SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp các năm học vừa qua, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh cĩ kỹ năng giải toán về “căn bậc hai” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học si

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI : KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN

VỀ CĂN BẬC HAI

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Lí do chọn đề tài.

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp các năm học vừa qua, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh cĩ kỹ năng giải toán về “căn bậc hai” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết, giúp các em có một sự

am hiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này

a Cơ sở ký luận

Theo tình hình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán…

Có thể chia làm hai nguyên nhân:

- Nguyên nhân khách quan:

+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít

+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải

+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV

- Nguyên nhân chủ quan:

+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho từng

HS cịn ít

+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy lơgic,khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của HS

+ Một số GV sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn

+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập

Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẩu thả, chép bài của các HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập

b Cơ sở thực tiễn.

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học

Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài

Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu

Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người GV phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh

thường mắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắc phục những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 Th ực trạng khảo sát đầu năm (2009-2010)

Lớp Sỉ số SLđiểm 9 - 10 Tỷ lệ SLđiểm trên 5Tỷ lệ SLđiểm dưới 5Tỷ lệ

2

Các kiến thức cơ bản

- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương kí hiệu là

a và số âm kí hiệu là - a

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = 0

- Căn bậc hai số học:

2 0

x









- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a0, có  a 2 a

; với a bất kỳ có a 2 |a|)

- Liên hệ giữa phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a 0, b  0, ta có : a < b  a  b ”)

- Liên hệ giữa phép khai phương với phép nhân và phép chia(thể hiện bởi: định lý “ Với a 0, b  0, ta có : ab  a b” và định lý “ Với a  0, b > 0, ta

có:

b

a b

a

* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau :

tồn tại A 0

A (với A là biểu thức đại số)

2

A = A (với A là biểu thức đại số)

B A

AB  (với A, B là hai biểu thức mà A  0, B  0)

B

A B

A

 (với A, B là hai biểu thức mà A  0, B > 0)

B A B

 (với A, B là hai biểu thức mà B  0 )

2

A B A B ( với A < 0 và B  0)

1

A

AB

B B (với A, B là hai biểu thức màA ,B  0, B 0)

B

B A B

A

 (với A, B là biểu thức và B > 0)

2

C

A B

m (với A, B là hai biểu thức màA  0, A B2)

C

A B

m (với A, B, C là các biểu thức mà A, B  0, A B)

3 Sai lầm và biện pháp khắc phục khi giải toán về căn bậc hai

a Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a.

VD1: Giải bài tập 1 (sgk - 6)

Tìm căn bậc hai số học của 144 rồi suy ra căn bậc hai của chúng

+ Cách giải sai:

Ta có: 144 = 12

 số 144 có 2 căn bậc hai được viết là 144 = 12 và 144ø = -12

+ Cách giải đúng:

Căn bậc hai số học của 144 là: 144 = 12, còn căn bậc hai của 144 là:

144 = 12; - 144 = - 12

- Nguyên nhân:

Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề

- Biện pháp khắc phục:

+ GV cần phải cho HS nắm được: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau là : a và - a + Khi nói đến a ta phải có: a0 và a 0, nghĩa là a không thể âm Vì vậy không được viết :

Số 144 có hai căn bậc hai là 144 = 12 và 144 = - 12

VD2 : Tính 16

Học sinh cĩ thể sẽ giải sai như sau :

16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16 = 4

Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16 = 4 và 16 = -4

- Nguyên nhân: do việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn

với nhau.

+ Cách giải đúng : 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16) Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích

- Biện pháp khắc phục: GV chỉ ra sự khác nhau giữa việc tìm căn bậc hai và

căn bậc hai số học của một số không âm đó là

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là

a và số âm kí hiệu là - a Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0

Với số a0 thì a 0, nghĩa là a không thể âm

b Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.

VD1: HS cĩ thể giải sai:

+ Vì 3 27    81 9 và 3 27  3 27    81 9

nên 3 27    3 27 (!)

2 2



2



2 2





VD2: Giải bài tập sau: Tính 6 2 11

+ Hs cĩ thể giải sai:

VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x  x

+ Cách giải sai:

Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm

giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào

2

x  x x  

2

1 min

4

0 2

4





x

Vậy min 1

4



4



x

+ Cách giải đúng:

x xác định khi x 0 Do đó: A x  x  0 minA 0 x0

- Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều

kiện để A tồn tại

HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai

- Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều

kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có:

a b  ab ; a a

b  b

c Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.

VD1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a2  5a ( Với a < 0 )

+ Cách giải sai;

A = 2 a2  5a = 2a  5a2a 5a3a ( với a < 0 ) (!)

+ Cách giải đúng là:

A = 2 a2  5a = 2a  5a2a 5a7a ( với a < 0 )

VD2: Tìm x, biết : 4(1 x)2 - 6 = 0

+ Cách giải sai :

4(1 x) - 6 = 0  2 (1 x)2 62(1 - x) = 6  1- x = 3  x = - 2

Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm

+ Cách giải đúng:

4(1 x) - 6 = 0  2 (1 x)2 6 1 x = 3

Ta phải đi giải hai phương trình sau :

1) 1- x = 3  x = -2

2) 1- x = -3  x = 4

Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4

- Nguyên nhân:

HS chưa hiểu rõ về giá trị tuyệt đối của một biểu thức

- Biện pháp khắc phục:

+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:  



, nếu 0 , nếu 0

a

d Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: A2 A

- VD1: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)

Tìm x, biết: 9x  2 12

+ Cách giải sai:

2

9x  12  9x 2 12

Vì 9x2  (3 )x 2 3x nên ta có: 3x = 12  x = 4

+ Cách giải đúng:

Vì 9x2  (3 )x 2 3x nên ta có: 3x  12

 3x = 12 hoặc 3x = -12 Vậy x = 4 hoặc x = -4

- VD2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)

Rút gọn biểu thức: (4  17) 2

+ Cách giải sai:

HS1: (4  17) 2   4 17   4 17

HS2: (4  17) 2   4 17

+ Cách giải đúng:

2

(4  17)   4 17  17 4 

-VD3: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

B = 16 x 16 - 9 x 9+ 4 x 4 + x 1 với x  -1

+ Cách giải sai :

B = 4 x 1-3 x 1+ 2 x 1+ x 1

B = 4 x 1

16 = 4 x 1  4 = x 1  42 = ( x 1)2 hay 16 = ( x 1 ) 2

 16 = | x+ 1|

Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1  x = 15

2) 16 = -(x+1)  x = - 17

- Cách giải đúng:

B = 4 x 1-3 x 1+ 2 x 1+ x 1 (x  -1)

B = 4 x 1

16 = 4 x 1  4 = x 1 (do x -1)

 16 = x + 1 Suy ra x = 15

- Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và

x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x -1 thì

các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa

- Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho

học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A = | A|, có nghĩa là :2

2

A = A nếu A  0 ( tức là A lấy giá trị không âm );

2

A = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).

e Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Chẳng hạn: Tính 11 4 7 ; 7 5 2 

Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến đổi biểu thức 11 4 7 và 7 5 2 dưới dạng bình phương và lập phương của một biểu thức

Trong các hằng đẳng thức :

A B 2 A2 2AB B 2 Học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng trên

VD1: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh : 4 72 23 8 7

HS dễ dàng biến đổi 4 72 16 8 7 7 23 8 7   

Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng thức và khả năng tính toán )

VD2: Ở bài tập 15d (SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh 23 8 7  7 4 Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết

23 8 7 dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính 23 8 7 là một điều khó! Để tính nhanh và không nhầm lẫn GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi như sau:

- Đối với biểu thức có dạng:

2

x a b với a,b  0 và x = a + b thì x2 a b  a b2 -Đối với biểu thức có dạng:

2

x a b với a,b  0 và x = a 2 + b thì x2a ba b2

Áp dụng:

Bài 1: Tính

Bài 2: Tính

11 4 7  11 2.2 7  2 7  2 7  7 2

Bài 3: Tính

46 6 5  46 2.3 5.1  3 5 1 3 5 1 3 5 1  

Bài 4: Bài 15d ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh: 23 8 7  7 4

Ta có : Vế trái: 23 8 7   7

 2

f Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai

- VD1: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )

Rút gọn biểu thức sau: 20  45 3 18   72

+Cách giải sai:

+ Cách giải đúng là:

- Nguyên nhân:

Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi:

x A y B z A m   x z  A y B m  ( A,B  Q + ; x,y,z,m  R )

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà tránh những sai sót

g Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình.

- VD1: Bài tập

A x   x  x ( với x 0 )

+Cách giải sai :

 2 2

A x   x  x  x  x  x  x

+ Cách giải đúng là :

Với x 0 Ta có:

 2 2

- VD2: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )

Rút gọn biểu thức: M 2x 3 48x

+Cách giải sai :

2

x

+ Cách giải đúng:

x



   Điều kiện để M xác định là: x < 0

2 3

x

- VD3: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 )

Giải phương trình : 14  x  x 2 (*)

+ Cách giải sai :

(*)  x 22 14 x

2 3 10 0 2 5 2 10 0

5

2

x

x





 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = -2 (!)

+ Cách giải đúng :

(*)

2 0

x



 

2

x





 





 2

5 5

2

x

x x

x











 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5

- Nguyên nhân: HS nắm chưa vững quy tắc A B2 A B với B 0, điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương.

- Biện pháp khắc phục:Khi dạy GV cần cho HS nắm vững:

+ A B2 A B với B 0

+ 22 vo i '' 0; 0

vo i 0; 0

A B







+ A tồn tại khi A 0

+ a 0,

 2

2

0

x





  



+ Nếu A 0, B > 0 thì B A A

B



h Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương

HS thường mắc phải một số sai lầm:

VD1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )

Tính 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4 

+ Cách giải sai:

1, 44.1, 21 1, 44.0, 4 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4

1, 2.1,1 1, 2.0, 2 1,32 0, 24 1,08 (!)

+ Cách giải đúng:

1, 44.1, 21 1, 44.0, 4   1, 44 1, 21 0, 4   1, 44.0,81 1, 2.0,9 1,08  

VD2: Giải các bài tập sau:

Tính: a 81.256; b 625

16

+ Cách giải sai:

b 62516 25 5 52

   (!)

+ Cách giải đúng:

a 81.256  81 256 9.16 144  

b 62516 625 254

16

VD3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu

+ Cách giải sai :

a

 2

3

2



2 7 3  2 7 7 3    

a

- Cách giải đúng:

 

3



2 2

/



2 2

(với a 0 và a 94)

- Nguyên nhân:

+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A B  A B ” tương tự như A B  A B.

( với A 0 và B 0) để tính

+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương + HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức.

+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức:

2 2

- Biện pháp khắc phục:

+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng A B  A B

tương tự như A B  A B. ( với A 0 và B 0)

+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.

+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.

+ Cần khắc sâu các công thức:

B

B  , với B > 0

2

C

A B



, với A 0 và A B 2

C

A B



, với A 0,B 0 và A B

i Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :

Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai

DV1 : Tìm x, biết :

(4- 17 ) 2x 3 ( 4  17 )

- Cách giải sai :

(4- 17 ) 2x 3 ( 4  17 )  2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17) x <

2

3

- Cách giải đúng : Vì 4 = 16< 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có

(4- 17 ) 2x 3 ( 4  17 )  2x > 3  x >

2

3

-Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì.

Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.

- Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4

và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai.

VD2: Rút gọn biểu thức :

3

3

2





x x

- Cách giải sai :

3

3

2





x

x

=

3

) 3 )(

3 (







x

x x

= x - 3

- Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì

cần phải có x + 3  0 hay x - 3 Khi đó ta có

3

3

2





x

x

=

3

) 3 )(

3 (







x

x x

= x - 3 (với x - 3)

-Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức

3

3

2





x x

sẽ không tồn tại Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai