- Với rất nhiều những chuyên đề được đề cập đến khi dạy đại số cấp hai và phương trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu về phương trình vô tỉ các dạng của nó và các phương phá[r]
(1)ĐỀ TÀI: Phương trình vô tỉ - cách giải phương trình vô tỉ trường thcs Phần thứ Phững vấn đề chung I - ĐẶT VẤN ĐỀ: - Như các bạn đã biết toán học là môn khoa học nói chung, lại giữ vai trò chủ đạo các nhà trường các ngành khoa học khác - Hiện đầu tư sâu cho môn toán là mục tiêu nhiều ngành giáo dục các nước trên giới ngành giáo dục Việt Nam ta - Toán học kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà đã sâu tìm hiểu, khai thác thì thấy mê say và ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều môn này - Các bậc phụ huynh các thầy cô giáo, các hệ học sinh luôn mơ ước học giỏi môn này, nhiên điều đó thật chẳng dễ dàng gì - Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài và ngày say mê môn toán, thân người giáo viên phải tự mình tìm phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh và kích thích lòng ham muốn học toán các em, từ đó tìm học sinh có khiếu môn này, để bồi dưỡng các em trở thành học sinh giỏi có ích cho xã hội - Một vấn đề đại số khối cấp hai là việc nắm các phương trình sơ cấp đơn giản và cách giả phương trình đó đối tượng là học sinh đại trà Ngoài mở rộng các phương trình đó khó hơn, phức tạp đối tượng học sinh khá giỏi - Với nhiều chuyên đề đề cập đến dạy đại số cấp hai và phương trình đại số, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu phương trình vô tỉ các dạng nó và các phương pháp giải nó cho đối tượng là học sinh có nhu cầu ham muốn khám phá loại phương trình này cách sâu đại trà các em học sinh giải các phương trình vô tỉ đơn giản sách giáo khoa toán Lop6.net (2) - Sau đây tôi xin trình bày suy nghĩ gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo phương trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi II - NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu khái niệm phương trình ẩn, khái quát và giải phương trình đó - Kỹ giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình bậc ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình tích, thương, phương trình bậc cao - Kỹ giải các phương trình bậc cao đưa phương trình bậc 1, bậc 2, phương trình vô tỉ - Làm các bài tập minh hoạ - Một số phương pháp và dạng bài tập thường gặp III - ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH NGHIÊN CỨU: - Học sinh lớp - Học sinh thi học sinh giỏi trường và huyện IV - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo: Sách giáo dục đại số 8; Sách giáo khoa đại số 9; Sách bồi dưỡng học sinh lớp + lớp 9; Toán phát triển đại số 9; Toán nâng cao; Toán chuyên đề đại số lớp 9; Các đề thi học sinh giỏi các trường, các huyện,các thành phố - Dạy và trắc nghiệm trên ba đối tượng học sinh: Khá giỏi - trung bình - yếu kém - Đưa bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng thực - Tham khảo các trường bạn, ý kiến đóng góp các thầy cô - Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh V - PHẠM VI NGHIÊN CỨU VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: Lop6.net (3) - Giới thiệu nghiên cứu phương trình vô tỉ chương trình đại số lớp (Trường THCS) - Làm trắc nghiệm tháng học kỳ I - Kinh nghiệm thân quá trình dạy học VI - ĐIỀU TRA CƠ BẢN: * Tổng số học sinh khối 9: - 53 học sinh/2 lớp - Đại trà - học sinh đội tuyển toán giỏi trường * Phân loại: - Khá giỏi: 15 học sinh - Trung bình: 21 học sinh - Yếu - Kém: 17 học sinh * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 53/53 học sinh có đủ Phần thứ hai Nội dung đề tài nghiên cứu a - Lý chọn đề tài I - CƠ SỞ LÝ LUẬN: Khi giảng dạy môn đại số lớp 9, chúng ta đã bắt gặp bài tập giải phương trình vô tỉ, mặc dù sách giáo khoa đại số đề cập đến bài tập tương đối đơn giản song không phải học sinh dễ giàng giải hết các bài tập này cách nhuần nhuyễn và thành thạo Thực tế cho thấy bắt gặp loại phương trình vô tỉ ta thấy chúng phong phú, đa dạng và thực là thể loại bài khó đại đa số học sinh cấp Điều mong muốn giáo viên dạy toán là làm nào đó theo dạng phương trình để các em phần nào bớt bế tắc giải toán phương trình vô tỉ Nếu người giáo viên có dẫn dắt học sinh cẩn thận, tỉ mỉ từ việc nắm các dạng loại phương trình này đến cách thức giải loại thì các em dễ dàng gặp toán phương trình và bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú học môn toán Lop6.net (4) Tuy nhiên, không phải dạng phương tình nào có nguyên tắc giải cụ thể Đối với loại phương trình đó ít người giáo viên cần mở cho học sinh kỹ nhận biết và phán đoán, khả áp dụng bài toán tương tự mà học sinh đã làm Nếu chúng ta - giáo viên dạy toán THCS làm thì giải phương trình vô tỉ không còn là nỗi lo các em học sinh lớp Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn đưa các phương pháp giải phương trình vô tỉ nhằm giúp các em nâng cao kỹ và kiến thức giải phương trình Từ đó học sinh cần xem phương trình mình đã làm dạng phương trình nào, xem phương pháp giải loại là có thể giải phương trình đó cách dễ dàng II - CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp cụ thể là môn đại số dạy toán giải phương trình vô tỉ tôi thấy đại đa số học sinh thấy khó, không hiểu phương hướng giải bài Chính vì mà chúng tôi đã mạnh dạn phân dạng phương trình vô tỉ và hướng cho các em phương pháp tổng quát để giải phương trình dạng phương trình mà tôi đã phân chia, với mục đích giúp cho học sinh hiểu sâu sắc hơn, nhiều góc độ phương trình vô tỉ, còn làm nhẹ nhàng quá trình giải phương trình vô tỉ cho học sinh Theo chúng tôi, giảng dạy người giáo viên phải cung cấp từ đầu cho học sinh, giúp các em nắm vấn đề sau đây: - Khái niệm phương trình, nghiệm phương trình, tập xác định phương trình: + Các định nghĩa, định lý biến đổi hai phương trình tương đương + Cách giải các loại phương trình như: Phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn mẫu; phương trình bậc hai ẩn số + Tính chất bất đẳng thức số - Học sinh nắm chắc: + Định nghĩa phương trình vô tỉ + Các bài giải phương trình vô tỉ nói chung Lop6.net (5) + Các kiến thức thức + Các phương pháp giải phương trình vô tỉ + Các dạng phương trình vô tỉ, cách giải dạng + Những sai lầm thường gặp giải phương trình vô tỉ b - Biện pháp thực tiễn I - KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN: a - Khái niệm: Cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, đó A(x) = B(x) gọi là phương trình ẩn Trong đó: + x gọi là ẩn + A(x), B(x) gọi là hai vế phương trình + Quá trình tìm x gọi là giải phương trình + Giá trị tìm x gọi là nghiệm phương trình + S: Tập hợp nghiệm phương trình + Tập xác định: Tập xác định phương trình b - Tập xác định phương trình: Là tập giáo trị biến làm cho biểu thức phương trình có nghĩa c - Các khái niệm hai phương trình tương đương: + Là hai phương trình có cùng tập hợp nghiệm Hoặc tập nghiệm phương trình này là nghiệm phương trình và ngược lại II - PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: - Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ: x + - x + = - Các bước giải phương trình vô tỉ (dạng chung): + Tìm tập xác định phương trình Lop6.net (6) + Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình đã học + Giải phương trình vừa tìm + So sánh kết với tập xác định và kết luận Các kiến thức thức: + Một số âm không có thức bậc chẵn vì điều kiện ẩn là biểu thức chứa dấu bậc chẵn là số không âm + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình đảm bảo nhận phương trình tương đương + Các phép biến đổi thức… III - CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN VÀ CÁCH GIẢI: - Dạng ( x) = g (x) (1) Đây là dạng đơn giải phương trình vô tỉ Sơ đồ cách giải: (x) = g (x) g(x) (2) f(x) = [g(x)]2 (3) Giải phương trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy nghiệm phương trình (1) Ví dụ 1: Giải phương trình x+1=x+1 (1) x-10 Giải (1) x + = (x - 1)2 x1 x2 - 3x = x1 x=3 x = x = Vậy x = là nghiệm phương trình (1) Lop6.net (7) - Dạng 2: (x)+ h(x)= g(x) (1) Sơ đồ cách giải Tìm điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) g(x) (2) h(x) Với điều kiện (2) hai vế phương trình không âm nên ta bình phương hai vế, ta có: ( x).h( x) = g(x)2 - (x) - h(x) (3) Phương trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới: g(x)2 - f(x) - h(x) (4) Bình phương hai vế phương trình (3) phương trình đã biết cách giải So sánh nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) kết luận Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3= - x - (1) x + 3+ x - 2=5 Giải: Điều kiện x+30 x-2 0 x 2 (*) Với điều kiện (*) phương trình có hai vế không âm nên bình phương hai vế ta có: 2x + + (x + 3) (x - 2) = 25 (x + 3) (x - 2) = 24 - 2x Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x x 12 (2) (**) Bình phương hai vế (2) ta có: x2 + x - = 144 - 24x + x2 25 x = 150 x=6 x = thoả mãn điều kiện (*) và (**) nghiệm phương trình là x = Lop6.net (8) - Dạng 3: (x) + h(x) = g(x) (1) Dạng khác dạng vế phải là g(x) nên cách giải tương tự dạng Ví dụ 3: Giải phương trình x + = 12 - x+ x - (1) Giải: x+10 Điều kiện x 12 12 - x (*) x-70 Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai vế không âm nên ta bình phương hai vế (1) x + = 12 – x + x - + (12 - x) (x - 7) - x + 19x - 84 = x - (2) Với (*) thì hai vế phương trình (2) không âm ta bình phương hai vế (2) ta được: (2) (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16 5x2 - 84x + 352 = ' = 1764 - 1760 = > ' = Phương trình (3) có hai nghiệm: x1 = (2) 44 , x2 = - Dạng 4: (x)+ h(x) = g(x)+ k(x) (1) Sơ đồ lời giải: Điều kiện: f(x) 0; h(x) 0, g(x) 0; k(x) Bình phương hai vế ta có: f(x) + h(x) + (x).h(x) = g(x) + k(x) + g(x).k(x) F(x)- G(x) = H(x) Tuỳ theo trường hợp để giải tiếp Lop6.net (9) Ví dụ 4: Giải phương trình x- x + 1- x + 4+ x9 = (1) x + x + = x + + x (2) Giải: Điều kiện: x Với điều kiện (*) phương trình (2) hai vế dương nên ta bình phương hai vế đưa phương trình x2 + 9x = - x (3) Điều kiện cho (3): x (**) Ta bình phương hai vế (3) ta được: x2 + x = x2 9x = x = thoả mãn (*) và (**) Vậy nghiệm phương trình là x = - Dạng 5: (x) + h(x) + n (x).h(x) = g(x) (1) Sơ đồ cách giải Điều kiện: f(x), h(x) Đặt ẩn phụ t= (x) + h(x) Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x + 1+ x - + x2 - x - = 13 - 2x (1) Giải: Điều kiện: x x -1 (*) Đặt t = x + 1+ x - 2; t > ta có: Lop6.net (10) t2 = x + + x - + (x + 1) (x - 2) t2 - 2x +1 = x2 - x - (1) t + t2 - 2x + = 13 - x t2 + t - 12 = (2) Phương trình (2) có hai nghiệm là t1 = 3; t2 = - 4(loại) Vì t = thoả mãn t > x2 - x - = - 2x + x2 - x - = - x (3) Điều kiện (3): x (**) Giải phương trình (3) ta có x = x = thoả mãn điều kiện (*) và (**) Vậy nghiêm phương trình là x = IV - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: Không phải phương trình vô tỉ nào có thể đưa dạng trên nên người giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các phương pháp giải phương trình vô tỉ PHƯƠNG PHÁP 1- Phương pháp nâng lên luỹ thừa: I-KIẾN THỨC: 1/ f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) 3/ f ( x) g ( x) h( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x).g ( x) h( x) f ( x) 4/ n f ( x) n g ( x) g ( x) (n N * ) f ( x) g ( x) 2/ 10 Lop6.net (11) g ( x) f ( x) g ( x) (n N * ) 2n f ( x) g ( x) 6/ n 1 f ( x) n 1 g ( x) f ( x) g ( x) (n N * ) 5/ 2n 7/ … n 1 f ( x) g ( x) f ( x) g n 1 ( x) (n N * ) + Nâng lên luỹ thừa để làm vế phương trình( thường dùng vÕ cã luü thõa cïng bËc) + Để làm bậc n thì ta nâng hai vế lên luỹ thừa n Nếu chẵn thì thực hai vế phương trình là không âm Ví dụ 1: Giải phương trình (1) x x 3x + phương trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế và bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cÇn ph©n tÝch kü sai lÇm mµ häc sinh cã thÓ m¾c ph¶i tøc cÇn kh¾c s©u cho häc sinh tÝnh chÊt cña luü thõa bËc 2: a = b a2 = b2 ( Khi a, b cïng dÊu ) Vì bình phương hai vế phương trình tương đương với phương tr×nh ban ®Çu hai vÕ cïng dÊu phương trình (1), VP , vế trái chưa đã vì ta nên chuyển vế đưa phương trình có vế cùng (1) x x 3x Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế: x x 3x x 15 x 13 x (*) Ta lại gặp phương trình có vế chứa , học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa 14 x 49 x 4(15 x 13 x 2) 11x 24 x (11x 2)( x 2) 11 Lop6.net (12) x 11 Và trả lời phương trình (*) có nghiệm : x1 ; x 11 x Sai lÇm cña häc sinh lµ g×? T«i cho häc sinh kh¸c ph¸t hiÖn nh÷ng sai lÇm : + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các thức có nghĩa nên sau giải không đó chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x vì x1 kh«ng ph¶i lµ 11 nghiÖm cña (1) + Khi bình phương hai vế phương trình (*) cần có điều kiện x x vËy x kh«ng lµ nghiÖm cña (1) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ đó tôi cho học sinh tìm cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích C1: Sau t×m ®îc x và x thử lại (1) không nghiệm đúng Vậy (1) vô 11 nghiÖm ( cách thử lại này làm việc tìm TXĐ phương trình đã cho là tương đối phøc t¹p ) x x x x C2: §Æt ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¸c c¨n thøc cña (1) Sau giải đến (*) bình phương hai vế đặt thêm điều kiện x vËy x tho¶ x mãn : nên phương trình (1)vô nghiệm x C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình Điều kiện (1) : x đó x x x x x x Vế trái < VP nên phương trình (1) vô nghiệm Sau đó tôi số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải 12 Lop6.net (13) Bài tập tương tự : Giải phương trình a) b) x x x x x 3x x Ví dụ 2: Giải phương trình : (2) x 1 x phương trình (2) học sinh nhận xét có chứa bậc nên nghĩ đến việc lập phương hai vế : Chó ý: + ë c¨n bËc lÎ: n 1 A có nghĩa với A nên không cần đặt điều kiện : x 7 x + luỹ thừa bậc lẻ: a=b a2n+1=b2n+1; (n N) nên không cần xét đến dấu cña hai vÕ Giải:+ Lập phương hai vế x x 3 x x x x 8 (**) Đến đây có thể học sinh lúng túng vì sau lập phương hai vế, vế trái nhìn phức tạp, giáo viên hướng dẫn học sinh nghĩ đến đẳng thức: ( a+b)3 =a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab(a+b) VËy (**) cã thÓ viÕt : x x 33 ( x 1)(7 x) x x (I) (đến đây thay x x vào phương trình) ta được: 3 ( x 1)(7 x).2 ( x 1)(7 x) ( II) Giải ra: x1 1; x ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là nghiÖm cña PT ban ®Çu VËy (2) cã nghiÖm x1 1; x + phương trình (2) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng đẳng thức cách linh hoạt để đưa phương trình dạng đơn giản a.b = giải Chú ý: Do từ (I) suy (II) ta thực phép biến đổi không tương đương , vì nó tương đương x thoả mãn : x x V× vËy viÖc thay l¹i nghiÖm (II) vào phương trình đã cho là cần thiết Nếu không thử lại có thể có nghiÖm ngo¹i lai Một số ví dụ và cách giải: 13 Lop6.net (14) Ví dụ 3: Giải phương trình x + x - 1= (1) Giải: (1) x - = - x Điều kiện (2) x1 x (*) x7 Với điều kiện (*) thì (2) có hai vế không âm nê ta bình phương hai vế phương trình (2) (2) x - = 49 - 14 x + x2 x2 -15x +50 =0 = 25 > = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1 = 10; x2 = Ta thấy x = thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình là x=5 3x x 3x Ví dụ Giải phương trình : HD:Đk: x đó pt đã cho tương đương: x3 3x x 3 10 10 x x 3 3 Ví dụ Giải phương trình sau : x x x HD:Đk: x 3 phương trình tương đương : x x 3x 2 x 9x x 5 97 x 3 x 18 Ví dụ Giải phương trình sau : 3 x x x 3 3x x HD: pt x 3x x 1 Ví dụ Giải và biện luận phương trình: x x m x m x m x x 2xm m 2mx (m 4) HD: Ta có: x x m 2 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 m2 Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ m – Nếu m ≠ 0: x + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ –2 Tóm lại: 14 Lop6.net (15) m2 – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x 2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x x m x m x m x x m 2mx 2mx (m 3) HD: Ta có: x x m 2 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm m2 m2 m Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 m2 ≤ m – Nếu m ≠ 0: x + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 m2 ≥ m ≤ Tóm lại: m2 – Nếu m m Phương trình có nghiệm: x 2m – Nếu m m : phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m HD: Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) x m 0 x m + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 m)2 + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m III-Bài tập áp dụng: Bài 1:Giải các phương trình sau: 1/ x x 13 2/ x 34 x 3/ x 3x 5/ x x 6/ x x 12 x 4/ x x x 7/ x x x x 10/ 5x 0 13/ 16 x 17 x 23 Bài 2: Giải phương trình: a) x x d) x x g) x x 8/ x2 5 11/ x 14/ 9/ = 6x x 19 3x x b) x x e) h) 3x x 3x x x 12/ 8 x 5 15/ 20 x x c) x x f) x x i) x x 15 Lop6.net (16) Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 3x 2m x x Bài 4: Cho phương trình: x x m a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình: x mx x m a) Giải phương trình m=3 b) Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm Bài 6: Giải các phương trình sau: a/ x x d/ x x x 17 b/ 2x e/ x x 27 x 12 1 c/ 3x x f) ( x 3) 10 x x x 12 Bài : Giải phương trình : g/ x 2 6 x x 4 7 x h/ x x i/ 5 x x 12 a) x x x b) 2x 3 2x c) x x 10 x PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: I-KIẾN THỨC: Sử dụng đẳng thức sau: f ( x) g ( x) ( f ( x) 0) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( f ( x) 0) Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức có thể viết dạng bình phương biểu thức thì sử dụng đẳng thức : A A để làm dấu đưa phương trình đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình : x 2 x x 13 x (3) Nhận xét: + phương trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng bậc hai nên có thể bình phương hai vế Nhưng phương trình này sau bình phương (lần 1) còn chứa nên phức tạp + biểu thức có thể viết dạng bình phương biểu thức 16 Lop6.net (17) Gi¶i : §K: x x ; x 2 x x 13 x (2 x 3) 2 x (2 x 3) 2 x 3.4 16 2x 2x 2x 5 x 5; (* * *) C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trước phá dấu A thì cần xét dÊu cña A NhËn xÐt: x vËy chØ xÐt dÊu x 2 x 16 19 2x x x NÕu Th× x x 2 x x Gi¶i x (Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) + NÕu x Th× 19 x 2 x x x v« sè nghiÖm x tho¶ m·n KÕt luËn: 19 x 2 19 x 2 C2: ( Để giải (***) có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối A B A B dấu “=” x¶y vµ chØ A.B 0) Gi¶i: (***) 2x 2x 2x 2x Ta cã: 2x 2x VËy: x x Khi 4 x x 2x 2x Gi¶i ra: 2x 2x 19 x 2 Một số ví dụ và cách giải Lop6.net 17 (18) Ví dụ 2: Giải phương trình x2 - 6x + + x2 + 10x + 25 = Do: x2 - 6x + = (x - 3)2 x nên phương trình cho x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 x x - 3+ x + 5= (*) TH1: Nếu: x - x phương trình (*) x+5>0 x-3+x+5=8 2x=6 x = (không thoả mãn) TH2: x - < x < - phương trình (*) x+50 3-x-x-5=8 - 2x = 10 x = - (không thoả mãn) TH3: x - không xảy x+50 TH4: x - -5 x < phương trình (*) x+50 Ví dụ 3: Giải phương trình x + - 4+ x + - 6=1 (1) (Những bài toán hay đại số lớp 9) Giải: Điều kiện: x (*) Ta biến đổi: (1) ( - 2)2 + ( + 3)2 = Lop6.net 18 (19) x - 2- 2 + x - 1+ 3 = Vì a+ b a + b và có dấu "=" ab Nên x - 2- 2 + x - 1+ 3 x - 1- + - x - 1 = (x - - 2) (3 - Error! > Từ đó suy x 10 thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình 910 là x 10 Ví dụ 4: Giải phương trình x + 2+ x - 2=2 (Sách bồi dưỡng đại số lớp 9) Giải: Điều kiện: x Ta biến đổi: + =2 x - 1+ 1+ x - 1- 1 = x - 1+ 1+ 1 - x - 1 = Cũng lập luận tương tự trên ta có: x - 1+ 1 + x - 1 Với điều kiện x x - 1+ > 1- x - 10 x 2.Vậy nghiệm phương trình là x Ví dụ 5: Giải phương trình 4x2 + 2x + 25 + x2 - 8x + 16 = x2 - 18x + 81 (1) Ta có bất đẳng thức; A + B A + B Dấu xảy và khi: AB Lop6.net 19 (20) Do đó phương trình (1) (2x + 5)2 + (x - 4)2 = (x + 9)2 2x + 5 + x - 4 = x + 9 2x + 5 + - x = x + 9 2x + 5 + - x = 2x + + - x Xảy khi: (2x + 5) (4 - x ) x Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là: x Ví dụ 6: Giải phương trình: x 4x x (1) HD: (1) (x 2)2 x |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) – x = – x (vô nghiệm) – Nếu x : (1) x – = – x x = (thoả mãn) Vậy: x = Ví dụ 7: Giải phương trình: x x x 10 x x x (2) x HD: (2) x x x 2.3 x x x x 1 (*) x 1 | x | 2.| x | Đặt y = x (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: y 1 | y | | y 1| – Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y – y = – Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y = x + = x = (thoả mãn) Vậy: x = Ví dụ 8:Giải phương trình: x x x x HD:ĐK: x PT x 2 x x x 14 2x x 14 2x x 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Ví dụ 9:Giải phương trình: x x x x HD:ĐK: x Pt x x x x x 1 1 x 1 1 Nếu x pt x x x (Loại) Nếu x pt x x x (Luôn đúng với x ) Lop6.net 20 (21)