Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

Tuy nhiên nếu nắm vững tốt về các phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán một kỹ năng, kỹ xão nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có cả sự

Trang 1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ :

Trong quá trình giảng dạy, việc tổ chức cho học sinh biết ôn tập các kiến thức đã học

và vận dụng nó vào việc giải toán là một việc làm rất cần thiết Việc làm đó thể hiện được

sự đổi mới phương pháp giảng dạy và đơn giản hóa các vấn đề phức tạp với mục đích giúp

cho học sinh hiểu được bài và vận dụng nó vào giải bài tập

Trong chương trình toán ở trường phổ thông hiện nay, trong sách giáo khoa lớp 10 có

trình bày việc giải các hệ phương trình đại số rất đơn giản và thời lượng cũng còn quá ít

Trong khi đó khi học sinh tham dự thi học sinh giỏi các cấp hay thi vào đại học thì lại gặp

một vấn đề có thể nói là phức tạp, học sinh rất lúng túng khi giải các bài toán này Tuy

nhiên nếu nắm vững tốt về các phương pháp giải thì đó là cơ hội rèn cho người làm toán

một kỹ năng, kỹ xão nhằm hình thành tính sáng tạo trong học và giải toán, ngoài ra còn có

cả sự khéo léo trong khi biến đổi để đưa bài toán phức tạp về lớp các bài toán đã biết cách

giải

Mặc dù vậy song vẫn là chưa đủ bởi sáng tạo của mỗi người làm toán là vô hạn

Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải hệ

phương trình đối xứng " qua thực hiện dạy chương trình tự chọn của môn toán lớp 10 nhằm

trang bị thêm cho học sinh một số công cụ hữu hiệu để các hệ phương trình và phương trình

đại số

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN :

Nhằm cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để phân loại và nhận dạng

khi thực hiện giải các hệ phương trình đối xứng, trong mỗi loại hệ phương trình đối xứng

loại 1 hay loại 2, tôi phân chia thành ba dạng toán như sau:

Dạng 1 : Giải hệ phương trình:

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hệ đối xứng loại 1 có nghiệm

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Qua thực tế giảng dạy ở các lớp khối 10 trường THPT và các lớp bồi dưỡng học sinh

giỏi, tôi nhận thấy việc phân chia dạng như trên là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng

tìm ra phương pháp chứng minh được bất đẳng thức bằng cách áp dụng phương pháp này

vào việc giải toán, từ đó làm nền tảng cho hai kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường

Đại học và Cao đẳng sau này

Để cho tiết ôn tập đạt được hiệu quả cao, thì mỗi học sinh phải chuẩn bị bài tốt trước

khi đến lớp đồng thời phải biết tích cực, tự giác học tập, phải biết suy nghĩ tìm tòi và sáng

tạo Người giáo viên phải biết dẫn dắt học sinh biết phân tích đề bài, từ đó đi tìm tòi lời giải

đúng và sáng tạo, ngắn gọn Muốn làm tốt khâu này giáo viên thiết kế một giáo án theo

hướng tích cực hoá hoạt động học tập, cụ thể tiến hành theo các bước:

I BƯỚC CHUẨN BỊ :

1) Nghiên cứu nội dung cần ôn tập , cần truyền đạt:

Vạch ra mục tiêu của bài dạy, chọn lọc kiến thức cần ôn tập và chuẩn bị trước, lập

Trang 2

2)Chọn bài tập mẫu :

Chọn bài tập theo dụng ý nội dung cần ôn tập phù hợp với các đối tượng học sinh

nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện tư duy thuật toán hay kiểm

tra sự lĩnh hội của học sinh

3/Phân phối thời gian cho mỗi hoạt động của thầy và trò:

Cần phải phân bố thời gian phù hợp với mỗi bài tập Dự kiến thời gian cho mỗi học

sinh giải bài tập trên bảng

4) Bước chuẩn bị của trò và thầy :

4.1) Chuẩn bị của trò : Các kiến thức cần nắm

P x x

a

 Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 thỏa mãn x1x2 S và x x1 2 P thì x1, x2 là nghiệm của

phương trình bậc hai; X2  SX + P = 0

4.1.2 Hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn x và y:

1 Phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng nếu thay x bởi y; y bởi x thì

phương trình không thay đổi

2 Hệ phương trình đối xứng theo hai ẩn số x, y là hệ phương trình khi ta thay x bởi y

và thay y bởi x thì hệ phương trình không thay đổi

3 Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại một nếu trao

đổi vai trò của x, y thì mỗi phương trình hệ này trở thành chính nó(không thay đổi)

Dấu hiệu nhận biết: ( , ) 0

4 Một hệ hai phương trình chứa hai ẩn x, y được gọi là đối xứng loại hai nếu trao đổi

vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ

Dấu hiệu nhận biết: ( , ) 0

4.2)Chuẩn bị của thầy:

* Phiếu học tập và phiếu trả lời cho học sinh

* Giấy A2cho 4 nhóm học sinh hoạt động

* Giáo án và các dụng cụ có liên quan

* Phiếu học tập về các bài tập đề nghị để học sinh tự làm thêm bài tập ở nhà

* Bảng tóm tắt phương pháp giải toán cụ thể:

Trang 3

Hệ phương trình đối xứng loại 1

Dạng 1: Giải phương trình:

Phương pháp giải chung:

 Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P

 Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét

+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv

+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ

Phương pháp giải chung:

 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 4P (*)

 Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ

điều kiện (*) tìm m

Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều

kiện của u, v

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.

Phương pháp giải chung:

Chọn ẩn số phụ u và v thích hợp để đưa về hệ phương trình đối xứng

Trang 4

 Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng.

 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải hệ phương trình đối xứng

 Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình về hệphương trình đối xứng loại 1

 Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểuthức đối xứng theo S = x+y và P = x.y

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2  4P (*)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện

 Củng cố về định nghĩa hệ phương trình đối xứng

 Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng tìm điều kiện của tham số để hệphương trình đối xứng có nghiệm, có hai nghiệm, có nghiệm duy nhất

Trang 5

 Rèn luyện kỹ năng dùng ẩn số phụ để đưa một hệ phương trình về hệphương trình đối xứng loại 1.

 Rèn luyện kỹ năng dùng các hằng đẳng thức quen thuộc để biến đổi biểuthức đối xứng theo S = x+y và P = x.y

Dạng 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng loại 2:

 Bước 2: Lấy (1)  (2) hoặc (2)  (1) ta được: (xy)g(x,y)=0 Khi đó ta được

xy=0 hoặc g(x,y)=0

+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường

hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm

CÁC BÀI TẬP MẪU:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  

 

3 3

Trang 6

II.BƯỚC SOẠN GIẢNG:

Ngày soạn: ………

Ngày dạy: ……….

Tiêt PPCT : 28,29

Tên bài : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

( Chuyên đề tự chọn Toán 10 – Nâng cao)

A> Mục tiêu bài dạy:

1 Kiến thức : Hiểu và nhận biết được hệ phương trình đối xứng Hệ thống hóa được

các hằng đẳng thức cơ bản thường dùng

2 Kỹ năng : Biết cách giải các dạng bài tập của hệ phương trình đại số, biết vận dụng

các hằng đẳng thức liên quan để biến đổi đưa về biểu thức đối xứng của S = x + y và P =

x.y

3 Tư duy : Rèn luyện tư duy so sánh, tư duy thuật toán, tương tự hoá và tư duy logic.

B>Đồ dùng dạy học:

1.GV : Bảng tóm tắt các phương pháp giải toán theo từng dạng và phiếu học tập phát

cho học sinh kiểm tra ở phần củng cố cuối mỗi dạng toán

2 HS : Bảng tóm tắt các hằng đẳng thức thường dùng của biểu thức đối xứng

C>Hoạt động dạy và học :

1.Kiểm tra bài cũ

Tiết 1( Tiết 34) 2 phút: Kiểm tra việc lập bảng tóm tắt các công thức lượng giác ở

Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập

dạng 1 cho học sinh Sau đó chia lớp thành

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân

chia như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4

VD1

VD3

VD2VD4

VD1VD3

VD2VD4

Dạng 1 :

Giải hệ phương trình

Phương pháp:

 Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).

 Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều

kiện của S, P và S2 4P

 Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ

phương trình Giải hệ tìm S, P rồi dùng hệthức Viét đảo tìm x, y

Trang 7

Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ

phương trình theo các biểu thức của S và P

vào 4 ví dụ của bài tập dạng 1

GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề bài

và nêu cách giải của từng ví dụ

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

* Đối với VD 1:

GV: Em hãy cho biết VD1 yêu cầu gì ?

Muốn giải bài toán này ta làm như thế nào?

( Cho đại diện nhóm 1 )

HS nhóm 1:

+VD1 yêu cầu giải phương trình

+Muốn giải phương trình thì ta phải

biến đổi từng phương trình của hệ qua biểu

S90

S

=ìïï

ïî

ìï =ïïï

Û íï =ïî+ =ìïï

Trang 8

GV: Em hãy cho biết ví dụ 2 yêu cầu gì ?

( Cho đại diện nhóm 2 trả lời)

GV: Em hãy cho biết ví dụ 3 yêu cầu gì ?

( Cho đại diện nhóm 3 trả lời)

+Muốn giải hệ phương trình thì ta đưa

về hệ đối xứng loại 1, bằng cách xem

Trang 9

Từ đó biến đổi hệ phương trình theo S, P.

GV: Ví dụ này yêu cầu mức độ khó hơn 3

ví dụ đầu Ở phương trình (2) của hệ có

chứa x và y tuy nhiên khi bình phương

hai vế lại xuất hiện xy , do đó nếu đặt

t = xy Em hãy biến đổi x y và x 2 y2

theo t? Muốn giải bài toán này ta làm như

+ Đến bước bài toán đã đơn giản và đã biết

GV cho các nhóm thảo luận.Sau đó nhóm 1

và nhóm 3 kiểm tra chéo lẫn nhau; nhóm 2

và nhóm 4 kiểm tra chéo lẫn nhau Mỗi

nhóm cử một người lên bảng trình bày sau

đó cho cả lớp nhận xét Cuối cùng giáo

Trang 10

Hoạt động 2 ( 20 phút) : GV phát phiếu bài

tập dạng 2 cho HS

GV : Hãy nêu điều kiện để hệ phương trình

đối xứng loại 1 có nghiệm ?

HS : Hệ phương trình đối xứng loại 1 có

nghiệm khi và chỉ khi S2 4P

GV chia lớp thành 4 nhóm:

* Nhóm I và II giải 2 Ví dụ 1, 3, 5

* Nhóm III và IV giải 2 Ví dụ 2, 4, 6

Sau đó hoán vị cho mỗi nhóm cùng làm

bài tập giống nhau nhận xét rồi cho cả lớp

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điềukiện của S, P và S2 4P (*)

+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phươngtrình Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điềukiện (*) tìm m

Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x)

và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xácđiều kiện của u, v

Trang 12

21 3m

02

13

3

ìï D ³ïïïï

Û íï ³

ïï ³ïïî-

21 3m

02

13

3

ìï D ³ïïïï

Û íï ³

ïï ³ïïî-

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

Trang 13

 t2  2t 1 m 0   (1)

 t2 2t 1 m 0   (2)Phương trình (1) có biệt số '

1 m

 Phương trình (1) có biệt số '

Trang 14

Suy ra S ; P là hai nghiệm của phương

trình : t2  (2m 1)t m  2 m 0 (*)

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

phương trình (*) có nghiệm hay : 0

Hoạt động 3 ( 10 phút) : GV giới thiệu bài

tập về một số bài toán đưa về hệ phương

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

GV : Phương trình đã cho có chứa căn bậc

ba Các biểu thức trong hai căn bậc ba ấy

có tổng là một hằng số Nếu đặt u3 x và

3

v 1 x em hãy cho biết điều kiện của u

và v Đồng thời theo cách đặt đó ta suy ra

được hệ phương trình như thế nào ?

HS : Dựa vào bài toán ta thấy :

 Ta có tổng của hai biểu thức trong

3u+v =

219u.v =36

Trang 15

9 - 5

u =12

 Giáo viên phát phiếu học tập về bài tập

dạng 1 cho học sinh Sau đó chia lớp thành

4 nhóm mỗi nhóm thực hiện theo sự phân

chia như sau:

Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4

Sau đó GV hướng dẫn học sinh biến đổi hệ

phương trình đã cho tương đương với hai

hệ phương trình theo hai trường hợp

+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với

phương trình (1) hoặc (2) suy ra được

nghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với

phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong

trường hợp này hệ phương trình mới trở về

hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô

nghiệm

 GV cho đại diện mỗi nhóm phân tích đề

bài và nêu cách giải của từng ví dụ

Hệ phương trình đối xứng loại 2

1 Phương pháp :

 Bước 2: Lấy (1)  (2) hoặc (2)  (1) tađược: (xy)g(x,y)=0 Khi đó ta được xy=0hoặc g(x,y)=0

+ Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với

phương trình (1) hoặc (2) suy ra đượcnghiệm

+ Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với

phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trongtrường hợp này hệ phương trình mới trở về

hệ đối xứng loại 1) và thông thường vônghiệm

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

GV : Gọi 1 học sinh đại diện nhóm 1 đứng

tại chỗ và hỏi: Em hãy cho biết nội dung

VD1 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán

này ta làm như thế nào ?

VD1:Giải hệ phương trình

 

3 3

Trang 16

Học sinh đại diện nhóm 1:

 Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2,

vì khi ta thay đổi vai trò của x bởi y và y

bởi x thì phương trình (1) của hệ biến thành

phương trình (2), đồng thời phương trình

+ Biến đổi thu gọn được kết quả

GV cho nhóm 1 thảo luận và giải VD1,

sau đó gọi 1 học sinh đại diện nhóm lên

bảng giải sau đó cho cả lớp nhận xét GV

đánh giá lời giải và sửa chữa những sai

3

x = 3x + 8y(I)

x = y



 



S= (0,0); ( 11, 11); (- 11,- 11)

VD2 yêu cầu gì ? Để giải quyết bài toán

+ Biến đổi thu gọn được kết quả

lầm ( nếu có)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

4 4

x - 1

y - 1

u v

Trang 17

(2) biến thành phương trình (1)

 Bài toán yêu cầu là tìm m để hệ phương

trình có nghiệm, có nghiệm duy nhất

 Để giải bài toán này ta làm như sau:

+ Lấy (1) – (2) về theo vế để đưa hệ đã

cho tương đương với hai hệ phương trình

+ Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ

khi có ít nhất một trong hai phương trình :

2

x - 2x + m = 0 và y + m = 0 có nghiệm.2

+ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

và chỉ khi phương trình : x - 2x + m = 02

có nghiệm kép và y + m = 0 vô nghiệm2

hoặc phương trình : x - 2x + m = 02 vô

nghiệm và y + m = 0 có nghiệm kép.2

lầm ( nếu có)

VD 3: Cho hệ phương trình

2 2

x = y - y + m

x = ± y

x = y - y + m

x = y - y + m x - 2x + m = 0

Vậy m  1 thì hệ phương trình có nghiệm

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

' x ' y ' x ' y

Δ = 0

Δ < 0

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

x3  1 2 23 x 1

Giải:

Đặt 3 2x - 1 = t  2x - 1 = t3

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	723 KB