 − 2 x ⇔ x − x − 2 = 5 − 2x 2 (3) Điều kiện: 5 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 5 (**) Giải (3) ⇒ x = 3 , thoả mãn điều kiện của (*) và (**) Vậy, nghiệm của phương trình là: x = 3 4) Bài toán: Giải phương trình: |f(x)| = g(x) (1) Phương pháp giải: Có 3 cách giải: - Cách 1: +... x ) (1) • Phương pháp giải: Để giải được loại phương trình này ta dùng ẩn số phụ Ví dụ5: Giải phương trình x + 1 + x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 13 − 2 x (1) Giải: 2≤x≤ Điều kiện: Đặt t = 13 2 (*) x + 1 + x − 2 , với t >0, ta có: t 2 = x +1+ x − 2 + 2 x2 − x − 2 ⇔ 2 x 2 − x − 2 = t 2 − 2x + 1 Do đó ta có: (1) ⇒ t + t 2 − 2 x + 1 = 13 − 2 x ⇔ t 2 + t − 12 = 0 (2) Phương trình (2) có hai nghiệm là t1=3, t2=-4... k ( x ) ≥ 0 Bình phương hai vế, ta có: f ( x ) + h( x ) + 2 f ( x ) h( x ) = g ( x ) + h( x ) + 2 g ( x ) k ( x ) Đưa phương trình về dạng: F ( x ) − G( x ) = H ( x ) Tuỳ theo từng trường hợp cụ thể mà giải tiếp Ví dụ 4: Giải phương trình x − x + 1 − x + 4 + x + 9 = 0 (1) Cách 1: Ta viết (1) dưới dạng 4: x + x + 9 = x +1 + x + 4 (2) Điều kiện : x ≥ 0 (*) Với (*) bình phương hai vế của (2) ta có: 4... cách giải: - Cách 1: + Điều kiện: g ( x ) ≥ 0 (2) + Bình phương hai vế: [ f ( x ) ] = [ g ( x ) ] 2 2 (3) Giải (3): Chọn nghiệm thoả mãn (2) ⇒ nghiệm của (1) g ( x) ≥ 0 Sơ đồ cách giải: | f ( x ) |= g ( x ) - [ f ( x) ] 2 = [ g ( x) ] 2 Cách 2: + Xét f ( x ) ≥ 0 ⇒ f ( x ) = g ( x ) ⇔ + Xét f ( x ) < 0 ⇒ − f ( x ) = g ( x ) Sơ đồ cách giải: | f ( x ) |= g ( x ) f ( x) < 0 ∨ − f ( x) = g( x) f ( x )... (2) Điều kiện : x ≥ 0 (*) Với (*) bình phương hai vế của (2) ta có: 4 + 2 x 2 + 9 x = 2 x 2 + 5x + 4 ⇔ 2 + x 2 + 9 x = x 2 + 5x + 4 Hai vế không âm Bình phương hai vế ta có: 4 + x 2 + 9x + 4 x 2 + 9 x = x 2 + 5x + 4 ⇔ x + 9x = − x 2 Điều kiện: −x≤0 (3) (**) Bình phương hai vế của (3), ta có: x 2 + 9 x = x 2 ⇔ 9 x = 0 ⇔ x = 0 thoả mãn (*) và (**) vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =0 Cách 2: Ta . giảng dạy: Hướng dẫn học sinh giải bài tập về căn bậc hai . Tôi thu nhận được kết quả tương đối tốt, học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng bài tập và vận dụng giải bài tập tương đối. giờ luyện tập giáo viên chọn các dạng bài tập hay thi vào cấp III để học sinh được rèn kỹ năng giải bài tập, nhằm gây hứng thú học Toán của học sinh và học sinh thích những giờ luyện tập Toán. Gi¸o. 27 = 7 3 • Nhận xét về câu b) biểu thức trong căn là một bình phương: x 2 – 4xy +4y 2 =(x-2y) 2 Các học sinh cần lưu ý một điều là: Căn bậc hai của bình phương hiệu hai số bằng số lớn trừ