Phương pháp giải phuong trinh vô tỉ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp

Tài liệu này trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp. Qua đó thầy cô có thể sử dụng để viết đề một cách chủ động. Đặc biệt máy tính Casio có thể giúp chúng ta xác định nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình chứa căn. Điều này giúp ta phân tích được phương trình chứa căn phức tạp thành các phương trình đơn giản hơn để từ đó giải quyết trọn vẹn phương trình ban đầu.

I ĐẶT VẤN ĐÊ Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu cũng cách giải một vài dạng toán bản của phần này Tuy nhiên SGK Đại số lớp 10, phần phương trình và bất phương trình co chứa dấu chỉ là một mục nhỏ bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai của chương IV Thời lượng dành cho phần này lại rất ít, các ví dụ và bài tập phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng bản Trong thực tế các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, đề thi THPT quốc gia các bài toán về phương trình, bất phương trình vơ tỉ khó đới với đa sớ học sinh Trong thời buổi phát triển của công nghệ hiện nay, máy tính Casio có thể giúp chúng ta xác định nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình chứa Điều này giúp ta phân tích được phương trình chứa phức tạp thành các phương trình đơn giản để từ giải quyết trọn ven phương trình ban đầu Từ lí chọn đề tài: “KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP” để giúp học sinh có một phương pháp phân tích một phương trình chứa phức tạp về phương trình đơn giản và từ giải được phương trình II Nội dung Cơ sở lí luận Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cớ kiến thức phổ thơng nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững tri thức khoa học ở mơn Toán mợt cách có hệ thớng, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào bài toán cụ thể Điều thể hiện ở việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu mơn Toán mợt cách có hệ thớng, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập và giải một bài tập với nhiều cách khác CƠ SỞ THỰC TIỄN: Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh đã được học chương trình Đại số 10 Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinh không được tiếp cận nhiều dạng toán khác Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉ đưa ba dạng bản Tuy nhiên, thực tế phương trình và bất phương trình vô ti rất đa dạng và phong phú Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, gặp phải bài toán đưa về phương trình và bất phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậm chí không biết cách giải Đặc biệt, các đề thi THPT quốc gia các em sẽ gặp phương trình và bất phương trình vô tỉ ở nhiều dạng khác Vì vậy, việc giúp cho các em có kĩ tốt, cũng cung cấp thêm các phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện Một điều rất quan trọng là máy tính Casio hiện có thể tìm được các nghiệm của một lớp rộng lớn các phương trình vô tỉ, là sở để ta tìm được nhân tử để nhân lượng liên hợp Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Thông thường một phương trình vơ tỷ có nghiệm ln được quy về tích f1 ( x) f ( x)L f n ( x) = và để chế tác một phương trình vô tỷ cũng xuất phát từ một tích nào biến đổi vế trái thành vế phải (VT → VP) các ví dụ sau: ( )( • VT = x − − x + x − + x + ) = 3x + x − − (2 x − 5) x + = VP ⇒ Pt x + x − − (2 x − 5) x + = • VT = ( )( x − − x + +1 ) x+3+5 x+3 +5 = −4 x + 23 + x + + x − = VP ⇒ Pt −4 x + 23 + x + + x − = Nhiệm vụ của người giải toán là làm biến đổi VP → VT một cách chính xác, nhanh chóng Bài giảng này sẽ giúp các bạn làm cơng việc mợt cách nhanh chóng nhờ việc làm xuất hiện nhân tử chung bằng cách nhân lượng liên hợp và có sự hỗ trợ của máy tính Casio Một số ví dụ minh hoạ a) Biểu thức liên hợp có sẵn đề Ví dụ Gải phương trình 3x + + x = x − − ☼ Phân tích Nhận thấy (3x + 1) − ( x − 4) = x + và 3x + + x − > 0, ∀x ≥ nên ta biến đổi 3x + − x − = 2x + để làm xuất hiện nhân tử x + 3x + + x − Bài giải Điều kiện x ≥ Ta có ⇔ 3x + + x = x − − ⇔ ( ) 3x + − x − + x + = 2x +   + x + = ⇔ ( x + 5)  + 1÷ = 3x + + x −  3x + + x −  ⇔ x + = (vì + > 0, ∀x ≥ ) ⇔ x = − 3x + + x − Đối chiếu điều kiện ta thấy x = − không thoả mãn điều kiện Vậy pt đã cho vơ nghiệm Bài tập ví dụ Giải các phương trình sau 1/ 10 x + + 3x − = x + + x − ( 2/ ) x + − 3x − = x + 6x − 2x + = 3/ x2 + +2 2− x 4/ 3x − − x + = x − x − b Làm xuất biểu thức liên hợp biết nghiệm Ví dụ Giải phương trình 3x + − − x + 3x − 14 x − = (Khối B – 2010) ☼ Phân tích - Nhận thấy x = là một nghiệm của phương trình đã cho - Khi x = thì 3x + = 3.5 + = ⇒ x + − = và − x = − = ⇒ − x −1 = - Từ phân tích này ta viết lại phương trình thành ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − = để đưa pt về dạng có nhân tử x −5 Bài giải Điều kiện − ≤ x ≤ ( ⇔ ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − = x − 15 x −5 + + ( x − ) ( x + 1) = 3x + + + − x   ⇔ ( x − 5)  + + x + 1 = ⇔ x =  3x + + + − x  Vì   + + x + > 0, ∀x ∈  − ;6  3x + + + − x   Vây phương trình đã cho có tập nghiệm S = { 5} Bài tập ví dụ Giải các phương trình sau ( x − + x − 3x + = 3/ x + 12 + = x + x + 5/ x − + − x = x + 3x − 7/ ( x + ) ( ) 2/ + x − = x + x + 1/ ) ( x2 + 4x + + + x 4/ 3x + − − x + 3x − 14 x − = 6/ x + + 2 x + ≤ ( x − 1) ( x − ) ) x2 + + = c Làm xuất biểu thức liên hợp biết nghiệm Ví dụ Giải phương trình x − x + + x − x = 21x − 17 ☼ Phân tích Ta đoán được phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x = ( có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi) Do vậy phương trình này có nhân tử ( x − 1) ( x − ) = x − 3x + ta sử dụng lượng liên hợp để giải Điều ta quan tâm là cách tách – nhóm các đại lượng của phương trình Giả sử ta nhóm  x − x + − ( a1x + b1 )  + ( a2 x + b2 ) − 21x − 17  Khi thay x = 1; x = vào các đẳng thức ( a2 x + b2 ) − x − x + − ( a1 x + b1 ) = và 2 − a1 − b1 = a = ⇔ 21x − 17 = ta tìm được  ; 3 − 2a1 − b1 = b1 = a2 + b2 − = a = ⇔  2a2 + b2 − = b2 = −1 Do đó, ta có lời giải sau Bài giải Điều kiện x ≥ ( 17 Phương trình đã cho tương đương với 21 ) ( ) x − x + − x − + x − − 21x − 17 + x − x + =   x − 3x + + 9 ÷+ x − x + = x − x + + x +  x − + 21x − 17  x − 3x − ⇔   ⇔ x − 3x −  + + 1÷ =  x − x + + x + x − + 21x − 17  ( ) x = ⇔ x − 3x + = ⇔  x = Vì 17 + > 0, ∀x ≥ 21 x − x + + x + x − + 21x − 17 + Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1;2} ● Nhận xét Từ hai ví dụ ta thấy sự hữu ích của việc biết trước được một vài nghiệm của phương trình vô tỷ Ngoài ra, giảng dạy ta cũng có thể chế tác các phương trình vơ tỷ giải bằng phương pháp nhân tử từ phương trình dạng ( ax + b ) A( x) = hoặc ( ax + bx + c ) A( x) = , tuỳ theo đối tượng học sinh mà ta chọn độ phức tạp đánh giá của biểu thức A( x) Bài tập ví dụ Giải các phương trình sau 1/ x − x + − 21x − 17 + x − x = ; ( x = 1; x = 2) 2/ x − x − + x + + x + 11 = ; ( x = −1; x = 2)  x1 + x2 = ⇒ x2 − 2x − =  x1 x2 = −7 3/ x + x − = ( x + ) x − x + ; MT:  x2 + x − − a = x2 − x + − a ⇒ a = hoặc dùng cách tìm liên hợp x+2 4/ x − x + + x + 20 x + = x ; ( x = 1; x = 2) ⇔ ( ) ( x4 − x2 + − x + ) x + 20 x + − x = Kĩ thuật truy ngược dấu Để giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nhân liên hợp, thông thường ta biến đổi phương trình về dạng ( ax + b ) A( x) = hoặc ( ax + bx + c ) A( x) = , A( x) > 0; ∀x ∈ D hoặc A( x) < 0; ∀x ∈ D Tuy nhiên nhiều bài toán để chứng minh A( x) > 0; ∀x ∈ D chúng ta phải kết hợp với các phương pháp đánh giá phức tạp để giải quyết trọn vẹn nó, nguyên nhân là sau thực hiện phép biến đổi liên hợp đại lượng A( x) chứa các biểu thức có dấu ngược Từ ta nảy sinh ý tưởng truy ngược dấu các biểu thức đại lượng A( x) để đưa chúng về dấu và làm cho đại lượng A( x) này hiễn nhiên dương (hoặc hiễn nhiên âm) với mọi x tḥc tập xác định Ví dụ Giải phương trình x − x − = x − + − x ☼ Phân tích • Trước hết ta nhận định phương trình đã cho có nghiệm nhất x = Nếu ta nhân lượng liên hợp một cách thông thường thì dấu trước các biểu thức các nhóm liên hợp là ngược với x ∈ [2;4] , Từ có thể dẫn đến việc phải kết hợp với phương pháp đánh giá để giải quyết trọn vẹn phương trình này Xuất phát từ vấn đề đó, ta tìm cách nhóm các biểu thức cho sau nhân thêm lượng liên hợp phương trình sẽ có dạng ( x − 3) A( x) = , mà A( x) > 0, ∀x ∈ [2;4] • Ta nhận thấy: − − x = − x − = ( x − 3) > 0, ∀x ∈ [ 2;4] , và 1+ − x 1+ − x −(x − 3) −1 < 0, ∀x ∈ [ 2;4] , từ truy và 1+ x − 1+ x − vấn ngược lại dấu của phép biến đổi này bằng cách biến đổi thành x − 2( x − − 1) = x − 2.( x − 3) lúc này ta đã đảm bảo được x − −1 x−2 ≥ 0, ∀x ∈ [ 2;4] x − −1 Bài giải Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình đã cho tương đương với (1 − − x ) + x − 2( x − − 1) + x − x = ⇔ x−3 (x − 3) x − + + x(x − 3) = 1+ − x x − −1 + 1+ − x Do x−2 + x > 0, ∀x ∈ [ 2;4 ] x − +1 Vậy phương trình có nghiệm nhất x = ● Nhận xét (+) Cách giải thông thường là biến đổi phương trình về dạng  1  − − x − 1÷ = , sau thực hiện đánh giá − x +1  x − +1  ( x − 3)  đối với phương trình 1 − − 2x −1 = x − +1 − x +1 (+) Ta thay thế cách nhóm − x − bằng cách nhóm x−2 ( ) x − −1 sau đưa   x−2 + + x ÷ = , lúc này x − +1 1+ − x  phương trình về dạng ( x − 3)  A( x) = x−2 + x > 0; ∀x ∈ [ 2;4] x − +1 + 1+ − x Xử lí phương trình sau nhân lượng liên hợp Ở mục chúng ta sử dụng phương pháp truy ngược dấu biểu thức liên hợp đẻ xử lí phương trình sau nhân thêm lượng liên hợp Tuy nhiên một số dạng toán phương pháp này chưa thể giải quyết được triệt để Ở mục này chúng ta tìm hiểu thêm một số hướng xử lí khác Ví dụ Giải phương trình x2 − x + x − ☼ Phân tích quy trình giải tốn x ≥ Bước Điều kiện   −1 ≤ x < =2 x Bước Ta tìm được nhân tử (x − x − 1) Phương trình đã cho tương đương với: ( )   x2 − x − x2 − x − x − x − +  x − − 1÷ = ⇔ + =0 x    x2 − x −  x  x − + 1÷ x     ⇔ x − x −1  +  x2 − x −   ( )   =0   x  x − + 1÷ x    Bước 3: Trường hợp x − x − = ⇔ x =  Bước 4: Trường hợp x  x −  1±  + ÷+ x − x − = ( *) x  Hướng xử lý (Sử dụng phương trình hệ quả) x− Thay + = x − x − từ phương trình ban đầu vào phương trình x (*) cho a phương trình hệ quả x ( ) ( x − x −1 + ( ) ⇔ x x2 − x − + ) x − x −1 = ⇔ ( ) ( )+ x x2 − x − x2 − x − ( ) x2 − x − = x − x − = ⇔ x3 − x + + x − x = x ≥ Với điều kiện  thì x3 − x + > hay phương trình hệ quả − ≤ x <  x3 − x + + x − x = vô nghiệm , suy phương trình (*) vô nghiệm Hướng xử lý (Sử dụng đánh giá trực tiếp phương trình) +) Nếu x ≥ , phương trình (*) tương đương với x ( x − 1) + x + + x ( x − 1) = (a) Với x ≥ ⇒ VT(a) > 0, tức (a) vô nghiệm +)Nếu −1 ≤ x < , phương trình (*) tương đương với ( x + 1) + ( ) x − x − x − x = ⇔ ( x + 1) x2 ( − x ) x2 − x + x3 − x = (b) Với −1 ≤ x < ⇒ VT(b) >0, tức là phương trình (b) vơ nghiệm Từ suy phương trinh (*) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1± Hiệu ĐT, SKKN Trong quá trình dạy học sinh lớp 10 và ôn tập cho học sinh lớp 12 phần này, đa sớ học sinh đã có được kĩ giải mảng bài tập về phần này tốt hơn, biết nhận dạng cũng biết cách đưa một phương trình hay bất phương trình vô tỉ về dạng quen thuộc đã biết cách giải Cụ thể, Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu 10A12 2012-2013 74,5 % 10A8 20013-2014 78,8% 12C6 2015-2016 85.0%