(Sáng kiến kinh nghiệm) khắc phục một số khiếm khuyết khi giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRUNG TÂM GDTX&DN TAM ĐẢO Mà SKKN 47.52.01 BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CẤP: CƠ SỞ ; TỈNH: Tên sáng kiến kinh nghiệm: khắc phục số khiếm khuyết giải phương trình vơ tỉ Mơn/nhóm mơn: Tốn Tổ môn: KHTN Mã môn: 52 Người thực hiện: Hà Văn Chung Điện thoại: 0974267185 Email: hachung1986@gmail.com Vĩnh Phúc, năm 2016 MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VI CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4 PHẦN II NỘI DUNG II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ III CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC Sai lầm giải phương trình vô tỷ biến đổi tương đương Sai lầm giải tốn có chứa tham số phương pháp đặt ẩn phụ 18 V KẾT QUẢ THỰ HIỆN: 24 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN 24 II KIẾN NGHỊ 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 I.CƠ SỞ LÝ LUẬN PHẦN I MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Môn Tốn có vị trí quan trọng đặc biệt mơn học nhà trường phổ thơng, sở nhiều mơn học khác Phương trình khái niệm quan trọng tốn học toán học nghiên cứu mối quan hệ số lượng hình dạng khơng gian giới khách quan Quan hệ nhau, lớn hơn, nhỏ hai đại lượng quan hệ số lượng Các nhà tốn học cổ điển như: Viet, Điơphăng…đã phát triển lý thuyết phương trình thành lý thuyết đại số số học cổ điển Phương trình trở thành sở nội mơn tốn Các ngành khoa học khác như: Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật tính tốn…khơng thể thiếu kiến thức phương trình (ví dụ như: cân phương trình hóa học, tốn vật lý chuyển hóa lượng…) Khi giải vấn đề đời sống thực tế thường dẫn đến giải tốn phương trình Thơng qua giải phương trình củng cố đào sâu kiến thức tập hợp, logic toán, phép biến đổi đồng nhất, hàm số…Từ rèn luyện tư khả sáng tạo cho học sinh Trong thực tế dạy học, phương trình đưa vào phổ thơng từ lớp cách ẩn tàng, lúc em chưa học, chưa biết khái niệm phương trình Lên lớp phương trình đưa vào cách tường minh Phương trình vơ tỷ đưa vào chương trình lớp Trong chương trình Tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu cũng cách giải vài dạng toán phần Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng - THCN em gặp lớp toán phương trình, bất phương trình vơ tỉ mà chỉ có số em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng, chưa gọn gàng sáng sủa, chí còn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình vơ tỷ chỉ mục nhỏ bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai chương IV Trong SGK Đại số lớp 10 chí phần phương trình vơ tỷ chỉ điểm qua sơ sài bài: Phương trình quy về bậc nhất,bậc hai chương III Tóm lại SGK thời lượng dành cho phần ít, ví dụ tập phần cũng hạn chế chỉ dạng Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình bất phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ biến đổi toán học nhanh nhẹn thục Muốn vậy, tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải dạng phương trình thường gặp, nhắc nhở va khắc phục sai lầm thường mắc phải học sinh, cũng bổ sung thêm dạng tập nâng cao, đặc biệt rèn luyện cho học sinh kĩ giải phương trình vơ tỉ phương pháp đặt ẩn phụ Vì tất lý nghiên cứu xin trao đổi với đồng nghiệp sáng kiến kinh nghiệm: Khắc phục khiếm khuyết giải phương trình vơ tỉ Để q đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến cho tơi để bước hồn thiện II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Học sinh hiểu biết rõ sai lầm để khơng mắc phải từ làm thi thành tích cao III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Tìm tòi phát vấn đề yêu cầu học sinh cần đạt với thực tế học sinh làm - Tìm giả thiết nghiên cứu - Khắc phục sai lầm học sinh giải phương trình vơ tỉ - Đúc rút kết đạt IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đề tài thực Trung tâm giáo dục thường xuyên Tam Đảo hai năm 2013 – 2014 2014 - 2015 Cụ thể: Năm 2013 – 2014 đề tài thực lớp 10A Năm 2014 - 2015 đề tài thực lớp 12A V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp: - Nghiên cứu luận - Điều tra quan sát thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm VI CẤU TRÚC CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần: Phân I: Mở đầu gồm lý chon đề tài, mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Phần II: Nội dung gồm sở lý luận, thực trạng vấn đề Khắc phục sai lầm học sinh giải phương trình vô tỉ Phần III: Kết luân kiến nghị PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT, BTTHPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng nói chung, đặc biệt kiến thức thuộc mơn Tốn học việc làm cần thiết Muốn học tốt mơn Tốn, em phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ttrong trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học nghiên cứu mơn Tốn cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào tập, biết phân dạng tập giải tập với nhiều cách khác II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Bài tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỉ học sinh chỉ học chương trình Đại số 10 Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này ít, học sinh khơng tiếp cận nhiều dạng toán khác Trong SGK Đại số lớp 10 chỉ đưa dạng bản: A  B Tuy nhiên, thực tế phương trình và bất phương trình vô ti đa dạng phong phú Trong q trình học Tốn lớp 11 12, gặp phải tốn đưa phương trình vơ tỉ, đa số học sinh lúng túng, thường giải sai chí khơng biết cách giải Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng em gặp phương trình vơ tỉ nhiều dạng khác không chỉ nằm khuôn khổ dạng trên, đối tượng học sinh đa phần có lực học trung bình yếu kiến thức Vì vậy, tơi nghĩ việc giúp cho em có kĩ tốt, cũng cung cấp thêm phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng q trình giải phương trình và bất phương trình vơ ti, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh sai lầm thường mắc phải phân tích nguyên nhân sai lầm để em hiểu sâu nhằm có giải tốt sau Nội dung sáng kiến kinh nghiệm cố gắng trình bày rõ ràng, khơng rườm rà, lơgíc phù hợp với cấp THPT, BTTHPT với chất lượng đầu vào học sinh không cao Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 10 hệ THPT ôn tập cho em học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng tốt nghiệp THPTQG, Cao đẳng Đai học Mục đích đề tài khơng có ý nêu tất phương pháp giải phương trình vơ tỷ mà chủ yếu chỉ sai lầm thường gặp học sinh giải phương trình vơ tỷ hai phương pháp: Biến đổi tương đương đặt ẩn phụ Các thầy học sinh sử dụng toán đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Sau ví dụ, tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp học sinh chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa III CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC Trong q trình giải phương trình sai lầm mà học sinh thường mắc phải sử dụng phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng thu hẹp miền xác định phương trình dẫn tới miền nghiệm khơng xác làm nghiệm thêm nghiệm Khi giải phương trình vơ tỷ học sinh thường mắc sai lầm sau Sai lầm giải phương trình vơ tỷ biến đổi tương đương a) Sai lầm giải điều kiện xác định Có tốn giải phương trình vơ tỷ mà lời giải nằm gần hồn tồn việc tìm điều kiện xác định Nghĩa là, tìm điều kiện xác định ta dễ nhìn thấy làm, chí điều kiện xác định chỉ vài giá trị Ta chỉ cần thay giá trị vào phương trình cho có kết tốn Tuy việc tìm điều kiện xác định thường dẫn tới giải bất phương trình tích, dễ gây nhầm lẫn cho học sinh Ví dụ 1: Giải phương trình x2 1  x   x  (1) Có học sinh giải sau: ĐK: ( x  1)( x  1) �0 �x  �0 � �x  �0 �� �� � �x  �0 �x  �0 �x  �0 �x �1 �۳� x �x �1 Khi (1) � ( x  1)( x  1)  x   x  Do x �1 nên chia hai vế cho x  ta có x 1 1  x 1 Với x �1 ta có nghiệm x   x  � x    x  phương trình cho vơ - Sai lầm do: + Thói quen thường gặp học sinh đầu cấp THPT còn ảnh hưởng việc phân tích biểu thức thành nhân tử phân chia trường hợp để xét dấu nhân tử theo cách làm cấp THCS Sở dĩ cấp THCS phải làm em chưa học định lý dấu tam thức bậc hai + Sau phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức biến �AB �0 �A �0 �� �A �0 �B �0 đổi tương đương còn chưa tốt, em dễ mắc sai lầm sau � -Biện pháp khắc phục sai lầm trên: + Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ: � � �A  �A  � � � � �AB �0 �AB �0 �B có nghiã �B có nghiã � � � � � , tương tự � � � A �0 �A  �A  �A �0 � � � � � � � �B �0 �B �0 � � + Tuy điều vừa nói mặt kiến thức, còn thực hành giáo viên dạy cho học sinh giải điều kiện bất phương trình bậc hai cách gọn gàng, dễ làm Định lý dấu tam thức bậc hai khơng phân tích tam thức bậc hai thành tích hai nhị thức bậc lời giải sai Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Sau giải triệt để điều kiện xác định nên dựa vào điều kiện xác định để phân trường hợp nhằm xét dấu biểu thức bậc hai( bậc chẵn ), giúp ta rút gọn vế phương trình, đánh giá vế phương trình… Lời giải ĐK: �� x �1 �x  �0 �� � �� x �1 � x  1 � �x  �0 �x �1 � Ta thấy x  1 nghiệm phương trình cho (1) � ( x  1)( x  1)  x   x  Nếu x �1 nên chia hai vế cho x  ta có x 1 1  x 1 Với x �1 ta có x   x  � x    x  , phương trình cho vơ nghiệm trường hợp Vậy phương trình cho có nghiệm x  1 Tuy vậy, tìm điều kiện cho phương trình vơ tỷ dẫn tới phải giải bất phương trình bậc 3(hoặc bậc cao hơn) điều khơng tránh khỏi phải phân tích biểu thức bên vế trái thành nhân tử Sẽ khơng có vấn đề nhân tử nhị thức bậc với lũy thừa bậc lẻ (thường bậc 1), biểu thức xuất nhân tử nhị thức bậc với số mũ chẵn (thường gặp bậc 2) học sinh lại dễ mắc sai lầm Ví dụ 2:  x3  3x   x   Học sinh thường làm sau Điều kiện để thức có nghĩa: � �x  x  �0 �  x  x  �0 ( x  1) ( x  2) �0 �� �� � �x  �0 �x �1 �x �1 �x  �0 �x �2 �� �� �x �1 �x �1 Vậy không tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vơ nghiệm Có thể chỉ với x  hai thức có nghĩa x  nghiệm phương trình Học sinh sai giải bất phương trình ( x  1) ( x  2) �0 � x  �0 - Biện pháp khắc phục: + Học sinh lực học yếu trung bình hay nhầm rằng: A2  0, A �R , lẽ nên gặp vế có nhân tử dạng A2 em thường rút gọn cách ngây thơ mà bỏ qua trường hợp A  Do có nhân tử A2 nằm vế bất phương trình mà ta giải để tìm điều kiện xác định giáo viên cần cho học sinh phân làm hai trường hợp: A  A �0 � A2  , để từ tìm điều kiện xác nhân tử còn lại Lời giải đúng: Điều kiện để thức có nghĩa: � �x  3x  �0 �  x  x  �0 ( x  1) ( x  2) �0 � � � � � �x  �0 �x �1 �x �1 �� x 1 �� � �� x �2 � x  �x �1 � Thử x  vào phương trình ta có  nên x  nghiệm Ở ví dụ ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần đồng nghĩa với việc giải bất phương trình Vì dạng kiểu giải điều kiện xác định nghĩa làm toán Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Nếu điều kiện bỏ dấu =, ta bất phương trình: A2 B  có khác trước? Bây học sinh hiểu rằng: Nếu A  bất phương trình vơ nghiệm, A �0 � A2  , bất phương trình trở thành: B  b) Sai lầm đặt điều kiện để biến đổi phương trình +Sai lầm giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) Trong giải phương trình f ( x)  g ( x) học sinh thường biến đổi sau: f ( x)  g ( x) � f ( x)  g ( x) , đỡ nhầm chút �f ( x) �0 f ( x)  g ( x ) � � �f ( x)  g ( x ) Sau giải nghiệm học sinh khơng thử lại vào phương trình ban đầu mà khẳng định nghiệm phương trình cho chỉ kiểm tra điều kiện f ( x) �0 kết luận nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 3: Giải phương trình: x  x2 Học sinh kiến thức yếu thường làm sau: x  1 � x  x  � x2  x  � x2  x   � � x2 � Vậy phương trình cho có nghiệm : x  1 x  Một số học sinh khác nhớ rằng: Để thức bậc hai có nghĩa biều thức nằm dấu bậc hai phải khơng âm, em làm sau: �x  �0 �x �2 x  x  � �2 � �2 �x  x  �x  x   �x �2 x  1 � � � �� x  1 � � x2 � �� x2 �� Vậy phương trình cho có nghiệm : x  1 x  -Biện pháp khắc phục sai lầm Để khắc phục sai lầm cho học sinh, ta hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp sau 2n �g ( x) �0 f ( x)  g ( x) � � 2n �f ( x )  g ( x )  f ( x ) g n ( x ) f ( x) nên điều kiện Giáo viên lưu ý cho học sinh điều kiện xác định thỏa mãn Vì giáo viên nhấn mạnh cho học sinh: Khi gặp dạng tốn ta khơng cần tìm điều kiện xác định phương trình mà chỉ cần quan tâm đến điều kiện có nghiệm phương trình( g ( x) �0 ) Lời giải đúng: 10 Ví dụ 4: Giải phương trình: x   x   3x  (1) Lời giải sau: (1) � x   x   �3 3 ( x  1)(2 x  1)( x   x  1)  x  ( x  1)(2 x  1)(3 x  1)  x0 � � � x  x  � x (6 x  7)  � � x � 2 Thử lại (1) chỉ có x = 7 thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 6 Rõ ràng quan niệm sai lầm nói dẫn tới lấy thêm nghiệm ngoại lai x =0 d) Sai lầm giải phương trình chứa nhiều bậc hai Khi giải phương trình chứa nhiều bậc hai phương pháp biến đổi tương đương, nhận thấy rằng: Ở phương trình dạng: f ( x)  g ( x)  h( x) , học sinh thường gặp nhầm lẫn, thay dấu + dấu -, tức gặp phương trình dạng f ( x)  g ( x )  h( x ) (1) , học sinh thường mắc sai lầm Học sinh thường biến đổi sau �f ( x) �0 � (1) ۳ �g ( x) � ( f ( x )  g ( x))  h( x) � Biến đổi học sinh cũng thể phần hiểu biết mình( còn sai) Học sinh đặt điều kiện f ( x), g ( x) khơng đặt điều kiện h( x) cho rằng, ta phải bình phương vế phương trình  tới( f ( x)  g ( x )) h( x) h( x ) , suy nghĩ để khử bậc hai, điều dẫn cũng có điểm đáng để khen ngợi, có lẽ em phần áp dụng lối tư giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) ( phương pháp bình phương hai vế) Ta xét ví dụ cụ thể: 12 Ví dụ 5: Giải phương trình x  3x   x  Lời giải sai học sinh: �x �0 � x  x   x  1(1) � � x  �0 � ( x  3x  1)  x  � �x �0 � �x �0 � � ۳ � �x � � �x   x(3x  1) � x   x(3 x  1)  x  � �x �0 � �� �۳ x 1 �x  x   3x  x � �x �0 � �x  � �� � x 1 � �� x � �� �x �0 � �x � 2x  x 1  � Vậy phương trình cho có nghiệm: x  Có thể thấy x  nghiệm phương trình -Học sinh phạm sai lầm sau: Sở dĩ em học sinh chỉ đặt điều kiện x �0 , 3x+1 �0 quan niệm x   ( x  3x  1) dẫn tới 2x-1 không âm, nên không cần đặt điều kiện 2x1 �0 Thậm chí đặt thêm điều kiện 2x-1 �0 sai điều kiện kết hợp với điều kiện cho ta: x � , điều kiện dẫn tới ta không loại nghiệm x =1 Sai lầm nằm chỗ chưa biết vế có dấu hay khơng mà bình phương, cụ thể thoả mãn điều kiện x � vế phải khơng âm, còn x  x  chưa xác định dấu -Biện pháp khắc phục 13 Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh muốn bình phương hai vế để phương trình tương đương vế phải dấu (mà thực chất thường làm hai vế không âm) Ta hướng dẫn học sinh biến đổi sau: f ( x )  g ( x )  h( x ) � f ( x)  g ( x)  h( x) �g ( x ) �0 � ۳ �h( x ) � �f ( x)  ( g ( x )  h( x)) Nhiều học sinh kiến thức yếu còn mắc phải sai lầm ngây thơ f ( x)  g ( x )  h ( x ) � f ( x )  g ( x )  h ( x ) Như vậy, chỉ hành động chuyển vế đổi dấu, giáo viên gần khắc phục sai lầm nghiêm trọng cho học sinh Lời giải cho toán trên: x  3x   x  � x  x   x  � x  �0 � �� x  �0 � �x  ( x   x  1) � �x �2 � � �۳� �x � �x  x  x  x  � � � �x �2 � � x  x   2 x (*) � Nhận thấy với x � vế trái (*) không âm, còn vế phải (*) âm, (*) vơ nghiệm hay phương trình cho vơ nghiệm e) Sai lầm rút gọn phân tích nhân tử có chứa bậc hai Học sinh hay nhầm lẫn gặp phương trình vơ tỷ có chứa biểu thức dạng: A A ;B ; AB B B Ví dụ 6: Giải phương trình: ( x  5) x2  x2 x5 14 Học sinh thường mắc sai lầm sau: ( x  5) �x  �0 x2  x  � ( x  5)( x  2)  x  � � x5 ( x  5)( x  2)  ( x  2) � �x �2 �x �2 � �2 �� �x  14 �x  x  10  x  x  Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ta thấy thay x  14 vào phương trình cho ta thấy thỏa mãn phương trình Do x  14 phải nghiệm phương trình cho Vậy nguyên nhân dẫn tới lời giải sai? Học sinh sai lầm cho B A  AB , sai lầm không để ý đến dấu B biểu thức A, B -Biện pháp khắc phục + Giáo viên cần lưu ý cho học sinh rằng: B A � � AB A �0, B  � B  AB A  0, B  � Giáo viên chỉ cho học sinh thấy lời giải thiếu trường hợp A