Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân lượng liên hợp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC Trang Mở đầu….……………………………………………………….…… …3 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………….3 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………….….3 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….3 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm… ……… ………………………….….4 2.1 Cơ sở lí luận……………… ………… …………………………………4 2.2 Thực trạng đề tài…………………………………………………… 2.3 Giải pháp thực hiện………………………………………………………5 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan………………………………………… 2.3.2 Các kỹ thuật nhân lượng liên hợp………………………………….… 2.3.2.1 Kỹ thuật nhóm số hạng…… ………………………………….…6 2.3.2.2 Kỹ thuật thêm bớt số ….………………… ……………… .9 2.3.2.3 Kỹ thuật thêm bớt ẩn số……….…………… …….………… .14 2.3.3 Bài tập tự luyện………… ………………………………………… 20 2.4 Kết nghiên cứu…………………………………………… …….…22 Kết luận kiến nghị………………………………………………….….22 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 23 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán THPT Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình vô tỉ nội dung khó học sinh Đứng trước toán em có nhiều phương pháp giải khác biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá… Song có cách giải toán hữu dụng phù hợp với tư em học sinh nhân lượng liên hợp Nhân liên hợp phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ, mấu chốt đưa biểu thức khỏ để tạo nhân tử chung Đó bước thành công trình giải toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỉ Là khó khăn thách thức em học sinh trình tiến tới kỳ thi THPTQG với đòi hỏi mức độ phân hóa cao 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đứng trước vấn đề trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, trăn trở tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề Nhưng biết chìa khoá vạn “mở khoá” toán Trong việc giảng dạy toán học nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng, việc làm cho học sinh giải vấn đề đặt toán cách sáng tạo, hoàn chỉnh cần thiết Trong viết này, dựa kinh nghiệm số năm giảng dạy, luyện thi Đại học bồi dưỡng học sinh giỏi toán, xin nêu lên hướng giải toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình với đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP” nhằm làm cho học sinh nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vô tỉ chương trình môn Toán THPT - Một số tập nâng cao, đề thi học chọn học sinh giỏi tỉnh đề thi đại học năm gần Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU * Phương pháp: - Phương pháp nghiên cứu lý luận chung - Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm * Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối THPT năm học qua NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt môn toán học cần thiết thiếu đời sống người Toán học môn học quan trọng khó, kiến thức rộng, không học sinh ngại học môn - Muốn học tốt môn toán em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu môn toán học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán khó phương trình, hệ phương trình bất phương trình vô tỉ Khi gặp toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình vô tỉ có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với toán hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khuôn khổ kiến thức chương hay kiến thức SGK khiến học sinh khó khăn tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi nay, toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nói chung toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình vô tỉ nói riêng đặt yêu cầu cao học sinh Để giải toán, học sinh không nắm cách giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mà phải biết kết hợp thành thạo cách giải tổng quát mà em học Tạo nên liên kết chặt chẽ mặt kiến thức kiến thức cấp học giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động việc tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục tâm lý lo sợ gặp toán khó mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải thành thạo số phương trình, hệ phương trình “ Ba kỹ thuật nhân lượng liên hợp” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua việc khảo sát khảo sát nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường Thp địa bàn huyện Nga Sơn trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, trình luyện đề ôn thi đại học ôn thi THPTQG hai năm gần nhận thấy học sinh gặp câu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình thường không định hướng cách giải chí bỏ qua câu Điều phần thấy khó yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi đại học bỏ qua hoàn toàn câu biến đổi tương đương…không định hướng Một điều đáng ngạc nhiên năm gần đề thi đại học thi chọn học sinh giỏi tỉnh thường áp dụng hai phương pháp giải phương pháp hàm số, phương pháp nhân lượng liên hợp đặc biệt em có kỹ sử dụng MTBT cần thiết để giúp em đoán số nghiệm “đẹp” số phương trình vô tỉ Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic giúp em học sinh có thêm tự tin để giải toán khó Đó mục đích đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP” mà hướng đến 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa ba hướng giải vấn đề giải phương trình hệ phương trình kỹ thuật nhân lượng liên hợp để giúp học sinh có kỹ cần thiết trình ôn tập thi THPTQG sử dụng ba kỹ thuật nhân lượng liên hợp Đối với kỹ thuật, hướng dẫn cho học sinh phương pháp làm cụ thể, dồng thời lấy ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải, dạng tập có nhiều cách làm giải mẫu theo cách làm để học sinh áp dụng làm tương tự khác Để minh họa cho dạng này, đưa toán nằm Đề thi đại học năm gần nằm đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Với toán dẫn cách giải phù hợp với nội dung chương trình học học sinh có đường tổng quát cho toán tương tự 2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.1.1 Định lí Bézout Số dư chia đa thức f ( x ) cho nhị thức ( x − a ) giá trị f ( x ) x = a Nếu x = a nghiệm đa thức P ( x ) = P( x) = ( x − a) P1 ( x) Từ ta có nhận xét : Nếu x = x0 nghiệm phương trình f ( x ) = ta đưa phương trình f ( x ) = dạng ( x − x0 ) f1 ( x ) = việc giải phương trình f ( x ) = quy giải phương trình f1 ( x ) = 2.3.1.2 Một số đẳng thức hay sử dụng Từ số đẳng thức hay sử dụng như: 2 + x − y = ( x + y ) ( x − y) 3 2 + x − y = ( x − y ) ( x + xy + y ) + x − y = ( x − y) ( x + y) ( x + y ) … dẫn đến công cụ giải phương trình vô tỉ phương pháp nhân lượng liên hợp nhờ đẳng thức sau: + + + + 2 A − B2 A±B= A mB A− B A± B = Am B A − B3 A±B= A2 m3 A.B + B A− B A± B = … A2 m3 A B + B * Chú ý: Không nhân liên hợp kiểu A+ B = A− B Bởi mẫu chưa A− B thể xác định dấu 2.3.2 Các kỹ thuật nhân lượng liên hợp 2.3.2.1 Nhân lượng liên hợp cách nhóm số hạng phương trình, bất phương trình a) Phương pháp: Quan sát số hạng có phương trình để tìm mối liên hệ chúng, sau nhóm lại nhân lượng liên hợp để làm xuất nhân tử chung b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 10 x + + 3x − = x + + x − (1) * Phân tích: Ta thấy (10 x + 1) − (9 x + 4) = (3x − 5) − (2 x − 2) = x − Từ cho ta nghĩ đến việc nhóm số hạng sử dụng nhân lượng liên hợp + Lời giải : ĐK : x ≥ Phương trình (1) ⇔ ( ) 10 x + − x + + ( x − − x − 2) = x−3 x −3 + =0 10 x + + x + 3x − + x − x − = ⇔ 1  + = ( 2) 3x − + x −  10 x + + x + Do vế trái phương trình (2) dương với x ≥ (2) vô nghiệm ⇔ Kết luận : Phương trình có nghiệm x = Ví dụ : Giải phương trình sau : x + 16 x + 18 + x − = x + ( 1) * Phân tích: Ta nhận thấy ( x + ) − ( x + 16 x + 18 ) = ( x − 1) từ ta nghĩ đến ) ( việc nhóm kết hợp hai số hạng x + − x + 16 x + 18 sử dụng nhân liên hợp để có nhân tử chung ( x − 1) + Lời giải : ĐK : x ∈ ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ ) x − = ( x + ) − x + 16 x + 18    ( 1) ⇔ ( x + ) − ( x + 16 x + 18) −1 = ( x + ) + x + 16 x + 18 ⇔ x ⇔ x −1 = 2 ( x − 1) ( x + 4) + x + 16 x + 18  x2 −1 = ( 2)  ⇔ ( x − 1) 1 = ( 3)  ( x + ) + x + 16 x + 18  + Từ (2) suy x = ; x = -1 + Kết hợp phương (4) rút 2 x + 16 x + 18 = x − ⇔ ( x + 16 x + 18 ) = x − Phương trình vô nghiệm Kết luận : Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = x = -1 Ví dụ : Giải phương trình sau : ( + x − ) = x + x + (1) 2 trình (3) 2 * Phân tích: Ta nhận thấy ( x − ) − ( x + 6) = 8( x − 3) x − = ( x − 3) Từ ta có lời giải sau : + ĐK : x ≥ Phương trình (1) ⇔ ( x − − x + ) = x − ⇔ ⇔ ( x − 2) − ( x + 6) x−2 + x+6 ( x − 3) = 2x − = 2( x − 3) x−2 + x+6 x − = x = ⇔ ⇔  = 3 x − + x + = 4(2)  x − + x + 11 − 11 − Kết luận : Phương trình có hai nghiệm : x = x = Giải (2) kết hợp điều kiện ta nghiệm x = Ví dụ : Giải phương trình sau : x + + x + = x + x + (1) * Phân tích: x − (2 x + 1) = (2 x + 1) − (2 x + 2) = x − x − Từ ta có lời giải sau : + ĐK : x ∈ R + Phương trình (1) ⇔ ⇔ ( ) ( 2x2 − 2x + + 2x2 − x −1 x2 + 2x + + 2x2 − x −1 ) 2x2 + − 2x + = 2x2 + + 2x + =0 2 x2 − x − = ⇔  1 + = 0(2)  x + x + x + + x + + Giải x − x − = ⇔ x = 1± + Vế trái phương trình (2) dương với x thuộc R nên (2) vô nghiệm + Kết luận : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x = 6x − 1± + 2 − x ( 1) x2 + * Phân tích: Ta nhận thấy : x + − ( − x ) = x − Từ ta có lời giải sau : ĐK : x ∈ [ −2; 2] Ví dụ : Giải phương trình sau : x + = Phương trình (1) ⇔ ⇔ ( ) 2x + − 2 − x = 6x − = 2x + + 2 − x 6x − x2 + 6x − x2 + 6 x − = ( ) ⇔  x + + 2 − x = x + ( 3) ( 3) ⇔ (2 x + 4) ( − x ) = ( x − ) ( x + ) + ( 2) ⇔ x = + ⇔ − x 4 x + + ( x + ) − x  =   ⇔x=2 (Vì x + + ( x + ) − x >0 với x ∈ [ −2; 2] ) + Kết luận : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x = ; x =  x − = ( y + 2016 ) (5 − y ) + y ( 1) Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :   y ( y − x + ) = x + ( ) * Phân tích: Ta nhận thấy phương trình (2) hệ biểu thức bậc hai nên phương pháp số biến thiên ta dễ dàng tìm mối liên hệ biến x biến y Từ ta có lời giải sau Lời giải :  x ≥ + Điều kiện :   y ≥ ( ) ⇔ y + ( − x ) y − 3x − = ∆ y = ( − x ) + 4(3 x + 3) = ( x + ) +  y = −3 ⇒  y = x +1 Với y = −3 không thỏa mãn điều kiện Với y = x + vào phương trình (1) hệ ta : 2 x − − x + = ( x + 1) + 2016  (4 − x)   x−4 ⇔ + ( x − 4) ( x + 1) + 2016  =   2x − + x +1 x = ⇔  + ( x + 1) + 2016  = ( 3)   x − + x +  Ta nhận thấy vế trái phương trình (3) dương với x ≥ nên (3) vô nghiệm Vậy x = ⇒ y = Kết luận : Hệ có nghiệm (4 ; 5) 2.3.2.2 Nhân lượng liên hợp cách thêm bớt số a) Phương pháp: Dự đoán nghiệm phương trình (Chẳng hạn nghiệm x = x0 ) Sau ta tiến hành thêm bớt sốrồi nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử chung ( x − x0 ) * Cách đoán nghiệm : Dùng chức SOLVE MTBT chọn số x0 thuộc điều kiện phương trình cho f ( x0 ) ∈ Z ( Tức f ( x0 ) số phương) b) Ví dụ: Ví dụ 1: (Khối B - 2010) Giải phương trình sau: 3x + − − x + 3x − 14 x − = (1) −1   * Phân tích: ĐK: x ∈  ;6 3  + Ta chọn x0 = + Ta tìm số cần thêm bớt: Ta có 3x0 + = 16 = nên biểu thức 3x + cần thêm số -4; Tương tự biểu thức − − x cần thêm số Lời giải: −1   + ĐK: x ∈  ;6 3  ( 1) ⇔ ( 3x + − ) + ( − + ⇔ ( x − 5) + x − 3x + + + − x ) − x + x − 14 x − = + ( x − ) ( x + 1) = x − = ⇔  + + ( x + 1) = ( )  x + + + − x −1   Vì vế trái (2) dương với x ∈  ;6 nên (2) vô nghiệm 3  + Kết luận : Phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x + 12 + = 3x + x + ( 1) * Phân tích: + Dự đoán Phương trình có nghiệm x0 = + Ta có x02 + 12 = 4; x02 + = nên biểu thức x + 12 cần thêm số - biểu thức x + cần thêm số - Lời giải: + Điều kiện: x ∈ R + ( 1) ⇔ ⇔ ( ) x + 12 − = x − + x2 − ( = 3( x − 2) + x2 + − ) x2 − x + 12 + x2 + + x = ⇔ x+2 x+2  −3− = ( 2) x2 + +  x + 12 + 5 Nhận xét: Vì x + 12 > x + ( 1) ⇒ < x ⇔ x > ⇔ x + > + > Do đó: x+2 x + 12 + < x+2 x +5 +3 ⇒ x+2 x + 12 + −3− x+2 x +5 +3 0, ∀x ≥ ⇒ x − > x + − 3x − = 3 x + + 3x − Suy A > tức vế trái (2) dương nên (2) vô nghiệm + Kết luận: Phương trình (1) có nghiệm : x = Ví dụ 4: Giải phương trình sau: x2 + x + x2 + = x+4 x2 + + ( 1) * Phân tích: + Dùng chức SOLVE máy tính bỏ túi ta tìm hai nghiệm: x1 ≈ 1, 732050808 lưu vào biến nhớ A (Nhập x1 Shift STO A) x2 ≈ −1, 732050808 lưu vào biến nhớ B(Nhập x2 Shift STO B) Tính A + B = 0; A.B = −3 x1 , x2 Suy hai nghiệm phương trình : x − 0.x − = ⇔ x − = ⇔ x = ± + Thêm bớt : Do x +1 = x12 + x1 + = nên ta thêm vào biểu thức số -1 x1 + nên thêm vào biểu thức x +1 2 số − Lời giải : + ĐK : x > - 11  x2 + x +   x2   1  − 1÷+  − ÷+  − ÷= ÷  2 2 x + x +    ( 1) ⇔  x2 − ⇔ + x2 − x2 − + =0 2 x2 + x2 + + ( )  x2 + x +  + 1÷( x + )  ÷ x+4 +   x − =  1 + + = ( 2) ⇔ x = ± ⇔  2 x2 + x2 + +  x2 + x +   + 1÷( x + ) ÷ x+4    ) ( (Vì vế trái PT (2) dương với x > -4) + Kết luận : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = ± )( ( )  x + x + x + + y + y + = 1( 1)  Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :   y − xy + + 2015 = y + y + + 2016 x ( )  * Phân tích: Từ phương trình (1) hệ ta sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp nhóm hai số hạng có mặt phương trình từ biến đổi để sử dụng phương pháp hàm số Đây kết hợp thông dụng hai phương pháp để giải toán phương trình, hệ phương trình bất phương trình vô tỉ + Lời giải :  y − xy + ≥  x, y ∈ R Điều kiện :  Từ ( 1) ⇔ x + + ( x + 1) +1 = y2 +1 + y = y2 +1 − y = ( −y) +1 + ( − y) ⇔ f ( x + 1) = f (− y ) Với hàm số f ( t ) = t + t + 1, t ∈ R ⇒ f ′ ( t ) = + t t +1 = t2 +1 + t t +1 ≥ t +t t2 +1 ≥ 0∀t ∈ R Hàm số f(t) đồng biến R Từ suy : x + = − y thay vào phương trình (2) hệ ta : ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ ( x + − x + = 2016 x − 2015 ( 3) ) ( x2 + − − x2 −1 ) x + − − 2016( x − 1) = x2 − − − 2016( x − 1) = x2 + + x2 + + x = ⇔  x +1 x +1  − − 2016 = 0(4)  x + + x2 + + 12 Ta nhận thấy từ (3) có vế trái dương nên suy vế phải dương từ có x >0 Nên vế trái phương trình (4) âm nên (4) vô nghiệm với x > Với x = ⇒ y = −2 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm : (1 ; -2) Ví dụ : Giải bất phương trình : + − x ≥ 13 ( 13 − x ) Lời giải : Điều kiện : ≤ x ≤ 81 Trước hết ta giải phương trình : + − x = 13 ( 13 − x ) ( 1)  x ≤ 13 (2) ⇔ 5 + − x = 52 ( 13 − x ) ( ) Do điều kiện (2) nên ta giải (3) với điều kiện ≤ x ≤ 13 Ta có : ( + − 2x ) −13 = 52 ( 13 − x ) −13 ⇔ ( − x − ) = 13  ( 13 − x ) − 1   ( 3) ⇔ 2 − 2x ⇔ ⇔ = 13 ( 25 − x ) ( 27 − x ) − 2x + 25 − x )( ( − 2x + + 2x = ) 13 ( 25 − x ) ( 27 − x )  25 − x = ( )  13 ⇔ = ( 27 − x ) ( )  − 2x + + 2x  1 ≤ < 1; 27 − x ≥ Vì nên (5) vô nghiệm Còn (4) cho ta − 2x + + 2x ( )( ) ( )( ) nghiệm x = 25 25 Vậy (1) có nghiệm x = 2 Vì hàm số : f ( x ) = + − x − 13 ( 13 − x )  81  liên tục 0;   2 25  25 81  , f (1) < 0, f (13) > nên f ( x ) ≥ ⇔ x ∈  ;  2 2  25 81  Kết luận : Tập nghiệm bất phương trình :  ;  2 2 f ( x) = ⇔ x = Ví dụ 7: Giải bất phương trình: Lời giải: + Điều kiện: ≤ x ≤ x − + − x ≥ x2 − 5x −1 ( 1) 13 ( 1) ⇔ ( ) ( x − −1 + ) − x −1 ≥ x2 − 5x − x −3 x −3 − ≥ ( x − 3) ( x + 1) + x − +1 − x +1 1   ⇔ ( x − 3)  − − x − 1 ≥ ( ) − x +1  x − +1  1 ≤ 1; ≥ = − 1; x + ≥ Ta có: x − +1 − x +1 +1 1 − − 2x −1 < x − + − x + Suy ra: ⇒ ( ) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔ Vậy bất phương trình có tập nghiệm : [ 2;3] 2.3.2.3 Nhân lượng liên hợp cách thêm bớt ẩn số a) Phương pháp: Về phương pháp giống phương pháp số Tuy nhiên thường áp dụng cho phương trình có từ hai nghiệm trở lên ta phải tìm biểu thức chứa ẩn số cần thêm bớt để sau nhân liên hợp đưa phương trình chứa nhân tử chung biểu thức f(x) mà nghiệm phương trình nghiệm f(x)= * Chú ý: Việc kiểm tra nghiệm cụ thể phương trình sử dụng chức nắng SLOVE MTBT: Chẳng hạn nhập f(x)= tìm nghiệm x1 sau ta lưu nghiệm vào biến A( x1 Shift STO A) sau nhập f(x): ( x − x1 ) nhấn tiêp lệnh Shift SLOVE = máy tính báo nghiệm (nếu có)… b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 3x + + x + = 3x − x + ( 1) * Phân tích: + Ta đoán hai nghiệm : x = 0; x = tức phương trình có chứa nhân tử chung ( x − x ) + Thêm bớt: - Ta cần tìm hai số a, b cho: PT : 3x + − (ax + b) = nhận x = x = làm nghiệm, từ thay vào ta giải a = Vậy − ( x + 1) biểu thức cần thêm cho b =  3x + - Tương tự : − ( x + ) biểu thức cần thêm cho x + Lời giải: ( 1) ⇔  3x + − ( x + 1)  +  x + − ( x + )  = 3( x − x) − x2 + x − x2 + x ⇔ + = 3( x − x) 3x + + ( x + 1) 5x + + ( x + 2) + ĐK: x ≥ − 14  x2 − x =  ⇔ 1 + + = ( 2)  x + + ( x + 1) x + + x + ( ) +  x = ⇔ x = (Vì vế trái (2) dương nên (2 ) vô nghiệm) + Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x = 0; x= * Chú ý: Tôi lưu ý cho học sinh gặp phương trình có dạng: α x − a + β x − b + mx + nx + p = ( α , β , a, b, m, n, p ∈ R ) Ta thường áp dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để giải phương trình dạng Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x + x + + x + + x − = 3x + (1) Tôi hướng dẫn học sinh giải hai cách : nhân lượng liên hợp cách thêm bớt số cách thêm bớt ẩn số để học sinh thấy ưu điểm nhược điểm phương pháp để từ em có định hướng tốt việc lựa chọn lời giải hợp lí • Cách 1: (Sử dụng kỹ thuật thêm bớt số) + Phân tích: Đoán nghiệm: x0 = + Thêm bớt: x02 + x0 + = nên thêm – vào biểu thức x + x + ; Tương tự thêm – vào biểu thức x + ; Thêm – vào biểu thức + Lời giải: ĐK: x ≥ ( 1) ⇔ ( ⇔ ) ( 5x2 + x + − + ( x − ) ( x + 12 ) + ) ( x2 + − + ( x − 2) ( 2x + 4) + x −1 ) x − − = 3x − x−2 = 3( x − 2) x −1 +1 5x + x + + 2x +1 + x =  ⇔ ( x + 12 ) + ( x + ) + = ( )  x + x + + x −1 +1 x2 + + ( x + 12 ) ⇔ x + 12 x > với x ≥ Ta chứng minh 5x + 2x + + ( 2x + 4) > ⇔ 2x2 + < x + ⇔ x2 + 4x > Và với x ≥ 2x2 + + 2 Suy vế trái (2) lớn suy phương trình (2) vô nghiệm Kết luận: Phương trình có nghiệm x = Bình luận: Sử dụng kỹ thuật thêm bớt số dễ thực nhiên việc xử lý phương trình tích nhận gây “khó khăn” không cho học sinh trình đánh giá • Cách 2:(Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ẩn số) + Phân tích: Đoán nghiệm: x0 = 15 + Thêm bớt: Ta timg biểu thức ẩn số cần thêm bớt : x − -1, vế phải lại 3x + tách x + = (ax + b) + (cx + d ) Từ ta có hệ điều kiện: a + c = a = b + d =    b = ⇒  2a + b = = x0 + x0 +   c =   d =  2c + d = = x0 + Vậy −2 x − biểu thức chứa ẩn cần thêm vào biểu thức ( ( ) ) x + x + − x − biểu thức chứa ẩn cần thêm vào biểu thức x + + Lời giải: ĐK: x ≥ ( 1) ⇔  x + x + − ( x + 1)  +  x + − ( x + 1)  + x − − = ( x − 2) x ( x − 2) x x−2 ⇔ + + =0 2 x −1 +1 x + x + + ( x + 1) x + + ( x + 1) ( ) x =  x x ⇔ + + = ( 2)  x + x + + ( x + 1) x −1 +1 x + + ( x + 1) Dễ thấy phương trình (2) vô nghiệm với x ≥ Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x = Bình luận: Cách giải thứ hai ta chút thời gian phân tích lại thu phương trình tích lại hiệu nhanh chóng kết luận nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: x + + 19 − 3x = x + x + ( 1) * Phân tích: + Đoán nghiệm: x1 = 1; x2 = −2 Dự đoán phương trình chứa nhân tử chung (x + x − 2) + Thêm bớt: - Ta tìm hai số a, b cho phương trình x + − (ax + b) = có hai nghiệm   a = 20  4 -2 Từ suy  ; Tức −  x + ÷ biểu thức ẩn số cần thêm vào  3 b = 20  biểu thức x +  x 13  - Tương tự : Biểu thức ẩn số  − ÷ biêu thức cần thêm vào biểu thức 3  19 − 3x 16 + Lời giải:   ĐK: x ∈  −3;  3  19  20    4  x 13   x + −  x + ÷ +  19 − x +  − ÷ − ( x + x − ) =   3  3  ( 1) ⇔   −( x − x + 2) = ( )  1 ⇔ 4 + + = ( 3)  3 x + + ( x + 5) 3 19 − 3x + 13 − x     x = + ( 2) ⇔   x = −2   + Dễ thấy vế trái phương trình (3) dương với x ∈  −3;  nên PT 3  (3) vô nghiệm + Kết luận: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : x = 1; x = -2 Ví dụ 4: Giải phương trình: x − 16 x + + ( x + 1) x + 3x − = * Phân tích : Dùng chức SOLVE ta tìm nghiệm phương trình nghiệm “không đẹp” x1 ≈ 0, 7921748723; x2 ≈ 1, 441391109; Nhưng ta xử lí theo hướng sau: Lời giải: Điều kiện: x + 3x − ≥ ( *) Ta thấy x = −1 nghiệm phương trình nên phương trình cho tương đương với : 19 x − 16 x + =0 x +1 x − 16 x + ⇔ x + x − + ( x − 3) + − (2 x − 3) = x +1 x − 15 x + 10 ⇔ x + x − + ( x − 3) + = ( 1) x +1  15 + 105 x ≥ ⇔x= + Xét : x + 3x − = ( x − 3) ⇔  Khi (1) thỏa 3 x − 15 x + 10 =  x + 3x − + mãn + Xét: x + 3x − ≠ ( x − 3) ⇔ x ≠ ( 1) (x ⇔ − x − 1) − ( x − 3) x + x − − ( x − 3) + 15 + 105 x − 15 x + 10 =0 x +1 17   ÷= ⇔ ( 3x − 15 x + 10 )  −  x +1 x + x − − x − ( ) ÷   15 − 105 x = 3 x − 15 x + 10 = ⇔ ⇔  x + x − − ( x − 3) = x +  15 + 65 x = 16  Kết hợp với điều kiện (*) cuả bất phương trình cho ta có tập nghiệm cuả 15 ± 105 15 + 65  ;  16    phương trình cho là: S =  * Bình luận: Để tìm thừa số ( 3x − 15 x + 10 ) ta làm sau: Phương trình tương đương x − 16 x + − (mx + n) = x +1 m − 1) x + (2mnx − 3) + n + ( − m ) x − (16 + m + n) x + − n ( ⇔ + =0 x +1 (mx + n) − x + x − x + x − + (mx + n) + m2 − 2mn − n2 + m , n = = = k Ta chọn hai số cho: − m −(m + n + 16) − n Ta thường xét : k = ±1 * Chú ý : Khi gặp phương trình có dạng : ax + bx + c = ( α x + β ) mx + nx + p ta giải theo cách Ví dụ 5: (Đề thi chọn HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015 - 2016)  xy x + y 2 xy + x + y + =  ( 1) 2 Giải hệ phương trình:  x + y 3  xy + x + y + + xy + = x + ( ) * Phân tích : Ta nhận thấy hệ phương trình nửa đối xứng nên ta bắt đầu phân tích đánh giá từ PT (1) hệ Lời giải:  xy ≥ x + y ≠ + Điều kiện:    xy x + y   x + y ⇔ − − xy ÷ = ( )  ÷+  ÷    x+ y  2 2 − ( x − xy + y ) ( x − xy + y ) = ⇔ + 2( x + y) x2 + y 2 + xy 18 ( x − y ) = ( )   ⇔ + ( 4) ( x + y) = 2 x + y  + xy  TH1: ( 3) ⇔ x = y vào phương trình (2) ta được: ( ) ⇔ x + x + + x + = 3x + Phân tích: - Ta đoán phương trình có nghiệm x = - Ta tìm số a, b, c, d cho hệ phương trình sau nhận x = nghiệm: a = b =  x + x + − (ax + b) = a + b =  ⇒ 3 chọn  c + d =  x + − (cx + d ) = c =  d = Từ phương trình tương đương:  x + x + − ( x + 2)  +  x + − ( x + 1)  =     −( x − 1)3 ⇔ ( 9x + x + ) + x + x + 9( x + 2) + ( x + 2) +2 x =  −1 ⇔ +  x + x + + x + x + 9( x + 2) + ( x + 2) )  ( ( 6x  − ( x − 1)    + ) + x + 2( x + 1) + ( x + 1) 2 −2 ( 6x + ) + x + 2( x + 1) + ( x + 1) 2 Dễ thấy vế trái phương trình (5) âm nên PT (5) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Từ suy hệ có nghiệm (1; 1) x2 + y + xy TH2: ( ) ⇔ ( x + y ) = Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: x2 + y + xy ≤ (  x2 + y  +1  + xy ÷ =  ÷   2 ) ( x + y) 2 = x + y = VT (4) Dấu xảy x = y Suy TH1 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (1; 1) Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x + + x − x + ≥ x ( 1) * Phân tích: Trước tiên ta xét phương trình: x + + x − x + = x ( )  + Đoán nghiệm: x = 4; x = Phương trình có nhân tử chung  x −  17  x + 1÷  + Thêm bớt: 19 =0 = ( 5) - Ta tìm hai số a, b cho phương trình x − x + − (ax + b) = có hai  a=  1  nghiệm 4; Từ suy  ; Tức − ( x + 1) biểu thức ẩn số cần thêm vào b =  biểu thức x − x + - Tương tự : Biểu thức ẩn số − ( x + 1) biêu thức cần thêm vào biểu thức x + Lời giải: x ≥ + Điều kiện:  0 ≤ x ≤ − ( 1) ⇔ x − x + − ( x + 1) ≥ x − ( x + 1) 5 ⇔ x − x + − ( x + 1) ≥ 15 x − ( x + 1) ⇔ 25 ( x − x + 1) − ( x + 1) x − x + + ( x + 1) ≥ 225 x − 36 ( x + 1) 15 x + ( x + 1) 17 17     24  x − x + ÷ 36  x − x + ÷ 4   +   ≥0 ⇔ x − x + + ( x + 1) 15 x + ( x + 1)  17 24 36   ≥0 ⇔  x − x + 1÷ +    x − x + + ( x + 1) 15 x + ( x + 1)   x≤  17   ⇔  x − x + 1÷ ≥ ⇔    x ≥   Kết hợp với điều kiện ta có Bất phương trình có tập nghiệm là: 0;  ∪ [ 4; +∞ )  4 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Giải phương trình sau: x + − + x − x = x Bài 2: Giải phương trình sau: x3 − 3x + = − 3x Bài 3: Giải bất phương trình sau: x − x − ( x − 4) x − − 3x + 28 ≤ Bài 4: Giải bất phương trình sau: 12 x + 46 x − 15 − x − x + = 2( x + 1) ( )  xy − ( x − y ) xy − + x = y + y  Bài 5: Giải hệ phương trình sau:  ( x + 1)  y + xy + x ( − x )  =    Bài (Đề thi THPTQG 2015) Giải phương trình sau: x2 + x − = ( x + 1) x2 − x + ( x+2 −2 ) 20 Bài 7: Giải phương trình sau: x3 − x + x − = ( x − 1) x ( x − x + ) Bài 8: (Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12THPT năm 2016 Sở GD & ĐT Tỉnh Thanh Hóa) Giải bất phương trình sau: x + x + + ≤ ( x + + x ) x − x + + x Bài 9: Giải phương trình: x + 14 x + = x + + x + − − x Bài 10: Giải phương trình: x + + − x + x + = x − x 21 2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách đưa tính chất đặc biệt tạo cho học sinh nhanh nhẹn, kiên trì, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian trình giải toán Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho phần toán Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ôn tập kiến thức lý thuyết, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi đại học năm gần Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi, trung bình lớp mà giảng dạy lớp 12E,12G năm học 2015 -2016 Với toán 1,2,3,4 hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: cho làm sau triển khai viết, nhóm II: cho làm trước triển khai viết; thấy kết sau: nhóm I nhóm II học sinh để trống, số lượng học sinh làm câu có nhóm I, nhóm II học sinh làm nhiều câu lại làm 1-2 câu Kết thu cụ thể thể bảng sau: Số học sinh có lời Số học sinh có lời Nhóm Số học giải 1-2 câu giải 3-4 câu sinh câu câu câu câu NHÓM I Lớp 12G Lớp 12E 15 20 6 10 NHÓM II Lớp 12G Lớp 12E 15 20 0 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với 22 việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết không tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hoàn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05/ 05/ 2016 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác Người viết: Lê Diễm Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển tập đề thi đại học cao đẳng từ năm 2002-2015 Tuyển tập tạp chí toán học tuổi trẻ Tuyển tập 100 đề thi thử Đại học Cao đẳng- Trần Sĩ Tùng Cẩm nang luyện thi đại học Đại số sơ cấp Nguyễn Tất Thu Sáng tạo giải Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình Nguyễn Tài Chung 23 ... hướng giải toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình với đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN... tin để giải toán khó Đó mục đích đề tài “ RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP” mà hướng đến 2.3 GIẢI PHÁP... khiến học sinh khó khăn tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi nay, toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nói chung toán giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình